复数的三角表示

复数导学案

课题：复数的三角形式课型：新授执笔：

审核: 使用时间：

一、学习目标

1、复数的三角形式表示

2、复数的三角形式的应用

二、重点难点

1、复数的三角形式

2、根据需要把复数表示成三角形式

三、学习内容

1、复数的三角形式

设z=a+bi≠0，其模|z|=r，辐角为θ，则从图16-4可以得到

因此．(1)

把以复数的模、辐角表示的形式(1)叫做复数的三角形式．其中辐角θ可以表示，可以写主值，也可以写一般形式(即主值加上2kπ或k?360?,(k∈Z) )．但作为复数三角形式以下列三条基本准则是必须遵守的：

①；

②；

③．

2、复数代数形式和三角形形式的互化

以三角形式表示的复数z=r(cosθ+isinθ)，只要计算出三角函数值，应用，立即就可以转化成代数形式；反之，以代数形式表示的复数z=a+bi≠0，若限定辐角取主值，只要应用计算出模及辐角主值，就可以转化成三角形式．四、探究分析

1、将复数z=2(cos30?+isin30?)表示为代数形式．

方法总结：

2、把复数z1=i；z2

表示为三角形式．方法总结：

课堂训练

1．把下列复数表示为代数形式． (1)z 1=3(cos 4

π

+isin

4

π

)； (2) z 2

cos

43π+isin 43

π)．

2. 把复数z 1=3+3i ，z 2

表示为三角形式．

课后作业

1. （1）复数i +-1的三角形式是

（2）复数i 3-的三角形式是 （3）复数2-的三角形式是

2、将下列复数表示为代数形式

（1）)45

sin 45(cos 31ππi z += （2）)6

5

sin 65(cos 32ππi z -=

3. 下列复数是否是其三角形式？若不是，请表示为三角形式： (1)z 1=-2cos 60?+2isin 60?； (2)z 2=4cos 960?+4isin 960?； (3)z 3=3(cos 4

π

+isin

34π)； (4)z 4=-3(cos 6π+isin 6

π

)．

教学后记

复变函数的指数式与三角函数的再认识

复变函数的指数式与三角函数的再认识 关于复变三角函数和指数式如何取值，一直以来都是一个模糊概念，因为这些东西太抽象，所以绞尽脑汁总算有点眉目，说出来和大家共同讨论。 在实数域里，三角函数和指数函数都对应有具体值，并且在其定义域内都可以求导。然而在复数域里三角函数和指数式没有明确的值与其对号入座，因此更加的不可思议的神秘，然而数学家们为了分析研究它做出了很大的努力，得到了很了不起的一些成就，欧拉公式建立了指数式和三角函数的纽带，复变函数的泰勒公式，自然对数在复变函数领域的研究都起到了桥梁作用，等等。 三角函数及指数函数值的确立及其它们内在的联系规律的发现或建立，在现实生活中都有重要的应用，涉及到电学，力学，热力学，流体等各个方面。 我们转入正题，要想使复变函数的三角函数和指数函数有意义，我们首先必须确定它们的具体函数值，函数值都没有又何谈函数呢？我们知道实数域的初等函数在其定义域内是可以求导的，那么复变函数也应该满足这个要求，其次怎么去求这个值，得有个思路，要合情 合理。首先我们以自然数e 开始，我们知道它是个无理数n n n e ??? ??+=∞ →11lim ，我们分析这样 的一个式n n x ?? ? ??+1，x 为实数，n 趋于无穷大的实数，我们把它做一下变形： x x x n x n x x n x x n n e x n x n n x n x =? ????? ? ?+?? ????? ? ?+??? ? ??+???? ??+?∞→??11lim 1111 那么当上式中x 是复数z 时也应该上面形式的极限，即： z n z n e n z =??? ??+∞→1lim 首先我们分析i z =，我们有n n n i n z ?? ? ??+=??? ??+11，然而由复数的乘法我们有： n n n n Arctg i n Arctg n n i ????????? ? ?+?? ? ?? +=??? ??+1sin 1cos 1112 2 我们知道当n 趋于无穷大时n n Arctg n 1 1lim =∞ →，于是 () ()1 sin 1cos 1sin 1cos lim 1sin 1cos 11lim 1sin 1cos 11lim 212122 22i i e i n n Arctg i n Arctg n n n n n n n n n +=+=+??? ??+=????????? ? ?+??? ?? +∞ ? ∞→∞ → 我们做如下一个变形：

复数的三角形式

复数的三角形式 1、复数的三角形式 (1)复数的幅角：设复数Z=a＋bi对应向量，以x轴的正半轴为始边，向量所在的射线(起点为O)为终边的角θ，叫做复数Z的辐角，记作ArgZ，其中适合0≤θ<2π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作argZ． 说明：不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍． (2)复数的三角形式：r(cosθ＋isinθ)叫做复数Z=a＋bi的三角形式，其中． 说明：任何一个复数Z=a＋bi均可表示成r(cosθ＋isinθ)的形式．其中r为Z的模，θ为Z的一个辐角． 2、复数的三角形式的运算： 设Z=r(cosθ＋isinθ)，Z1=r1(cosθ1＋isinθ1)，Z2=r2(cosθ2＋isinθ2)．则

3、应用 例1求下列复数的模和辐角主值 （1）i +1 （2） i -3 解：（1） 211122=+=+i 又 a b tan =θ=1，点（1,1）在第一象限。所以41πθ=+=）（i arg （2） 213322=-+=-）（）（i 有31 -=θtan ，点（ 13-，）在第四象限，所以611623π π πθ=-=-=）（i arg 想一想：怎样求复数i z 43-=的辐角? 想一想：复数的三角形式有哪些特征？下列各式是复数的三角形式吗？ （1）θθcos sin i + （2）[]）（）（?-+?-30302sin i cos （3））（6655ππsin i cos + 例2 把下列复数转化为三角形式 （1）-1；（2）i 2； （3） i -3 解：（1）2201+-=）（r =1，辐角主值为θ=π=-）（1arg ，所以 -1=ππsin i cos +

三角函数与复数专题训练

专题四 三角函数与复数 【考点聚焦】 考点1：函数y =Asin()0,0)(>>+???A x 的图象与函数y =sin x 图象的关系以及根据图象写出函数的解析式 考点2：三角函数的定义域和值域、最大值和最小值； 考点3：三角函数的单调区间、最小正周期和三角函数图象的对称轴问题； 考点4：和、差、倍、半、、诱导公式、和差化积和积化和差公式、万能公式、同角的三角函数关系式； 考点5：三角形中的内角和定理、正弦定理、余弦定理； 【自我检测】 1． 同角三角函数基本关系式：＿＿＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿. 2． 诱导公式是指α的三角函数与－α，180oα±,90oα±,270oα±,360o－α， k 360o+α(k ∈Z)三角函数之间关系：奇变偶不变，符号看象限. 3． 两角和与差的三角函数：sin(α±β)=_______________________; cos (α±β)=________________________;tan (α±β)=_________________________. 4． 二倍角公式：sin2α=__________;cos2α=_________=__________=___________ tan 2α=_____________. 5． 半角公式：sin 2 α=_______，cos 2 α=_______,tan 2 α =________=________=______. 6． 万能公式sin α=_____________,cos α=_____________,tan α=_____________. 7． 三角函数的图象与性质： 问题1：三角函数的图象问题 关于三角函数的图象问题，要掌握函数图象的平移变化、压缩变化，重点要掌握函数

向量、三角函数和解三角形、复数、函数测试试卷

阶段性考试试卷 姓名： 分数： 一、选择题（每题5分，共13题，65分） 1．若命题1)1(log ),,0(:2≥+ +∞∈?x x x p ，命题01,:0200≤+-∈?x x R x q ，则下列命题为真命题的是( ) A.p q ∨ B.p q ∧ C.()p q ?∨ D.()()p q ?∧? 2．已知函数 ，则不等式f （x ）≤5的解集为（ ） A ．[﹣1，1] B ．（﹣∞，﹣2]∪（0，4） C ．[﹣2，4] D ．（﹣∞，﹣2]∪[0，4] 3．设复数z 满足 11z i z +=-,则的z 虚部为（ ） A ．i - B ．i C ．1 D ．1- 4．函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且在区间]0,(-∞上是减函数，则不等式)1()(ln f x f -<的解集为( ) A.()+∞,e B.??? ??+∞,1 e C.??? ??e e ,1 D.?? ? ??e 1,0 5．已知函数2 ()(1)x f x e x =-+（e 为自然对数的底），则()f x 的大致图象是（ ） 6． 对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．||||||a b a b ?≤ B ．a b a b -≤- C ．() 2 2a b a b +=+ D ．()() 22a b a b a b +-=- 7．若()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，[)()1212,0,x x x x ?∈+∞≠，有()() 2121 0f x f x x x -<-，则（ ） A ．()()()213f f f -<< B ．()()()123f f f <-< C ．()()()312f f f << D ．()()()321f f f <-< 8．已知函数()sin()(0,||)2 f x x π ω?ω?=+>< 的最小正周期为π，且其图像向左平移 3 π 个单位后得到函数 ()cos g x x ω=的图象，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于直线12 x π =对称 B ．关于直线512 x π = 对称 C ．关于点( ,0)12 π 对称 D ．关于点5( ,0)12 π 对称

复数与平面向量三角函数的联系习题精选

复数与平面向量、三角函数的联系 习题精选（三） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.下列命题中，正确的是 A.任何两个复数都不能比较它们的大小 B.复数的模都是正实数 C.模相等且方向相同的向量，不管它们的起点在哪里，都是相等的向量 D.复数集C 与复平面内所有向量组成的集合一一对应 2.复数z =（a 2 －2a +3）－(a 2 －a +2 1 )i (a ∈R )在复平面内对应点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若(x －2)+yi 和3+i 是共轭复数，则实数x 、y 的值是 A.x =3且y =3 B.x =5且y =1 C.x =5且y =－1 D.x =－1且y =1 4.下面四个式子中，正确的是 A.3i >2i B.|3+2i |>|－4－i | C.|2－i |>2 D.i 2 >－i 5.已知z 1=x +yi ,z 2=－x －yi (x ,y ∈R ).若z 1=z 2，则z 1在复平面上的对应点一定位于 A.虚轴上 B.虚轴的负半轴上 C.实轴上 D.坐标原点 6.设z 1，z 2∈C ,且z 1z 2≠0,A =z 1z 2+z 2z 1,B =z 1z 1+z 2z 2,则A 与B 之间 A.不能比较大小 B.A ≤B C.A ≥B D.A =B 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7.设复数z 满足关系式z +|z |=2+i ,则z =___________. 8.如果复数z =3+ai 满足条件|z －2|<2，则实数a 的取值范围为___________. 9.满足条件{x |x 2 +1=0,x ∈R }M {m ||log 3m +4i |=5,m >0}的所有集合M 的个数是______

复数与三角函数的联系

课 题：研究性学习课题：复数与三角函数的联系 教学目的：了解复数的三角形式及相关概念，并探究其运算 教学重点：化复数为三角形式． 教学难点：复数辐角主值的探求 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1.设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） 则P 与原点的距离||r OP == =>2．比值r y 叫做α的正弦 记作： r y =αsin 比值r x 叫做α的余弦 记作： r x =αcos 3．复平面内的点(,)Z a b ←???→一一对应平面向量OZ uuu r 4. 复数z a bi =+←???→一一对应平面向量OZ uuu r 二、讲解新课： １．复数的模：||||||z a bi OZ =+==u u u r 2. 复数z a bi =+的辐角θ及辐角主值：以x 轴的非 负半轴为始边、以OZ 所在射线为终边的角在[0,2)π内的辐角就叫做辐角主值，记为argz 当+∈R a 时，=a arg 0 ，=-)arg(a π，=)arg(ai 2 π ，=-)arg(ai 23π 3. 复数的三角形式：(cos sin )z a bi r i θθ=+=+ 其中22b a r += ，r a =θcos ， r b =θsin ；

复数的三角形式的特征：①模r ≥0；②同一个辐角θ的余弦与正弦；③ θcos 与θsin i 之间用加号连结 4. 复数的三角形式的乘法： 若11112222(cos sin ),(cos sin )z r i z r i θθθθ=+=+， 则12121212(cos()sin(z z r r i θθθθ=+++ 5. 复数的三角形式的乘方(棣美弗定理)： 若(cos sin )z a bi r i θθ=+=+，则(cos sin )n n z r n i n θθ=+ 6. 复数的三角形式的除法： 若11112222(cos sin ),(cos sin )z r i z r i θθθθ=+=+， 则11212122 (cos()sin(r z z i r θθθθ÷=-+- 7. 复数代数形式开平方和三角形式开高次方的运算： ①复数z a bi =+开平方，只要令其平方根为x yi +， 由2 ()x yi a bi +=+222x y a xy b ?-=??=?，解出,x y 有两组解 ②复数(cos sin )z r i θθ=+的n 方根为： 22 sin ),(0,1,,1)k k i k n n n πθπθ+++=-L 共有n 个值 三、讲解范例： 例 化下列复数为三角形式：①z=3+i ;②z=1-i ③z=-1 解：①z=3+i 2(cos sin )66 i ππ =+; ②z=1-i 77sin )44i ππ=+ ③z=-1cos sin i ππ=+ 例2下列复数中那些是三角形式？那些不是？为什么？ （1）)4sin 4(cos 21ππi - ；（2）)3 sin 3(cos 21ππi +-；

复数的三角形式的运算(一) 教案示例

复数的三角形式的运算(一)·教案示例 目的要求 1．掌握复数三角形式的乘法运算法则． 2．理解复数三角形式的乘法运算的几何意义，并能简单地应用． 内容分析 1．在代数形式下，两个复数的乘积(a ＋bi)(c ＋di)按照多项式展开，从而得出乘法运算法则．在三角形式下，两个复数的乘积r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)仍可按代数形式(r1cos θ1＋ir1sin θ1)(r2cos θ2＋ir2sin θ2)来计算．但这样运算较繁杂，而且没有体现出三角形式下模与辐角的特征和作用，因此很有必要研究两个复数的乘积的结果(也是一个复数)的模与原来两个复数的模、辐角与原来两个复数的辐角之间的关系． 2．三角形式下两个复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)与z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)的乘法公式及法则： r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)] 即，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于这两个复数的辐角的和． 上述法则中，注意“积的辐角等于这两个复数的辐角的和”指的是积的辐角的集合等于原来两个复数的辐角集合中各自任取一个，求和角，所有和角组成的集合．而积的辐角主值不一定等于这两个复数的辐角主 值的和．如－＝π，－＝π，－－＝＝π≠π＋π．arg(i)arg(1)arg[(i)(1)]argi 32232 arg(z1·z2)与argz1、argz2的关系是 arg(z1·z2)＝argz1＋argz2＋2k π(k 取某一整数) 其中整数k 使argz1＋argz2＋2k π∈[0，2π)． 3．根据三角形式的乘法法则，结合向量知识，可以对复数乘法的几何意义解释如下： 在复平面内作出z1、z2对应的向量，将向量按逆时针方向旋转一个角θ2(若θ2＜0，则 按顺时针方向旋转一个角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，所得向量 就表示积z1z2． 也就是说，复数乘法实质上就是向量的旋转和伸缩．旋转方向与角度取决于从另一复数的辐角集中取出来的值，伸长或缩短及其倍数取决于另一复数的模的大小． 4．将两个复数相乘的结果推广到有限个复数相乘，即为 r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)·…·rn(cos θn ＋isin θn) ＝r1r2…rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)](n ≥2)． 可以用数学归纳法说明： 1°当n ＝2时，乘法公式成立．

高中三角函数公式大全

高中三角函数公式大全 2009年07月12日 星期日 19:27 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2 A )=2cos 1A - cos(2 A )=2cos 1A + tan(2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a -

sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2 π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2(tan 1)2(tan 1a a +-

高考艺术类数学复数与三角函数试题

高考艺术类数学复数与三角函数试题 作者:

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2010年高考艺术类数学复习单元训练 复数与三角函数 满分100分 11 .复数 z 满足(1+2i ) z=4+3i,那么 z= 12 .若 z € C ,且(3+z)i=1,贝U z= ______ . ?选择题 (本大题共 10小题，每小题5分，共50分, 每小题都有四个选项, 其中只有一个选项是正 确的) 1 . A. 等于( ) B. (a € R)是纯虚数，则实数a 的值为( B.4 C.-6 C. D.- 2 . A.-2 3 .在复平面内，复数+(1+i) 2对应的点位于 A.第一象限 4.方程 x 2+|x|=0 若复数 B.第二象限 在复数集内的解集是 A .① B ? {0} ( C. ) D.6 ) 第三象限 C ? {0 , i} D. 第四象限 D ? {0 , i , -i} 5.函数 y=sin(2x+) A.向左平移 C.向左平移 的图象可由函数 y=s in2x B. 向右平移 D. 向右平移 的图象经过平移而得到，这一平移过程可以是 A. 函数 f(x)=sin B. 2 X +3COS 2x 的最小正周期是 C. n D.2 n 函数 y= Asin( 3 x+ $ )(0?才0 | < )的部分图像如图，则函数的一个表达式为() A. y=-4s in(x+) B. y=4si n(x-) C. y=-4si n(x-) D. y=4si n(x+) 8 .已知 f(sinx)=sin3x, 则f(cosx)等于() A.-cos3x B.cos3x C.si n3x D.-s in3x 9 . sin a =( VaVn ),tan(=,则n (a -2 B)的值等于() A.- B.- C. D. 10 .计算的值等于( A.1 B.-1 ) C.i D.-i .填空题(共四题，每题 5分)

三角函数平面向量复数检测题

三角函数、解三角形、平面向量与复数(1) (一)选择题(本大题共12小题，每小题5分) 1．已知i 是虚数单位，则i 2 015 1＋i ＝( ) A.1－i 2 B.1＋i 2 C.－1－i 2 D.－1＋i 2 2．平面向量a 与b 的夹角为2π 3，a ＝(3,0)，|b |＝2，则|a ＋2b |＝( ) A ．7 B.37 C.13 D ．3 3．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点P (2,3)，则tan ????2α＋π4 ＝( ) A ．－125 B.512 C.177 D ．－717 4．已知复数z ＝a ＋i 1＋i (其中i 是虚数单位)在复平面内对应的点Z 落在第二象限，则实数a 的 取值范围是( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－1,1) C ．(－∞，－1) D ．(1，＋∞) 5．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则|a －b |等于( ) A ．1 B.3 C. 5 D ．3 6．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π 3对称，则下列四个函数中，同时具 有性质①②的是( ) A ．y ＝sin ????x 2＋π6 B ．y ＝sin ? ???2x －π6 C ．y ＝sin ? ???2x ＋π 6 D ．y ＝sin|x | 7．已知函数f (x )＝2sin ????ωx －π 6 (ω>0)的最小正周期为π，则f (x )的单调递增区间是( ) A.????k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z) B.? ???2k π－π6，2k π＋π 3(k ∈Z) C.????k π－π3，k π＋π6(k ∈Z) D.? ???k π－π6，k π＋π 3(k ∈Z) 8．已知函数f (x )＝A sin(πx ＋φ)的部分图象如图所示，点B ，C 是该图象与x 轴的交点，过 点C 的直线与该图象交于D ，E 两点，则(BD ＋BE )·(c －CE )的值为( ) A ．－1 B ．－12 C.1 2 D ．2 9．得到函数y ＝sin ????x ＋π 3 的图象，可将函数y ＝sin x 的图象向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度(m ，n 均为正数)，则|m －n |的最小值是( ) A.π3 B.2π3 C.4π3 D.5π 3 10．在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN ＝12NC ，P 是BN 上的一点，若AP ＝m AB ＋29 AC ，则实数m 的值为( ) A.19 B.1 3 C ．1 D ．3 11．已知平面向量a ＝(2cos 2x ，sin 2x )，b ＝(cos 2x ，－2sin 2x )，f (x )＝a ·b ，要得到y ＝sin 2x ＋3cos 2x 的图象，只需要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π6个单位 B ．向右平移π 6个单位 C ．向左平移π12个单位 D ．向右平移π 12 个单位 12．已知P 是△ABC 所在平面内一点，若AP ＝34BC －23 BA ，则△PBC 与△ABC 的面积 的比为( ) A.13 B.12 C.23 D.3 4 (二)填空题(本大题共4小题，每小题5分) 13．已知扇形AOB (∠AOB 为圆心角)的面积为2π3 ，半径为2，则△ABO 的面积为________．

第一章复数复变函数

第一章复数与复变函数 (Complex number and function of the complex variable) 第一讲 授课题目：§1.1复数 §1.2 复数的三角表示 教学内容：复数的概念、复数的四则运算、复平面、复数的模和辐角、复数的三角不等式、复数的表示、复数的乘方与开方. 学时安排：2学时 教学目标：1、掌握复数的乘方、开方运算及它们的几何意义 2、切实理解掌握复数的辐角 3、掌握复数的表示 教学重点：复数的乘方、开方运算及它们的几何意义 教学难点：复数的辐角 教学方式：多媒体与板书相结合. P思考题：1、2、3.习题一：1-9 作业布置： 27 板书设计：一、复数的模和辐角 二、复数的表示 三、复数的乘方与开方 参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社. 2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高 等教育出版. 课后记事：1、基本掌握复数的乘方、开方运算 2、不能灵活掌握复数的辐角（要辅导） 3、能灵活运用复数的三角表示进行复数的运算

教学过程：

引言 复数的产生和复变函数理论的建立 1、1545年，意大利数学家Cardan在解三次方程时，首先产生了负数开平方的思想.后来，数学家引进了虚数，这在当时是不可接受的.这种状况随着17、18世纪微积分的发明和给出了虚数的几何解析而逐渐好转. 2、1777年，瑞士数学家Euler建立了系统的复数理论，发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们应用到水力学和地图制图学上.用符号i表示虚数单位，也是Euler首创的. 3、19世纪，法国数学家Cauchy、德国数学家 Riemann 和Weierstrass经过努力，建立了系统的复变函数理论，这些理论知直到今天都是比较完善的. 4、20世纪以来，复变函数理论形成了很多分支，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题、复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论等等，并广泛用于理论物理、弹性物理和天体力学、流体力学、电学等领域. 5、复变函数课程主要任务为研究复变数之间的相互依赖关系.其中许多概念、理论和方法是实变函数在复变函数领域内的推广和发展，在学习过程中要注意它们相似之处和不同之处的比较.

【高中数学】单元《复数》知识点归纳

【高中数学】单元《复数》知识点归纳 一、选择题 1．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++???+的值为（ ） A ．10101010i -- B ．10111010i -- C ．10111012i -- D ．10111010i - 【答案】B 【解析】 【分析】 利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案. 【详解】 解：设2320192342020S i i i i =+++???+, 可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++???++， 则24201923020(1)22020i S i i i i i i -=++++???+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i i i i i i --=+++++???+-+-=-， 可得：2 (1)(1)(1)20202020202112 i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-， 可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++= ==---， 故选：B. 【点睛】 本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题. 2．若复数21z i i = +-（i 为虚数单位），则||z =（ ） A B C D ．5 【答案】C 【解析】 【分析】 根据复数的运算，化简复数，再根据模的定义求解即可. 【详解】 22(1) 12 1(1)(1) i z i i i i i i +=+=+=+--+，||z ==故选C. 【点睛】 本题主要考查了复数的除法运算，复数模的概念，属于中档题. 3．已知复数(2)z i i =-，其中i 是虚数单位，则z 的模z = ( ) A B C ．3 D ．5

三角函数关系

三角函数关系 正弦函数 sinθ=y/r 余弦函数 cosθ=x/r 正切函数 tanθ=y/x 余切函数 cotθ=x/y 正割函数 secθ=r/x 余割函数 cscθ=r/y （斜边为r，对边为y，邻边为x。） 以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数： 正矢函数 versinθ =1-cosθ 余矢函数 coversθ =1-sinθ 同角三角函数间的基本关系式： [编辑本段]·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα

cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ +cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B ·倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

三角函数公式(数学专业完整版)

级数定义 正弦函数（蓝色）十分接近于它的 5 次泰勒级数（粉红色）。 只使用几何和极限的性质，可以证明正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦（在微积分中，所有角度都以弧度来度量）。使用泰勒级数，可以继续证明下列恒等式对于所有实数x都成立： 这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义。它们经常被用做三角函数的严格处理和应用的起点（比如，在傅立叶级数中），因为无穷级数的理论可从实数系的基础上发展而来，不需要任何几何方面的考虑。这样，这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立。 其他级数可见于：[1] 这里的 是n次上／下数，

是n次伯努利数， （下面的）是n次欧拉数。 在这种形式的表达中，分母是相应的阶乘，分子称为“正切数”， 它有一个组合解释：它们枚举了奇数势的有限集合的交错排列 （alternating permutation）。 在这种形式的表达中，分母是对应的阶乘，而分子叫做“正割数”， 有组合解释：它们枚举偶数势的有限集合的交错排列。 从复分析的一个定理得出，这个实函数到复数有一个唯一的解析 扩展。它们有同样的泰勒级数，所以复数上的三角函数是使用上 述泰勒级数来定义的。 [编辑]与指数函数和复数的联系 可以从上述的级数定义证明正弦和余弦函数分别是复指数函数 在它的自变量为纯虚数时候的虚数和实数部分： 这个联系首先由欧拉注意到，叫做欧拉公式。在这种方式下， 三角函数在复分析的几何解释中变成了本质性的。例如，通

过上述恒等式，如果考虑在复平面中e i x所定义的单位圆，同 上面一样，我们可以根据余弦和正弦来把这个圆参数化，复 指数和三角函数之间联系就变得更加明显了。 进一步的，这样就可以定义对复自变量z的三角函数： 这里的i2 = ?1。还有对于纯实数x， 我们还知道，这种指数过程与周期行为有密 切的联系。 恒等式 主条目：三角恒等式 三角函数之间存在很多恒等式，其中最著名的是毕达哥拉斯恒等式，它说明对于任何角，正弦的平方加上余弦的平方总是1。这可从斜边为 1 的直角三角形应用勾股定理得出。用符号形式表示，毕达哥拉斯恒等式为： 更常见的写法是在正弦和余弦符号之后加“2”次幂： 在通常情况下括号可以省略。 另一个关键的联系是和差公式，它根据两个角度自身的正弦和余弦而给 出它们的和与差的正弦和余弦。它们可以用几何的方法使用托勒密的论 证方法推导出来；还可以用代数方法使用欧拉公式得出。

复数三角形式解答题

复数三角形式解答题 1、若复数z 满足z z -=1 1，当复数z 的辐角为300时，求复数z 的模。 2、已知复数i z 31+=, 求复数z z z -+-24 2的辐角的主值. 3、设z 满足z z z z -= -=1 1213 ,arg π，求z. 4、已知向量的模||＝r ，幅角为α，求：(1)点P 的坐标；(2)如果直线OP 分别交直线x ＝r 与y ＝r 于T 、S 两点，点T 、S 的坐标分别是多少？ 5、已知复数i z 32+=, z 是z 的共轭复数,求复数z i z u -=的辐角主值. 6、设0<θ<π，复数z=1-cos θ＋isin θ，u=a 2＋ai ，且z ，u 是纯虚数(a ∈R)，求复 数u 的辐角主值argu. 7、设|z|=1，z 5＋z=1，求复数z 的值。

8、复数z 的模是1且z 2＋2z ＋1z 是负实数，求z. 9、已知复数z 满足z z －2iz=3－2ai(a ∈R),且ππ <

三角函数

三角函数 （图：角θ的所有三角函数） 三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。 定义 锐角三角函数定义 如右图，当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个直角三角形，其中∠ACB为直角。对于AB与AC的夹角∠BAC而言： （图：Rt△ABC） 对边（opposite）a=BC 斜边（hypotenuse）h=AB 邻边（adjacent）b=AC

(注：tan、cot曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。) 罕见三角函数 除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数：

任意角三角函数定义 如图：在平面直角坐标系中设O-x为任意角α的始边，在角α终边上任取一点P（x，y），令OP=r. sinα=y/r cscα=r/y cosα=x/r secα=r/x [1] tanα=y/x cotα=x/y 单位圆定义 六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在0 和π/2 弧度之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。 根据勾股定理，单位圆的方程是：x2+y2=1 图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长

复数的三角形式及乘除运算

复数的三角形式及乘除运算 一、主要内容: 复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义. 二、学习要求: 1．熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值. 2．深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式. 3．能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围（最值）. 4．利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题. 5．注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法. 三、重点: 复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用. 四、学习建议: 1．复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的. 前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示，即Z=a+bi(a,b ∈R).二是几何表示，复数Z 既可以用复平面上的点Z(a,b)表示，也可以用复平面上的向量 来表示.现在需要学习复数的三角表示.既用复数Z 的 模和辐角来表示，设其模为r ，辐角为θ，则Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0). 既然这三种方式都可以表示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能够进行互化. 代数形式r= 三角形式 Z=a+bi(a,b ∈R) Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0) 复数三角形式的结构特征是:模非负，角相同，余弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数Z 的一个辐角，不一定是辐角主值. 五、基础知识 1）复数的三角形式 ①定义：复数z=a+bi （a,b ∈R ）表示成r （cos θ+ i sin θ）的形式叫复数z 的三角形式。即z=r （cos θ + i sin θ） 其中z r = θ为复数z 的辐角。 ②非零复数z 辐角θ的多值性。 始边，向量oz → 所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi 的辐角 以ox 轴正半轴为因此复数z 的辐角是θ+2k π（k ∈z ） ③辐角主值 表示法；用arg z 表示复数z 的辐角主值。 2π）的角θ叫辐角主值 02≤

三角函数的复数表示及在解决三角问题中的一些应用

三角函数的复数表示及在解决三角问题中的一些应用 摘要】复数表示成三角形式，其乘法与除法、乘方与开方运算相当方便，反之，三角函数也可用复数来解释、表示，三角函数运算问题就可转化为复数的代数运 算问题，因此用复数的方法来解决三角函数问题是一件自然的事情。本文给出常 用的三角函数、三角公式的复数形式，然后探讨其在解决三角问题中的应用。用 复数方法求解三角问题，不失为解决三角问题的一种有效方法、途径。 【关键词】三角函数；复数；复数表示；应用 一、常用三角函数或三角公式的复数表示 为了解决问题的需要，我们可导出下列三角函数的积化和差公式的复数形式。 还可根据需要导出三角函数的和差化积公式，这里不再叙述。 由此可知，三角函数或三角公式均可用复数表示，利用这些关系式可将三角 问题转化为代数问题，然后借助代数知识解决三角问题应是一件顺理成章的事情。事实上，这些关系式在三角函数的求值、化简、恒等变形、解三角方程及反三角 函数问题中都有广泛应用，下面举例说明。 二、复数在三角函数中的应用 （一）在证明三角恒等式中的应用 （二）在求三角函数值中的应用 （三）在解三角方程中的应用 （四）在反三角函数中的应用 三角函数的复数表示在解决三角问题中有极其广泛的应用，而且利用这些表 达式解决三角问题时目标明确，思路清晰，容易掌握；尤其是在证明三角恒等式 时更是如此，可将复杂的三角恒等变换化用较为简单的代数恒等变换代替。因此 在解决三角问题时，若能巧妙的引入复数，利用三角函数的复数表示，那么三角 问题就可化为复数问题，然后应用代数方法来处理，这种转化在许多情况下可起 到化难为易、化繁为简、事半功倍的作用，这为解决三角问题提供了又一新的思 想方法。 参考文献： [1]十五院校协编组编《竞赛数学教程》：高等教育出版社，2002年4月.

三角函数图像公式大全

幂函数的图形 指数函数的图形 对数函数的图形 三角函数的图形

各三角函数值在各象限的符号 sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα 三角函数的性质 函数y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域R R ｛x｜x∈R且 x≠kπ+ 2 π ,k∈Z｝ ｛x｜x∈R且 x≠kπ,k∈Z｝ 值域 ［-1，1］x=2kπ+ 2 π 时 y max=1 x=2kπ- 2 π 时y min=-1 ［-1,1］ x=2kπ时y max=1 x=2kπ+π时y min=-1 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期性周期为2π周期为2π周期为π周期为π 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数 单调性 在［2kπ- 2 π ,2kπ+ 2 π ］上 都是增函数；在 ［2kπ+ 2 π ,2kπ+ 3 2 π］上 都是减函数(k∈Z) 在［2kπ-π，2kπ］上都是 增函数；在［2kπ，2kπ+π］ 上都是减函数(k∈Z) 在(kπ- 2 π ，kπ+ 2 π )内都 是增函数(k∈Z) 在(kπ，kπ+π)内都 是减函数(k∈Z)

反三角函数的图形 反三角函数的性质 名称 反正弦函数 反余弦函数 反正切函数 反余切函数 定义 y=sinx(x ∈〔-2π,2 π 〕 的反函数，叫做反正弦函数，记作x=arsiny y=cosx(x ∈〔0,π〕)的反函数，叫做反余弦函数，记作x=arccosy y=tanx(x ∈(-2 π , 2 π )的反函数，叫做反 正切函数，记作x=arctany y=cotx(x ∈(0,π))的反函数，叫做反余切函数，记作x=arccoty 理解 arcsinx 表示属于 ［-2π,2 π ］ 且正弦值等于x 的角 arccosx 表示属于［0，π］，且余弦值等于x 的角 arctanx 表示属于(-2π,2 π)，且正切值等 于x 的角 arccotx 表示属于(0，π)且余切值等于x 的角 性质 定义域 ［-1，1］ ［-1，1］ (-∞，+∞) (-∞，+∞) 值域 ［- 2 π ， 2π］ ［0，π］ (- 2 π， 2 π) (0，π) 单调性 在〔-1，1〕上是增函数 在［-1，1］上是减 函数 在(-∞，+∞)上是增数 在(-∞，+∞)上是减函数 奇偶性 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arcco sx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π-arccot x 周期性 都不是同期函数 恒等式 sin(arcsinx)=x(x ∈［-1，1］)arcsin(sinx)=x(x ∈ ［- 2π,2 π ］) cos(arccosx)=x(x ∈［-1,1］) arccos(cosx)=x(x ∈［0,π］) tan(arctanx)=x(x ∈R)arctan(tanx)=x （x ∈(- 2π,2 π)） cot(arccotx)=x(x ∈R) arccot(cotx)=x(x ∈(0,π)) 互余恒等式 arcsinx+arccosx= 2 π(x ∈［-1,1］) arctanx+arccotx= 2 π(X ∈R)