2015高考数学一轮导学案：变化率与导数、导数的计算

第一节 变化率与导数、导数的计算

1．导数的概念

(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数： 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 li m Δx →

f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝li m Δx →0 Δy

Δx

为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x

＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →

Δy

＝li m Δx →0

f (x 0＋Δx )－f (x 0). (2)导数的几何意义：

函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．

(3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝li m Δx →

f (x ＋Δx )－f (x )

Δx

为f (x )的导函数．

2．几种常见函数的导数

3．导数的运算法则

(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数

复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．

1．下列求导运算正确的是( )

A.????x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2 C ．(3x )′＝3x log 3e D ．(x 2cos x )′＝－2sin x

解析：选B ????x ＋1x ′＝x ′＋????1x ′＝1－1

x 2；(3x )＝3x ln 3；(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋ x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x .

2．若f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．4

解析：选B ∵f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，∴f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， 又f ′(1)＝2，∴4a ＋2b ＝2，∴f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2. 3．曲线y ＝2x －x 3在x ＝－1处的切线方程为( ) A ．x ＋y ＋2＝0 B ．x ＋y －2＝0 C ．x －y ＋2＝0 D ．x －y －2＝0

解析：选A ∵f (x )＝2x －x 3，∴f ′(x )＝2－3x 2.∴f ′(－1)＝2－3＝－1. 又f (－1)＝－2＋1＝－1，∴切线方程为y ＋1＝－(x ＋1)，即x ＋y ＋2＝0.

4．曲线y ＝ax 2－ax ＋1(a ≠0)在点(0,1)处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( ) A.12 B ．－12 C.13 D ．－1

3

解析：选B ∵y ＝ax 2－ax ＋1，∴y ′＝2ax －a ，∴y ′|x ＝0＝－a .

又∵曲线y ＝ax 2－ax ＋1(a ≠0)在点(0,1)处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，∴(－a )·(－2)＝－1，即a ＝－12

.

5．(教材习题改编)如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.

解析：由题意知f ′(5)＝－1，f (5)＝－5＋8＝3，∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 答案：2

[典例] 若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋15

4

x －9都相切，则a 等于( )

A ．－1或－2564

B ．－1或21

4

C ．－74或－2564

D ．－7

4

或7

[解题指导] 由于点(1,0)不在曲线y ＝x 3上，故点(1,0)不是切点，因此应设直线与曲线y

＝x 3相切于点(x 0，x 30)，通过直线与y ＝x 3

相切求得切点坐标，然后再求a 的值．

[解析] 设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 2

0(x －x 0)，

即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2

＋154x －9相切可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋15

4x －9相切可得a ＝－1，所

以选A.

[答案]

A

已知曲线f (x )＝2x 3－3x ，过点M (0,32)作曲线f (x )的切线，则切线的方程为________________．

解析：设切点坐标为N (x 0,2x 30－3x 0)，

由导数的几何意义知切线的斜率k 就是切点处的导数值，而f ′(x )＝6x 2－3，则切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝6x 20－3，所以切线方程为y ＝(6x 2

0－3)x ＋32.又点N 在切线上，所以有2x 30－3x 0＝(6x 20－3)x 0＋32，

解得x 0＝－2.故切线方程为y ＝21x ＋32.

答案：y ＝21x ＋32

[例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝(1－x )?

??

?1＋

1x ；(2)y ＝ln x

x ；

(3)y ＝tan x ； (4)y ＝3x e x －2x ＋e ； (5)y ＝ln (2x ＋3)

x 2＋1

.

[自主解答] (1)∵y ＝(1－x )?

???1＋

1x ＝1x

－x ＝x －12－x 12，

∴y ′＝(x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －1

2

.

(2)y ′＝????ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1

x ·x －ln x x 2

＝1－ln x x 2

. (3)y ′＝????sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x ＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2

x ＝1

cos 2x . (4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.

(5)y ′＝(ln (2x ＋3))′(x 2＋1)－ln (2x ＋3)(x 2＋1)′

(x 2＋1)2

＝(2x ＋3)′2x ＋3·(x 2

＋1)－2x ln (2x ＋3)

(x 2＋1)2＝2(x 2＋1)－2x (2x ＋3)ln (2x ＋3)(2x ＋3)(x 2＋1)2.

【互动探究】

若将本例(3)中“tan x ”改为“sin x

2?

???1－2cos 2x 4”，应如何求解？ 解：∵y ＝sin x 2????1－2cos 2x 4＝－sin x 2cos x 2＝－12sin x ，∴y ′＝－1

2

cos x ．

求下列函数的导数：

(1)y ＝x ＋x 5＋sin x x 2

；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝11－x ＋11＋x ；(4)y ＝cos 2x

sin x ＋cos x ；(5)y ＝3－x ＋e 2x .

解：(1)∵y ＝x 1

2＋x 5＋sin x x 2

＝x －32＋x 3＋sin x

x

2， y ′＝(x －32)′＋(x 3)′＋(x －2sin x )′＝－32x －52＋3x 2－2x －3sin x ＋x －

2cos x .

(2)∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝3x 2＋12x ＋11. (3)∵y ＝11－x ＋11＋x ＝21－x ，∴y ′＝????21－x ′＝－2(1－x )′(1－x )2

＝2

(1－x )2. (4)∵y ＝cos 2x

sin x ＋cos x ＝cos x －sin x ，∴y ′＝－sin x －cos x .

(5)y ′＝12(3－x )－12(3－x )′＋e 2x (2x )′＝－12(3－x )－1

2

＋2e 2x .

[例2] (1)已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－e B ．－1 C ．1 D ．e

(2)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( ) A ．26 B ．29 C ．212 D ．215

(3)(2013·江西高考)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. [自主解答] (1)∵f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，∴f ′(x )＝[]2xf ′(1)′＋(ln x )′＝2f ′(1)＋1

x ，

∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，即f ′(1)＝－1.

(2)因为f ′(x )＝x ′·[](x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[](x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)′·x ＝(x －a 1)(x

－a 2)…(x －a 8)＋[](x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋0＝a 1a 2…a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.

(3)令t ＝e x ，故x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1

x ＋1，所以f ′(1)

＝2.

[答案] (1)B (2)C (3)2

1．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′????π6，则f ????－π3与f ????π3的大小关系是( ) A ．f ????－π3＝f ????π3 B ．f ????－π3>f ????π

3 C ．f ????－π3

?π

3 D ．不确定 解析：选C 依题意得f ′(x )＝－sin x ＋2f ′????π6，∴f ′????π6＝－sin π6＋2f ′????π6， ∴f ′????π6＝12.∴f (x )＝cos x ＋x ，即f ????π3＝cos π3＋π3＝12＋π3，f ????－π3＝cos ????－π3－π3＝12－π3， ∴f ????π3>f ????－π3.

2．(2014·台州模拟)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 014(x )等于( )

A ．－sin x －cos x

B ．sin x －cos x

C ．－sin x ＋cos x

D ．sin x ＋cos x

解析：选C f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝(sin x ＋cos x )′＝cos x －sin x ， f 3(x )＝f 2′(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝sin x －cos x ， f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x .故f n (x )是以4为周期的周期函数，又2 014＝503×4＋2， ∴f 2 014(x )＝f 2(x )＝－sin x ＋cos x

[例3] (1)(2012·新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________________．

(2)(2013·广东高考)若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________. (3)(2013·江西高考)若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.

(4)(2014·南京模拟)已知点P 在曲线y ＝4

e x

＋1

上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．

[自主解答] (1)y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x

＝3ln x ＋4，k ＝y ′|x ＝1＝4，故切线方程为y －1

＝4(x －1)，即y ＝4x －3.

(2)∵f (x )＝ax 2

－ln x ，则f ′(x )＝2ax －1x ，∴f ′(1)＝2a －1＝0，得a ＝12.

(3)求导得y ′＝αx

α－1

，切线的斜率k ＝α，由点斜式得切线方程为y －2＝α(x －1)．

∵切线经过原点(0,0)，∴－2＝α×(－1)，α＝2.(4)∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4e

x

e x

＋1

2

＝－4e x

e 2x ＋2e x

＋1＝－4e x ＋1e

x ＋2

.∵e x >0，∴e x

＋1e

x ≥2，∴y ′∈[－1,0)，∴tan α∈[－1,0)．又α∈[0，π)，∴α∈??

??

?

?3π4，π.

[答案] (1)y ＝4x －3 (2)1

2

(3)2 (4)????3π4，π 1．已知直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝x 3＋ax ＋1相切于点(2,3)，则b 的值为( ) A ．－3 B ．9 C ．－15 D ．－7

解析：选C 将点(2,3)分别代入曲线y ＝x 3＋ax ＋1和直线y ＝kx ＋b ，得a ＝－3,2k ＋b ＝3.又k ＝y ′|x ＝2＝(3x 2－3)|x ＝2＝9，∴b ＝3－2k ＝3－18＝－15.

2．已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是( )

A.????－12，＋∞

B.????－∞，－12

C.[)－1，＋∞

D.(]－∞，－1

解析：选A 由题意知曲线上存在某点的导数为1，所以y ′＝2ax ＋3－1

x ＝1有正根，

即2ax 2＋2x －1＝0有正根．当a ≥0时，显然满足题意；当a <0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a <0.综上，a ≥－12

.

3．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________． 解析：设P (x 0，y 0)到直线y ＝x －2的距离最小，则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1

x 0

＝1，得x 0＝1或

x 0＝－1

2(舍)．∴P 点坐标为(1,1)．∴P 到直线y ＝x －2的距离d ＝|1－1－2|1＋1

＝ 2.

答案：2

1．函数y ＝x 2cos x 在x ＝1处的导数是( ) A ．0 B ．2cos 1－sin 1 C ．cos 1－sin 1 D ．1

解析：选B ∵y ′＝(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ， ∴y ′|x ＝1＝2cos 1－sin 1.

2．已知t 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －t )且f ′(－1)＝0，则t 等于( ) A ．0 B ．－1 C.1

2

D ．2

解析：选C f ′(x )＝3x 2－2tx －4，f ′(－1)＝3＋2t －4＝0，t ＝1

2

.

3．(2014·丽水模拟)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )

A ．1

B ．3

C ．－4

D ．－8

解析：选C 由题意得P (4,8)，Q (－2,2)．∵y ＝x 2

2

，∴y ′＝x ，

∴在P 处的切线方程：y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8.在Q 处的切线方程：y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.∴A (1，－4)．

4．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1

解析：选A y ′＝2x ＋a ，因为切线x －y ＋1＝0的斜率为1，所以2×0＋a ＝1，即a ＝1.又(0，b )在直线x －y ＋1＝0上，因此0－b ＋1＝0，即b ＝1.

5．直线y ＝1

2x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为( )

A ．2

B ．ln 2＋1

C ．ln 2－1

D ．ln 2

解析：选C ∵y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，∴1x ＝1

2，解得x ＝2，∴切点为(2，ln 2)．将

其代入直线y ＝1

2

x ＋b 得b ＝ln 2－1.

6．(2014·杭州模拟)已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，如果f ′(x )是二次函数，f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任意一点处的切线的倾斜角α的取值范围是( )

A.????0，π3

B.????π3，π2

C.????π2，2π3

D.???

?π

3，π 解析：选B 由题意知f ′(x )＝a (x －1)2＋3(a >0)，所以f ′(x )＝a (x －1)2＋3≥ 3，即tan α≥ 3，所以α∈????

π3，π2.

7．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝1

4处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，

则实数a 的值为________．

解析：由题意可知f ′????14＝12x －12|x ＝14＝g ′????14＝a 14，可得a ＝14，经检验，a ＝14

满足题意．

答案：14

8．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________．

解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，所以切线方程为x －y －2＝0.

答案：x －y －2＝0

9．(2014·金华模拟)若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．

解析：曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解．又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，∴方程5ax 4＋1

x

＝0有正实数解．∴5ax 5＝－1有正实数解．∴a <0.

故实数a 的取值范围是(－∞，0)． 答案：(－∞，0) 10．求下列函数的导数． (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝(x －2)2； (3)y ＝x －sin x 2 cos x 2

；

(4)设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，试确定常数a ，b ，c ，d ，使得f ′(x )＝x cos x . 解：(1)∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3，∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9.

(2)∵y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4，∴y ′＝x ′－(4x )′＋4′＝1－4×12x －12＝1－2x －1

2.

(3)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－????12sin x ′＝1－1

2

cos x . (4)由已知f ′(x )＝[(ax ＋b ) sin x ＋(cx ＋d )cos x ]′＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )cos x ]′＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋(cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x －(cx ＋d )sin x ＝(a －cx －d )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x .∵f ′(x )＝x cos x ，∴必须有

?

??

??

a －d －cx ＝0，ax ＋

b ＋

c ＝x ，即?????

a －d ＝0，

－c ＝0，a ＝1，b ＋c ＝0

?a ＝d ＝1，b ＝c ＝0.

11．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.

(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；

(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－1

4x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．

解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1， ∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32. (2)设切点为(x 0，y 0)，

则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 2

0＋1，

∴直线l 的方程为y ＝(3x 2

0＋1)(x －x 0)＋x 3

0＋x 0－16， 又∵直线l 过点(0,0)，

∴0＝(3x 2

0＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16， 整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2. ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，

k ＝3×(－2)2＋1＝13.

∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．

(3)∵切线与直线y ＝－x

4

＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)，

则f ′(x 0)＝3x 2

＋1＝4，解得x 0＝±1.∴?

??

??

x 0＝1，

y 0＝－14或?

??

??

x 0＝－1，y 0＝－18.

切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18.即y ＝4x －18或y ＝4x －14. 12．设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1

与C 2的一个交点的两切线互相垂直．

(1)求a ，b 之间的关系； (2)求ab 的最大值．

解：(1)对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝ －2x ＋a ，设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两条切线互相垂直．∴(2x 0－2)·(－2x 0＋a )＝－1，即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0，①

又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有?

????

y 0＝x 2

0－2x 0＋2，y 0＝－x 2

0＋ax 0＋b ，?2x 2

0－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0.②

由①②消去x 0，可得a ＋b ＝5

2

.

(2)由(1)知：b ＝52－a ，∴ab ＝a ????52－a ＝－????a －542＋2516.∴当a ＝54时，(ab )max ＝2516.

2020-2021学年人教A版数学选修-学案-1.1.1-变化率问题-1.1.2-导数的概念-含解析

1．1变化率与导数 1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念 内容标准学科素养 1.了解导数概念的实际背景； 2.会求函数在某一点附近的平均变化率； 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数. 强化数学概念 完善逻辑推理 提升数学运算 授课提示：对应学生用书第1页 [基础认识] 知识点一函数的平均变化率 预习教材P2－3，思考并完成以下问题 假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直 角坐标系，A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x) 表示． 自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此 时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标 为(x2，y2)． (1)若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？ 提示：自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数的改变量为y2－y1，记作Δy. (2)怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？ 提示：对山路AB来说，用 Δy Δx ＝ y2－y1 x2－x1 可近似地刻画其陡峭程度． 知识梳理函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 (1)定义式： Δy Δx＝ f(x2)－f(x1) x2－x1 .

(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． (4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 表示割线P 1P 2的斜率． 知识点二 瞬时速度 预习教材P 4－6，思考并完成以下问题 1．物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )＝5t 2.试求物体在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度． 提示：Δs ＝5(1＋Δt )2－5＝10Δt ＋5(Δt )2， v ＝Δs Δt ＝10＋5Δt . 2．当Δt 趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？ 提示：当Δt 趋近于0时，Δs Δt 趋近于10，这时的平均速度即为当t ＝1时的瞬时速度． 知识梳理 瞬时速度 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． (2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为 Δs Δt ＝ s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，Δs Δt 无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 趋近于0 时，Δs Δt 的极限是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 s (t 0＋Δt )－s (t 0) Δt . 知识点三 函数在某点处的导数 知识梳理 一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0) ＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 思考：1.函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率的大小与曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的“陡峭”程度有什么关系？ 提示：平均变化率的绝对值越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然． 2．函数的平均变化率是固定不变的吗？ 提示：不一定，在平均变化率中，当x 1取定值后，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；当Δx 取定值后，x 1取不同的数值时，函数的平圴变化率也不一定相同．事实

高中数学变化率问题教案

§1.1.1变化率问题 教学目标 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(16.01 2) 1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少 ?

人教版高中数学全套教案导学案111变化率问题

1. 1.1变化率问题课前预习学案。知道平均变化率的定义。，课本中的问题1,2 预习目标：“变化率问题”预习内容：气球膨胀率问题1 气球,,随着气球内空气容量的增加我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现 ,如何描 述这种现象呢？的半径增加越来越慢.从数学角度43?r?r)V(dmVL r)气球的体积:(单位:之间的函数关系是)与半径(单位33V?)r(V V r,如果将半径那么表示为体积的函数3?4在吹气球问题中，当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率为__________ 当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从V增加到V时,气球的平均膨胀率为_____________21问题2 高台跳水 h 与起跳后)单位：m在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(2如何用运动+10. +6.5-4.9tt 的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= v? 粗略地描述其运动状态员在某些时间段内的平均速度v5t.?00?=_________________ 这段 时间里，在v2?t?1=_________________ 这段时间里，在ot 问题3 平均变化率????xffxx到从已知函数，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数1x?xx看做是相表示=___________,可把，即习惯上用 ___________.x??x?x122x?xx__________________,代替对于类似有的一个“增量”，可用，?x)?f(x?211_______________________ 于是，平均变化率可以表示为提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 课内探究学案 1.学习目标理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; .

变化率与导数教案

变化率与导数教案 Prepared on 24 November 2020

第三章 变化率和导数 3．1．1瞬时变化率—导数 教学目标： (1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念 (2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度 (3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想 教学过程：时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景 一、复习引入 1、什么叫做平均变化率； 2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率 3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢 下面我们来看一个动画。从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。 所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势 二、新课讲解 1、曲线上一点处的切线斜率 不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0 101) ()(x x x f x f k PQ --=， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0，

∴x x f x x f k PQ ?-?+= ) ()(00 当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，x x f x x f k PQ ?-?+= ) ()(00无限趋近点Q 处切线斜率。 2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法： x x f x x f k ?-?+= ) ()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的 斜率。 3、瞬时速度与瞬时加速度 (1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度 (2) 位移的平均变化率： t t s t t s ?-?+) ()(00 (3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，t t s t t s ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数，这个常 数称为t=t 0时的瞬时速度 求瞬时速度的步骤： 1.先求时间改变量t ?和位置改变量)()(00t s t t s s -?+=? 2.再求平均速度t s v ??= 3.后求瞬时速度：当t ?无限趋近于0，t s ??无限趋近于常数v 为瞬时速度 (4)速度的平均变化率： t t v t t v ?-?+) ()(00 (5)瞬时加速度：当t ?无限趋近于0 时，t t v t t v ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数，这 个常数称为t=t 0时的瞬时加速度 注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率

变化率与导数、导数的计算学案(高考一轮复习)

20XX 年高中数学一轮复习教学案 第二章 函数、导数及其应用 第11节 变化率与导数、导数的计算 一．学习目标： 1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义； 2．能根据导数定义，求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1 x 的导数； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 二．学习重、难点： 1．学习重点：能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数； 2．学习难点：理解导数的几何意义. 三．学习方法：讲练结合 四．自主复习： 1．导数的概念 (1)函数在x ＝x 0处的导数 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是__________________________＝lim Δx →0 Δy Δx ， 称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0 . (2)导函数：当上式中的x 0看作变量x 时，函数f ′(x )为f (x )的________． (3)导数的几何意义：f ′(x 0)是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的________，相应的切线方程是_____________________．

2．基本初等函数的导数公式 3.运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝_________________； (2)[f(x)·g(x)]′＝________________________； (3)[f(x) g(x) ]′＝_______________________ (g(x)≠0)．五．复习前测： 1．已知函数f(x)＝sin x＋ln x，则f′(1)的值为() A．1－cos1 B．1＋cos1 C．cos1－1 D．－1－cos1

优秀教案21-变化率与导数

第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数（1） 教材分析 导数是微积分的核心概念之一.它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具，因而也是解决诸如运动速度、物种繁殖率、绿化面积增长率，以及用料最省、利润最大、效率最高等实际问题的最有力的工具.在本章,我们将利用丰富的背景与大量实例,学习导数的基本概念与思想方法;通过应用导数研究函数性质、解决生活中的最优化问题等实践活动，初步感受导数在解决数学问题与实际问题中的作用.教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的． 课时分配 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A 版）数学选修1－1第三章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时，主要讲解导数的概念及利用定义求导数. 教学目标 重点: 通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念． 难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念． 知识点：导数的概念. 能力点：掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤 教育点：通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验 自主探究点：通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要 过程. 考试点：利用导数的概念求导数. 易错易混点：对0x ?→的理解，0,0,x x ?>?<0,0x x ?>?≠但0x ?≠. 拓展点：导数的几何意义. 教具准备 多媒体课件和三角板 课堂模式 学案导学

(完整版)变化率与导数、导数的计算知识点与题型归纳

1 ●高考明方向 1.了解导数概念的实际背景． 2.理解导数的几何意义． 3.能根据导数定义求函数 y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1 x 的导数． 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则 求简单函数的导数. ★备考知考情 由近几年高考试题统计分析可知，单独考查导数运算的题目很少出现，主要是以导数运算为工具，考查导数的几何意义为主，最常见的问题就是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系，以平行或垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，以及与曲线的切线相关的计算题．考查题型以选择题、填空题为主，多为容易题和中等难度题，如2014广东理科10、文科11. 2014广东理科10 曲线52-=+x y e 在点()0,3处的切线方程为 ； 2014广东文科11 曲线53=-+x y e 在点()0,2-处的切线方程为 ；

一、知识梳理《名师一号》P39 知识点一导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化 率lim Δx→0Δy Δx＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x ＝x0 . (2)称函数f′(x)＝lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x) Δx为f(x)的导函数. 注意:《名师一号》P40 问题探究问题1 f′(x)与f′(x0)有什么区别？ f′(x)是一个函数，f′(x0)是常数， f′(x0)是函数f′(x)在点x0处的函数值． 例.《名师一号》P39 对点自测1 1.判一判 (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．() (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．() (3)f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．() 答案(1)×(2)×(3)√ 2

变化率和导数(三个课时教案)

第一章导数及其应用 第一课时：变化率问题 教学目标： 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．

二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =， ⑴当V 从0增加到1时,气球半径增加了 )(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵当V 从1增加到2时,气球半径增加了 )(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.01 2)1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 1 212) ()(V V V r V r --

高中数学第三章.1变化率问题3.1.2导数的概念学案含解析新人教A版选修7.doc

3．1.1 & 3.1.2 变化率问题 导数的概念 [提出问题] 假设下图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示． 自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点 A 的坐标为(x 1，y 1)，点 B 的坐标为(x 2，y 2)． 问题1：若旅游者从点A 爬到点B ，且这段山路是平直的，自变量x 和函数值y 的改变量Δx ，Δy 分别是多少？ 提示：自变量x 的改变量为Δx ＝x 2－x 1，函数值的改变量为Δy ＝y 2－y 1. 问题2：Δy 的大小能否判断山路的陡峭程度？ 提示：不能． 问题3：怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？ 提示：对山坡AB 来说，Δy Δx ＝y 2－y 1 x 2－x 1可近似地刻画． 问题4：能用Δy Δx 刻画山路陡峭程度的原因是什么？ 提示：因Δy Δx 表示A ，B 两点所在直线的斜率k ，显然，“线段”所在直线的斜率越大， 山路越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比Δy Δx 越大，山路越陡；反之，山路越缓． 问题5：从点A 到点B 和从点A 到点C ，两者的Δy Δx 相同吗？ 提示：不相同．

[导入新知] 函数的平均变化率 对于函数y ＝f (x )，给定自变量的两个值x 1，x 2，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从 f (x 1)变为f (x 2)，我们把式子f x 2－f x 1 x 2－x 1 称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率． 习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1 的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2.类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．于是，平均变化率可表示为 Δy Δx . [化解疑难] 1．正确理解增量Δx 与Δy Δx 是自变量x 在x 0处的改变量，不是Δ与x 的乘积，Δx 的值可正，可负，但不能为0.Δy 是函数值的改变量，可正，可负，也可以是0.函数的平均变化率为0，并不一定说明函数f (x )没有变化． 2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．利用平均变化率的大小可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度. [提出问题] 一质点的运动方程为s ＝8－3t 2 ，其中s 表示位移，t 表示时间． 问题1：试求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度． 提示：Δs Δt ＝ 8－＋Δt 2 －8＋3×1 2 Δt ＝－6－3Δt . 问题2：当Δt 趋近于0时，“问题1”中的平均速度趋近于什么？如何理解这一速度？ 提示：当Δt 趋近于0时，Δs Δt 趋近于－6.这时的平均速度即为t ＝1时的瞬时速度． [导入新知] 1．瞬时速度的概念 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度： 设物体运动的路程与时间的关系是s ＝s (t )，当Δt 趋近于0时，函数s (t )在t 0到t 0 ＋Δt 之间的平均变化率s t 0＋Δt －s t 0 Δt 趋近于一个常数，把这个常数称为瞬时速 度． 2．导数的定义

《变化率问题与导数的概念》导学案

第1课时变化率问题与导数的概念 a 1.通过物理中的变化率问题和瞬时速度引入导数的概念. 2.掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤. 3.通过构建导数概念,使学生体会极限思想,为将来学习极限概念积累学习经验. 4.通过导数概念的教学教程,使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程. 借助多媒体播放2012年伦敦奥运会中国跳水运动员陈若琳夺得女子单人10米跳台冠军的视频.上节课我们已经学习了平均变化率的问题,我们知道运动员的平均速度不一定能够反映她在某一时刻的运动状态,而运动员在不同时刻的运动状态是不同的,我们需要借助于瞬时速度这样的量来刻画,那么我们如何才能求出运动员在某一时刻的瞬时速度呢? 问题1:根据以上情境,设陈若琳相对于水面的高度h (单位:m)与起跳后的时间t (单位:s) 存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,如果用她在某段时间内的平均速度描述其运动状态, 那么: (1)在0≤t≤0.5这段时间里,运动员的平均速度= . (2)在1≤t≤2这段时间里, 运动员的平均速度= . 问题2:函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率公式是.如果用x1与增量Δx

表示,平均变化率的公式是. 问题3:函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率的定义:一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是=,我们称它为函数y=f(x)在x=x 0处的导数,记作f'(x0)或y',即f'(x0)== . 问题4:在导数的定义中,对Δx→0的理解是:Δx>0,Δx<0,但. 1.已知函数y=f(x)=x2+1,当x=2,Δx=0.1时,Δy的值为(). A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44 2.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则(). A.f'(x)=a B.f'(x)=b C.f'(x0)=a D.f'(x0)=b 3.一质点按规律s(t)=2t2运动,则在t=2时的瞬时速度为. 4.求y=2x2+4x在点x=3处的导数.

(word完整版)数学北师大版高中选修2-2北师大版高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》教案

北师大版高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》全部教案 §1变化的快慢与变化率 第一课时变化的快慢与变化率——平均变化率 一、教学目标：1、理解函数平均变化率的概念； 2、会求给定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某区间上变化的快慢。 二、教学重点：从变化率的角度重新认识平均速度的概念，知道函数平均变化率就是函数在某区间上变化的快慢的数量描述。 教学难点：对平均速度的数学意义的认识 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 (一)、客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。 从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题： 第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。 第二类问题是求曲线的切线的问题。 第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。 十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。 十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。他以含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。 研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。 本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。 微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。 积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。 微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是

变化率与导数、导数的计算

第十一节变化率与导数、导数的计算 [备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解导数概念的实际背景． 2.理解导数的几何意义． 3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常 数)，y＝x，y＝x2，y＝x3， y＝ 1 x的导数． 4.能利用基本初等函数的导数公式和 导数的四则运算法则求简单函数的导 数. 1.对于导数的几何意义，高考要求较高，主要以选择 题或填空题的形式考查曲线在某点处的切线问题， 如2012年广东T12，辽宁T12等． 2.导数的基本运算多涉及三次函数、指数函数与对数 函数、三角函数等，主要考查对基本初等函数的导 数及求导法则的正确利用. [归纳·知识整合] 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数： 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx＝lim Δx→0 Δy Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即 f′(x0)＝lim Δx→0 Δy Δx＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. (2)导数的几何意义： 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (3)函数f(x)的导函数：

称函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数． [探究] 1.f ′(x )与f ′(x 0)有何区别与联系？ 提示：f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是常数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值． 2．曲线y ＝f (x )在点P 0(x 0，y 0)处的切线与过点P 0(x 0，y 0)的切线，两种说法有区别吗？ 提示：(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 3．过圆上一点P 的切线与圆只有公共点P ，过函数y ＝f (x )图象上一点P 的切线与图象也只有公共点P 吗？ 提示：不一定，它们可能有2个或3个或无数多个公共点． 2．几种常见函数的导数 3．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．

1.1变化率与导数第1课时 精品教案

1.1变化率与导数 【课题】：1.1.1变化率问题 【教学目标】： （1）知识目标： ○1感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。体会数学的博大精深以及学习数学的意义。○2理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。 （2）情感目标：让学生充分体会到生活中处处有数学。 （3）能力目标：提高学生学习能力与探究能力、归纳表达能力。【教学重点】： 正确理解平均变化率； 【教学难点】： 平均变化率的概念。 【课前准备】：powerpoint 【教学过程设计】：

(基础题) 1.物体自由落体的运动方程是:()2 12 S t gt =,求１s 到２s 时的平均速度． 解：213 14.72 S S g m -= = ,211t t s -=,

则()21 21 14.7/S S v m s t t -= =- 2.水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体 积 （单位：3 cm ），计算第一个10s 内V 的平 均变化率。 注： (10)(0)100 V V -- 3.已知函数2 ()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变 化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]。 4.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。 (难题) 5.思考： （1）课本P4思考题 （2）在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位： s ）存在函数关系h （t ）=－4.9t 2＋6.5t ＋10.计算运动员在65 049 t ≤≤这段时间里的平均速度， 并思考下面的问题： ○ 1运动员在这段时间里是静止的吗？ ○ 2你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 答案: ○1不是. ○2不能客观描述运动员的运动状态. T(月) 3 9 12 t t V 1.025)(-? =

课时跟踪检测(十七) 变化率与导数、导数的运算

课时跟踪检测（十七） 变化率与导数、导数的运算 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(－1,3) C ．(1,3)和(－1,3) D ．(1，－3) 解析：选C f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C. 2．曲线f (x )＝2x －e x 与y 轴的交点为P ，则曲线在点P 处的切线方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x －y －1＝0 D ．x ＋y －1＝0 解析：选C 曲线f (x )＝2x －e x 与y 轴的交点为(0，－1)． 且f ′(x )＝2－e x ，∴f ′(0)＝1. 所以所求切线方程为y ＋1＝x ， 即x －y －1＝0. 3．(2018·温州模拟)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(2 017)＝( ) A ．1 B ．2 C ．12 017 D ．2 0182 017 解析：选D 令e x ＝t ，则x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ＋t ，故f (x )＝ln x ＋x .求导得f ′(x )＝1x ＋1，故f ′(2 017)＝12 017＋1＝2 0182 017 .故选D. 4．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2 处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0 相互垂直，则实数a ＝________. 解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，所以f ′????π2＝sin π2＋π2cos π2 ＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a 2 ，所以1×????－a 2＝－1，解得a ＝2. 答案：2 5．(2018·杭州模拟)已知函数f (x )＝x 33－b 2 x 2＋ax ＋1(a ＞0，b ＞0)，则函数g (x )＝a ln x ＋f ′(x )a 在点(b ，g (b ))处切线的斜率的最小值是________． 解析：因为a ＞0，b ＞0，f ′(x )＝x 2－bx ＋a ，所以g ′(x )＝a x ＋2x －b a ，则g ′(b )＝a b ＋2b －b a ＝a b ＋b a ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，所以斜率的最小值为2.

第1讲 变化率与导数、导数的计算

第1讲变化率与导数、导数的计算 [学生用书P39] 一、知识梳理 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 lim Δx→0f（x0＋Δx）－f（x0） Δx＝lim Δx→0 Δy Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝ x0，即f′(x0)＝lim Δx→0Δy Δx ＝lim Δx→0 f（x0＋Δx）－f（x0） Δx ． (2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (3)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝lim Δx→0f（x＋Δx）－f（x） Δx 为f(x)的导函数． 2．基本初等函数的导数公式 原函数导函数 f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0 f(x)＝x n(n∈Q*)f′(x)＝nx n－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

3.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)?? ?? ??f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 常用结论 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )． 3．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 二、习题改编 1．(选修2-2P65A 组T2(1)改编)函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos x D ．－x cos x 解析：选B.y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 2．(选修2-2P18A 组T6改编)曲线y ＝1－2 x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________． 解析：因为y ′＝ 2 （x ＋2） 2，所以y ′|x ＝－1＝2. 故所求切线方程为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝0 3．(选修2-2P7例2改编)有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3 t (t 是时间，s 是位移)，则该 机器人在t ＝2时的瞬时速度为________．

3.1 变化率与导数 教学设计 教案

教学准备 1. 教学目标 知识与技能 1.理解平均变化率的概念. 2.了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念. 3.理解导数的概念 4.会求函数在某点的导数或瞬时变化率. 过程与方法 理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率． 情感、态度与价值观 感受数学模型刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力． 2. 教学重点/难点 教学重点 平均变化率的概念． 教学难点 平均变化率概念的形成过程． 3. 教学用具 多媒体、板书 4. 标签 教学过程 教学过程设计

创设情景、引入课题 【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。 【师】人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。 新知探究 1.变化率问题 探究1 气球膨胀率 【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 【分析】 （1）当V从0增加到1时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 （2）当V从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为

变化率问题和导数的概念

第一章导数及其应用 1．1变化率与导数 1．1.1变化率问题 1．1.2导数的概念 双基达标(限时20分钟) 1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)， 则Δy Δx等于 ()． A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 解析Δy Δx＝ f(1＋Δx)－f(1) Δx＝ 2(1＋Δx)2－2 Δx＝4＋2Δx. 答案 C 2．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是 ()．A．4 B．4.1 C．0.41 D．3 解析v＝(3＋2.12)－(3＋22) 0.1＝4.1. 答案 B 3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在 1.2 s末的瞬时速度为 ()．A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s C．0.88 m/s D．4.8 m/s 解析物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得． 答案 A

4．已知函数y ＝2＋1 x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________. 解析 Δy ＝? ? ???2＋12－(2＋1)＝－12. 答案 －1 2 5．已知函数y ＝2 x ，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________. 解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝21.5－22＝43－1＝1 3. 答案 1 3 6．利用导数的定义，求函数y ＝1 x 2＋2在点x ＝1处的导数． 解 ∵Δy ＝??????1(x ＋Δx )2＋2－? ???? 1x 2＋2＝－2x Δx －(Δx )2(x ＋Δx )2·x 2， ∴Δy Δx ＝－2x －Δx (x ＋Δx )2·x 2 ， ∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 －2x －Δx (x ＋Δx )2·x 2＝－2 x 3， ∴y ′|x ＝1＝－2. 综合提高 (限时25分钟) 7．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为 ( )． A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 解析 Δy ＝(2＋0.1)2－22＝0.41. 答案 B 8．设函数f (x )可导，则 lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1) 3Δx 等于 ( )． A ．f ′(1) B ．3f ′(1) C.1 3f ′(1) D ．f ′(3)