有限元法
【第1章思考题】
1、何为有限元法？其基本思想是什么？
1)“有限单元法”简称“有限元法”，是借助于电子计算机解决工程问题的近似方法。
2)“化整为零，集零为整”。也就是将一个原来连续的物体假想地分割成由有限个单元所组成的集合体，简称“离散化”。然后对每个单元进行力学特征分析，即建立单元节点力和节点位移之间的关系。最后，把所有单元的这种关系式集合起来，形成整个结构的力学特性关系，即得到一组以节点位移为未知量的代数方程组。处理后即可求解，求得结点的位移，进一步求出应变和应力
2、为什么说有限元法是近似的方法，体现在哪里？p3
用离散单元的组合体来逼近原始结构，体现了几何上的近似；而用近似函数逼近未知变量在单元内的真实解，体现了数学上的近似。
3、单元、节点的概念？
网格划分中的每一个小部分称为单元。网格间相互联结点称为节点。
4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤？p4
结构离散化、单元分析、整体分析
5、有限元方法分几种？本课程讲授的是哪一种？
从选择基本未知量的角度来看，可分为3类：
1、位移法：以节点位移为基本未知量的求解方法称为位移法。本课程讲授的内容
2、力法：以节点力为基本未知量的求解方法称为力法;
3、混合法：一部分以节点位移，另一部分以节点力作为基本未知量的求解方法称为混合法。位移法
6、弹性力学的基本变量是什么？p8何为几何方程p11、物理方程p12及虚功方程？p14弹性矩阵的特点？
弹性力学变量:外力、应力、应变和位移。描述弹性体应变分量与位移分量之间的方程称为几何方程；物理方程描述应力分量与应变分量之间的关系；弹性体上外力在虚位移发生过程中所做的虚功与储存在弹性体内的需应变能相等。弹性矩阵由材料的弹性模量和泊松比确定，与坐标位置无关。
7、何为平面应力问题和平面应变问题p17
平面应力问题：在结构上满足a几何条件：研究对象是等厚度薄板。b载荷条件：作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面无外力作用。
平面应变问题：满足a几何条件：长柱体，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸，且横截面沿长度方向不变。b载荷条件：作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力两条件的弹性力学问题
【第2章思考题】
1、何为结构的离散化？离散化的目的？何为有限元模型？
结构的离散化:把连续的结构看成由有限个单元组成的集合体②目的：建立有限元计算模型
③通常把由节点,单元及相应的节点载荷和节点约束构成的模型称为有限元模型
2、结构离散化时，划分单元数目的多少以及疏密分布，将直接影响到什么？确定单元数量的原则？通常如何设置节点？
①单元的数量要根据计算精度的要求和计算机的容量来确定，因此在保证精度的前提，力求采用较少的单元。②节点的布置：a集中载荷的作用点b分布载荷强度的突变点 c分布载荷与自由边界的分界点d支承点e厚度不同或材料不同的区域等都应取为节点。
3、节点总码的编号原则？何为半带宽？半带宽与节点总码的编号有何关系？p21
①节点编号时，应注意尽量使同一单元的相邻节点的号码差值尽可能地小些，以便缩小刚度矩阵的带宽，节约计算机存储。节点应顺短边编号为好②包括对角线在内的半个带状区域中每行具有的元素的个数，③半带宽B=（相关节点编号最大差值+1）*2
4、何为单元分析？单元分析的目的？p4
⑴单元分析的主要任务是推导单元节点力与单元节点位移之间的关系，建立单元平衡方程，形成单元刚度矩阵（2）实质上就是求出单元刚度矩阵。⑶化整为零，化繁为简的分析方法。
5、何为位移函数？位移函数的收敛准则？
（1）选择一个简单函数，近似地表示单元位移分量随坐标变化的分布规律，这种函数称为位移函数。（2）位移函数必须能反映单元的刚体位移的常数；位移函数必须能反映单元常量应变的一次项；位移函数在单元内要连续，在单元之间的边界要协调。
6、试述选择单元位移函数的一般原则？以6节点三角形单元、8节点四边形单元、10节点四面体单元为例，建立其位移函数多项式？
a要考虑到解的收敛性，即要考虑到完备性和协调性的要求。b在选取位移函数多项式时，还应是所选取的多项式具有坐标的对称性，模式应该与局部坐标系的方位无关，这一性质称为几何各向同性。c多项式中的项数必须等于或稍大于单元边界上的外节点的自由度数。通常是取项数与单元的外节点的自由度数相等。
7、形函数的特点？形函数它是坐标x，y的一次函数，与节点坐标有关，与节点位移无关。
8、单元刚度矩阵的性质？
①每一个元素物理意义：是单位节点位移分量所引起的节点力分量。②是对称矩阵。
③每一行（或列）元素之和为零。是奇异矩阵，④的元素决定于单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元（或坐标轴）的平行移动或作（n为整数）角度的转动而改变。
9、结构整体刚度矩阵的集成方法？
1）先对每个单元求出其单元刚度矩阵，以分块形式按节点编号顺序排列。2）将单元刚度矩阵扩大阶数为2n×2n，并将单元刚度矩阵中的分块矩阵按局部码与总码的对应关系，搬到扩大后的矩阵中，形成单元贡献矩阵 3）将所有单元贡献矩阵同一位置上的分块矩阵简单叠加成总体刚度矩阵中的一个子矩阵，各行各列都按以上步骤即形成总体刚度矩阵。10、整体刚度矩阵的性质？何为稀疏性？为什么整体刚度矩阵具有稀疏性？
1）整体刚度矩阵是对称矩阵。2）整体刚度矩阵的主对角线上的元素总是正的。3）整体刚度矩阵是一个稀疏阵。4）整体刚度矩阵是一个奇异阵
稀疏性：整体刚度矩阵中非零元素少，零元素多。大型结构离散后节点很多，而某一节点仅与周围少数单元节点相关，因此整体刚度矩阵中存在大量零元素，节点越多整体刚度矩阵越稀疏。
11、针对有限元网格模型，形成整个结构的节点载荷列阵和节点位移列阵？
12、何为绕节点平均法或两单元平均法？
1）把环绕该节点的各单元应力加以平均，视为该节点的应力。2）把相邻两单元应力的平均值作为公共边中点的应力。
13、矩形单元与三角形单元比较有哪些特点？
①矩形单元为双线性位移模式，所以单元的应力、应变分量都不是常量。②在弹性体中,若用相同数目的节点时，矩形单元比三角形单元能更好地反映应力急剧变化的情况，所以计算精度高。但矩形单元也存在明显的缺点：从单元的几何形状看，矩形单元比三角形单元的适应性要差
1、四面体单元是否是常应变和常应力单元？单元刚度矩阵有多少个元素？1）是2）144
2、何为轴对称问题？为什么该问题可以转化为二维问题？
1）结构的几何形状、承受的载荷以及约束条件都对称于某一固定轴。此时在载荷作用下，结构所产生的位移、应变和应力也对称于该轴，这类问题称为轴对称问题。2）由对称性可知，所有的位移、应力、应变都将与无关，只是r和z的函数。任一点的位移只有r、z两个方向的分量即w、u、。因此该问题转化为二维问题。
1、等参数单元的定义？p69形状不规则的实际单元，称为等参数单元
2、采用等参数单元有何优点？
①单元能很好地适应曲线边界和曲面边界，准确地模拟结构形状；②这种单元具有较高次的位移模式，能更好地反映结构的复杂应力分布情况，即使单元网格划分比较稀疏，也可以得到比较好的计算精度
1、ANSYS软件的功能？
Ansys软件是有限元分析软件。
2、ANSYS交互界面环境包括几个窗口？
两个窗口：一个是交互界面主窗口，另一个是信息输出窗口
3、ANSYS程序退出前，有提示退出前的选取操作，每一个选项的意义。
Save Geom+Loads：存储几何与载荷数据。Save Geo+Ld+Solu：存储几何、载荷与求解数据。Save Everything：存储所有数据。Quit-No Save：不存储任何数据。
4、ANSYS主菜单中有几种主要处理器？各自的功能是什么？
（1）前处理器（Preprocessor）：建立有限元模型。
（2）求解器（Solution）：施加载荷并获得求解。
（3）通用后处理器（General Postprocessor)：获得某时刻整个模型的结果。
（4）时间历程后处理器（Time Hist Postpro）：处理模型上某位置点的结果随时间变化情况。
5、在工具菜单中包含哪些子菜单项？
包含文件管理、选择、列表、绘图、图形控制、工作平面、参数控制、宏、菜单控制及帮助系统等子菜单项。
6、在大多数ANSYS对话框中，一般都有两个执行按钮，即OK与Apply，它们的用法？
单击OK按钮，执行操作并关闭该对话框。单击Apply按钮，执行操作并重新弹出该对话框，以便重复执行当前操作。
7、图形变换对话框的作用？在ANSYS中默认的视图方位？
（1）以便快速观察各种方位、比例和大小的图形信息，对各实体对象进行选择、拾取、查询等操作。图形变换涉及图形窗口选择，各方向视图，图形放大、缩小、平移、旋转、单次旋转角度等。
（2）默认的视图方位是主视图方向，即从Z轴正向观察模型。
8、ANSYS常用的坐标系有几种？启动ANSYS，最初的默认激活坐标系是何种坐标系？总体坐标系和局部坐标系分几种？
（1）7种总体坐标系，局部坐标系，工作平面，显示坐标系，节点坐标系，单元坐标系，结果坐标系（2）最初的默认激活坐标系总是总体直角坐标系（0号CS）（3）总体坐标系分四种总体直角坐标系（0）、总体柱坐标系（1）、总体球坐标系（2）、总体柱坐标系（5）；局部坐标系也分四种有直角坐标、柱坐标、球坐标和环坐标系
9、何为ANSYS的总体坐标系？局部坐标系？局部坐标系如何编号？
总体坐标系：用于确定几何结构的空间位置，是绝对参考系
局部坐标系是在总体坐标系中创建的固定坐标系，可以指定为某单元或节点的坐标系，很多情况下用户必须创建自己的坐标系。
局部坐标系的编号必须是大于或等于11的整数
10、何为ANSYS的工作平面？如何显示工作平面？
（1）在总体坐标系中可以任意移动和旋转的流动坐标系（2）菜单路径：Utility Menu>Work Plane>Display Working Plane 此时该菜单为显示状态，在总体坐标系上重合显示工作平面坐标架WX-O-WY
11、标准的ANSYS有限元分析过程一般包括几个步骤？
1．ANSYS分析的开始准备工作2．建立模型3．施加载荷并求解4．查看分析结果
12、默认的文件名是什么？
默认的文件名是File
13、何为ANSYS的工作路径？
工作路径是ansys进行有限元分析时用于储存各种数据的系统路径。
14. 试述采用ANSYS软件，对带孔薄板进行静力分析的过程及具体步骤？
1，清空数据库并开始新分析；2，指定新的工作文件名；3，指定新的工作路径；4，指定新标题；5，选择定义单元类型；6，定义实常数；7，定义材料属性；8，创建几何模型；9，划分单元获得网格模型；10，模型检查；11,选择分析类型并设置分析选项；12，设置载荷步选项；13，施加载荷；14，执行求解；15，查看分析结果；16，分析处理并评估结果1、ANSYS几何实体建模的思路（方法）有几种？
两种①自底向上的几何实体建模②自顶向下的几何实体建模
2、何为布尔运算？拖拉？
①布尔运算是对生成的实体模型进行求交，相加，相减等逻辑运算处理。②拖拉是利用低维数的几何对象按照一定方式(法向延伸、增量延伸、路径拖拉与绕轴旋转)获得高维数的几何对象。
1、ANSYS创建有限元模型方法？
有两种创建有限元模型方法①直接法②几何模型网格划分法
2、何为单元属性？
单元属性是指在划分网格以前必须指定所分析对象的特征
3、ANSYS中常用的结构单元类型有哪些？
杆，梁，杆，2-D实体，3-D实体，壳
1.求解器的功能？
用于选择分析类型、设置求解选项、施加载荷并设置载荷步选项，最后执行求解，得到求解结果文件。
2.在ANSYS中，施加载荷途径有几种？
①在实体几何模型上施加载荷：②在有限元模型上施加载荷
3.在ANSYS中载荷的定义？结构载荷的分类？
①载荷：包括边界条件及其作用力②载荷分为六类：位移约束，集中力载荷，表面载荷，体载荷，惯性载荷和耦合场载荷
1.何为后处理？何为后处理器？
后处理器是用来分析处理求解结果信息和以各种方式提取数据信息的工具，程序提供两种后处理器，通用后处理器和时间历程后处理器。
2.何谓结果文件？结构求解的结果文件后缀是什么？
①在求解结束后，工作目录中生成一个结果记录文件，称为结果文件。②.rst
3.通用后处理器提供的图形显示方式有哪些？
通用后处理器提供了以下几种图形显示：变形图，等直线图，矢量图，粒子轨迹图以及破裂和压碎图。
1.试述采用ANSYS软件，对书架上常用的钢支架进行静力分析的过程及具体步骤？
1，设置菜单参数选项；2，定义单元类型；3，定义材料属性参数；4，创建几何模型；
5，网格划分；6，施加约束条件；7,进行求解；8，进行后处理
2.试述采用ANSYS软件对飞机机翼进行模态分析的过程及具体步骤？
1，定义单元类型；2，定义实常数；3,定义材料属性；4，定义节点；5，定义单元；
6，定义分析类型和分析选项；7，定义主自由度；8，设置载荷步选项；9，对第一载荷步施加载荷；10，指定输出；11，对最初载荷步求解；12，对第二载荷步施加载荷；13，对第二载荷步求解；14设置再下一载荷步并求解；15，运行Expansion pass并求解；16，查看计算结果
有限元法的基本思想及计算 步骤
有限元法的基本思想及计算步骤 有限元法是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体，简称离散化。这些单元仅在顶角处相互联接，称这些联接点为结点。离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但是这种联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发生重叠。显然，单元之间只能通过结点来传递内力。通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载称为结点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，这种位移称为结点位移。在有限元中，常以结点位移作为基本未知量。并对每个单元根据分块近似的思想，假设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利用力学理论中的变分原理或其他方法，建立结点力与位移之间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移分量。然后利用插值函数确定单元集合体上的场函数。显然，如果单元满足问题的收敛性要求，那么随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元的数目，解的近似程度将不断改进，近似解最终将收敛于精确解。 用有限元法求解问题的计算步骤比较繁多，其中最主要的计算步骤为： 1）连续体离散化。首先，应根据连续体的形状选择最能完满地描述连续体形状的单元。常见的单元有：杆单元，梁单元，三角形单元，矩形单元，四边形单元，曲边四边形单元，四面体单元，六面体单元以及曲面六面体单元等等。其次，进行单元划分，单元划分完毕后，要将全部单元和结点按一定顺序编号，每个单元所受的荷载均按静力等效原理移植到结点上，并在位移受约束的结点上根据实际情况设置约束条件。 2）单元分析。所谓单元分析，就是建立各个单元的结点位移和结点力之间的关系式。现以三角形单元为例说明单元分析的过程。如图1所示，三角形有三个结点i，j，m。在平面问题中每个结点有两个位移分量u，v和两个结点力分量F x，F y。三个结点共六个结点位移分量可用列
有限元理论方法
关于有限元分析法及其应用举例 摘要：本文主要介绍有限元分析法，作为现代设计理论与方法的一种，已经在 众多领域普遍使用。介绍了它的起源和国内外发展现状。阐述了有限元法的基 本思想和设计方法。并从实际出发，例举了有限元法的一个简单应用———啤 酒瓶的应力分析和优化,表明了利用有限元分析法的众多优点。随着计算机的 发展，基于有限元分析方法的软件开发越来越多。本文也在其软件开发方面进 行阐述，并简单介绍了一下主流软件的发展情况和使用范围。并就这一领域的 未来发展趋势进行阐述。 关键词：有限元分析法软件啤酒瓶 Abstract：This thesis mainly introduces the finite element analysis, as a modern design theory and methods used widely in in most respects. And this paper introduces its origins and development in world. It also expounds the basic thinking and approach of FEM..Proceed from the actual situation,this text holds the a simple application of finite-element method———the analysis and optimized of an beer bottle and indicate the the numerous benefits of finite element analysis .As computers mature and based on the finite element analysis of the software development is growing. This article introduces its application in the software development aspects as well, and briefly states the development and scope of the mainstream software. And it’s also prospect future development tendency in this area . Key: Finite Element Analysis Software Beer bottle 0 绪论 有限元法(Finite Element Method，FEM)，是计算力学中的一种重要的方法，它是20世纪50年代末60年代初兴起的应用数学、现代力学及计算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学。有限元法最初应用在工程科学技术中，用于模拟并且解决工程力学、热学、电磁学等物理问题。对于过去用解析方法无法求解的问题和边界条件及结构形状都不规则的复杂问题，有限元法则是一种有效的分析方法。有限元法的基本思想是先将研究对象的连续求解区域离散为一组有限个且按一定方式相互联结在一起的单元组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模拟成不同几何形状的求解小区域；
有限元法中的几个基本概念
诚信·公平·开放·共赢 Loyalty Fair Opening Win-win 有限元法中的几个基本概念 有限元法是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体，简称离散化。 这些单元仅在顶角处相互联接，称这些联接点为结点。 离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但是这种联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发生重叠。显然，单元之间只能通过结点来传递内力。 通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载称为结点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，这种位移称为结点位移。 在有限元中，常以结点位移作为基本未知量。并对每个单元根据分块近似的思想，假设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利用力学理论中的变分原理或其他方法，建立结点力与位移之间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移分量。然后利用插值函数确定单元集合体上的场函数。显然，如果单元满足问题的收敛性要求，那么随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元的数目，解的近似程度将不断改进，近似解最终将收敛于精确解。 附：FELAC 2.0软件简介 FELAC 2.0采用自定义的有限元语言作为脚本代码语言，它可以使用户以一种类似于数学公式书写和推导的方式，非常自然和简单的表达待解问题的微分方程表达式和算法表达式，并由生成器解释产生完整的并行有限元计算C程序。 FELAC 2.0的目标是通过输入微分方程表达式和算法之后，就可以得到所有有限元计算的程序代码，包含串行程序和并行程序。该系统采用一种语言(有限元语言)和四种技术(对象技术、组件技术、公式库技术生成器技术)开发而成。并且基于FELAC 1.0的用户界面，新版本扩充了工作目录中右键编译功能、命令终端输入功能，并且丰富了文本编辑功能，改善了用户的视觉体验，方便用户快速便捷的对脚本或程序进行编辑、编译与调试。其中并行版在前后处理上进行了相应的改进。
有限单元法与有限元分析
有限单元法与有限元分析 1.有限单元法 在数学中，有限元法（FEM，Finite Element Method）是一种为求解偏微分方程边值问题近似解的数值技术。求解时对整个问题区域进行分解，每个子区域都成为简单的部分，这种简单部分就称作有限元。它通过变分方法，使得误差函数达到最小值并产生稳定解。类比于连接多段微小直线逼近圆的思想，有限元法包含了一切可能的方法，这些方法将许多被称为有限元的小区域上的简单方程联系起来，并用其去估计更大区域上的复杂方程。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。 随着电子计算机的发展，有限单元法是迅速发展成一种现代计算方法。它是50年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。 1.1.有限元法分析本质 有限元法分析计算的本质是将物体离散化。即将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算精度而定（一般情况单元划分越细则描述变形情况越精确，即越接近实际变形，但计算量越大）。所以有限元中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同新材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。 1.2.特性分析 1）选择位移模式： 在有限单元法中，选择节点位移作为基本未知量时称为位移法；选择节点力作为基本未知量时称为力法；取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。 当采用位移法时，物体或结构物离散化之后，就可把单元总的一些物理量如
有限元分析理论基础
有限元分析概念 有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件 有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。 有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。 线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。 线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。 非线性问题与线弹性问题的区别： 1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解； 2）非线性问题不能采用叠加原理； 3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。 有限元求解非线性问题可分为以下三类：
1）材料非线性问题 材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。 2）几何非线性问题 几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。 当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题，橡胶部件形成过程为大应变问题。 3）非线性边界问题 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。
有限元法基本原理与应用
有限元法基本原理与应用 班级机械2081 姓名方志平 指导老师钟相强 摘要：有限元法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。 关键词：有限元法；变分原理；加权余量法；函数。 Abstract：Finite element method is based on the variational principle and the weighted residual method, the basic idea is to solve the computational domain is divided into a finite number of non-overlapping units, each unit, select some appropriate function for solving the interpolation node points as , the differential variables rewritten or its derivative by the variable value of the selected node interpolation functions consisting of linear expressions, by means of variational principle or weighted residual method, the discrete differential equations to solve. Different forms of weight functions and interpolation functions, it constitutes a different finite element method. Keywords：Finite element method; variational principle; weighted residual method; function。 引言 有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计
有限元分析理论基础
有限元分析概念 有限元法:把求解区域瞧作由许多小的在节点处相互连接的单元(子域)所构成,其模型给出基本方程的分片(子域)近似解,由于单元(子域)可以被分割成各种形状与大小不同的尺寸,所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性与复杂的边界条件 有限元模型:它就是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成,单元之间通过节点连接,并承受一定载荷。 有限元分析:就是利用数学近似的方法对真实物理系统(几何与载荷工况)进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素,即单元,就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。 线弹性有限元就是以理想弹性体为研究对象的,所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中,材料的应力与应变呈线性关系,满足广义胡克定律;应力与应变也就是线性关系,线弹性问题可归结为求解线性方程问题,所以只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数方程组求解方法,也有助于降低有限元分析的时间。 线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。 非线性问题与线弹性问题的区别: 1)非线性问题的方程就是非线性的,一般需要迭代求解; 2)非线性问题不能采用叠加原理; 3)非线性问题不总有一致解,有时甚至没有解。 有限元求解非线性问题可分为以下三类:
1)材料非线性问题 材料的应力与应变就是非线性的,但应力与应变却很微小,此时应变与位移呈线性关系,这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系,所以,一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据,有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟,尽管这些模型总有她们的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有:非线性弹性(包括分段线弹性)、弹塑性、粘塑性及蠕变等。 2)几何非线性问题 几何非线性问题就是由于位移之间存在非线性关系引起的。 当物体的位移较大时,应变与位移的关系就是非线性关系。研究这类问题一般都就是假定材料的应力与应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题,橡胶部件形成过程为大应变问题。 3)非线性边界问题 在加工、密封、撞击等问题中,接触与摩擦的作用不可忽视,接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到的一些接触问题,如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等,当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。 有限元理论基础
有限元法基础试题
有限元法基础试题（A ） 一、填空题（5×2分） 1.1单元刚度矩阵e T k B DBd Ω = Ω? 中，矩阵B 为__________，矩阵D 为___________。 1.2边界条件通常有两类。通常发生在位置完全固定不能转动的情况为_______边界，具体指定有限的非零值位移的情况，如支撑的下沉，称为_______边界。 1.3内部微元体上外力总虚功： ()(),,,,e x x xy y bx xy x y y by d W F u F v dxdy δστδτσδ??=+++++??+(),,,,x x y y xy y x u v u u dxdy σδσδτδδ??+++??的表达式中，第一项为____________________的虚功，第二项为____________________的虚功。 1.4弹簧单元的位移函数1N +2N =_________。 1.5 ij k 数学表达式：令j d =_____，k d =_____，k j ≠，则力i ij F k =。 二、判断题（5×2分） 2.1位移函数的假设合理与否将直接影响到有限元分析的计算精度、效率和可靠性。（ ） 2.2变形体虚功原理适用于一切结构（一维杆系、二维板、三位块体）、适用于任何力学行为的材料（线性和非线性），是变形体力学的普遍原理。 （ ） 2.3变形体虚功原理要求力系平衡，要求虚位移协调，是在“平衡、协调”前提下功的恒等关系。 （ ） 2.4常应变三角单元中变形矩阵是x 或y 的函数。 （ ） 2.5 对称单元中变形矩阵是x 或y 的函数。 （ ） 三、简答题（26分） 3.1列举有限元法的优点。（8分） 3.2写出有限单元法的分析过程。（8分） 3.3列出3种普通的有限元单元类型。（6分） 3.4简要阐述变形体虚位移原理。（4分） 四、计算题（54分） 4.1对于下图所示的弹簧组合，单元①的弹簧常数为10000N/m ，单元②的弹簧常数为20000N/m ，单元③的弹簧常数为10000N/m ，确定各节点位移、反力以及单元②的单元力。（10分） 4.2对于如图所示的杆组装，弹性模量E 为10GPa ，杆单元长L 均为2m ，横截面面积A 均为2×10-4m 2，弹簧常数为2000kN/m ，所受荷载如图。采用直接刚度法确定节点位移、作用力和单元②的应力。（10分）
有限元方法理论及其应用
1 课程论文：弹性力学有限元位移法原理（30分） 撰写一篇论文，对有限元位移法的原理作一般性概括和论述。要求论文论及但不限于下列内容：1）弹性力学有限元位移法的基本思想和数学、力学基础；2）有限元法求解的原理和过程，推导计算列式；对基本概念和矩阵符号进行解释和讨论；3）等参单元的概念、原理和应用。 1.1 对一维杆单元有限元形式的理解 我对此提出了几点疑问： 1)为什么边界条件u1=0，就要划去刚度矩阵[K]中对应的行列再解方程？ 2)为什么刚度矩阵[K]会奇异？ 3)为什么平衡方程本身是矛盾的，而加上边界条件u1=0之后就能解出一 个唯一的近似解？ 4)为什么刚度矩阵[K]是对称的？ 下面我谈谈自己的理解:节点平衡方程是在u1不定的前提下，假设单元内位移都是线性变化推导出来的，由此u1相当于一个不确定的定值约束，再加上中间两个节点的连续性要求，系统实际上只有三个独立的自由度（广义坐标）。 对于第一个问题，其实刚度矩阵[K]中的元素不是一成不变的，相反它是伴随边界条件动态变化的。当u1=0时由刚度矩阵的推导过程可以知道，刚度矩阵的第一行和第一列都会变为0，所以此时第一行和第一列对于求解方程是没有作用的。 对于第二个问题，由于系统自由度（广义坐标）只有三个，而我们的方程却列出
了四个，显然
这四个方程不可能线性无关，所以刚度矩阵奇异。 对于第三个问题，首先我们应该明确方程区别于等式，虽然左右两边都是用“=”连接，但是方程只在特殊条件下取得定解。由于平衡方程是在没有约束的条件下推导出来的，显然它不可能满足等式要求。宏观上看，系统在没有外部约束，而又施加有外力，显然系统会产生加速度而绝不会平衡。所以平衡方程本身是矛盾的。而加上边界条件之后，不但满足了平衡的前提，还改变了矩阵的结构和性质，所以有解。但是，由于我们提前假设了位移线性变化，相当于人为对单元施加了额外约束，让位移按照我们假设的规律变化，所以得到的解是过刚的近似解。但对于方程本身而言是精确解。 对于第四个问题，其力学的作用机理类似于作用力与反作用力，由于刚度矩阵不表征方向，所以其大小是相等的。 1.2 有限元法的思想 有限元法是求解连续介质力学问题的数值方法，更一般意义是一种分析结构问题和连续场数学物理问题的数值方法。 有限元法的基本思想是离散化和分片插值。 即把连续的几何机构离散成有限个单元，并在每一个单元中设定有限个节点，从而将连续体看作仅在节点处相连接的一组单元的集合体，同时选定场函数的节点值作为基本未知量并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律，再建立用于求解节点未知量的有限元方程组，从而将一个连续域中的无限自由度问题转化为离散域中的有限自由度问题。 求解得到节点值后就可以通过设定的插值函数确定单元上以至个集合体上的场函数。对每个单元，选取适当的插值函数，使得该函数在子域内部、在子域分界面上以及子域与外界面上都满足一定的条件。单元组合体在已知外载荷作用下处于平衡状态时，列出一系列以节点、位移为未知量的线性方程组，利用计算机解出节点位移后，再用弹性力学的有关公式，计算出各单元的应力、应变，当各单元小到一定程度，那么它就代表连续体各处的真实情况。
有限元法分析
有限元法的分析 从百度等搜索到的资料以及老师在课上对有限元法的相关介绍我们可以得知，有限元法是基于近代计算机的快速发展而发展起来的一种近似数值方法，用来解决力学、数学中带有特定边界条件的偏微分方程问题。而这些偏微分方程是工程实践中常见的固体力学和流体力学问题的基础。有限元法的核心思想是“数值近似”和“离散化”，所以它在历史上的发展也是围绕着这两个点进行的。 有限元法用于解决工程问题的微分方程的近似解，主要考虑怎么分割单元。比如，可以分割为长方形单元、三角形单元等形状的单元，不同形状的分割的出来的结果也是不尽相同的，边界条件也会影响有限元法的解。有限元法是将问题先分解，再进行合并，网格划分是分解，从单刚到总刚是合并，我们将这些复杂的处理量交给计算机处理，把一个困难的问题转化成一个个小的简单的问题交给计算机处理，最终得到问题的解，因此，有限元法可以说是将一个大问题转化为若干个简单问题的叠加的方法。
有限元法再物理原理上的理解可以概括为，“求解使系统能量泛函数极小值的系统状态”。这个角度是根据划分的网格和网格内部的特定点建立相应函数。在数学原理上，有限元法是求解满足特定微分方程的数值解。这个角度上可以看作是加权残值的一种形式，将甲醛积分时的权函数与拟合解函数的试函数取为相同的函数。 有限元法的基本思路可以归结为：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法加以组合，从而形成原有系统的一个数值近似系统，也就是形成相应的数值模型。 有限元法的计算步骤归纳为以下3个基本步骤：网格划分、单元分析、整体分析。有限元法的基本做法是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。因此首先要对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过节点相连接。由单元、节点、节点连线构成的集合称为网格。 通常把三维实体划分成四面体或六面体单元的实体网格，平面问题划分成三角形或四边形单元的面网格，如图
有限元法基础重点归纳(精)
1、有限元这种数值计算方法起源于20世纪50年代中期航空工程中飞机结构的矩阵分析。 2、有限单元法的基本思想:在力学模型上将一个原来连续的物体离散成为有限个具有一定 大小的单元,这些单元仅在有限个节点上相连接,并在节点上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力。 3、节点:网格间相互连接的点。 4、边界:网格与网格的交界线。 5、有限元的优点:①理论基础简明,物理概念清晰,且可在不同的水平上建立起对该法的 理解②具有灵活性和适用性,应用范围极为广泛③该法在具体推导运算中,广泛采用了矩阵方法。 6、有限单元法分类(从选择基本未知量的角度:位移法(以节点位移为基本未知量,通用 性广、力法(以节点力、混合法(一部分以节点位移,另一部分以节点力 7、有限元法分析计算的基本步骤:①结构的离散化②单元分析(选择位移模式,建立单元 刚度方程,计算等效节点力③整体分析④求解方程,得出节点位移⑤由节点位移计算单元的应变与应力。 8、单元划分:将某个机械结构划分为由各种单元组成的计算模型。 9、有限元法基本近似性------几何近似。
10、弹性力学的任务:分析弹性体在受外力作用并处于平衡状态下产生的应力、应变和位移状态及其相互关系等。 11、弹性力学假设所研究的物体是连续的、完全弹性的、均匀的、各向同性的、微小变形的和无初应力的 12、外力:体力(分布在物体体积内的力---重力、惯性力、电磁力面力(分布在物体表面上的力---流体压力、接触力、风力 13、应力:物体受外力作用,或由于温度有所改变,其内部发生的内力。σ={ σx σy σz τx τy τz } = [σx σy σz τx τy τz ]T 14、应变:物体受到外力作用时,其形状发生改变时的形变。---长度和角度。 ε={ εx εy εz γx γy γz } = [εx εy εz γx γy γz ]T 15、位移:弹性体在载荷作用下,不仅会发生形变,还将产生位移,即弹性体位置 的移动。 δ={u v w }=[u v w ]T 16:、变形协调条件:设想在变形前,把弹性体分为许多微小立方单元体。变形后,每个单元体都产生任意变形而变成一些六面体。可能发生这样的情况,这些六面体
有限元法的概述
有限元法的概述 有限元方法(Finite Element Method)是力学，数学物理学，计算方法，计算机技术等多种学科综合发展和结合的产物。在人类研究自然界的三大科学研究方法(理论分析，科学试验，科学计算)中，对于大多数新型领域，由于科学理论和科学实践的局限性，科学计算成为一种最重要的研究手段。在大多数工程研究领域，有限元方法是进行科学计算的重要方法之一;利用有限元方法几乎可以对任意复杂的工程结构进行分析，获取结构的各种机械性能信息，对工程结构进行评判，对工程事故进行分析。有限元法在设计过程中有极为关键的作用。 人们对各种力学问题进行分析求解，其方法归结起来可以分为解析法(Analytical Method)和数值法(Numeric Method).如果给定一个问题，通过一定的推导可以用具体的表达式来获得问题的解答，这样的求解方法就称为解析法。但是由于实际结构物的复杂性，除了少数极其简单的问题外，绝大多数科学研究和工程计算问题用解析法求解式极其困难的。因此，数值法求解便成为了一种不可替代的广泛应用的方法，并取得了不断的发展，如有限元法，有限差分法，边界元方法等都是属于数值求解方法。其中有限元法式 20 世纪中期伴随着计算机技术的发展而迅速发展起来的一种数值分析方法，它的数学逻辑严谨，物理概念清晰，应用非常广泛，能活灵活现处理和求解各种复杂的问题。有限元方法采用矩阵式来表达基本公式，便于计算机编程，这些优点赋予了它强大的生命力。 有限元方法的实质是将复杂的连续体划分成为有限多个简单的单元体，化无限自由度问题为优先自由度问题，将连续场函数的(偏)微分方程的求解问题转化为有限个参数的代数方程组的求解问题。用有限元方法分析工程结构的问题时，将一个理想体离散化后，如何保证其数值的收敛性和稳定性是有限元理论讨论的主要内容之一，而
有限元单元法复习资料
1.1有限单元法中“离散”的含义是什么？有限单元法是如何将具 有无限自由度的连续介质的问题转变为有限自由度问题的？位移有限单元法的标准化程式是怎样的？（1）离散的含义即将结构离散化，即用假想的线或面将连续体分割成数目有限的单元，并在其上设定有限个节点；用这些单元组成的单元集合体代替原来的连续体，而场函数的节点值将成为问题的基本未知量。（2）给每个单元选择合适的位移函数或称位移模式来近似地表示单元内位移分布规律，即通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位移。因节点位移个数是有限的，故无限自由度问题被转变成了有限自由度问题。（3）有限元法的标准化程式：结构或区域离散，单元分析，整体分析，数值求解。 1.2单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质？各自的物理意义是什么?两者有何区别? 单元刚度矩阵的性质：对称性、奇异性（单元刚度矩阵的行列式为零）。整体刚度矩阵的性质：对称性、奇异性、稀疏性。 单元刚度矩阵Kij物理意义Kij即单元节点位移向量中第j个自由度发生单位位移而其他位移分量为零时，在第i个自由度方向引起的节点力。 整体刚度矩阵K中每一列元素的物理意义是：要迫使结构的某节点位移自由度发生单位位移，而其他节点位移都保持为零的变形状态，在所有个节点上需要施加的节点荷载。 2.1 为了使计算结果能够收敛于精确解，位移函数需要满足什么条件？为什么？ 满足完备性和协调性。 原因：完备性包括两个条件：即刚体位移条件与常应变条件。首先，位移函数必须包含单元的刚体位移。结构中的单元不仅产生与该单元本身变形相应的位移，还可能因其他单元变形而通过节点位移产生单元刚体位移。为了正确反映单元的实际位移形态，位移函数必须具有反映刚体位移的能力。 其次，由于单元位移函数采用多项式，故在单元内部协调条件总能满足，要求反映在相邻单元之间。实质上来说，要求相邻单元间协调是为了保证单元交界面上应变有限。 3.1构造单元形函数有那些基本原则？试采用构造单元几何方法，构造T10单元的形函数，并对其收敛性进行讨论。 答：形函数是定义于单元内坐标的连续函数。通常单元位移函数采用多项式，其中的待定常数由节点位移参数确定，因此其个数应与单元节点自由度数相等。根据实体结构的几何方程，单元的应变是位移的一次导数。为了反映单元刚体位移和常应变即满足完备性要求，位移函数中必须包含常数项和一次项，即完全一次多项式。 3.3 何谓面积坐标？其特点是什么？ 答：三角形单元中，任一点P(x,y)与其3个角点相连形成3个子三角形,其位置可以用下述称为面积坐标的三个比值来确定： L1=A1/A L2=A2/A L3=A3/A 其中A1,A2,A3分别为P23,P31,P12的面积。 各三角形面积为：Ai=1/2* =(ai+bi+ci)/2 由于A1+A2+A3=A,所以有L1+L2+L3=1，Li=(ai+bi+ci)/(2A) 特点：①T3单元的形函数Ni就是面积坐标Li ②面积坐标与三角形在整体坐标系中的位置无关，故称为局部坐标。 ③三个节点的面积坐标分别为节点1（1,0,0），节点2（0,1,0），节点3（0,0,1），形心的面积坐标（1/3，1/3 ，1/3）。④单元边界方程为Li=0 (i=1,2,3)； ⑤在平行于2,3边的一条直线上，所有点都要相同的面积坐标。⑥面积坐标与直角坐标互为线性关系。 体积坐标：P点与四面体四个面围成的四个子四面体的体积与原来四面体体积的比值。即 剪切闭锁现象：当梁的高度与梁的长度之比t/l趋于零时，这种单元将出现这种现象，算得的挠度趋于零。 为克服剪切闭锁，使C0型单元适用于各种高度的梁。采用减缩积分方案与假设减应变法。 零能模式：对应于某种非刚体位移模式，减缩积分时高斯点上的应变正好等于零，此时的应变能当然也为零，这种非刚体位移模式称为零能模式。采用减缩积分时会发生零能模式。 5.1、等参单元：将整体坐标系中xy中形状中较复杂的真实单元变换成局部坐标系xy中规则的标准单元，然后在标准单元中构造形函数。由于坐标变换式与单元位移函数中用了相同的形函数N i（ξ，η），故称这种变换为等参变换，相应的单元称为等参单元。 2、等参单元的优越性：①有些工程较复杂，用直边单元离散这些结构需要大量的单元才能得到较好的近似，而曲边的等参单元可方便地离散复杂结构。②如在单元内多取些节点，单元便具有较多的位移自由度，从而就能够插值表示较复杂的单元内部位移场，这样就提高了单元本身的精度。③等参单元刚度矩阵、荷载矩阵的计算是在规则单元域内进行的因此不管被积函数多么复杂，都可以方便地采用标准化数值积分。 3、数值积分的阶次：对于N点积分，当被积函数为m次多项式且m<=2N-1时，可得精确积分值。反之，对于m次多项式的被积函数，精确积分要求的积分点数N>=（m+1）/2。 6.1、工程梁和剪切梁的基本假设？有两种梁弯曲理论①工程梁理论基本假设：平截面假设与横向纤维无挤压假设。前者认为梁横截面变形后仍为平面，且垂直于变形后的中性轴。该假设意味着横向剪切应变γxy =0，后者认为梁的横向纤维无挤压，即εy=0。②剪切梁理论基本假设：横向纤维元无挤压与另一假设认为法平面变形后仍为平面，但不再垂直于变形后的中性轴。 6.2. 剪切梁怎么考虑剪切影响：在结构单元分析中，可在工程梁单元的基础上考虑剪切变形的影响，也可通过挠度与转角各自独立插值直接构造剪切梁单元。 6.3对于杆系结构单元，为什么要在局部坐标系内建立单元刚度矩阵？为什么还要坐标变换？（1）在局部坐标系内可以更方便的建立单 元刚度矩阵。（2）在整体分析中，对所有单元都应采用同一个坐标系即整体坐标系X Y，否则围绕同一节点的不同单元对节点施加的节点力不能直接相加。因此，在进行整体分析之前，还需要进行坐标转换工作，把局部坐标系中得出的单元刚度方程转换成整体坐标系中的单元刚度方程，从而得出整体坐标系中的单元刚度矩阵。 7.1. 薄板弯曲理论基本假定：第一条：板厚方向的挤压变形可忽略不计，即εz=0,。这项假设类似于梁的横向纤维间无挤压假设。第二条：在板弯曲变形中，中面法线保持为直线且仍为弹性曲面（挠度曲面）的法线。第三条：薄板中面只发生弯曲变形，没有面内的伸缩变形，即中面水平位移（u）z=0=(v) z=0=0. 7.2. 厚板理论基本假设：板的中面法线变形后基本保持为直线，但因横向变形的缘故，该直线不在垂直于变形后的中面。因此，法线绕坐标轴的转角θx、θy不再是挠度的导数，而是独立变量；中面内的线位移和板厚方向的挤压变形也可忽略。 7.3. 薄板、厚板基本假定的不同：薄板：板弯曲变形中，中面法线保持为直线且仍为弹性曲面法线。厚板：板中面法线变形后仍基本保持为直线，但该直线不再垂直于变形后的中面。 7.4. DKT单元：离散Kirchhoff理论的基本思想是在若干离散点上满足Kirchhoff直法线假设。基于这种理论构造薄板单元时，w,θx,,θy 也各自独立插值；然后在若干离散点上引入直法线假设。这样构造的单元叫做DKT单元 8.1. 薄壳单元基本假设：薄壳理论假设：薄壳发生微笑变形时，忽略沿壳体厚度方向的挤压变形；且认为直法线假设成立，即变形后中面法线保持为直线且仍为中面的法线；壳体变形时中面不但发生弯曲，而且面内也将产生面内伸缩变形；折板假设；非耦合假设。 薄壳与薄板理论的假设的异同点：相同点：直法线假设和法向（板厚度方向）的纤维无挤压假设均成立。不同点：薄板中面只发生弯曲变形，没有面内的伸缩变形，即中面水平位移为零，而壳体变形时中面不但发生弯曲，而且也将产生面内伸缩变形。 厚壳分析的假设：变形前后的中曲面法线变形后仍基本保持为直线，但因横向剪切变形的缘故，该直线不再垂直于变形后的中曲面，此外，壳体厚度方向的挤压变形可以忽略。 与厚板理论的假设的 相同点：中面法线变形后仍基本保持为直线，但因横向剪切变形的缘故，该直线不在垂直于变形后的中面。厚度方向的挤压变形忽略不计。不同点：厚板理论的假设中，中面内的线位移可以忽略，而厚壳理论的假设中，中面内的位移不可忽略，并且厚壳的位移场可用中面位移表示。 8.2. 平板型单元：组成的折板系统去代替原来的壳体，由平面应力状态与平板弯曲应力状态加以组合而得壳体的应力单元。 分析这种单元时所提出的假设：理论假设：薄壳发生微笑变形时，忽略沿壳体厚度方向的挤压变形，且认为直法线假设成立，即变形后中面法线保持为直线且仍为中面的法线。，折板假设，非耦合假设。 应用平板型壳单元可能会出现的问题，如何解决：1.单元共面问题，解法：引入唯一边界条件可解方程Ka=P 。2.虚拟旋转刚度，解法：在特殊节点上给以任意的虚拟刚度系数。Kθzθzθzi=0，经坐标变换，整体坐标系中该节点平衡方程将满足唯一解条件。赋予Kθzθz任何值。3.新型平面膜元：在平面膜元角点上增加旋转自由度θz，使其有对应的刚度。 8.3. 面内变形与弯曲变形之间非耦合的假设是针对什么提出来的？试说明单元组装时，面内效应与弯曲效应的耦合将会出现。 答：面内变形与弯曲变形之间非耦合的假设是针对局部坐标系下的单元提出的。 9.1. 减少自由度的措施有哪些？各自基本概念如何？ 答：1.恰当利用结构对称性。基本思想：利用结构的对称性，取结构一部分建立有限元模型。根据荷载对称性，分析对称面上的位移状态，以确定对称面上节点的位移边界条件。2.采用子结构技术。基本思想：在大型复杂结构的有限元分析中，可将原结构分成若干区域，每个区域作为一个子结构，这些子结构在其公共边界上互相连接起来。 2. 为什么说位移法中应力解的精度低于位移解？ 答：在位移有限单元法中，沿单元边界是连续的，而位移的导数通常不连续，因此，在单元边界上应力是不连续的；基本未知量是位移，而单元应变和应力是由位移求导得到的，因此应力精度低于位移精度。 3. 在无法获得精确解的条件下，如何进行误差估计？ 答：有限元解法的误差估计有：残值法，后处理法。后处理法：由于无法获得精确解，一般以修匀后的改进值σ*作为“精确解”进行误差估计，通过与精确值误差范数对比，这样做非常有效。
1有限元法简介
1有限元法简介 1.1有限单法的形成 在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。其中的第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。我们把这类问题，称为离散系统。如图1-1所示平面桁架结构，是由6个承受轴向力的“杆单元”组成。尽管离散系统是可解的，但是求解图1-2所示这类复杂的离散系统，要依靠计算机技术。 图1-1 平面桁架系统
图1-2 大型编钟“中华和钟”的振动分析及优化设计（曾攀教授） 第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等。由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问题称为连续系统。 图1-3 V6引擎的局部 下面是热传导问题的控制方程与换热边界条件： t T c Q z T z y T y x T x ??=+??? ??????+??? ? ??????+??? ??????ρλλλ （1- 1） 初始温度场也可以是不均匀的，但各点温度值是已知的： () 00 x,y,z T T t == （1- 2） 通常的热边界有三种，第三类边界条件如下形式： ()f T-T h n T λ=??- （1- 3） 尽管我们已经建立了连续系统的基本方程，由于边界条件的限制，通常只能得到少数简单问题的精确解答。对于许多实际的工程问题，还无法给出精确的解答，例如，图1-3所示V6引擎在工作中的温度分布。这为解决这个困难，工程师们和数学家们提出了许多近似方法。 在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两个不同的路线得到了相同的结果，即有限元法。有限元法的形成可以回顾到二十世纪50年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看，桁架结构等标准离散系统与人为地分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似性。 1956年M..J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp 在纽约举行的航空学会年会上介
有限元法
有限元法 第一章绪论 1.有限元法的定义：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法。 2.有限元法的特点：A物理概念清晰。B复杂的结构适应性。C各种物理问题的适用性。D适合计算机实现的高效性。 3.有限元法的基本思想：首先，将表示结构的连续体离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示全求解域内待求的未知场变量。每个单元内的近似函数用未知场变量函数在单元各个节点上的数值和与其对应的插值函数表示。最后，通过和原问题数学模型等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量的代数方程组或常微分方程组，应用数值方法求解，从而得到问题的解答。 4.有限元法的基本步骤：从选择未知量的角度有限元法分为三类：位移法、力法和混合法。 位移法求解步骤：A结构的离散化。B单元分析。C单元集成。D引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。E由节点位移计算单元的应力与应变。 5.有限元法的优缺点：优点：a有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其近似解。B有限元法的解题步骤可以系统化、标准化，能够开发出灵活通用的计算机程序，使其能够广泛地应用于各种场合。c 边界条件是在建立结构总体刚度方程后再引入的，边界条件和结构模型具有相对独立性，可以从其他CAD 软件中导入创建好的模型。有限元法不需要适用于整个结构的插值函数，而是每个单元本身有各自的插值函数。这就使得数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适用。e有限元法很容易处理非均匀连续介质，可以求解非线性问题和进行耦合场分析。F有限元法可以与优化设计方法相结合，以便发挥各自的优点。缺点：a有限单元对于复杂问题的分析计算所耗费的计算资源是相当惊人的。b对无限求解域问题没有较好的处理方法。c有限元软件在具体应用时需依赖使用者的经验，而且在精度分析时需耗费相当大的计算资源。 6.屈曲：载荷的大小超过一定的数值，变形的形状与此之前变形的形状发生了不同的变化，从而承担载荷的能力减少了，把这一现象称为屈曲。屈曲模态：对于屈曲，即使相同的的构件，如果端部的支持状态不同，则屈曲载荷的大小或屈曲的变形形状也不同。我们把这种变形形状称为屈曲模态 第三章弹性力学基础知识 1.弹性力学又称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外力因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。 2.弹性力学的几个基本假定：A连续性假定。B弹性假定。C均匀性和各向同性假定。D小变形假定。E无初应力假定。 3.外力分为面力和体积力。面力：指分布在物体表面上的外力，如内压力、接触压力等。面力是位置坐标的函数，即物体表面各点所受的面力是不同的。体积力：指分布在物体体积内的外力，通常与物体的质量成正比，且是各质点位置的函数，如重力、惯性力等。 4.弹性力学的平面问题：弹性力学可分为空间问题和平面问题。平面问题有两种情况：一种是平面应力问题，所考察的弹性体为一个等厚度的薄板，薄板所受到的载荷不沿板的厚度方向变化，且板的表面无载荷作用；另一种是平面应变问题，适用于很长的等截面柱体，其上作用的载荷均平行于横截面，而且沿柱长方向不变化。 第四章平面问题的有限元法 1.常用的平面单元形状有三角形、四边形等。 2.集中力、集中力偶、分布载荷强度的突变点、分布载荷与自由边界的分界点、支承点都应取为节点。 3.整体刚度矩阵的性质：a整体刚度矩阵[K]中每一列元素的物理意义为：欲使弹性体的某一节点沿坐标轴方向发生单位位移，而其他节点都保持为零的变形状态，在各节点上所需要施加的节点力。b整体刚度矩阵[K]中的主对角元素总是正的。c整体刚度矩阵[K]是一个对称矩阵。d整体刚度矩阵[K]是一个带状分布的稀疏矩阵。e整体刚度矩阵[K]是一个奇异矩阵，在排除刚体位移后，它是正定阵。