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2012年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试

2012年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试
理 科 数 学
第I卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1.已知复数 EMBED Equation.DSMT4 ,则复平面内表示z的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.集合 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ,则 EMBED Equation.DSMT4
A.P B.Q C. EMBED Equation.DSMT4 D. EMBED Equation.DSMT4
3.二项式 EMBED Equation.DSMT4 的展开式中,含x4的项的系数为
A.5 B.10
C.-5 D.-10
4.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A.3 B. EMBED Equation.DSMT4
C. EMBED Equation.DSMT4 D. EMBED Equation.DSMT4

5.某程序框图如图所示,若输出的S=57,则判断框内应为
A.k > 4?
B.k > 5?
C.k > 6?
D.k > 7?
6.已知数列 EMBED Equation.DSMT4 为等差数列,且 EMBED Equation.DSMT4 ,则 EMBED Equation.DSMT4
A. EMBED Equation.DSMT4 B. EMBED Equation.DSMT4
C. EMBED Equation.DSMT4 D. EMBED Equation.DSMT4
7.已知椭圆的中心为原点,离心率 EMBED Equation.DSMT4 ,且它的一个焦点与抛物线 EMBED Equation.DSMT4 的焦点重合,则此椭圆方程为
A. EMBED Equation.DSMT4 B. EMBED Equation.DSMT4
C. EMBED Equation.DSMT4 D. EMBED Equation.DSMT4
8.已知 EMBED Equation.DSMT4 是周期为2的奇函数,当 EMBED Equation.DSMT4 时, EMBED Equation.DSMT4 。设 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ,则
A. EMBED Equation.DSMT4 B. EMBED Equation.DSMT4 C. EMBED Equation.DSMT4 D. EMBED Equation.DSMT4
9.函数 EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4 上有零点,则实数m的取值范围是
A. EMBED Equation.DSMT4 B. EMBED Equation.DSMT4 C. EMBED Equation.DSMT4 D. EMBED Equation.DSMT4
10. 数列 EMBED Equation.DSMT4 满足 EMBED Equation.DSMT4 ,则 EMBED Equation.DSMT4
A. EMBED Equation.DSMT4 B. EMBED Equation.DSMT4 C. EMBED Equation.DSMT4 D. EMBED Equation.DSMT4
11.已知点P是双曲线右支上的一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,I是 EMBED Equation.DSMT4 PF1F2的内心, EMBED Equation.DSMT4 成立,则 EMBED Equation.DSMT4
A. EMBED Equation.DSMT4 B. EMBED Equation.DSMT4 C. EMBED E

quation.DSMT4 D. EMBED Equation.DSMT4
12.若直角坐标平面内P、Q两点满足条件:①点P、Q都在函数 EMBED Equation.DSMT4 的图象上;②点P、Q关于原点对称,则称(P、Q)是函数 EMBED Equation.DSMT4 的一个“和谐点对”(点对(P、Q)与(Q、P)可看做同一个“和谐点对”)。已知函数 EMBED Equation.DSMT4 ,则 EMBED Equation.DSMT4 的“和谐点对”有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第II卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。将答案填在题后的横线上。)
13.随机变量X服从正态分布 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ,则 EMBED Equation.DSMT4 _______。
14.正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2,则侧棱与底面所成的角为__________。
15.连续掷一枚均匀的正方体骰子(6个面分别标有1,2,3,4,5,6,),现定义数列 EMBED Equation.DSMT4 ,Sn是其前n项和,则S5=3的概率是__________。
16.已知 EMBED Equation.DSMT4 ABC,∠C=60°,AC=2,BC=1,点M是 EMBED Equation.DSMT4 ABC内部或边界上一动点,N是边BC的中点,则 EMBED Equation.DSMT4 的最大值为__________。
三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17.(本小题满分12分)
已知函数 EMBED Equation.DSMT4 的一系列对应值如下表:
x EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 y -1 1 3 1 -1 1 3 (1)根据表格提供的数据求 EMBED Equation.DSMT4 的解析式;
(2)在 EMBED Equation.DSMT4 中,角A、B、C的对边分别为a、b、c, EMBED Equation.DSMT4 ,b=3c,
求 EMBED Equation.DSMT4
18.(本小题满分12分)
为了学生的全面发展,某中学在高一学年是推行“合理作业”(合理作业是指:放学后学生每天完成作业的时间不超过两小时)活动。高一学年共有学生2000人,其中男生1200人,女生800人,为了调查2012年3月(按30天计算)学生“合理作业”的天数情况,通过分层抽样的方法抽取了40人作为样本,统计他们在该月30天内“合理作业”的天数,并将所得的数据分成以下六组: EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ,…, EMBED Equation.DSMT4 ,由此画出样本的频率分布直方图,如图所示。
(1)求抽取的40人中男生、女生的人数;
(2)在抽取的40人中任取3人,设 EMBED Equation.DSMT4 为取出的三人中“合理作业”天数超过25天的人数,求 EMBED Equation.DSMT4 的分布列及数学期望 EMBED Eq

uation.DSMT4 。
19.(本小题满分12分)
已知四棱锥P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,AB⊥AC,AB=AC=2,G为 EMBED Equation.DSMT4 ABC重心,E为PB的中点,F在BC上,且CF=2FB。
(1)求证:FG∥平面PAB;
(2)当FG⊥平面AEC时,求二面角P—CD—A的正切值。
20.(本小题满分12分)
过抛物线x2=4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于点 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 。
(1)求y0;
(2)求证:直线AB恒过定点;
(3)设(2)中直线AB恒过定点F,是否存在实数 EMBED Equation.DSMT4 ,使 EMBED Equation.DSMT4 恒成立?若存在,求出 EMBED Equation.DSMT4 的值,若不存在,请说明理由。。

21.(本小题满分12分)
已知函数 EMBED Equation.DSMT4
(1)当 EMBED Equation.DSMT4 时,求 EMBED Equation.DSMT4 的单调递减区间;
(2)若当 EMBED Equation.DSMT4 时, EMBED Equation.DSMT4 恒成立,求 EMBED Equation.DSMT4 的取值范围;
(3)求证: EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4

24.(本小题满分10分)
设函数 EMBED Equation.DSMT4
(1)当 EMBED Equation.DSMT4 时,求函数 EMBED Equation.DSMT4 的定义域;
(2)若函数 EMBED Equation.DSMT4 的定义域为R,试求a的取值范围。

2012年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试
理科数学参考答案
答案 B A B C A D C D C A B A 13. EMBED Equation.3 14. EMBED Equation.3 15. EMBED Equation.3 16. EMBED Equation.3
17. (Ⅰ) EMBED Equation.3 …………………………………………… 4分
(Ⅱ) EMBED Equation.3 ………………………………………………… 6分
由余弦定理得 EMBED Equation.3 ……………………………………… 8分
由正弦定理得 EMBED Equation.3 …………………………………… 12分
18. (Ⅰ) 男生24人;女生16人 ………………………………………… 4分
(Ⅱ)
EMBED Equation.3 0 1 2 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

………………………… 8分
EMBED Equation.3 ……………………………………… 12分
19. (Ⅰ)连接 EMBED Equation.3 交 EMBED Equation.3 于 EMBED Equation.3 点
因为 EMBED Equation.3 ,所以 EMBED Equation.3 ,
又 EMBED Equation.3 平面 EMBED Equation.3 ,
所以 EMBED Equation.3 平面 EMBED Equation.3 ………………………………………………… 4分
(Ⅱ) 因为 EMBED Equation.3 ⊥平面 EMBED Equation.3 ,所以 EMBED Equation.3 即为二面角的平面角 …

……… 6分
在直角梯形 EMBED Equation.3 中,可求 EMBED Equation.3 …………………………… 7分
又由 EMBED Equation.3 平面 EMBED Equation.3 ,可求 EMBED Equation.3 …………………………… 9分
所以 EMBED Equation.3 …………………………………………………… 12分
20. (Ⅰ)设 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
由 EMBED Equation.3 ,得: EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
直线 EMBED Equation.3 的方程是: EMBED Equation.3 .
即 EMBED Equation.3 .①
同理,直线 EMBED Equation.3 的方程是: EMBED Equation.3 .②
由①②得: EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . ……………………………… 4分
(Ⅱ)恒过点 EMBED Equation.3 ………………………………………………………………… 8分
(Ⅲ)由(Ⅰ)得: EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
故存在 EMBED Equation.3 使得 EMBED Equation.3 . ………………………… 12分
21. (Ⅰ) 当 EMBED Equation.3 时 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 的单调递减区间为 EMBED Equation.3 ………………………………… 4分
(Ⅱ) 由 EMBED Equation.3 得 EMBED Equation.3
记 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
当 EMBED Equation.3 时 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 在 EMBED Equation.3 递减
又 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ………………………………………………………… 8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
取 EMBED Equation.3 得 EMBED Equation.3 即 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 …… 12分
24. (Ⅰ) EMBED Equation.3 时,
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 或 EMBED Equation.3
定义域为 EMBED Equation.3 ……………………………………… 4分
(Ⅱ) EMBED Equation.3 恒成立,
即 EMBED Equation.3 恒成立,
EMBED Equation.3
由 EMBED Equation.3 的图象知 EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . ………………………………………… 10分




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