上海高考数学知识点重点详解
{}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C
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高考前数学知识点总结
1. 对于集合，一定要抓住集合的元素一般属性，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
中元素各表示什么？
2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或文氏图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；
3.已知集合A 、B ，当A B ?=?时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?；
4. 注意下列性质：（1） 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为n 2，n 21-， n 21-，
n 2 2.- （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）：空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。
5. 学会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）
6.可以判断真假的语句叫做命题。
若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨
7. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
8.注意四种条件，判断清楚谁是条件，谁是结论； 9. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）
10. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 11. 如何求复合函数的定义域？ 12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，需注明函数的定义域。 13. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？（①反解x ，注意正负的取舍；②互换x 、y ；③反函数的定义域是原函数的值域） 14. 反函数的性质有哪些？
①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性；
15. 会用定义证明函数单调性.；用定义法求函数的单调区间。（设量、作差、因式分解，判正负） 16. 如何判断复合函数的单调性？（将增函数看成正号，减函数看成负号，利用乘法原理判断） 17. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）
若总成立为奇函数函数图象关于原点对称f x f x f x ()()()-=-?? 若总成立为偶函数函数图象关于轴对称f x f x f x y ()()()-=??
注意如下结论：
（1）在公共定义域：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
（）若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x)f(0)0=
18. 你熟悉周期函数的定义吗？1
f (x)f (x a);f (x)T 2a f (x a)
=-+=±?=+
19.函数的对称性：
（1）如果函数()y f x =对于一切x R ∈，都有()()f a x f a x +=-，那么函数()y f x =的图象关于直线x a =对称?()=+y f x a 是偶函数；
（2）若都有()()f a x f b x -=+，那么函数()y f x =的图象关于直线a b
x 2
+=对称； 函数()y f a x =-与函数()y f b x =+的图象关于直线a b
x 2
-=
对称；特例:函数()y f a x =+与函数()y f a x =-的图象关于直线0=x 对称.
（3） 如果函数()y f x =对一切x R ∈，有f a x f a x 2b ++-=（）
（），那么()y f x =关于点（a b ，）对称. （4）奇函数对称区间单调性相同；偶函数对称区间单调性相反。 20.掌握常用的图象变换了吗？（理解八爪图） 21.熟练掌握初等函数的图象和性质
()
（）一次函数：10y kx b k =+≠
()()（）反比例函数：推广为是中心，200y k x k y b k
x a k O a b =
≠=+-≠'()的双曲线。
()（）二次函数图象为抛物线
302442
2
2y ax bx c a a x b a ac b a =++≠=+?
? ???+-
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
ax bx c x x y ax bx c x 212200++=>=++，时，两根、为二次函数的图象与轴? 的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。ax bx c 200++><()
②求二次函数闭区间［m ，n ］上的最值和单调性。 ③求二次函数区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。
()（）指数函数：，401y a a a x =>≠()（）对数函数，501y x a a a =>≠log （注意底数的限定！）
（6）幂函数a
y x ,a Q =∈ 由第一象限图象画其他象限图象！（7）a
y x x
=+的图像和性质 22.基本运算上常出现错误
指数运算：，a a a
a
a p
p 0101
0=≠=≠-(())
a
a
a a
a
a m n
m
n m n
m
n
=≥=
>-
((01
0))
，
()
对数运算：·，log log log a a a M N M N M N =+>>00
log log log log log a
a a a n a M N M N M n M =-=，1
a log x 0a a x;log 10,a 1===
23. 掌握求函数值域的常用
方法了吗？
（分离常数法，二次函数法（配方法），函数有界性，换元法，基本不等式法，利用函数单调性法，数形结合法等。） 24. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R 的弧长公式和扇形面积公式吗？
（·，··）扇l l ==
=ααR S R R 121
22
24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义
25.迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象,并由图象能写出单调区间、最值，对称点、对称轴。
()()[]26. y =Asin x +正弦型函数的图象和性质要熟记。或ω?ω?y A x =+cos
（）振幅，周期12||||A T =
π
ω 作图。
（）根据图象求解析式。（求、、值）
3A ω?()?正切型函数，y A x T =+=
tan ||ω?πω
27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的围。 28. 用反三角函数表示角时要注意角的围，单调性。
对数换底公式：log log log log log a c c a n a b b a b n
m
b m =
?=（）五点作图：令依次为，，，，，求出与，依点
202322ω?πππ
πx x y +
29.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两向量的夹角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值围及意义？
①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值围依次是0,,[0,],[0,]
22
ππ??π ???
； ②直线的倾斜角、1l 与2l 的夹角的取值围依次是[0,),[0,]2
π
π； ③向量的夹角的取值围是[0，π] 30.会求三角不等式，三角方程。
31. 熟练掌握同角三角比关系和诱导公式了吗？ 32. 熟练掌握两角和、差、倍、降次公式及其逆向应用
（1）名的变换：化弦或化切（2）次数的变换：升、降幂公式（3）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。
33. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？三角形的面积公式。 34. 不等式的性质有哪些？
（），
100a b c ac bc
c ac bc >>?>
d a c b d >>?+>+
（），300a b c d ac bd
>>>>?>（），4011011a b a b a b a b >>?
<<
（），50a b a b a b n n n n >>?>>()（），或60||||x a a a x a x a x a x a <>?-<<>?<->
35. 利用基本不等式：
ab b a 222≥+；+∈≥+R ab ab b a ,2（一正、二定、三相等）
36.熟练掌握一元一次和一元二次不等式的解的各种情况。
()370.()
()解分式不等式
的一般步骤是什么？f x g x a a >≠
（移项通分，分子分母因式分解，x 的系数变为1，标根法解得结果。） 38. 用“标根法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始
（）若，是等差数列，为前项和，则
；42121
a b S T n a b S T n n n n m m m m =--39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论如：对数或指数的底分或讨论a a ><<101 40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？
（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。） 41. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（转化为最值问题）
如：恒成立的最小值a f x a f x ?>()()恒成立的最大值；a>f （x ）有解?a>f(x)的最小值
42. 等差数列的定义与性质
() 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111()等差中项：，，成等差数列x A y A x y ?=+2
()()前项和n S a a n na
n n d
n
n =+=+
-11
2
12
{}性质：是等差数列a n
（）若，则；1m n p q a a a a m n p q +=++=+{}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b n n n -+
S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232--（）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+
0的函数） （6）求
n
S 的最值一般通过
n
a 的正负分界项来求出。
43. 等比数列的定义与性质
定义：
（为常数，），a a q q q a a q n n
n n +-=≠=1
110等比中项：、、成等比数列，或x G y G xy G xy
?==±2{}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为
52
a S an bn a
b n n n ?=+
{}例如：数列中，，，求a a a a n n a n n n n
1131
==++()
前项和：（要注意）
n S na q a q q q n n ==--≠???
??
111111()()!
{}性质：是等比数列a n
（）若，则··1m n p q a a a a m n p q +=+=（），，……仍为等比数列2232S S S S S n n n n n -- （时，，时，）n a S n a S S n n n ==≥=--1211
1 45. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？ 例如：（1）作差（商）法
{}如：满足……a a a a n n n n 12121
2
25
1122+++=+<>
（2）连乘法，
n 10n 1a f (n),a a ,f(n)a -==其中可求积 （3）连加法，n n 110n a a f (n),a a ,f(n)a --==其中可求和，求
{}()数列，，，求a a a a n a n n n n n 111132==+≥--
（4）可转化为等比型递推公式
)
0q ;1,0p ,(1≠≠+=-为常数，q p q pa a n n 两边同时加上
q
p 1
-
（5）倒数法
例如：，，求a a a a a n n
n n
11122==
++
（6）数学归纳法，注意写出四项再猜，用第五项验证完 ，再证明。
求数列的通项公式已知,a a ,10a 2
n 1n 1==+
46. 你熟悉求数列前n 项和的常用方法吗？
例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
()()由
·11111011a a a a d d a a d k k k k k k ++=+=-?? ?
??≠
（2）错位相减法：适用于（等差?等比数列）
44 . 由 求 时应注意什么？ S a n n