圆锥曲线椭圆双曲线抛物线知识点总结例题习题精讲详细答案
【椭圆】 一、椭圆的定义
1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数
)2(2121F F a PF PF >=+ ，这个动点P 的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，
两焦点的距离叫作椭圆的焦距。
注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；
若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。
二、椭圆的方程
1、椭圆的标准方程（端点为a 、b ，焦点为c ）
（1）当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：122
22=+b
y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；
（2）当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122
22=+b
x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；
2、两种标准方程可用一般形式表示：22
1x y m n
+= 或者 mx 2+ny 2=1
三、椭圆的性质（以122
22=+b
y a x )0(>>b a 为例）
1、对称性：
对于椭圆标准方程122
22=+b
y a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形；
并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 2、范围：
椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。 3、顶点：
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别
为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。
③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=，b B B 221=。a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4、离心率：
① 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a
c a c e ==
22。 ② 因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(< e 越接近1，则c 就越接近a ，从而22c a b -=越小，因此椭圆越扁； 反之，e 越接近于0，c 就越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当b a =时，0=c ，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为a y x =+22。 ③ 离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。 注意：椭圆122 22=+b y a x 的图像中线段的几何特征（如下图）： e PM PF PM PF == 2 21 1 )2(21a PF PF =+ )2(2 2 1c a PM PM =+ 5、椭圆的第二定义： 平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离的比为常数e ，（0＜e ＜1）的点的轨迹为椭圆（ e d PF =| |）。 即：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形，也即上图 中有 e PM PF PM PF == 2 21 1。 ①焦点在x 轴上：122 22 =+b y a x （a ＞b ＞0）准线方程：c a x 2± = ②焦点在 y 轴上：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）准线方程：c a y 2 ±= 6、椭圆的内外部 需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】” （1）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的内部22 00221x y a b ?+< （2）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b ?+> 四、椭圆的两个标准方程的区别和联系 标准方程 122 22=+b y a x )0(>>b a 122 22=+b x a y )0(>>b a 图形 五、其他结论 需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲(详细解答)”或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习 资料网】” 1、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b += 2、若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则 切点弦P 1P 2的直线方程是 00221x x y y a b += 3、椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?= 4、椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ) 5、设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF⊥NF。 6、过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF⊥NF。 7、AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-，即0 202y a x b K AB -=。 8、若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+ 9、若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002222x x y y x y a b a b +=+ 【双曲线】 一、双曲线的定义 1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））。这两个定点叫双曲线的焦点。 要注意两点：（1）距离之差的绝对值。（2）2a ＜|F 1F 2|。 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。 2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。 二、双曲线的标准方程（222a c b -=，其中|1F 2F |=2c ） 需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】” 三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系 1、点与双曲线 2、直线与双曲线 四、双曲线与渐近线的关系 五、双曲线与切线方程 六、双曲线的性质 七、 弦长公式 1、若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标， 则 22 1212()()AB x x y y =-+-，()2 222 1212121141|| AB k x k x x x x k a ? =+-=++-=+ 若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则12AB y = -= 2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点，则弦 长a b AB 2 2||=。 3、若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB 12y -。 4、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解 八、焦半径公式 九、等轴双曲线 十、共轭双曲线 需要双曲线的详细资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】” 【抛物线】 一、抛物线的概念 平面内与一定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。 二、抛物线的性质 三、相关定义 1、通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦H 1H 2称为通径；通径：|H 1H 2|=2P 2、弦长公式：1212||||AB x x y y =-=- 3、焦点弦：过抛物线22y px =(0)p >焦点F 的弦AB ，若1122(,),(,)A x y B x y ，则 (1) ||AF =x 0+2 p ， (2)12x x =42p ，12y y =－p 2 (3) 弦长)(21x x p AB ++=,p x x x x =≥+21212，即当x 1=x 2时,通径最短为2p (4) 若AB 的倾斜角为θ，则AB = θ 2 sin 2p （5） AF 1+BF 1=P 2 四、点、直线与抛物线的位置关系 需要详细的抛物线的资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】” 【圆锥曲线与方程】 一、圆锥曲线的统一定义 平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之比是一个常数e(e ＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定 点F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率。 当0＜e ＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e ＞1时，轨迹为双曲线。 特别注意：当0=e 时，轨迹为圆（a c e =，当b a c ==,0时）。 二、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 三、曲线与方程 四、坐标变换 1、坐标变换： 2、坐标轴的平移： 3、中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程 需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】” 【例】以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为___________________. 解： 抛物线x y 382=的焦点F 为)0,32(，设双曲线方程为λ=-223y x ， 9)32(3 42 =∴=∴λλ，双曲线方程为13922=- y x 【例】双曲线22 24b y x -=1(b ∈N)的两个焦点 F 1、F 2，P 为双曲线上一点，|OP |＜ 5,|PF 1|,|F 1F 2|,|PF 2|成等比数列，则b 2=_________。 解：设F 1(－c ,0）、F 2(c ,0)、P (x ,y )，则|PF 1|2+|PF 2|2=2(|PO |2+|F 1O |2)＜2(52+c 2)，即|PF 1|2+|PF 2|2＜50+2c 2， 又∵|PF 1|2+|PF 2|2=(|PF 1|－|PF 2|)2+2|PF 1|·|PF 2|，依双曲线定义，有|PF 1|－|PF 2|=4， 依已知条件有|PF 1|·|PF 2|=|F 1F 2|2=4c 2 ∴16+8c 2＜50+2c 2，∴c 2＜3 17, 又∵c 2=4+b 2＜3 17，∴b 2＜3 5，∴b 2=1。 【例】当m 取何值时，直线l ：y x m =+与椭圆22916144x y +=相切，相交，相离 解： { 22916144y x m x y =++=…… … … ①② ①代入②得22916()144x x m ++=化简得222532161440x mx m ++-= 222(32)425(16144)57614400m m m ?=-?-=-+ 当0,?=即5m =±时，直线l 与椭圆相切； 当0?>，即55m -<<时，直线与椭圆相交； 当0?<，即5m <-或5m >时，直线与椭圆相离。 【例】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个焦点为F ，M 是椭圆上的任意点，|MF |的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y =x 为轴的对称点M 1和M 2，且|M 1M 2|=3 104 ，试求椭圆的方程。 解：|MF |ma x =a +c ，|MF |min =a －c ，则(a +c )(a －c )=a 2－c 2=b 2， ∴b 2 =4，设椭圆方程为142 22 =+y a x ① 设过M 1和M 2的直线方程为y =－x +m ② 将②代入①得：(4+a 2)x 2－2a 2mx +a 2m 2－4a 2=0 ③ 设M 1(x 1，y 1)、M 2(x 2，y 2)，M 1M 2的中点为(x 0，y 0)， 则 x 0=2 1 (x 1+x 2)= 2 24a m a +，y 0=－x 0+m =2 44a m +。 代入y =x ，得 2 2 2444a m a m a += +， 由于a 2 ＞4，∴m =0，∴由③知x 1+x 2=0，x 1x 2=－2 244a a +，又 |M 1M 2|= 3 1044)(221221= -+x x x x ， 代入x 1+x 2，x 1x 2可解a 2 =5，故所求椭圆方程为：4 52 2y x + =1。 【例】某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长。需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】” 解：以拱顶为原点，水平线为x 轴，建立坐标系， 如图，由题意知，|AB |=20，|OM |=4，A 、B 坐标分别为(－10，－4）、(10，－4） 设抛物线方程为x 2=－2py ，将A 点坐标代入，得100=－2p ×(－4)，解得 p =12。5， 于是抛物线方程为x 2=－25y 。 由题意知E 点坐标为(2，－4)，E ′点横坐标也为2，将2代入得y =－0。16，从而|EE ′|=(－－(－4)=。 故最长支柱长应为3.84米。 【例】已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于 P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |= 2 10 ，求椭圆方程。 解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0，n ＞0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2) 由???? ?=++=1 1 2 2ny mx x y 得(m +n )x 2+2nx +n －1=0，Δ=4n 2－4(m +n )(n －1)＞0，即m +n －mn ＞0， 由OP ⊥OQ ，所以x 1x 2+y 1y 2=0，即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0，∴n m n n m n --+-2)1(2+1=0， ∴m +n =2 ① 又2)2 10( )(4=+-+n m mn n m 2 ，将m +n =2，代入得m ·n =4 3 ② 由①、②式得m =2 1，n =2 3或m =23，n =2 1 故椭圆方程为 2 2 x +2 3y 2=1或2 3x 2+2 1y 2=1。 【例】已知圆C 1的方程为()() 3 20122 2 =-+-y x ，椭圆C 2的方程为 12 22 2=+ b y a x ()a b >>0， C 2的离心率为 2 2，如果C 1与C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰为圆C 1的直径， 求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程。 解：由.,2,22,222 222c b c a a c e ====得设椭圆方程为.122222=+b y b x 设).1,2().,().,(2211由圆心为y x B y x A .2,42121=+=+∴y y x x 又 , 12, 122 22 2 22 2 21 2 2 1 =+ =+ b y b x b y b x 两式相减，得 .022 2 2 212 22 21=-+ -b y y b x x ,0))((2))((21212121=-++-+y y y y x x x x 又.1.2.42 12 12121-=--=+=+x x y y y y x x 得)..2(1--=-∴x y AB 的方程为 直线即3+-=x y 将得代入 ,1232 22 2=+ +-=b y b x x y .021812322=-+-b x x .07224.22>-=?∴b C AB 相交与椭圆直线 需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上. 搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】” 由.3204)(22212 2121= -+=-=x x x x x x B A 得.3 20 3722422=-?b 解得 .82 =b 故所有椭圆方程.18 162 2=+y x 【例】过点(1，0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为 2 2 的椭圆 C 相交于A 、B 两点，直线y =2 1x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右 焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程。 解法一：由e = 2 2=a c ，得 2 1 2 22= -a b a ，从而a 2=2b 2，c =b 。设椭圆方程为 x 2+2y 2=2b 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在椭圆上。 则x 12+2y 12=2b 2，x 22+2y 22=2b 2，两式相减得，(x 12－x 22)+2(y 12－y 22)=0， .) (2212 12121y y x x x x y y ++-=-- 设AB 中点为(x 0，y 0)，则k AB =－ 2y x ，又(x 0，y 0)在直线y =2 1x 上，y 0=2 1x 0，于是 － 02y x =－1，k AB =－1， 设l 的方程为y =－x +1。右焦点(b ，0)关于l 的对称点设为(x ′，y ′)， ???-='='???????++'-='=-'' b y x b x y b x y 11 1 22 1解得则 由点(1，1－b )在椭圆上，得1+2(1－b )2=2b 2，b 2=8 9 ,1692=a 。 ∴所求椭圆C 的方程为2 29 1698y x + =1，l 的方程为y =－x +1。 解法二：需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”由 e =21 ,22222= -=a b a a c 得，从而a 2=2b 2，c =b 。设椭圆C 的 方程为x 2+2y 2=2b 2，l 的方程为y =k (x －1)， 将l 的方程代入C 的方程，得(1+2k 2)x 2－4k 2x +2k 2－2b 2=0， 则x 1+x 2=2 2214k k +，y 1+y 2=k (x 1－1)+k (x 2－1)=k (x 1+x 2)－2k =－ 2 212k k +。 直线 l ：y =2 1 x 过 AB 的中点(2,22 121y y x x ++)，则2 2 22122121k k k k +? =+-，解得k =0，或k = －1。 若k =0，则l 的方程为y =0，焦点F (c ，0)关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C 上，所以k =0舍去，从而k =－1，直线l 的方程为y =－(x －1)，即y =－x +1，以下同解法一。 解法三：设椭圆方程为 )1()0(12 22 2>>=+ b a b y a x 直线l 不平行于y 轴，否则AB 中点在x 轴上与直线AB x y 过2 1=中点矛盾。故可设 直线)2()1(-=x k y l 的方程为 整理得： 消代入y )1()2()3(02)(2222222222=-+-+b a k a x a k x b a k )()(2211y x B y x A ，，设，2 2222212b a k a k x x += +知： 代入上式得：又k x x k y y 2)(2121-+=+ 21 221=+-x x k k ，212222222=+?-∴a k b a k k k ，2 122=--∴ka b k k ，22=e 又 122) (2222 222 2-=+-=-- =-=∴e a c a a b k ，x y l -=∴1的方程为直线， 222b a =此时，02243)3(22=-+-b x x 化为方程，0)13(8)1(241622>-=--=?b b 3 3 > ∴b ，)4(22222b y x C =+的方程可写成：椭圆，2222b b a c =-=又， )0(，右焦点b F ∴，)(00y x l F ，的对称点关于直线设点， 则b y x b x y b x y -=-??????? ?+-==-11212 100000 ，， 得： 在椭圆上，代入，又点)4()11(b -22)1(21b b =-+，3 3 43>=∴b ， 169 2= ∴b ， 8 92=a 所以所求的椭圆方程为： 116 9892 2=+y x 【例】如图，已知△P 1OP 2的面积为4 27，P 为线段P 1P 2的一个三等分点，求以直线 OP 1、OP 2为渐近线且过点P 的离心率为 2 13 的双曲线方程。 解：以O 为原点，∠P 1OP 2的角平分线为x 轴建立如图所示的直角坐标系。 设双曲线方程为 2 22 2b y a x - =1(a ＞0，b ＞0)，由e 2 = 2222 )213()(1=+=a b a c ，得23 =a b 。 ∴两渐近线OP 1、OP 2方程分别为y =2 3x 和y =－2 3x 设点P 1(x 1， 2 3x 1)，P 2(x 2，－2 3x 2)(x 1＞0，x 2＞0)， 则由点P 分21P P 所成的比λ=2 1PP P P =2，得P 点坐标为(2 2,3 22121x x x x -+)， 又点P 在双曲线 2 22 294a y a x - =1上，所以 2 2 212 2 219)2(9)2(a x x a x x -- +=1， 即(x 1+2x 2)2－(x 1－2x 2)2=9a 2，整理得8x 1x 2=9a 2 ① ,4 271312 41321sin ||||2113 124 91232tan 1tan 2sin 2 13 4 9 ||,21349||212121121212222212121121= ??=??=∴=+? = +==+==+ =?x x OP P OP OP S Ox P Ox P OP P x x x OP x x x OP OP P 又 即x 1x 2= 2 9 ② 由①、②得a 2=4，b 2 =9。 故双曲线方程为 9 42 2y x -=1。 【例】需要更多的高考数学复习资料，请在淘. 宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”过椭圆C ： )0(12 22 2>>=+b a b x a y 上一动点 P 引圆O ：x 2 +y 2 =b 2的 两条切线P A 、P B ，A 、B 为切点，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于M 、N 两点。(1) 已知P 点坐标为(x 0，y 0 )并且x 0y 0≠0，试求直线AB 方程；(2) 若椭圆的短轴长为8，并且 16 25 ||||2 22 2=+ ON b OM a ，求椭圆C 的方程；(3) 椭圆C 上是否存在点P ，由 P 向圆O 所引两条切线互相垂直若存在，请求出存在的条件；若不存在，请说明理由。 解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2， y 2) 切线P A ：211b y y x x =+，P B ：222b y y x x =+ ∵P 点在切线P A 、P B 上，∴2020220101b y y x x b y y x x =+=+ ∴直线AB 的方程为)0(00200≠=+y x b y y x x (2)在直线AB 方程中，令y =0，则 M(0 2x b ，0)；令x =0，则 N(0， 2 y b ) ∴1625 )(||||2222 02202222 22==+=+b a b x a y b a ON b OM a ① ∵2b =8 ∴b =4 代入①得a 2 =25， b 2 =16 椭圆典型例题 一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例1：已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且PF 1＋PF 2＝2F 1F 2，求椭圆的标准方程。 解：由PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝2×2＝4，得2a ＝4.又c ＝1，所以b 2＝3. 所以椭圆的标准方程是y 24＋x 2 3＝1. 2．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝10，求椭圆的标准方程． 解：由椭圆定义知c ＝1，∴b ＝52 －1＝24.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 2 24 ＝1. 二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例：1. 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为： 116 42 2=+y x ； 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。 例．求过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 2 4 ＝1有相同焦点的椭圆的标准方程． 解：因为c 2 ＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.由点(－3,2)在椭圆上知9 a 2＋ 4a 2 －5 ＝1，所以a 2 ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 2 10 ＝1. 四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。 例： 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为12 22=+y a x ， 由?????=+=-+1012 22y a x y x ，得()0212 22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，2 11 1a x y M M +=-=， 41 12===a x y k M M OM Θ，∴42=a ， ∴14 22 =+y x 为所求． 五、求椭圆的离心率问题。 例1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：31222??=c a c Θ ∴223a c =，∴333 1-=e ． （教师版）椭圆标准方程典型例题 例1已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值． 分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值． 解：方程变形为．因为焦点在轴上，所以，解得． 又，所以，适合．故． 例2已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设 条件，运用待定系数法， 求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在轴上时，设其方程为． 由椭圆过点，知．又，代入得，，故椭圆的方程为． 当焦点在轴上时，设其方程为． 由椭圆过点，知．又，联立解得，，故椭圆的方程为． 例3 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹． 分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解． （2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程． 解：（1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，， 有， 故其方程为． （2）设，，则．① 由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）． 例4已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方 程． 解：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即． 从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，， 可求出，，从而． ∴所求椭圆方程为或． 例5已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积．解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限． 由余弦定理知：·．① 由椭圆定义知：②，则得． 故． 例6 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程． 分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式． 解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点， 即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径， 即．∴点的轨迹是以，为两焦点， 半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标 <一>圆的方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。 （1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 此方程可用于解决两圆的位置关系： 配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4 其圆心坐标：（-D/2,-E/2） 半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2 此方程满足为圆的方程的条件是: D^2+E^2-4F>0 若不满足,则不可表示为圆的方程 （2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系： ⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。 ⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。 ⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2 2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1 高二《椭圆 双曲线 抛物线》测试题 班级 姓名： 一、选择题 （每小题5分 共40分） 1、抛物线28y x =的准线方程是 （ ） (A) 2x =- (B) 4x =- (C) 2y =- (D) 4y =- ２、双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（ ） (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥??+≤??≤≤? (C) 0003x y x y x -≤??+≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤?? +≥??≤≤? 3、若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 4、双曲线与椭圆15 22 =+y x 共焦点，且一条渐近线方程是03=-y x ，则此双曲线方程为 （ ） A ．13 2 2=-x y B ．1322 =-x y C ．13 2 2=-y x D ．13 22 =-y x 5、已知椭圆19162 2=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为（ ）A ．59 B ．3 C ．7 79 D ．49 6、过抛物线焦点任意作一条弦，以这条弦为直径作圆，这个圆与抛物线的准线的位置关系是（ ） A 、相交 B 、相切 C 、相离 D 、不确定 7、一动圆的圆心在抛物线y x 82 -=上，且动圆恒与直线02=-y 相切，则动圆必过定点（ ） A 、（4，0） B 、（0，–4） C 、（2，0） D 、（0，–2） 8、以椭圆 116 252 2=+y x 的中心为顶点，以这个椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆的右准线交于A 、B 两点，则|AB|=（ ） A 、 5 18 B 、 5 36 C 、 3 80 D 、 3 100 二、填空题（每小题5分 共25分） 9、抛物线的焦点为双曲线17 92 2=-y x 的左焦点，顶点在双曲线的中心，则抛物线方程为 10、抛物线y px p 2 20=>()上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则此抛物线焦点与准线的距离为 11、P 1P 2是抛物线的通径，Q 是准线与对称轴的交点，则∠=P QP 12 。 12、设抛物线y x 24=被直线y x b =+2截得的弦长为35，则b 的值是 13、抛物线y x =2上的点到直线l x y ：--=20的最短距离是 椭圆典型题 一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例1：已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且PF 1＋PF 2＝ 2F 1F 2，求椭圆的标准方程。 2．已知椭圆的两个焦点为 F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝10，求椭圆的标准方程． 二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例：1. 椭圆的一个顶点为02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。例．求过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 24 ＝1有相同焦点的椭圆的标准方程． 四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。 例：已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 五、求椭圆的离心率问题。 例一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 例已知椭圆 19 8 2 2 y k x 的离心率2 1e ，求k 的值． 六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题 例：1.若△ABC 的两个顶点坐标A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，求顶点C 的轨迹方程。 2．已知椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2 25 ＝1(a >5)，它的两焦点分别是 F 1，F 2，且F 1F 2＝8，弦 AB 过点F 1，求△ABF 2的周长． 3．设F 1、F 2是椭圆x 29＋y 2 4 ＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝2∶1，求 △PF 1F 2的面积． 椭圆典型题型归纳 题型一. 定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程； 练习： 1.6=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2.10=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 4.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是 5.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的 另一个焦点2F 构成的2ABF ?的周长等于 ； 6.设圆22 (1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ； 题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线 例1.方程22 11625 x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程 例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程 例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程； 例4.求经过点(2,3)-且与椭圆22 9436x y +=有共同焦点的椭圆方程； 注：一般地，与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆可设其方程为22 2221()x y k b a k b k +=>-++； （四）定义法求轨迹方程； 例5.在ABC ?中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足b a c >> 一、知识要点: 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 第一种定义:平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线. 2.椭圆的标准方程: (1))0(122 22>>=+b a b y a x ,焦点:F 1(-c,0),F 2(c,0),其中 c=2 2b a -. (2))0(122 22>>=+b a a y b x ,焦 点 :F 1(0,-c),F 2(0,c), 其 中 c= 2 2b a -. 3.椭圆的参数方程:? ??==θθ sin cos b y a x ,(参数θ是椭圆上任意一点的离心率). 4.椭圆的几何性质:以标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 为例: ①范围:|x|≤a,|y|≤b; ②对称性:对称轴x=0,y=0,对称中心为O(0,0); ③顶点A(a,0),A ′(-a,0),B(0,b),B ′(0,-b);长轴|AA ′|=2a,短轴|BB ′|=2b; ④离心率:e=a c ,0 ⑤准线x=±c a 2 ;⑥焦半径:|PF 1|=a+ex,|PF 2|=a-ex,其中P(x,y)是椭圆上任 意一点. 二、基本训练 1．设一动点 P 到直线3x =的距离与它到点A （1，0）的距离之比为 3， 则动点P 的轨迹方程是 （ ） () A 22 132 x y += ()B 22 132 x y -= ()C 2 2 (1)132 x y ++= ()D 22 123 x y += 2．曲线 192522=+y x 与曲线)9(19252 2<=-+-k k y k x 之间具有的等量关系 （ ） ()A ()C 3且过点(3,0)A 4．底面直径为12cm 30的平面所截， ， 短轴长 ，离心率5．已知椭圆22 221(x y a b +=的离心率为5，若将这个椭圆绕着它的右 椭圆、双曲线、抛物线综合测试题 一选择题（本大题共 是符合要求的） 2 y m J 12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 1设双曲线 x 2 1的一个焦点为（ 0, 2），则双曲线的离心率为（）. 2 x 2椭圆 16 7 1的左、右焦点分别为 F 1, F 2，一直线经过 F i 交椭圆于A 、B 两点，则 ABF ?的周长为 A 32 B 16 C 3两个正数a 、 b 的等差中项是 ，等比中项是,6，则椭圆 1的离心率为（） 13 3 4设F 1、F 2是双曲线x 2 24 1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 3|PR |=4|PF 2 |， 则PF 1F 2的面积为 A 4,2 8.3 C 24 D 48 2 x 5 P 是双曲线— 9 16 =1的右支上一点， M 、N 分别是圆（ x 5）2 1 和(x 5)2 y 2 =4 上的点，贝U | PM | |PN |的最大值为（ 6已知抛物线 x 2 4y 上的动点P 在x 轴上的射影为点 M ,点 A(3, 2)，则 | PA| | PM | 的 最小值为（ A .10 10 C .10 D 10 2 7 一动圆与两圆 x 2 1 和 x 2 2 y 8x 12 0都外切，则动圆圆心的轨迹为（ 椭圆 双曲线 D 抛物线 2 x 8若双曲线— a 2 y_ b 2 1(a 0,b 0）的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心 率为（ ） S p FiF2=1^ 3，离心率为2,则双曲线方程的标准方程为 _______________ 2 2 2 2 xy xy 14已知椭圆 1与双曲线 1 (m, n, p,q m n p q 16 已知双曲线a 2 "2= 1 a 2 的两条渐近线的夹角为 三 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 9抛物线y x 2上到直线2x y 0距离最近的点的坐标（ ) 3 5 (1,1) 3 9 D (2,4) A - J B C ,- 2 4 2 4 10已知c 是椭圆 2 2 x y 1 (a K b 0）的半焦距，则一 C 的取值范围（ ） a b a A (1, ) B (2 ) C (1,、 ② D (1,辽］ 11方程mx ny 2 0 与 mx 2 2 ny 1 (m 0, n 0,m n ）表示的曲线在同一坐标系中图 A D 2 12若AB 是抛物线y 2 2px(p 0）的动弦， 且 | AB | a(a 2 p ），则AB 的中点M 到y 轴的最近距离是（ ) 1 1 1 1 1 1 A a B -p C a -p D a — p 2 2 2 2 2 2 二填空题（本大题共 4个小题， 每小题 5分 ,共20分.把答案填写在题中横线上） 13设F i 、F 2分别是双曲线的左、右焦点, P 是双曲线上一点，且 o C .5 F 1PF 2 =60 R ,m n ），有共同的焦点F 1、 F 2，点P 是双曲线与椭圆的一个交点，则 |PF 1|?|PF 2|= ----------------- 15已知抛物线x 2py(p 0）上一点A （0, 4）到其焦点的距离为 17 ，贝V p = 4 —,则双曲线的离心率为 3 象可能是（ ） (川)设P 是该椭圆上的一个动点，求 PBF 1的周长的最大值. 椭圆与双曲线常见题型归纳 曲线方程+直线与圆锥曲线位置关系”的综合型试题的分类求解 1.向量综合型 例1.在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0, .3),(0, .3)的距离之和为4,设点P 的轨迹为C ,直线 uuu uuu (I)写出C 的方程；(U)若OA OB ，求k 的值 2 例2?设F i 、F 2分别是椭圆— y 2 1的左、右焦点?(I)若P 是该椭圆上的一个动点, 4 的最大值和最小值；(U)设过定点M(0,2)的直线I 与椭圆交于不同的两点 A 、B ，且/ AOB 为锐角 (其中O 为坐标原点)，求直线I 的斜率k 的取值范围 2 例3.设F 1、F 2分别是椭圆— y 2 1的左、右焦点，B(0, 1) . (I)若P 是该椭圆上的一个动点, 4 UJU UUU y kx 1与C 交于A, B 两点。 UULT UULU 求 PF PF 求PF1 PF2的最大值和最小值；(U )若C为椭圆上异于B 一点，且BF1 CF1，求的值；(川)设P是该椭圆上的一个动点，求PBF1的周长的最大值. 例4.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(，3,0) (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线I : y kx 2与双曲线C 恒有两个不同的交点 A 和B ,且 OA OB 2(其中O 为原点)，求k 的取值范围。 2 2 広 例5?已知椭圆 笃 爲(a >b >0)的离心率e —，过点A (0, - b )和B (a , 0)的直线与原点 a b 3 一 的距离为 —.(1)求椭圆的方程.(2)已知定点E (-1 , 0),若直线y = kx + 2 (k 工0)与椭圆交于 2 C 、 D 两点?问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过 E 点？请说明理由. 2?“中点弦型” 例7.已知双曲线的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率e , 3，焦距为2.3 (I )求该双曲线方程.(II )是否定存在过点P (1 , 1)的直线I 与该双曲线交于A , B 两点，且点 P 是线段AB 的中点？若存在，请求出直线I 的方程，若不存在，说明理由. 例8?已知椭圆的中心在原点，焦点为 F i （0, 2冋,F 2 （0, 2罷）,且离心率e 亠。 3 （I ）求椭圆的方程；（II ）直线I （与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点 A 、B ,且线段AB 中点 的横坐标为-，求直线I 倾斜角的取值范围。 2 2 2 例6.已知椭圆—y 4 3 1 ,试确定m 的值，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线 y 4x m 对称。 典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02， A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+ y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116 42 2=+ y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：3 1 222??=c a c ∴223a c =， ∴3 331-= e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可． 典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点， OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为1222 =+y a x ， 由?????=+=-+1012 22y a x y x ，得()0212 22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，211 1a x y M M +=-=， 41 12=== a x y k M M OM ，∴42=a ， ∴14 22 =+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题． 典型例题四 例4椭圆19252 2=+y x 上不同三点()11y x A ，，?? ? ??594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列． （1）求证821=+x x ； （2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知： a c x c a AF = -12 ，∴115 4 5x ex a AF -=-=． 同理2545x CF -=．∵BF CF AF 2=+，且5 9 =BF ， ∴51854554521=??? ??-+??? ? ? -x x ，即821=+x x ． （2）因为线段AC 的中点为??? ??+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为 ()422 12 121---= +- x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得() 212 2 21024x x y y x --=- 圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-椭圆 一、椭圆定义 定点为焦点，定值为长轴.（定值=2a ） 椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率.（定值=e ） 定点为短轴顶点，定值为负值. （定值2k e 1=-） 二、椭圆的性质定理 长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理① 准线方程准焦距，a 方、b 方除以c ② 通径等于 2 e p ，切线方程用代替③ 焦三角形计面积，半角正切连乘b ④ 注解： 1长轴2a =，短轴2b =，焦距2c =，则：222a b c =+ 2准线方程：2 a x c = （ a 方除以c ） 3椭圆的通径 d ：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距 离称为椭圆的通径.（通径22 c b 2b 2a c a d 2ep =??==） 过椭圆上00x y (,)点的切线方程，用00x y (,)等效代替椭圆方程得到. 等效代替后的是切线方程是：0022x x y y 1a b += 4、焦三角形计面积，半角正切连乘b 焦三角形：以椭圆的两个焦点12F F ,为顶点，另一个顶点P 在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指12F PF θ=∠的一半. 则焦三角形的面积为：2 S b 2 tan θ = 证明：设1PF m =，2PF n =，则m n 2a +=由余弦定理： 222m n 2mn 4c cos θ+-?= 22224a 4b m n 4b ()=-=+- 即：2 2mn 2mn 4b cos θ-?=-，即：22b 1mn (cos )θ=+. 即：2 122b mn PF PF 1||||cos θ==+ 故：12 F PF 1S m n 2sin θ=??△2 2 12b b 211sin sin cos cos θθθθ=? ?=?++ 又：22221222 sin cos sin tan cos cos θθ θ θ θθ = =+ 所以：椭圆的焦点三角形的面积为122 F PF S b 2tan θ ?=. 三、椭圆的相关公式 切线平分焦周角，称为弦切角定理① 1F 2F O x y P m n 解决圆锥曲线常用的方法 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 020 20=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 4、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数 【考点8】椭圆、双曲线、抛物线 2009年考题 1、（2009湖北高考）已知双曲线141222 2 222=+=-b y x y x 的准线经过椭圆（b ＞0）的焦点，则b=( ) A.3 B.5 C.3 D.2 选C.可得双曲线的准线为2 1a x c =±=±,又因为椭圆焦点为2(4,0)b ±-所以有241b -=.即b 2=3故b=3. 2、（2009陕西高考）“0m n >>”是“方程2 21mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【解析】选C.将方程2 2 1mx ny +=转化为 22 111x y m n +=, 根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必须 满足 11 0,0,m n >>且11n m >，故选C.3、（2009湖南高考）抛物线 28y x =-的焦点坐标是( ) A ．（2，0） B ．（- 2，0） C ．（4，0） D ．（- 4，0） 【解析】选B.由 28y x =-,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2 p - =-，故选B. 4、（2009全国Ⅰ）已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ， 若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF uuuu r =( ) (A) 2 (B) 2 3 (D) 3 【解析】选A.过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =u u u r u u u r ,故2 ||3 BM =. 又由椭圆的第二定义,得222 ||233 BF = = ||2AF ∴=5、（2009江西高考）设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的 三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A ． 32 B ．2 C ．5 2 D ．3 椭圆经典例题分类汇总 1.椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02， A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116 42 2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率2 1=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论． 解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由2 1= e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12． 由21= e ，得4191=-k ，即4 5-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论． 例3 已知方程1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由?? ???-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53< 出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆． 例4 已知1cos sin 2 2=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围． 分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围． 解：方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-αα． 因此0sin >α且1tan -<α从而)4 3,2( ππα∈． 说明：(1)由椭圆的标准方程知 0sin 1>α，0cos 1>-α ，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，α sin 12=b ． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0 例5 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322 =+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程． 分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式． 解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点， 即定点()03， -A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径， 即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点， 半长轴为4，半短轴长为7342 2=-=b 的椭圆的方程：17162 2=+y x ． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法． 2.焦半径及焦三角的应用 例1 已知椭圆13 42 2=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得 2=a ，3=b ，∴1=c ，2 1= e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知： 高中数学循环记忆学案 基本题目过关； 22 12 211,F F 1F AB 169 FAB _____,|AB|=5|x y +=?１１ 已知，是椭圆的两个焦点，过点 的直线交椭圆于两点 则的周长为若，则ＡＦ｜＋｜ＢＦ｜＝＿＿＿＿＿＿． ２２ ２，ｘ＋ｙ＝４，如图ＯＡ中点为Ｎ，Ｍ在圆上，ＭＮ的垂直平分线交 ＯＭ于Ｐ点，当Ｍ点在椭圆上运动时Ｐ点的轨迹方程是什么图形＿＿ ３，已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，椭圆与坐标轴交点坐标为 Ａ （－３,０），Ｂ（０,５），则椭圆的标准方程为＿＿＿＿＿＿ 且常州常时段周长的两倍，则该椭圆的标准方程为＿＿＿＿＿＿＿＿ ５，已知椭圆的中心在原点，焦点ｘ轴上，椭圆Ｃ上的点到焦点的最大值为 ３，最小值为１，则椭圆的标准方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ２２ ｘｙ ６，若方程＋＝１，表示焦点在 ｙ轴上的椭圆，则ｍ的 ｜ｍ｜－１２－ｍ 取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ７，椭圆的短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点 9,设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴的两端点的连线互相垂直 且此焦点与长轴上较近的端点距离为4，则此椭圆的方程为________________ 2210,椭圆5x +ky =5的一个焦点为（0,2）则k=_________ 22 11,M 123 M x y w 是椭圆+=1的焦点为焦点，过直线L;x-y+9=0上一点作椭圆， 要使所作椭圆长轴最短，点应在何处____并求出椭圆的方程_____ PQ OP OQ ⊥12,已知椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴直线y=x+1与椭圆相交于两点，且， 11122 121222213,F A B P PF FA PO//AB e=( ) 11 A B C.D 232 AB F BAF =90x y a b ⊥∠o 如图已知是椭圆的左焦点，，分别是椭圆的右顶点和上顶点为椭圆上一点，当，时， 14,F F 是椭圆+=1(a>b>0)的两焦点，过F 的弦与构成等 腰直角三角形，若角，则e=_________ F C B C BF C D BF FD u u u r u u u r 15,已知是椭圆的一个焦点，是椭圆短轴的一个端点，线段 的延长线交于点，且=2,则e=______ 22 122212P x y a b F PF ∠o 16,F F 是椭圆+=1(a>b>0)的两焦点，为椭圆上一点， =90,离心率的最小值为__________ 22 12221217,P =x y x a b F F PF ∠o 过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F ，作轴的垂线交椭圆于， 为右焦点，若60，则e=______ 22 12122212P PF 1 2 x y PF a b ∠u u u r u u u u r 18，为F F 为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上一点，若=0 tan PF F =,则e=______ 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分） 1. 椭圆22 1259 x y +=的焦距为。 （ ） A ． 5 B. 3 C. 4 D 8 2．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为 （ ） A ． 221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 22 1610x y -= 3．双曲线22 134 x y -=的两条准线间的距离等于 （ ） A C. 185 D 16 5 4.椭圆22 143 x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为 （ ） A ． 1 B. 2 C. 3 D 4 5．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。 （ ） A ． 22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ? ∠=且 123AF AF =,则双曲线的离心率为 （ ） A ． 2 B. 2 C. 2 7.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2 ＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2 ＝±4 B ．y 2 ＝±8x C ．y 2 ＝4x D ．y 2 ＝8x 8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 9．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 椭圆练习题1 A组基础过关 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2012·厦门模拟)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 ( )． A.1 2 B. 2 2 C. 2 D. 3 2 解析由题意得2a＝22b?a＝2b，又a2＝b2＋c2 ?b＝c?a＝2c?e＝ 2 2 . 答案B 2．(2012·长沙调研)中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )． A.x2 81 ＋ y2 72 ＝1 B. x2 81 ＋ y2 9 ＝1 C. x2 81 ＋ y2 45 ＝1 D.x2 81＋ y2 36 ＝1 解析 依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝1 3×2a ，∴c ＝3， ∴b 2 ＝a 2 －c 2 ＝81－9＝72，∴椭圆方程为x 2 81 ＋ y 2 72 ＝1. 答案 A 3．(2012·长春模拟)椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )． A. 32 B.34 C.22 D.23 解析 先将 x 2＋4y 2＝1 化为标准方程x 21＋y 214 ＝1，则a ＝1，b ＝12，c ＝a 2－b 2＝3 2 . 离心率e ＝c a ＝3 2. 答案 A 4．(2012·佛山月考)设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2 ＝1的左、右焦点，P 是第一象 限内该椭圆上的一点，且PF 1⊥PF 2，则点P 的横坐标为( )． A ．1 B.83 C ．2 2 D.26 3 解析 由题意知，点P 即为圆x 2＋y 2＝3与椭圆x 24 ＋y 2＝1在第一象限的交点， 解方程组???? ? x 2＋y 2＝3，x 24＋y 2 ＝1，得点P 的横坐标为 26 3 . 答案 D 5．(2011·惠州模拟)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为 3 2 ，且椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为( )． 《双曲线》典型例题12例 典型例题一 例1 讨论 19252 2=-+-k y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9 ∴所求双曲线方程为19 162 2=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x 轴上，6=c ， ∴设所求双曲线方程为：162 2 =-- λ λy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴164 25 =-- λ λ ∴5=λ或30=λ（舍去） ∴所求双曲线方程是15 22 =-y x 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉． （3）设所求双曲线方程为： ()16014162 2<<=+--λλλy x ∵双曲线过点() 223， ，∴144 1618=++-λ λ ∴4=λ或14-=λ（舍） ∴所求双曲线方程为18 122 2=- y x 说明：（1）注意到了与双曲线 14 162 2=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为14162 2=+--λ λy x 后，便有了以上巧妙的设法． （2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面． 典型例题三 例3 已知双曲线116 92 2=- y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F ∠的大小．椭圆双曲线抛物线典型例题
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