抽象代数基础第一章1.6 群的同构与同态

《抽象代数基础》教案

授课时间第12 次课

《抽象代数基础》教案

抽象代数期末考试试卷及答案

抽象代数试题 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、6阶有限群的任何子群一定不是( )。 A、2阶 B、3阶 C、4阶D6阶 2、设G是群，6有()个兀素，则不能肯定G是交换群。 A 4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个 3、有限布尔代数的元素的个数一定等于( )。 A、偶数B奇数C、4的倍数D、2的正整数次幕 4、下列哪个偏序集构成有界格( ) A、(N, ) B 、(乙) C、({2,3,4,6,12},| (整除关系)) D (P(A),) 5、设S3= {(1) , (12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3 中可以与(123) 交换的所有元素有() A (1)，(123)，(132) B 、12)，(13)，(23) C、⑴，(123) D 、S3中的所有元素 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、群的单位元是---- 的，每个元素的逆元素是-------- 的。 2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，贝卩f1fa ----------------------- , 3、区间［1，2］上的运算a b {min a,b}的单位元是 ------- 。 4、可换群G 中|a|=6,|x|=8, 则|ax|= ------------------------------ 。 5、环Z8的零因子有 -------------- 。 &一个子群H的右、左陪集的个数 -------- 。 7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-------- 。 8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的 -------- 。

(完整版)《实变函数》考试说明解读

《实变函数》考试说明 近世代数是广播电视大学数学专业（本科）的一门重要的专业基础课，本期近世代数期末考试内容是教材《实变函数》的内容。试题有填空题、证明题，试题的难易程度和教材《实变函数》的习题相当。希望同学们在期末复习时，做好教材《实变函数》中的每章的习题。 第一章集合 一提要 第一节集合及其运算。 第二节映射及其基数。 第三节可列集 第四节不可列集 二教学要求 1）理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。 2）掌握集之间的交、差、余运算。 3）掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。 4）理解集列的收敛、单调集列的概念。 5）掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。 6）理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。 7）理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质， 理解不存在最大基数的定理的意义。

第二章点集 一．提要 第一节聚点、内点、界点等概念 第二节开集、闭集、完备集。 第三节直线上的开集、闭集及完备集的构造。 第四节点集间的距离 第五节康托集及其性质 二．基本要求 1）明了n维欧氏空间中极限概念主要依赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在极限理论中的作用。 2）理解聚点，孤立点、内点、外点、界点的意义，掌握有关性质。 3）理解开集、闭集、完备集的意义，掌握其性质。 4）理解直线上开集、闭集、完备集的构造。 5）理解康托集的构造、特性。 第三章勒贝格测度论 一．提要 第一节勒贝格外测度及其内测度。 第二节勒贝格可测集及其性质。 第三节勒贝格可测集的构造。

二．基本要求 1）理解测度的意义。 2）理解外测度的意义，掌握其有关性质。 3）理解可测集的定义，掌握可测集的性质。 4）了解并掌握不可测集的存在性这一结论。 第四章勒贝格可测函数 一．提要 第一节点集上和函数。 第二节勒贝格右测函数。 3）可测函数列的收敛性。 4）可测函数的构造。 二．基本要求 1）掌握可测函数的定义及等价定义。 2）掌握可测函数的有关性质。 3）理解简单函数的定义，掌握可测函数与简单函数的关系。 4）掌握可测函数列的收敛点集和发散点集的表示方法。 5）掌握叶果洛夫定理，鲁津定理。 6）理解依测度收敛的意义，掌握依测度收敛与a·e收敛的联系与区别。

同态基本定理与同构定理

第九节 同态基本定理与同构定理 重点、难点：同态基本定理，满同态与子群的关系. 一 同态基本定理 前几节是研究一些定量的东西，下面我们来研究一些定性的东西.本节中的同态基本定理是群论中的研究基础. 定理2.9.1 一个群G 与它的每一个商群N G /同态. 证 令G a aN a N G G ∈?→,;/: π 显然π是G 到N G /的满射.G b a ∈?,，)()())(()()(b a bN aN N ab ab πππ=== 故π是一个满同态. 注1 定理2.9.1中的π称为自然同态； 注2 自然同态π一定是满同态. 利用子群来研究群本身，任意给定一个不变子群N ，有两个可以供我们参考的群： N 和N G /，由于0/→→→N G G N ，故更容易推测G 的性质. 自然会问：定理2.9.1的逆命题是否成立？即0→'→G G ，G '是否与G 的某个商群是同构的呢？我们说是对的.首先有一个概念. 定义2.9.1 设G G '→Φ:为一个群同态.e '为G '的单位元,集合 })(|{e a G a Ker '=Φ∈=Φ称为同态映射Φ的核. 注1 未必要求Φ为满射，但本书中同态均为满同态； 注2 一个同态是单同态?G e Ker ?=}{φ. 推论2.9.2 设π是N G G /→的自然同态，则N Ker =π. 证 由于N G /的单位元是N ，则 N N a G a N aN G a N a G a Ker =∈∈==∈==∈=}|{}|{})(|{ππ. 定理2.9.3 （同态基本定理）设?是群G 到群G '的一个同态满射，则 (1)G Ker ?； (2)G Ker G '??/. 证 (1)由于φ??≠?∈Ker Ker e .,,,G x Ker b a ∈?∈??则e b a '==)()(??为G '的单位元.则

近世代数学习系列一 学习方法

近世代数学习方法 “近世代数”是一门比较抽象的学科，初学者往往感到虚无飘渺，困难重重。为此，下面介绍五种常用的学习方法。 一、通过例子来加深对基本理论的理解 针对“近世代数”课程的概念抽象、难于理解的特点，我们认为理解概念的一种有效方法是多举已学过的典型例子。例如，一元多项式环和整数环是主理想整环的例子，关于主理想整环的许多结论都是通过推广关于多项式和整数的结论得到；一个无零因子交换环的商域就是模仿整数环和有理数环间的关系构造的；整环里的因子分解理论就是分解质因数和多项式的因式分解理论的推广。 当我们学习“近世代数”时，就仅仅背下来一些命题、性质和定理，并不意味着真正地理解。要想真正理解，需要清楚这些命题、性质和定理的前提条件为什么是必要的？而达到这个目的的最有效的方法就是构造反例。通常的做法是：去掉一个前提条件后，构造一个结论不成立的例子，从而表明所去掉的前提条件是必要的。例如，关于素理想和极大理想的关系有结论：设R是含1交换环，则R的极大理想一定是素理想。那么这个结论的条件“含1”是必要的吗？这个问题的答案可从下面的例子容易得到。例：设R是所有偶数构成的环，Z表示整数环，则4Z是R的极大理想，但4Z不是R的素理想。 二、通过变换角度来寻求问题的解法 通过变换角度来寻求问题的解法是一种很普遍的解题方法，通常是将已知或未知较复杂的问题变换为等价的较简单的问题，或者是将新问题变换为已经解决的问题，或者是将未知与已知关系较少的问题变为已知与未知关系较多的问题等等。下面举例说明这种方法： 例：设是从G1到G2的满同态，N2是G2的不变子群，N1= -1(N2)，证明G1/N1同构于G2/N2。 对于这个问题，我们不直接证明G1/N1同构于G2/N2，而是将问题进行变换，先构造从G1到G2/N2的满同态，再证明N1是的核，然后根据同态基本定理知

近世代数考试复习

<近世代数复习题> 一、定义描述（8’） 1、群：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算。如果满足以下条件： （1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（a b）c = a （b c）. （2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a . （3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a = e . 则称G对代数运算做成一个群。 2、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有aN=Na，即aNa-1=N ， 则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。 3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号+ 表示，另一个叫做乘法用 乘号表示，如果： （1）R对加法作成一个加群； （2）R对乘法满足结合律：（ab）c = a（bc）； （3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+c）= ab + ac ，（b+c）a = ba + ca . 其中a，b，c为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。 4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N≠R .如果除R和N外，R中没有包含N的其它 理想，则称N为环R的一个极大理想。 5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能 惟一分解，则称K为惟一分解整环。整数环Z及域F上多项式环F[ x ]都是惟一分解整环。 6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果 （1）有一个从K的非零元集K – { 0}到非负整数集的映射ψ存在； （2）这个ψ对K中任意元素a及b≠0，在K中有元素q，r使a=bq + r，r=0 或ψ（r）＜ψ（b），则称R关于ψ作成一个欧氏环。------------- 7、素理想：设R是一个交换环，P ?R .如果ab∈P => a∈P或b∈P，其中a，b∈R，则 称P是R的一个素理想。 显然，环R本身是R的一个素理想；又零理想{ 0}是R的素理想当且仅当R无零因子，亦即R是一个整环。 8、主理想：设R是一个环，任取a∈R，R中包含a的全部理想的交也是R的一个理想，且 是R的包含元素a的最小理想，并称其为R的由a生成的主理想，记为< a > . 9、理想：设N是环R的一个子加群，即对N中任意元素a，b，差a-b仍属于N，如果又有

近世代数期末试题

近 世 代 数 试 卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 （ ） 2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1 -f 。 （ ） 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ ） 6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ ） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整 数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ） ①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。

5.3 代数系统的同态与同构

授课时间十一周第 2 次课

更广泛的同态映射定义 定义设V1=和V2=是代数系统，其中°和*是二元运算. f: S1→S2, 且?x,y∈S1 f (x °y) = f(x) *f(y) , f (x ? y) = f(x) ?f(y) 则称f 为V1到V2 的同态映射，简称同态. 设V1=和V2=是代数系统，其中°和*是二元运算. ? 和?是一元运算，f: S1→S2, 且?x,y∈S1 f (x°y)=f(x)*f(y), f (x?y)=f(x)?f(y), f (? x)=?f(x) 则称f 为V1到V2 的同态映射，简称同态. 例V1=，V2=，Zn={0,1, … , n-1}, ⊕是模n 加. 令 f：Z→Zn，f(x) = (x)mod n 则f 是V1到V2 的同态. ?x, y∈Z有 f(x+y) = (x+y)mod n = (x)mod n ⊕ (y)mod n = f(x) ⊕ f(y) 例V1=，V2= f ：R → R＋, f(x)=ex 例题 例1 V=, 判断下面的哪些函数是V 的自同态？ (1) f(x)=|x| (2) f(x)=2x (3) f(x)=x2 (4) f(x)=1/x (5) f(x)= -x (6) f(x)=x+1 解(2) , (5), (6) 不是自同态. (1) 是同态，f(x?y) = |x?y| = |x| ?|y| = f(x) ?f(y) (3) 是同态，f(x?y) = (x?y)2 = x2 ?y2 = f(x) ?f(y) (4) 是同态，f(x?y) = 1/(x?y) =1/x ?1/y = f(x) ?f(y)

近世代数学习系列十 中英对照

近世代数中英对照学习 一、字母表 atom：原子 automorphism：自同构 binary operation：二元运算 Boolean algebra：布尔代数 bounded lattice：有界格 center of a group：群的中心 closure：封闭 commutative(Abelian) group：可交换群，阿贝尔群commutative(Abelian) semigroup：可交换半群comparable：可比的 complement：补 concatenation：拼接 congruence relation：同余关系 cycle：周期 cyclic group：循环群 cyclic semigroup：循环半群 determinant：行列式 disjoint：不相交 distributive lattice：分配格 entry：元素 epimorphism：满同态

factor group：商群 free semigroup：自由半群 greatest element：最大元 greatest lower bound：最大下界，下确界group：群 homomorphism：同态 idempotent element：等幂元identity：单位元，么元 identity：单位元，么元 inverse：逆元 isomorphism：同构 join：并 kernel：同态核 lattice：格 least element：最小元 least upper bound：最小上界，上确界left coset：左陪集 lower bound：下界 lower semilattice：下半格 main diagonal：主对角线 maximal element：极大元 meet：交

近世代数期末考试题库

近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的（ ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。 A 、2 B 、5 C 、7 D 、10 3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样) - 4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。 5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B ---------。 2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。 3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。 4、偶数环是---------的子环。 5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。 ~ 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。 8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换σ和τ分别为：? ? ????=6417352812345678σ，??? ???=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。 ， 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

近世代数期末考试试卷及答案

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的（ ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则 3σ=（ ） 】 A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={ 那么A ∩B=-----。 < 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得

近世代数基础测验卷

近世代数测验题 一、填空题（42分） 1、设集合M 与M 分别有代数运算 与 ，且M M ~，则当 时， 也满足结合律；当 时， 也满足交换律。 2、对群中任意元素1)(,,-ab b a 有= ； 3、设群G 中元素a 的阶是n ，n|m 则m a = ； 4、设a 是任意一个循环群，若∞=||a ，则a 与 同构；若n a =||， 则a 与 同构； 5、设G=a 为6阶循环群，则G 的生成元有 ；子群有 ； 6、n 次对称群n S 的阶是 ；置换)24)(1378 (=τ的阶是 ； 7、设??? ? ??=???? ??=2314432114324321βα，，则=αβ ； 8、设)25)(136()235)(14(==τσ，，则=-1στσ ； 9、设H 是有限群G 的一个子群，则|G|= ； 10、任意一个群都同一个 同构。 二、证明题（24） 1、 设G 为n 阶有限群，证明：G 中每个元素都满足方程e x n =。 2、 叙述群G 的一个非空子集H 作成子群的充要条件，并证明群G 的任意两个子群H 与K 的交K H 仍然是G 的一个子群。 3、 证明:如果群G 中每个元素都满足方程e x =2，则G 必为交换群。

二、解答题（34） 1、 叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z 对运算4++=b a b a 作成群。 2、 写出三次对称群3S 的所有子群并写出3S 关于子群H=｛（1），（23）｝的所有左陪集和所 有右陪集。 参考答案： 一、填空题 1、满足结合律； 满足交换律； 2、11--a b ； 3、e ； 4、整数加群；n 次单位根群； 5、5,a a ；{}{}{}{}5432423,,,,,,,,,,,a a a a a e a a e a e e ； 6、n!;4 7、??? ? ??23144321 8、(456)(32) 9、|H|:(G:H) 10、（双射）变换群； 二、证明题 1、已知||n G =，|a|=k,则 k|n 令n=kq,则e a a a q k kq n ===)( 即G 中每个元素都满足方程e x n = 2、充要条件：H a H a H ab H b a ∈?∈∈?∈-1;,,； 证明：已知H 、K 为G 的子群，令Q 为H 与K 的交 设H b a ∈,,则K b a H b a ∈∈,,,

张禾瑞 近世代数基础(复习要点·定理)

定理 同态满射保持运算律（包括结合律、交换律） P21 左右逆元的统一性 P33-34 左右逆元的唯一性 P36 （由此可称为幺元而省掉“左右”） 群的两个定义的等价性 P33 群满足消去律（由逆元的存在性） P38 仅限有限集合的群判定：封闭+结合律+消去律 P39 群的几个分类标准： 1、 有限 / 无限 ——元素个数 2、 交换 / 非交换 ——运算是否满足交换律 3、 循环 / 非循环 ——是否有一元可以遍历其他元 P35 n a ： 次n n a aa a ≡ n 是正整数 （由结合律知其有意义） a 的阶： 对群G 中的元a ，若存在最小正整数m ，使得e a =m ， 则m 称为 a 的阶；否则我们称a 是无限阶的 P37 群中幂形式的元的运算法则： 若规定：e a =0， n n a a )(1--= 则对任意整数m,n 有：m n m n a a a +=， nm m n a a =)( （由结合律易得） 两种循环群： 整数加群 与 剩余类加群 同构定理： 任何一个群 有一个变换群与之同构 任何一个有限群 有一个置换群与之同构 任何一个无限循环群 与整数加群同构 任何一个有限循环群 与剩余类加群同构 子群的左陪集和右陪集的个数，或都为无限，或相等 P68

子群陪集（左或右算一边）的个数叫做子群的指数 群的阶： 群中元素的个数 对有限群G 而言： G 的子群的阶，与子群陪集的个数（指数），其乘积即为群G 的阶 （即都整除群G 的阶） G 中任意元的阶，都整除群G 的阶（因为任意元可生成循环子群） 子群充要条件： H ab H b a ∈?∈?-1, P63 定理2 子群正规充要条件： N ana N n G a ∈?∈∈?-1, P72 定理2 （首先N 须得是一个子群，然后再有…）

近世代数期末考试试卷及答案(正)

近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（C ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子的--交换环---称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于--25----。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-模n 乘余类加群------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=--{2}---。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为----一一映射-------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的--不都等于零的元---n a a a ,,,10 使 得 010=+++n n a a a αα 。

近世代数模拟试题1及答案

近世代数模拟试题 单项选择题（每题5分，共25分） 1、在整数加群（Z+）中，下列那个是单位元（）. A. 0 B. 1 C. －1 D. 1/n , n 是整数 2、下列说法不正确的是（）. A . G只包含一个元g,乘法是gg= g。G对这个乘法来说作成一个群 B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群 C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群 D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群 3.如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是（）. A . 反身性B. 对称性C. 传递性D. 封闭性 4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（). A. Z 没有生成元. B. 1 是其生成元. C. －1 是其生成元. D. Z 是无限循环群. 5. 下列叙述正确的是（）。 A. 群G是指一个集合. B. 环R 是指一个集合. C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律, 并且单位元, 逆元存在. D. 环R 是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律, 并且单位元,

逆元存在. 二. 计算题（每题10 分，共30 分） 1.设G是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成 3 的群，试求中G中下列各个元素c ,cd ， 1 的阶. 2. 试求出三次对称群 S3 (1),(12),(13),(23),(123),(132) 的所有子群.

3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗若是, 请给予证明. 证明题（第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45 分）. 1. 证明: 在群中只有单位元满足方程

近世代数期末考试题库

世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（ c ） A、满射而非单射 B、单射而非满射 C、一一映射 D、既非单射也非满射 2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（ d ）个元素。 A、2 B、5 C、7 D、10 3、在群G中方程ax=b，ya=b， a,b∈G都有解，这个解是（b ）乘法来说 A、不是唯一 B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的(两方程解一样) 4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c ） A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d ） A、倍数 B、次数 C、约数 D、指数 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合；，则有。 2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。 3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。 4、偶数环是整数环的子环。 5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。 6、每一个有限群都有与一个置换群同构。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a的逆元是a-1。 8、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-域-----。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换和分别为：，，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。奇1、解：把和写成不相杂轮换的乘积： 可知为奇置换，为偶置换。和可以写成如下对换的乘积： 2解：设A是任意方阵，令，，则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且。若令有，这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵，则，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：，，所以，表示法唯一。 3、设集合，定义中运算“”为ab=(a+b)(modm),则（，）是不是群，为什么？ 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、设是群。证明：如果对任意的，有，则是交换群。 2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。 1、对于G中任意元x，y，由于，所以（对每个x，从可得）。 2、证明在F里 有意义，作F的子集 显然是R的一个商域证毕。 近世代数模拟试题二 一、单项选择题 二、1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（c ）是子群。 A、B、C、D、 2、下面的代数系统（G，*）中，（d ）不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ b ） A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、a*b=a+2b D、a*b=|a-b| 4、设、、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），=（1324），则=（b ）

第十四讲同态与同构

第十四讲同态与同构 §14.1. 同态 §14.2. 同态基本定理 §14.1. 同态 在讲授半群和monoid时，我们已定义过它们的同态与同构，现定义群同态与群同构。 1.1.定义：设(G,*)与(H,?)为群，f: G→H为映射 (1)f为从群G到群H的同态，指(?a,b∈G)(f(a*b)=f(a)?f(b))， 记为G∽f H (2)f为从G到H的满同态指f为同态且f为onto (3)f为从G到H的同构指f为同态且f为1-1&onto，记为G ≌f H (4)f为从(G,*)到(G,*)的自同态指f(ab)=f(a)f(b) (5)f为从(G,*)到(G,*)的自同构(automorphism)指f为自同态且 1-1&onto 1.2.例： (1)(Z,+),(Z2,+2)为群， 令f(2n)=0,f(2n+1)=1,则f为从(Z,+)到(Z2,+2)的群满同态，但f非同构。 令g(n)=0，则g也为同态但不是满的。

(2)(R,+)为实数加群，(R*,*)为非零实数乘群，令f: R→R*为 f(x)=2x ∵2x+y=2x*2y,∴f为同态，但f不是满的。 (3)令R+为全体正实数，(R+,*)为群，令f: R→R+为f(x)=2x， 则f为从(R,+)到(R+,*)的同构。 1.3.命题：设(G,*),(H,?)为群， (1)令f: G→H，对?x∈G,f(x)=e H,则f为同态。 (2)令a∈G,f a: G→G为f a(x)=axa-1,则f a为自同构。 证明：∵f a(xy)=axya-1=axa-1aya-1=f a(x)f a(y) ∴f a为同态 又∵f a为1-1&onto ∴f a为同构. # 1.4.命题：(Z6,+6)恰有6个自同态，恰有2个自同构。 证明：(1)令f i: Z6→Z6,f I(x)=ix(mod 6)(=ix-[ix/6]*6),i=0,1, (5) ∵f i(x+6y)=i(x+6y)(mod 6)=ix(mod 6)+6iy(mod 6)=f i(x)+6f i(y) ∴f i为同态. ∵f i(1)=i ∴i≠j→f i≠f j,故(Z6,+6)至少有6个自同态。 (2)设f: Z6→Z6为自同态，则若i∈{0,…,5}， 则f(i)=f(1+61+6…+61)=f(1)+6f(1)+6…+6f(1)=if(1)(mod 6),

近世代数的基础知识

近世代数的基础知识 初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。近世代数（）又称为抽象代数（），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。 3．1 集合、映射、二元运算和整数 3．1．1 集合 集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。“元素是集合A的元”记作“”，反之，“”表示“不是集合的元”。 设有两个集合A和B，若对A中的任意一个元素（记作）均有，则称A是B的子集，记作。若且，即A和B有完全相同的元素，则称它们相等，记作。若，但，则称A 是B的真子集，或称B真包含A，记作。 不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。 集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。例如： ； ，其中表示元素具有的性质。

本文中常用的集合及记号有： 整数集合； 非零整数集合； 正整数（自然数）集合； 有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。 一个集合A的元素个数用表示。当A中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。用表示A是无限集，表示A是有限集。 3．1．2 映射 映射是函数概念的推广，它描述了两个集合的元素之间的关系。 定义1 设A，B为两个非空集合，若存在一个A到B的对应关系f，使得对A中的每一个元素x，都有B中唯一确定的一个元素y 与之对应，则称f是A到B的一个映射，记作(x)。 y称为x的像，x称为y的原像，A称为f的定义域，B称为f 的定值域。 定义2 设f是A到B的一个映射 (1)若和均有，则称f是一个单射。 (2)若均有使，则称f是满射。 (3)若f既是单射又是满射，则称f是双射。 3．1．3 二元运算 3．1．3．1 集合的笛卡儿积 由两个集合可以用如下方法构造一个新的集合。

四川大学硕士研究生入学考试主要参考书目

四川大学硕士研究生入学考试主要参考书目 221英语: 《全新版大学英语综合教程》(第1-4册),上海外语教育出版社，2002年 222俄语: 《大学俄语(东方)》(第1-3册)，北京外国语大学、普希金俄语学院合编，1998年。 223日语: 《标准日本语》(初级)，人民教育出版社，1988年 224德语: 《德语速成》(第二版,上、下册)，外语教学与研究出版社,1996年； 225法语: 《法语》(第1-2册)，马晓宏，外语教学与研究出版社，1992年； 401经济学原理: 1.《政治经济学》(上册)朱方明主编，四川大学出版社； 2.《当代西方经济学》李扬主编，四川大学出版社； 3.《国际经济学》李天德主编，四川大学出版社。 402经济学基础及应用: 《财政学》冯宗容主编，四川大学出版社2002年； 《西方经济学》李扬主编，四川大学出版社； 《货币银行学》张红伟主编，四川大学出版社。 403经济学原理: 《政治经济学》朱方明主编，四川大学出版社； 《当代西方经济学》李扬主编，四川大学出版社； 《中国城市地价论》杨继瑞主编，四川大学出版社； 《城市地产经济学》冯宗容主编，四川大学出版社。 405法学综合B: 包括刑法、民商法、诉讼法(刑诉民诉)

411人口理论基础:《人口社会学》胡伟略著，中国社会科学出版社2002年版414中国文学(含中国古代、现当代文学): 《中国文学》(四卷本)刘黎明等四川人民出版社； 《中国文学史》(三卷本)章培恒等复旦大学出版社； 《中国现代文学三十年》钱理群人民出版社； 《中国当代文学史教程》陈思和复旦大学出版社 415现代汉语及古代汉语: 《现代汉语》(修订本)胡裕树上海教育出版社； 《现代汉语》黄伯荣等高等教育出版社； 《新编现代汉语》张斌复旦大学出版社； 《古代汉语》(修订重排本)王力中华书局； 《实用古汉语知识宝典》(供学习教材参考)杨剑桥复旦大学出版社； 复试科目：语言学概论参考书： 《语言学纲要》叶蜚声徐通锵北京大学出版社，1997年第三版； 《语言学概论》马学良华中工学院出版社，1985； 《普通语言学教程》汪大昌北京大学出版社，2004 416新闻传播业务: 《新闻采访论》邱沛篁四川大学出版社； 《现代新闻编辑学》蒋小丽高等教育出版社； 《新闻摄影学》吴建四川大学出版社； 《广播电视学导论》欧阳宏生四川大学出版社； 《应用广告学》吴建四川大学出版社；

近世代数期末考试试卷与答案

一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共15 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（）是子群 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（） 3 =（1324 ），则3 =（） A 、 2 1 B、 1 2 C、2 2 D 、 2 1 5 、 任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（） A 、 不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、是交换群 二、填空题（本大题共10 小题，每空3分，共30 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1 、凯莱定理说：任一个子群都同一个 ------ 同构 2、一个有单位元的无零因子称为整环。 4 3、已知群G中的元素a 的阶等于50，则 a 的阶等于 A、a B 、 a,e C、3 e,a 3 D 、 e,a,a 2、下面的代数系统（G，*）中，（ A、G 为整数集合，*为加法 C、G 为有理数集合，* 为加法）不是群 B 、G 为偶数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法 A、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1 、 2 、3是三个置换，其中1=（12）（23）（13），2=（24）（14），

4、 a 的阶若是一个有限整数n ,那么G 与—— 同构。 5、 A={1.2.3} B={2.5.6} 那么 A A B=-----。 6 、若映射 既是单射又是满射,则称 为 --------------- 7、 叫做域 F 的一个代数元, 如果存在 F 的 --------------- a0,a1, ,an 使得 a 0 a 1 8、a 是代数系统（A,0）的元素，对任何x A 均成立x a x ，则称a 为 ---------- 对于乘法封闭；结合律成立、 ------ 。 10 、一个环 R 对于加法来作成一个循环群，则 P 是 ------- 三、解答题（本大题共 3小题，每小题 10 分，共 30分） 1、 设集合A={1,2,3}G 是A 上的置换群，H 是G 的子群，H={l,（1 2）}，写出H 的所有陪集。 2、 设E 是所有偶数做成的集合，“ ？ ”是数的乘法，则“ ？ ”是E 中的运算，（E ，?）是 一个代数系统，问（ E ， ? ）是不是群，为什么？ 3 、 a=493, b=391, 求 （a,b ）, [a,b] 和 p, q 。 四、证明题（本大题共 2小题，第 1 题10 分，第 2小题15 分，共 25 分） 1、 若＜G ，*＞是群，则对于任意的a 、b € G ，必有惟一的x € G 使得a*x = b 。 2、 设 m 是一个正整数，利用 m 定义整数集 Z 上的二元关系： a ？ b 当且仅当a n n 9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合 G 作成一个群，如果满足 G

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近世代数期末考试试卷及答案 1、设 G 有 6 个元素的循环群， a 是生成元，则G的子集（）是子群. A、 a B、a, e C、e, a3 D、e, a,a 3 2、下面的代数系统（ G，* ）中，（）不是群 A、G为整数集合， * 为加法 B 、G为偶数集合， * 为加法 C、G为有理数集合， * 为加法 D 、G为有理数集合， * 为乘法 3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（） A、a*b=a-b B、 a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设 1 、 2 、3 是三个置换，其中 1 =（12）（23）（13）， 2 =（24）（14），3 = （ 1324），则3 =（） A、 2 B 、1 2C 、 2 D 、 2 1 1 2 5、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（）. A、不可能是群 B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群 二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案. 错填、不填均无分 . 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个 ---------- 同构 . 2、一个有单位元的无零因子 ----- 称为整环 . 3、已知群G 中的元素 a 的阶等于 50，则 a 4 的阶等于 ------. 4、a 的阶若是一个有限整数n，那么 G与------- 同构 . 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么 A∩B=-----. 6、若映射既是单射又是满射，则称为----------------- . 7、叫做域F 的一个代数元，如果存在 F 的a 0 , a1 , , a n使得 a a 1 a n n 0 . 8、a 是代数系统 ( A,0) 的元素，对任何x A 均成立x a x ，则称 a 为 --------- . 9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G对于乘法封