北师大版七年级上册数学 有理数(提升篇)(Word版 含解析)
一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）
1．如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足|a+2|+|b﹣4|=0；
（1）点A表示的数为________；点B表示的数为________；
（2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），
①当t=1时，甲小球到原点的距离=________；乙小球到原点的距离=________；
当t=3时，甲小球到原点的距离=________；乙小球到原点的距离=________；
②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．________
【答案】（1）-2
；4
（2）3
；2
；5
；2
；能.
理由：
当0＜t≤2时，t+2=4-2t
解之：
当t＞2时，t+2=2t-4
解之：t=6
∴当或6时，甲乙两小球到原点的距离相等.
【解析】【解答】解：（1）∵a、b满足|a+2|+|b﹣4|=0，
∴a+2=0且b-4=0
解之：a=-2且b=4，
∵在数轴上A点表示数a，B点表示数b，
∴点A表示的数是-2，点B表示的数是4.
故答案为：-2，4.
（2）当0＜t≤2时，甲小球距离原点为（t+2）个单位长度；乙小球距离原点为（4-2t）个单位长度；
当t＞2时，甲小球距离原点为（t+2）个单位长度；乙小球距离原点为（2t-4）个单位长
度；
①当t=1时，甲小球到原点的距离为：1+2=3；乙小球到原点的距离为4-2×1=2；
当t=3时，甲小球到原点的距离为：3+2=5；乙小球到原点的距离为2×3-4=2；
故答案为：3，2；5，2
【分析】（1）利用几个非负数之和为0，则每一个数都是0，建立关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，就可得到点A，B所表示的数。
（2）①根据两个小球的运动方向及速度，可以分别用含t的代数式表示出当0＜t≤2时，甲小球距离原点的距离和乙小球离原点的距离，当t＞2时，甲小球距离原点的距离和乙小球离原点的距离，然后将t=1和t=3分别代入相关的代数式，即可求解；②利用（2）中的结论，分情况分别根据甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间，建立关于t的方程，解方程求出t的值。
2．同学们都知道表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：
（1）求 ________．
（2）找出所有符合条件的整数，使得．满足条件的所有整数值有________
（3）由以上探索，猜想对于任何有理数x，是否有最大值或最小值？如果有最大值或最小值是多少？有最________（填“最大”或“最小”）值是________．
【答案】（1）7
（2）-3，-2，-1，0，1，2;
（3）最小；3
【解析】【解答】（1）原式=|5+2|=7.
故答案为: 7;（2）令x+3=0或x-2=0时，则x=-3或x=2.
当x<-3时，- (x+3) - (x-2) =5 ,
-x-3-x+2=5，解得x=-3(范围内不成立)
当-3≤x≤2时，(x+3) - (x-2) = 5,
x+3-x+1=4，0x=0，x为任意数,
则整数x=-3，-2，-1, 0，1，
当x>2时，(x+3) + (x-2) = 5，
x=2(范围内不成立) .
综上所述，符合条件的整数x有: -3, -2, -1, 0，1，2.
故答案为:-3，-2，-1，0，1，2;(3) 由(2) 的探索猜想,对于任何有理数x，有最小值为3,
令x-3=0或x-6=0时,则x=3，x=6
当x＜3时，-(x-3)-(x-6)=-2x+3﹥3
当3≤x≤6时，x-3-(x-6)=3,
当x＞6时，x-3+x-6=2x-9＞3
∴对于任何有理数x，有最小值为3
【分析】（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去掉绝对值就可以了；（2）要求x的整数值可以进行分段计算，令x+3=0或x-2=0时，分为3段进行计算，最后确定x的值.（3）根据（2）方法去绝对值，分为3种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值.
3．如图，在数轴上每相邻两点间的距离为一个单位长度，点、、、对应的数分别是，且 .
（1）那么 ________， ________：
（2）点以个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，秒后点以个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动，当点到达点处立刻返回，与点在数轴的某点处相遇，求这个点对应的数；
（3）如果、两点以（2）中的速度同时向数轴的负方向运动，点从图上的位置出发
也向数轴的负方向运动，且始终保持，当点运动到时，点对应的数是多少？
【答案】（1）-6；-8
（2）解：由（1）可知：，，，，
点运动到点所花的时间为，
设运动的时间为秒，
则对应的数为，
对应的数为： .
当、两点相遇时，，，
∴ .
答：这个点对应的数为；
（3）解：设运动的时间为
对应的数为：
对应的数为：
∴
∵
∴
∵对应的数为
∴
①当，；
②当，，不符合实际情况，
∴
∴
答：点对应的数为
【解析】【解答】解：（1）由图可知：，
∵，
∴，
解得，
则；
【分析】（1）由a、d在数轴上的位置可得d=a+8，代入已知的等式可求得a的值，再根据数轴可确定原点的位置；
（2）根据相遇问题可求得相遇时间，然后结合题意可求解；
（3）根据AB=AC列方程，解含绝对值的方程可求解.
4．如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上位于点左侧一点，且AB=20，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间t(t>0)秒．
（1）写出数轴上点表示的数________；点表示的数________（用含的代数式表示）（2）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发，问多少秒时、之间的距离恰好等于？
（3）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问多少秒时、之间的距离恰好又等于？
（4）若为的中点，为的中点，在点运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请画出图形，并求出线段的长．
【答案】（1）；
（2）解：若点P、Q同时出发，设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况：
①点P、Q相遇之前，
由题意得3t+2+5t=20，解得t=2.25；
②点P、Q相遇之后，
由题意得3t-2+5t=20，解得t=2.75．
答：若点P、Q同时出发，2.25或2.75秒时P、Q之间的距离恰好等于2
（3）解：设点P运动x秒时，P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况：
①点P、Q相遇之前，
则5x-3x=20-2，
解得：x=9；
②点P、Q相遇之后，
则5x-3x=20+2
解得：x=11．
答：若点P、Q同时出发，9或11秒时P、Q之间的距离恰好又等于2
（4）解：线段MN的长度不发生变化，都等于10；理由如下：
①当点P在点A、B两点之间运动时：
MN=MP+NP= AP+ BP= （AP+BP）= AB= ×20=10，
②当点P运动到点B的左侧时：
MN=MP-NP= AP- BP= （AP-BP） AB=10，
则线段MN的长度不发生变化，其值为10
【解析】【解答】（1）∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=20，
∴点B表示的数是8-20=-12，
∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t＞0）秒，
∴点P表示的数是8-5t．
故答案为-12，8-5t；
【分析】（1）根据已知可得B点表示的数为8-20；点P表示的数为8-5t；（2）设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况：①点P、Q相遇之前，②点P、Q相遇之后，列出方程求解即可；（3）设点P运动x秒时，P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况：①点P、Q相遇之前，②点P、Q相遇之后，列出方程求解即可；（4）分①当点P 在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可．
5．如图，数轴的单位长度为1.
（1）如果点B，D表示的数互为相反数，那么图中点A、点D表示的数分别是________、________；
（2）当点B为原点时，在数轴上是否存在点M，使得点M到点A的距离是点M到点D 的距离的2倍，若存在，请求出此时点M所表示的数；若不存在，说明理由；
（3）在（2）的条件下，点A、点C分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度同时向右运动，同时点P从原点出发以3个单位长度/秒的速度向左运动，当点A与点C之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？
【答案】（1）-4；2
（2）解：存在，如图：
当点M在A，D之间时，设M表示的数为x，则x﹣（﹣2）=2（4﹣x）
解得：x=2，当点M在A，D右侧时，则x﹣（﹣2）=2（x﹣4），解得：x=10，所以点M 所表示的数为2或10
（3）解：设当点A与点C之间的距离为3个单位长度时，运动时间为t，A点运动到：﹣2+2t，C点运动到：3+0.5t，①﹣2+2t﹣（3+0.5t）=3，解得：t=6，所以P点对应运动的单位长度为：3×6=18，所以点P表示的数为﹣18.
②3+0.5t﹣（﹣2+2t）=3，解得：t= ，所以P点对应运动的单位长度为：3× =4，所以点P表示的数为﹣4.
答：点P表示的数为﹣18或﹣4.
【解析】【解答】解：（1）∵点B，D表示的数互为相反数，∴点B为﹣2，D为2，∴点A为﹣4，
故答案为：﹣4，2；
【分析】（1）由数轴上表示的互为相反数的两个数，分别位于原点的两侧，并且到原点的距离相等得出BD的中点就是原点，进而即可得出点A,C所表示的数；
（2）存在，如图：分类讨论：当点M在A，D之间时，设M表示的数为x ，则AM=x-（-2），DM=4-x，根据AM=2DM列出方程，求解即可；当点M在A，D右侧时，AM=x-（-2），DM=x-4，根据AM=2DM列出方程，求解即可；
（3）设当点A与点C之间的距离为3个单位长度时，运动时间为t，A点运动到：﹣2+2t，C点运动到：3+0.5t，① 追击前根据两点间的距离公式列出方程3+0.5t﹣（﹣2+2t）=3 求解算出t的值，进而根据即可算出点P所表示的数；② 追击后根据两点间的距离公式列出方程﹣2+2t﹣（3+0.5t）=3求解算出t的值，进而根据即可算出点P所表示的数，综上所述即可得出答案。
6．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
（1）在数轴上标示出－4、－3、－2、4、
（2）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
①数轴上表示4和－2的两点之间的距离是________，表示－2和－4两点之间的距离是________.
一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|．
如果表示数a和-2的两点之间的距离是3，即那么a=________
②若数轴上表示数a的点位于－3和2之间，则的值是________；
③当a取________时，|a+4|+|a-1-|+|a-4|的值最小，最小值是________.
【答案】（1）解：如图所示：
（2）6；2；1或-5；5；1；8.
【解析】【解答】解：(2)①数轴上表示4和?2的两点之间的距离是4?(?2)=6，
表示?2和?4两点之间的距离是?2?(?4)=2；
∵|a?(?2)|=3，
∴a?(?2)=±3，
解得a=?5或1；
②因为|a+3|+|a?2|表示数轴上数a和?3，2之间距离的和,
又因为数a位于?3与2之间，
所以|a+3|+|a?2|=5；
③根据|a+4|+|a?1|+|a?4|表示一点到?4，1，4三点的距离的和，
所以当a=1时，式子的值最小，
此时|a+4|+|a?1|+|a?4|的最小值是8.
故答案为：6，2，?5或1；5；1，8.
【分析】（1）数轴上原点表示正数，原点左边表示负数，原点右边表示正数，然后在数轴上找出表示各个数的点，用实心的小原点标记，并在实心小圆点上方写出该点所表示的数；
（2）①根据数轴上任意两点的距离等于这两点所表示的数差的绝对值即可算出答案；解含绝对值的方程，根据绝对值的意义去掉绝对值符号，再解即可；②因为数a位于?3与2之间，故a+3＞0，a?2＜0，根据绝对值的意义去掉绝对值符号再合并他即可；③根据|a+4|+|a?1|+|a?4|表示一点到?4，1，4三点的距离的和，根据两点之间线段最短即可得出当a=1时，式子的值最小，从而将a=1代入即可算出答案。
7．已知数轴上顺次有A、B、C三点分别表示数a、b、c，并且满足(a+12)2+|b+5|=0，b与c互为相反数。一只电子小蜗牛从A点向正方向移动，速度为2个单位/秒。
（1）请求出A、B、C三点分别表示的数；
（2）运动多少秒时，小蜗牛到点B的距离为1个单位长度；
（3）设点P在数轴上点A的右边，且点P分别到点A、点B、点C的距离之和是20，那么点P所表示的数是________。
【答案】（1）解：由题意得：a+12=0, b+5=0,
则a=-12, b=-5,
c=-b=5，
∴A、B、C分别表示的数为-12，-5和5.
（2）解：设小蜗牛到点B的距离为1个单位长度时表示的数为x,
则 ,
解得：x=-4或-6，
∴小蜗牛运动的距离为：-4-(-12)=8, 或-6-(-12)=6.
∴小蜗牛运动6秒或8秒时，小蜗牛到点B的距离为1个单位长度.
（3）8或2
【解析】【解答】解：（3）设P点表示的数为x, 则
1)当P在AB之间时，即-12≤x＜-5时，
PA+PB+PC=x-(-12)+(-5)-x+5-x=20,
解得x=-8.
2)当P在BC之间时，即-5≤x＜5时，
PA+PB+PC=x-(-12)+x-(-5)+5-x=20,
解得x=-2.
3)当P在C的右边时，即x≥5时，
PA+PB+PC=x-(-12)+x-(-5)+x-5=20,
解得x=(舍去).
【分析】（1）根据非负数之和等于0，列式求得a、b值，再根据互为相反数的定义求得c；
（2）设小蜗牛到点B的距离为1个单位长度时表示的数为x, 根据数轴上两点间距离公式列式去绝对值求得x即可；
（3）设P点表示的数为x, 分三种情况，1)当P在AB之间时，即-12≤x＜-5时; 2)当P在BC 之间时，即-5≤x＜5时; 3)当P在C的右边时，即x≥5时，根据数轴上两点间距离公式分别列式求出x, 再检验即可.
8．已知数轴上点A、B分别表示的数是、 ,记A、B两点间的距离为AB
（1）若a=6,b=4,则AB=________；若a=-6,b=4,则AB=________；
（2）若A、B两点间的距离记为，试问和、有何数量关系？
（3）写出所有符合条件的整数点P，使它到5和-5的距离之和为10，并求所有这些整数的和.
（4）|x-1|+|x+2|取得的值最小为________，|x-1|-|x+2|取得最大值为________.
【答案】（1）2；10
（2）解：d和a、b之间的数量关系：d=|a-b|
（3）解：∵5-（-5）=5+5=10，
∴点P在5和-5之间
∴符合条件的整数点P表示的数为-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5，
∴这些整数的和=-5-4-3-2-1+0+1+2+3+4+5=0
（4）3；3
【解析】【解答】解：（1）若a=6,b=4,则AB=6-4=2；
若a=-6,b=4,则AB=4-（-6）=10；
（ 4 ）设|x-1|表示点C到1的距离，|x+2|表示点C到-2的距离，
∵1到-2的距离是1-（-2）=3，
∴当点C在-1到2（含-1和2）之间时，|x-1|+|x+2|取得的值最小，最小值是3；
当点C在2的左边（含2）时，|x-1|-|x+2|取得的值最大，最大值是3.
【分析】（1）根据各数据分别计算即可得解；（2）根据计算结果列出算式即可；（3）求出-5到5的距离正好等于10,可知-5到5之间的所有整数点都可以，然后求解即可；（4）设|x-1|表示点C到1的距离，|x+2|表示点C到-2的距离，则|x-1|+|x+2|表示两个距离的和，|x-1|-|x+2|表示两个距离的差，根据此意义即可求得.
9．已知a是最大的负整数，b、c满足，且a，b，c分别是点A，B，C在数轴上对应的数.
（1）求a，b，c的值，并在数轴上标出点A，B，C；
（2）若动点P从C出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒2个单位长度，运动几秒后，点P到达B点?
（3）在数轴上找一点M，使点M到A，B，C三点的距离之和等于13，请直接写出所有点M对应的数.(不必说明理由)
【答案】（1）解：∵a是最大的负整数，
∴a=-1，
∵|b-3|+（c+4）2=0，
∴b-3=0，c+4=0，
∴b=3，c=-4.
表示在数轴上为：
（2）解：BC=3-（-4）=7，则运动时间为秒
（3）解：设点M表示的数为x，使P到A、B、C的距离和等于13，
①当M在点B的右侧，x-（-4）+x-（-1）+x-3=13.
解得x= ，
即M对应的数是 .
②当M在C点左侧，（-4）-x+（-1）-x+3-x=13.
解得x=-5，
即M对应的数是-5.
综上所述，点M表示的数是或-5
【解析】【分析】（1）根据最大的负整数是1，可得到a的值，再利用几个非负数之和为0，求出b，c的值，然后根据a，b，c的值在数轴上标出A、B、C的位置。
（2）利用两点间的距离公式求出BC的长，再根据段P的运动速度就可求出点P到达点B 的运动时间。
（3）设点M表示的数为x，使P到A、B、C的距离和等于13，再分情况讨论：①当M 在点B的右侧；②当M在C点左侧，分别建立关于x的方程，分别求出方程的解。
10．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，点A表示的数a，点B表示的数是b，且
.
（1）a=________，b=________；
（2）在数轴上是否存在一点P，使，若有，请求出点P表示的数，若没有，请说明理由？
（3）点M从点A出发，沿的路径运动，在路径的速度是每秒2个单位，在路径上的速度是每秒4个单位，同时点N从点B出发以每秒3个单位长向终点A运动，当点M第一次回到点A时整个运动停止.几秒后MN=1？
【答案】（1）-8
；4
（2）解：根据题意，若要满足，则点P在线段AB中点右侧，线段AB的中点表示的数为-2，设点P表示的数为x，分三种情况讨论：
①当-2≤x<0时，则x+8-（4-x）=2（-x），
解得：x=-1；
②当0≤x<4时，则x+8-（4-x）=2x，
方程无解
③当x≥4时，则x+8-（x-4）=2x，
解得：x=6.
综上：存在点P，表示的数为-1或6
（3）解：设运动时间为t，根据运动情况，可知MN=1的情况有三种：
①M在A→O上，且M在N左侧，
则2t+3t+1=12，
解得t= .
②M在A→O上，且M在N右侧，
则2t+3t-1=12，
解得t= .
③M在O→A上，且N到达点A，
此时，M在A→O上所用时间为8÷2=4（s），
M在O→A上速度为4个单位每秒，
∵MN=1，
∴（8-1）÷4= ，
∴此时时间t=4+ = ，
综上：当MN=1时，时间为秒，秒或秒
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴ab=-32，b-4=0，
∴a=-8，b=4.
【分析】（1）根据，利用绝对值及偶次方的非负性即可求出；（2）若要满足，则点P在线段AB中点右侧，分三种情况讨论；（3）当MN=1时，根据运动情况，可分三种情形讨论，列出方程解答.
11．数轴上A、B两点对应的数分别是﹣4、12，线段CE在数轴上运动，点C在点E的左边，且CE＝8，点F是AE的中点．
（1）如图1，当线段CE运动到点C、E均在A、B之间时，若CF＝1，则AB＝________，AC＝________，BE＝________；
（2）当线段CE运动到点A在C、E之间时,
①设AF长为 x，用含 x 的代数式表示BE的值（结果需化简）；
②求BE与CF的数量关系；
（3）当点C运动到数轴上表示数﹣14的位置时，动点P从点E出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，抵达B后，立即以原来一半速度返回，同时点Q从A出发，以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，设它们运动的时间为t秒（t≤8），求t为何值时，P、Q 两点间的距离为1个单位长度．
【答案】（1）16；6；2
（2）解：∵点F是AE的中点，∴AF=EF，
设AF=EF=x,∴CF=8﹣x，
∴BE=16﹣2x=2（8﹣x），
∴BE=2CF.
故答案为① 16-2x，② BE=2CF.
（3）解：①当0＜t≤6时，P对应数：-6+3t，Q对应数-4+2t，
，
解得：t=1或3；
②当6＜t≤8时，P对应数， Q对应数-4+2t，
，
解得：或；
故答案为t=1或3或或
【解析】【解答】（1）数轴上A、B两点对应的数分别是-4、12，
∴AB=16，
∵CE=8，CF=1，∴EF=7，
∵点F是AE的中点，∴AF=EF=7，
,∴AC=AF﹣CF=6，BE=AB﹣AE=16﹣7×2=2，
故答案为16，6，2；
【分析】(1)由数轴上A、B两点对应的数分別是-4、12，可得AB的长;由CE＝8，CF＝1，可得EF的长，由点F是AE的中点，可得AF的长，用AB的长减去2倍的EF的长即为BE 的长；(2)设AF＝FE＝x，则CF＝8-x，用含x的式子表示出BE，即可得出答案(3)分①当0＜t≤6时；②当6＜t≤8时，两种情况讨论计算即可得解
12．如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点，点A表示的数为－12，点B表示的数为8，点C为线段AB的中点．
（1）数轴上点C表示的数是________；
（2）点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当P、Q相遇时，两点都停止运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
①当t为何值时，点O恰好是PQ的中点；
②当t为何值时，点P、Q、C三个点中恰好有一个点是以另外两个点为端点的线段的三等分点（三等分点是把一条线段平均分成三等分的点）．（直接写出结果）
【答案】（1）-2
（2）解：①设t秒后点O恰好是PQ的中点．
根据题意t秒后，点
由题意，得-12+2t=-（8-t）
解得，t=4；
即4秒时，点O恰好是PQ的中点．
②当点C为PQ的三等分点时PC=2QC或QC=2PC，
∵PC=10-2t，QC=10-t，
所以10-2t=2（10-t）或10-t=2（10-2t）
解得t= ；
当点P为CQ的三等分点时（t＞4）PC=2QP或QP=2PC
∵PC=-10+2t，PQ=20-3t
∴-10+2t=2（20-3t）或20-3t=2（-10+2t）
解得t= 或t= ；
当点Q为CP的三等分点时PQ=2CQ或QC=2PQ
∵当P、Q相遇时，两点都停止运动
∴此情况不成立．
综上，t= 秒时，三个点中恰好有一个点是以另外两个点为端点的线段的三等分点【解析】【解答】（1）解：∵点A表示的数为－12，点B表示的数为8，点C为线段AB 的中点．
∴点C表示的数为：
故答案为：-2
【分析】（1）利用中点公式计算即可；（2）①用t表示OP，OQ，根据OP=OQ列方程求解；②分别以P、Q、C为三等分点，分类讨论．
七年级上册数学《有理数》有理数的运算 知识点整理
有理数的运算 一、本节学习指导 有理数的运算和我们小学学习的四则运算很相似，运算规律也一样，不同的是有理数运算中有负数参与，所以相对要复杂一些，本节要多加练习。 二、知识要点 1、有理数的加法 （1）、有理数加法法则： ① 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ② 异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ③ 一个数与0相加，仍得这个数。 （2）、加法计算步骤：先定符号，再算绝对值。 （3）、有理数加法的运算律： ① 加法的交换律：a+b=b+a; ② 加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。 （4）、为了计算简便 ,往往会采取以下方法： ①互为相反的两个数，可以先相加； ②符号相同的数，可以先相加； ③分母相同的数，可以先相加； ④几个数相加能得到整数，可以先相加。 2、有理数的减法 （1）、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+
（-b）。（有理数减法运算时注意两“变”:①减法变加法；②把减数变为它的相反数。） 注：有理数的减法实质就是把减法变加法。 3、有理数的乘法 （1）、有理数乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； ②任何数同零相乘都得零； （2）、一个数同1相乘，结果是原数；一个数同-1相乘，结果是原数的相反数。 （3）、乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数；若ab=1<====>a、b互为倒数。 （4）、几个不是偶的数相乘，积的符号由负因式的个数决定。负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数是，积是负数。 （5）、有理数乘法的运算律： ① 乘法的交换律：ab=ba; ② 乘法的结合律：（ab）c=a（bc）； ③ 乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac. 4、有理数的除法 （1）、有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 （2）、有理数除法符号法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0. （3）、乘除混合运算的步骤：①先把除法转化为乘法；②确定积的符号； ③运用乘法运算律和乘法法则进行计算得出结果。 5、有理数的乘方 （1）、求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在a n中，
初一数学上册 有理数知识点归纳
初一数学上册第一单元有理数知识点归纳 一．有理数： (1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数;-a不一定是负数，+a也不一定是正数;π不是有理数; (2)有理数的分类:①② (3) 2.数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3.相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0;(2)注意：a-b+c的相反数是-a+b-c;a-b的相反数是b-a;a+b的相反数是 -a-b;(3) 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数;注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离; (2)绝对值可表示为：绝对值的问题经常分类讨论; (3)
(4)|a|是重要的非负数，即|a|≥0;注意：|a|·|b|=|a·b|, 5.有理数比大小：(1)正数的绝对值越大，这个数越大;(2)正数永远比0大，负数永远比0小;(3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小，绝对值大的反而小;(5)数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大;(6)大数-小数>0，小数-大数<0. 二．有理数法则及运算规律。 (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加;(2)异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值;(3)一个数与0相加，仍得这个数. 2.有理数加法的运算律： (1)加法的交换律：a+b=b+a;(2)加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 3.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b). 4.有理数乘法法则： (1)两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘;(2)任何数同零相乘都得零;(3)几个数相乘，有一个因式为零，积为零;各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 5.有理数乘法的运算律： (1)乘法的交换律：ab=ba;(2)乘法的结合律：(ab)c=a(bc);(3)乘法的分配律：a(b+c)=ab+ac. 6.有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意：零不能做除数， . 7.有理数乘方的法则： (1)正数的任何次幂都是正数; 三．乘方的定义。 (1)求相同因式积的运算，叫做乘方; (2)乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂;
人教版七年级上册数学 有理数(提升篇)(Word版 含解析)
一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难） 1．如图，数轴的单位长度为1，点，，，是数轴上的四个点，其中点，表示的数是互为相反数. （1）请在数轴上确定原点“O”的位置，并用点表示； （2）点表示的数是________，点表示的数是________，，两点间的距离是________； （3）将点先向右移动4个单位长度，再向左移动2个单位长度到达点，点表示的数是________，在数轴上距离点3个单位长度的点表示的数是________. 【答案】（1）解：距离A点和B点的距离相等的点即AB的中点，点 .如图所示，点即为所求. （2）；5；9 （3）；或1 【解析】【解答】解：（2）点表示的数是，点表示的数是5，所以，两点间的距离是 . 故答案为9. （ 3 ）如图，将点先向右移动4个单位长度是0，再向左移动2个单位长度到达点， 得点表示的数是 . 到点距离3个单位长度的点表示的数是-2-3= 或-2+3=1. 故答案为，或1. 【分析】（1）由点A和点B表示的数互为相反数，因此原点到点A和点B的距离相等，可得到原点的位置。 （2）先再数轴上标出数，可得到点M和点N表示的数，再求出点M，N之间的距离。（3）利用数轴上点的平移规律：左减右加，可得到点C表示的数，与点C距离3个单位长度表示的数为-2±3，计算可求解。 2．列方程解应用题 如图，在数轴上的点A表示，点B表示5，若有两只电子蜗牛甲、乙分别从A、B两点同时出发，保持匀速运动，甲的平均速度为2单位长度秒，乙的平均速度为1单位长度秒请问： （1）两只蜗牛相向而行，经过________秒相遇，此时对应点上的数是________．
七年级数学第一章有理数知识点+练习
第一章有理数知识点提要 1.1正数和负数 0以外的数前面加上负号“－”的书叫做负数，其余叫做正数。 数０既不是正数也不是负数，０是正数与负数的分界。 在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义 1.2有理数 1.2.1有理数 正整数、0、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。 整数和分数统称有理数。 1.2.2数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。 注意事项：⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。 ⑵同一根数轴，单位长度不能改变。 一般地，设是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。 1.2.3相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。 在任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数。 1.2.4绝对值
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。 比较有理数的大小：⑴正数大于0，0大于负数，正数大于负数。 ⑵两个负数，绝对值大的反而小。 1.3有理数的加减法 1.3.1有理数的加法 有理数的加法法则： ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的饿异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 1.3.2有理数的减法 有理数的减法可以转化为加法来进行。 有理数减法法则： 减去一个数，等于加这个数的相反数。a－b＝a＋(－b) 1.4有理数的乘除法
人教版七年级数学上册第一章 有理数 全章概念汇总
有理数 全章概念汇总 考点、热点回顾 一、学习目标 1、有理数的灵活运用。 2、有理数的概念及巧算。 3、有理数的绝对值、奇、偶数的规律的掌握。 二、知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数. 注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π是无限循环小数，不能写成分数形式，不是有理数；有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像0，-2，-4，-6也是偶数，-1，-3，-5也是奇数,0也是整数，它可以看成分母是1，分子是0的分数。 (2)有理数的分类: ①??? ??????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ②???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴： 1、数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点。通常规定直线上从原点向右（向上）为正方向，从原点向左（向下）为负方向。选取适当的长度为单位长度。数轴三要素：原点、方向、单位长度。 2、数轴的画法
3．相反数： (1)只要符号不同的两个数，且两个数的绝对值的大小相等，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)互为相反数的两个数和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： 举例,向东向西走，绝对值则表示距离。 绝对值的意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值。 (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数； (2)绝对值可表示为：?????<-=>=) 0a (a )0a (0)0a (a a 或???<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； (3)绝对值的性质： 1、0的绝对值是0，绝对值是0的数是0.即：;00=?=a a 2、一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0，即：;0||≥a 3、任何数的绝对值都不小于原数。即：;a a ≥ 4、绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若),0(>=a a x 则;a x ±= 5、互为相反数的两数的绝对值相等。即：a a =-或若,0=+b a 则;b a = 6、绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：,b a =则b a =或;b a -=
七年级数学有理数知识总结
正数和负数数轴绝对值 一、知识概述 （一）正数和负数 1、负数的意义 负数是由实际的需要而产生的，如：某地气温是8℃，由于强冷空气南下，气温下降了12℃，则该地区这时的实际气温是(8－12)℃，但在算术中这个差是不存在的，实际上这个气温是客观存在的，为了解决这个“不够减”的矛盾，引入一个新数——负数，即(8－12)℃=－4℃，表示零下4℃． 2、相反意义的量与正数 为了表示具有相反意义的量，把其中一种意义的量规定为正，另一种与它意义相反的量规定为负，正的量记为“＋”，如＋6，＋2.5，…叫正数；负的量记做“－”，像－4，－6这类带有负号的数叫负数；“0”既不是正数，也不是负数，是正数与负数的界限，规定零是最小的自然数. 自然界有许多具有相反意义的量，如上升与下降，向东与向西、盈余与亏损等都可以用正负数来表示． 3、有理数的分类 （1）有理数 （2）有理数
4、字母a的意义 用字母a表示有理数时： （1）a>0时，a表示正数，－a表示负数； （2）a<0时，a表示负数，－a表示正数. （3）a≥0时，a表示非负数. （二）相反数 1、相反数的意义 （1）代数意义：只有符号不同的两个数叫互为相反数，其中一个数叫另一个数的相反数，0的相反数是0. （2）几何意义：在数轴上的原点两旁，离原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数. （3）相反数的性质：若a、b两数互为相反数，则a＋b＝0，反之也成立. （4）符号：在一个数前面加“－”号表示这个数的相反数，如数a的相反数是－a. 2、多重符号的化简 化简带有多重符号的数的关键是结合数轴理解相反数，按由内到外的顺序去括号，如：－[－(－3)]=－(＋3)=－3. （三）数轴
初一上册数学《有理数》知识点汇总
初一(七年级)上册数学知识点：有理数 初一(七年级)上册数学知识点：有理数是由数学网整理的，供大家参考，下面来看一下初一(七年级)上册数学知识点：有理数吧! 本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。重点利用有理数的运算法则解决实际问题，体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要。 一、目标与要求 1.了解正数与负数是从实际需要中产生的。 2.能正确判断一个数是正数还是负数，明确0既不是正数也不是负数。
3.理解有理数除法的意义，熟练掌握有理数除法法则，会进行有理数的除法运算; 4.了解倒数概念，会求给定有理数的倒数; 5.通过将除法运算转化为乘法运算，培养学生的转化的思想;通过有理数的除法 二、重点 正、负数的概念; 正确理解数轴的概念和用数轴上的点表示有理数; 有理数的加法法则;
除法法则和除法运算。 三、难点 负数的概念、正确区分两种不同意义的量; 数轴的概念和用数轴上的点表示有理数; 异号两数相加的法则; 根据除法是乘法的逆运算，归纳出除法法则及商的符号的确定。 四、知识框架
五、知识点、概念总结 1.正数：比0大的数叫正数。 2.负数：比0小的数叫负数。 3.有理数： (1)凡能写成q/p(p，q为整数且p不等于0)形式的数，都是有理数。正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数。
注意：0即不是正数，也不是负数;-a不一定是负数，+a也不一定是正数;p不是有理数; (2)有理数的分类： 4.数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线。 5.相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0; (2)相反数的和为0等价于a+b=0等价于a、b互为相反数。 6.绝对值：
七年级数学上册有理数测试题及答案
七年级数学有理数测试题及答案 一、 选择题（每题3分，共30分） 1、1999年国家财政收入达到11377亿元，用四舍五入法保留两个有效数字的近似值为（ ）亿元 （A ）4101.1? （B ）5101.1? （C ）3104.11? （D ）3103.11? 2、大于–3.5，小于2.5的整数共有（ ）个。 （A ）6 （B ）5 （C ）4 （D ）3 3、已知数b a ,在数轴上对应的点在原点两侧，并且到原点的位置相等；数y x ,是互为倒数，那么xy b a 2||2-+的值等于（ ） （A ）2 （B ）–2 （C ）1 （D ）–1 4、如果两个有理数的积是正数，和也是正数，那么这两个有理数（ ） （A ）同号，且均为负数 （B ）异号，且正数的绝对值比负数的绝对值大 （C ）同号，且均为正数 （D ）异号，且负数的绝对值比正数的绝对值大 5、在下列说法中，正确的个数是（ ） ⑴任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 ⑵数轴上的每一个点都表示一个有理数 ⑶任何有理数的绝对值都不可能是负数 ⑷每个有理数都有相反数 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 6、如果一个数的相反数比它本身大，那么这个数为（ ） A 、正数 B 、负数 C 、整数 D 、不等于零的有理数 7、下列说法正确的是（ ） A 、几个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负； B 、几个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负； C 、几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负； D 、几个有理数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个； 8、在有理数中，绝对值等于它本身的数有（） A.1个 B.2个 C. 3个 D.无穷多个 9、下列计算正确的是（） A.－22＝－4 B.－（－2）2＝4 C.（－3）2＝6 D.（－1）3＝1 10、如果a <0,那么a 和它的相反数的差的绝对值等于（ ） A.a B.0 C.-a D.-2a 二、填空题：（每题2分，共42分） 1、()642=。 2、小明与小刚规定了一种新运算*：若a 、b 是有理数，则a*b = b a 23-。小明计算出2*5=-4，请你帮小刚计算2*（-5）= 。 3、若056=++-y x ，则y x -= ；
七年级第一章有理数知识点总结
有理数知识点总结 0的数叫做正数。 1. 0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，一、正数和负数自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） 2.意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 有理数：整数和分数统称有理数。 概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。 分数：正分数、负分数统称分数。 （有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非 负整数，负整数和零统称为非正整数。 ⑵按整数、分数分类： 正有理数正整数正整数 正分数整数0 零有理数负整数 负有理数负整数分数正分数 负分数负分数 1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 三、数轴 比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 3.应用 求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 （注意不带“+”“—”号）
代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。 1.概念（0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 四、相反数 两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。 3.多重符号的化简 多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数， 当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号 1.概念：乘积为1的两个数互为倒数。 （倒数是它本身的数是±1；0没有倒数） 五、倒数 2.性质若a与b互为倒数，则a·b=1；反之，若a·b=1，则a与b互为倒数。 若a与b互为负倒数，则a·b=-1；反之，若a·b= -1则a与b互为负倒数。 a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 一个正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b） 一个负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是0 a ＞0，|a|=a 反之，|a|＝a，则a≥0 a = 0，|a|=0 |a|＝﹣a，则a≦0 a＜0，|a|=‐a 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 |a|≥0。几个非负数之和等 于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 七、比较大小 2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。
部编版七年级上册数学有理数教案
七年级数学上册教案 吧 斗 Assistant teacher 为 梦 想 奋
2．1有理数 1．借助生活中的实例理解负数、有理数的意义，体会负数引入的必要性和有理数应用的广泛性． 2．会判断一个数是正数还是负数，能应用正、负数表示生活中具有相反意义的量，体会数学知识与现实世界的联系． 3．在负数概念的形成过程中，培养观察、归纳与概括的能力． 一、情境导入 学校组织足球比赛，猛虎队和蛟龙队展开了一场激烈的对决，豆豆所在的猛虎队踢进4个球，失3个球，你能用数学的方式帮助豆豆表示他们队的进失球情况吗？学了有理数的有关知识后，问题不难解决． 二、合作探究 探究点一：用正、负数表示具有相反意义的量 【类型一】会用正、负数表示具有相反意义的量 如果某河的水位升高0.8m时水位变化记作＋0.8m，那么水位下降0.5m时水位变化记作() A．0m B．0.5m C．－0.8m D．－0.5m 解析：由水位升高0.8m时水位变化记作＋0.8m，根据相反意义的量的含义，则水位下降0.5m时水位变化就记作－0.5m，故选D. 方法总结：用正、负数表示相反意义的量时，要抓住基准，比基准量多多少记为“＋”的多少，少多少记为“－”的多少．另外通常把“零上、上升、前进、收入、运进、增产”等规定为正，与它们意义相反的量表示为负． 【类型二】用正、负数表示误差的范围 某饮料公司的一种瓶装饮料外包装上有“500±30(mL)”字样，请问“500±30(mL)”是什么含义？质检部门对该产品抽查5瓶，容量分别为503mL，511mL，489mL，473mL，527mL，问抽查的产品是否合格？ 解析：＋30mL表示比标准容量多30mL，－30mL表示比标准容量少30mL.则合格范围是指容量在470～530(mL)之间． 解：“500±30(mL)”表示470～530(mL)是合格范围，503mL，511mL，489mL，473mL，527mL都在合格范围内，故抽查的产品都是合格的． 方法总结：解决此类问题的关键是理解“500±30(mL)”的含义，即500是标准，“＋”表示比标准多，“－”表示比标准少． 探究点二：有理数的分类 【类型一】有理数的分类 把下列各数填到相应的大括号里．
七年级数学上册有理数练习题
2.3 数轴(1) 一、选择 1．下列结论中，不正确的是( ) A．－4<0 B．－4.7 5>－41 2 C．－5>8 D． 1 5 < 1 3 2．已知有理数a，b在数轴上表示如图，现比较a，b，－a，－b的大小，正确的是( ) A．－a<－b
数学七年级上册有理数
【典型例题】 例1. 近似数3.020是由四舍五入得到的，它精确到 位，有 个有效数字。 分析：精确到哪一位，只要看近似数的末位是哪一位。有效数字的概念：从左边第一个不是0的数字数起，到最后一位为止。 解：近似数3.020精确到千分位，有4个有效数字，分别是3，0，2，0。 分析：科学记数法形式为：a ?10n ，其中a 是带一位整数的数，可以是负数，n 是原数的整数位数减1 反思：如要把－8848.4写成科学记数法时，这里的a ＝－8.8484，n ＝4－1＝3。 例3、已知有理数a ，b 在数轴上的对应点下右图所示，化简b a +＋b ＝ 。 分析：a ，b 都是字母，从数轴上可知：b>0，a<0， a > b 所以a ＋b<0，则 b a +＝－（a ＋b ） b>0，则b ＝b 解：b a +＋b ＝－（a ＋b ）＋b ＝－a 反思：作为一道字母题可用具体的数字代入检验，如根据数轴上a ，b 的特点，可设a ＝－2，b ＝1。 例4. 当2+x ＋1-y ＝0时，求x 2－xy ＝ 。 分析：在一般情况下，一个方程中含有两个未知数，未知数是无法唯一确定的。但根据本题的特点：2+x ≥0，1-y ≥0，而两个非负数之和等于0，则只能是0＋0＝0。从而求出x ，y 的值. 解：∵2+x ＋1-y ＝0 ∴只能2+x ＝0，1-y ＝0 ∴x ＋2＝0，y －1＝0 ∴x ＝－2，y ＝1 ∴x 2－xy ＝（－2）2－（－2）×（1）＝4＋2＝6。 反思：非负数的形式有 a ≥0，还有a 2≥0，如：1-x ＋（y ＋2）2＝0，求x ＋y 。 例5. 若x ＝－2是方程5x －a ＝3x ＋8的解，则a 2－a 1 ＝ 。 分析：x ＝－2是方程的解，即满足：把x ＝－2代入方程中，等式仍是成立的。从而得到关于a 的一元一次方程，求出a 的值。 解：把x ＝－2代入方程，得 5×（－2）－a ＝3×（－2）＋8， a ＝－12 ∴a 2－a 1＝（－12）2＋121＝144121 。 例6. P 为线段AB 上一点，且AP ＝52 AB ，M 是AB 的中点，若PM ＝2cm ，则AB ＝ 。 分析：这类几何题没有图形的，首先画出图形，结合图形，把已知量与未知量表示到图上分析。如图所示。 解：由图上可知，PM ＝AM －AP ＝21AB －52AB ＝101 AB ＝2
七年级上册数学第一章有理数知识点及典型例题
新浙教版七年级上册数学第一章《有理数》知识点及典型例题 知识框图
将考点与相应习题联系起来 考点一、关于“……说法正确的是……”的题型（只可能是选择题） 1、下列语句：① 带“-”号的数是负数；② 如果a 为正数，则-a 一定是负数；③ 不存在既不是正数又不是负数的数；④ 00 C 表示没有温度，正确的有（ ）个 2、下列说法不正确的是（ ） A.数轴是一条直线； B.表示-1的点，离原点1个单位长度； C.数轴上表示-3的点与表示- 1的点相距2个单位长度； D.距原点3个单位长度的点表示—3或3。 3、下列说法中不正确的是（ ） A.－5表示的点到原点的距离是5； B. 一个有理数的绝对值一定是正数； C. 一个有理数的绝对值一定不是负数； D. 互为相反数的两个数的绝对值一定相等. 4、如图：下列说法正确的是（ ） 比b 大 比a 大 、b 一样大 、b 的大小无法确定 5、若｜a ＋b|＝－（a ＋b ）,下列结论正确的是（ ） ＋b ≤0 ＋b<0 ＋b=0 ＋b>0 6、下列说法：① 一个数的绝对值的相反数一定是负数；② 只有负数的绝对值是它的相反数；③ 正数和零的绝对值都等于它本身；④互为相反数的两个数的绝对值相等，错误的个数是( ) 个 个 个 个 7、如果a 表示有理数，那么下列说法中正确的是（ ） A.+a 与-(-a)互为相反数 B. +a 与-a 一定不相等 一定是负数 D. -(+a)与+(-a)一定相等 8、已知字母a 、b 表示有理数，如果a +b =0，则下列说法正确的是（ ） A.a 、b 中一定有一个是负数 B.a 、b 都为0 C.a 与b 不可能相等 D.a 与b 的绝对值相等 9、下列说法正确的是（ ） A. -|a|一定是负数 B. 只有两个数相等时，它们的绝对值才相等 C. 若|a|=|b|，则a 与b 互为相反数 D. 若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 10、给出下面说法：① 互为相反数的两个数绝对值相等；② 一个数的绝对值等于它本身，这个数不是负数； ③ 若|m|>m ，则m<0；④ 若|a|>|b|，则a>b ，其中正确的有（ ） A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 考点二、具有相反意义的量、相反数、数轴、绝对值、有理数的分类等概念的直接考题 1、某项科学研究，以45分钟为1个时间单位，并记每天上午10时为0，10时以前记为负，10时以后记为正，例如9：15记为-1，10：45记为1等等，以此类推，上午7：45应记为 2、在时钟上，把时针从钟面数字“12”按顺时针方向拨到“6”，计做拨了“+1 2 ”周，那么，把时针从“12”开始，拨了“1 4 ”周后，该时针所指的钟面数字是 3、若a 与b 互为相反数，则下列式子：①a+b=0；②a=-b ；③|a|=|-b|；④a=b ，其中一定成立的序号为 4、数轴上到数-1所表示的点的距离为5的点所表示的数是 5、绝对值最小的有理数是 ；绝对值最小的整数是 ；| －π|= _________ 6、写出所有不小于-4并且小于的整数：
七年级上册有理数知识点归纳
第一章有理数知识点归纳 一、正数和负数 正数和负数的概念 负数：比0小的数；正数：比0大的数。 0既不是正数，也不是负数 ☆注意：字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。强调：带正号的数不一定是正数，带负号的数不一定是负数。 具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量。习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负. 二、有理数 有理数的概念 （1）正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） （2）正分数和负分数统称为分数 （3）整数和分数统称有理数 ☆注意：①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 数轴 （1）数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：数轴是一条向两端无限延伸的直线； 原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可； 数轴的三要素都是根据实际需要规定的，同一数轴上的单位长度要统一； （2）数轴上的点与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上唯一的点来表示，正有理数可用原点正方向的点表示，负有理数可用原点负方向的点表示，0用原点表示。 相反数 （1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数；0的相反数是0；任何一个有理数都有相反数 （2）互为相反数的两数的和为0，即：若a、b互为相反数，则a+b=0；互为相反数的两个点在数轴上分别位于原点两侧，并且与原点的距离相等。 （3）在一个数的前面加上负号“-”，就得到了这个数的相反数。a的相反数是-a。 （4）多重符号的化简 多重符号的化简规律：“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。 绝对值 （1）绝对值的几何定义：数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做a的绝对值，
人教版七年级上册数学有理数新编知识点例题习题
人教版七年级上册数学有理数新编知识点例题习题 The document was prepared on January 2, 2021
人教版七年级上册第一章有理数知识点习题 大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数，0既不是负数也不是偶数 练习：电梯上升到四楼记为+4，下降到负二楼记为 二.有理数 能够写成分数的形式的数都是有理数 三.数轴 （1）在直线上任取一个点为0，这个点叫做原点 （2）通常规定直线上从原点向右（或向上）为正方向，从原点向左（或向下）为正反向 四.相反数 2的相反数为—2，—2的相反数为2 五.绝对值 1.一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 (1)当a是正数（大于0）时,|a|=a (2)当a是负数(小于0)时,|a|=﹣a (3)当a=0时, |a|=0 练习:写出下面各数的绝对值 —8 5 0 2.(1)正数大于0,0大于负数.正数大于负数 (2)两个负数，绝对值大的反而小 练习：比较下面两个数的大小 （1）—8和—5 （2）和|—2.15| 六．有理数的加减法 1.有理数加法法则 （1）同号两位数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 （2）绝对值不相等的异号两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0 （3）一个数同0相加，得数为这个数 计算：①—8+（—10）= ②—+7= 2.（1）有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变a+b=b+a （2）三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两位数相加，和不变 （a+b）+c=a+(b+c) 练习：计算：16+（—8）+24+（—12） 七．有理数的减法 减去一个数，等于加上这个数的相反数 a—b=a+（—b） 计算：①—3—（—13）②0—（—4）③—（—） 一．选择题
七年级上册数学有理数测试题和答案
学习资料 七年级数学有理数测试题及答案 一、 选择题（每题3分，共30分） 1、1999年国家财政收入达到11377亿元，用四舍五入法保留两个有效数字的近似值为（ ）亿元 （A ）4 101.1? （B ）5 101.1? （C ）3 104.11? （D ）3 103.11? 2、大于–3.5，小于2.5的整数共有（ ）个。 （A ）6 （B ）5 （C ）4 （D ）3 3、已知数b a ,在数轴上对应的点在原点两侧，并且到原点的位置相等；数y x ,是互为倒数，那么xy b a 2||2-+的值等于（ ） （A ）2 （B ）–2 （C ）1 （D ）–1 4、如果两个有理数的积是正数，和也是正数，那么这两个有理数（ ） （A ）同号，且均为负数 （B ）异号，且正数的绝对值比负数的绝对值大 （C ）同号，且均为正数 （D ）异号，且负数的绝对值比正数的绝对值大 5、在下列说法中，正确的个数是（ ） ⑴任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 ⑵数轴上的每一个点都表示一个有理数 ⑶任何有理数的绝对值都不可能是负数 ⑷每个有理数都有相反数 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 6、如果一个数的相反数比它本身大，那么这个数为（ ） A 、正数 B 、负数 C 、整数 D 、不等于零的有理数 7、下列说法正确的是（ ） A 、几个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负； B 、几个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负； C 、几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负； D 、几个有理数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个； 8、在有理数中，绝对值等于它本身的数有（） A.1个 B.2个 C. 3个 D.无穷多个 9、下列计算正确的是（） A.－22＝－4 B.－（－2）2＝4 C.（－3）2＝6 D.（－1）3＝1 10、如果a <0,那么a 和它的相反数的差的绝对值等于（ ） A.a B.0 C.-a D.-2a 二、填空题：（每题2分，共42分） 1、( )642=。 2、小明与小刚规定了一种新运算*：若a 、b 是有理数，则a*b = b a 23-。小明计算出2*5=-4，请你帮小刚计算2*（-5）= 。 3、若056=++-y x ，则y x -= ； 4、大于－2而小于3的整数分别是_________________、 5、（－3.2）3中底数是______，乘方的结果符号为______。 6、甲乙两数的和为-23.4，乙数为-8.1，甲比乙大 7、在数轴上表示两个数， 的数总比 的大。（用“左边”“右边”填空） 8、仔细观察、思考下面一列数有哪些．．规律：－2 ，4 ，－8 ，16 ，－32 ，64 ，…………然后填出下面两空：（1）第7个数是 ；（2）第 n 个 数是 。 9、若│－a │=5,则a=________. 10、已知： , (15) 4 41544,833833,322322222?=+?=+?=+ 若b a b a ?=+ 21010（a,b 均为整数）则a+b= . 11、写出三个有理数数，使它们满足：①是负数；②是整数；③能被2、3、5 整除。答：____________。 12、数轴上原点右边4.8厘米处的点表示的有理数是32，那么，数轴左边18
初一数学——有理数知识点
解读有理数的有关概念 一、正数与负数： 1.正数：像+1.8，+420、+30、+10%等带有理数“+”号的数叫做正数。为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。 2.负数：像－3、－4754、－50、－0.6、－15%等带有“－”号的数叫做负数。而负数前面的“－”号不能省略。 3.零既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。 注意：对于正数与负数，不能简单地理解为：带“+”号的数是正数，带“－” 号的数是负数。例如－a 不一定是负数，因为字母a 代表任何一个有理数，当a 是0时，－a 是0，当a 是负数时，－a 是正数；能用正数与负数表示相反意义的量，习惯上把增加、盈利等规定为正，它们相反意义的量规定为负，正、负是相对而言有理数。 二、有理数及其分类： 有理数：整数与分数统称为有理数。整数包括三类：正整数、零、负整数。分数包括两类：正分数和负分数。 注意：小学学过的零表示没有，而引入负数后，就不能把“零”完全当作没有了，如0℃就是一个特定的温度；现在我们学过的数，除π和与π有关的数外，其他的数都是有理数；引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大到整数。 按整数、分数的关系分类： 按正数、负数、零的关系分类： ???? ?????????????正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数 ??????????????? 正整数 正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数 三、数轴： 1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 注意：①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定，都是根据实际需要而定的。 2.数轴的画法：①画一条水平的直线；②在直线的适当位置选取一点作为原点，并用0表示这点；③确定向右为正方向，用箭头表示出来；④选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为－1，－2，－3，…。如图1所示。 四、相反数： 只有符≧号不同的两个数互为相反数。规定零的相反数是零。 从数轴上看，表示互为相反数的两个数，分别位于原点的两侧，且与原点的距离相等，如图1，3与－3互为相反数。 注意：相反数是成对出现的，不能单独存在，如+2与－2互为相反数，说明+2的相反数是－2，－2的相反数是+2，单独一个数不能说相反数；“只有”的含义说明像+5与－3这样的两个数不是互为相反数。 五、绝对值： 绝对值的几何定义：在数轴上，表示一个数a 的点到原点的距离叫做这个数a 的绝对值，记作|a |。 绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0. 注意：①绝对值的求法：先判断这个数是正数、负数、还是零，再根据绝对值的代数定义去掉绝对符号；②绝对值的非负性：无论是绝对值的几何定义，还是绝对值的代数定义都揭示了绝对值的重要性质—非负性。也就是说，任何一个有理数 的绝对值都是非负数，即|a ≥|0， (0) |0 (0) (0)a a a a a a >?? ==??-
七年级上册数学有理数练习题
七年级上册数学有理数精选练习题 第一章典型试题练习 1.1正数和负数 1、下列说法正确的是（） A、零是正数不是负数 B、零既不是正数也不是负数 C、零既是正数也是负数 D、不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数 2、向东行进-30米表示的意义是（） A、向东行进30米 B、向东行进-30米 C、向西行进30米 D、向西行进-30米 3、某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃，由此可知在＿＿℃~＿＿℃范围内保存才合适。 4、某老师把某一小组五名同学的成绩简记为：+10，-5，0，+8，-3，又知道记为0的成绩表示90分，正数表示超过90分，则五名同学的平均成绩为多少分？ 1.2.1有理数分类 1、下列说法正确的是（） A、正数、0、负数统称为有理数 B、分数和整数统称为有理数 C、正有理数、负有理数统称为有理数 D、以上都不对 2、-a一定是（） A、正数 B、负数 C、正数或负数 D、正数或零或负数 3、下列说法中，错误的有（） ①是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④整数和分数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥-1是最小的负整数。 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 4、把下列各数分别填入相应的大括号内： 自然数集合｛…｝； 整数集合｛…｝； 正分数集合｛…｝； 非正数集合｛…｝； 有理数集合｛…｝； 5、简答题： （1）-1和0之间还有负数吗？如有，请列举。 （2）-3和-1之间有负整数吗？-2和2之间有哪些整数？ （3）有比-1大的负整数吗？有比1小的正整数吗？ （4）写出三个大于-105小于-100的有理数。 1.2.2 1、数轴上与原点距离是5的点有＿＿＿个，表示的数是＿＿＿。 2、已知x是整数，并且-3＜x＜4，那么在数轴上表示x的所有可能的数值有＿＿＿＿＿＿。 3、在数轴上，点A、B分别表示-5和2，则线段AB的长度是＿＿＿。
七年级数学上册有理数计算题(适合打印版)
七年级 有理数计算题 一、 有理数加法 （－9）+（－13） （－12）+27 （－28）+（－34） 67+（－92） (－+ （－23）+7+（－152）+65 |52 +（－31 ）| （－52 ）+|―31 | 38+（－22）+（+62）+（－78） （－8）+（－10）+2+（－1） （－32）+0+（+41）+（－61）+（－21 ） （－8）+47+18+（－27） （－5）+21+（－95）+29 （－）++（－）+（－）+（－） 6+（－7）+（9）+2 72+65+（-105）+（－28） （－23）+|－63|+|－37|+（－77） 19+（－195）+47 （+18）+（－32）+（－16）+（+26） （－）+（－）+（－）+（－） （－8）+（－321）+2+（－21）+12 553+（－532）+452+（－31 ） （）+（－343 ）++ 二、 有理数减法 7－9 ―7―9 0－(－9) (－25)－(－13) ―(― (－321 )－541 (－－(－ (－26)―(－12)―12―18 ―1―(－21 )―(+23 ) (－20)－(+5)－(－5)－(－12) (－23)―(－59)―(－ |－32|―(－12)―72―(－5) (－41 )―（－85 ）―81 （+103 ）―（－74 ）―（－52 ）―710 （－516 ）―3―（－）―7 （+71 ）―（－72 ）―73 （+）―（－）―（－）― （－32 ）―(－143 )―(－132 )―(+ (－332)―(－2)43―(－132)―(－ －843－597＋461－392 －443 +61 +(－32 )―25 +（－41 ）－（－）+21 （+）－（－4）+（－）－（+4） （－）－（－341 ）＋－521 三、 有理数乘法 （－9）×32 （－132 ）×（－） （－2）×31×（－） 31× （－5）＋31 ×（－13） （－4）×（－10）××（－3） （－83）×34×（－） （－）×（－74 ）×4×（－7） （－73 ）×（－54 ）×（－127 ） （－8）×4×（－21 ）×（－） 4×（－96）×（－）×481 （74－181+143）×56 （65―43―97）×36 （－36）×（94＋65－127 ） （－43 ）×（8－34 －） （－66）×〔12221 －（－31 ）＋（－115 ）〕 25×43 －（－25）×21 ＋25×41 （187 +43 －65 ＋97 ）×72 31×(2143－72 )×(－58)×(－165) 四、 有理数除法 18÷（－3） （－24）÷6 （－57）÷（－3） （－53 ）÷52 （－42）÷（－6） （+215 ）÷（－73 ） （－139 ）÷9 ÷（－81 ） －36÷（－131 ）÷（－32 ） （－1）÷（－4）÷74 3÷（－76 ）×(－97 ) 0÷［(－341 )×(－7)］ －3÷（31 －41 ） （－2476 ）÷（－6） 2÷（5－18）×181 131 ÷（－3）×（－31 ） －87 ×（－143 ）÷（－83 ） （43 －87 ）÷（－65 ） （29 －83 +43 ）÷（－43 ） － ×（61 －）×73 ÷21 －17 2 ÷（－165 ）×183 ×（－7） 56 ×（－31 －21 ）÷45 75÷（－252）－75×125－35÷4 ×112+×（－72 ）－÷73+×119 五、有理数混合运算 （－12 7542036 1 -+-）×（－15×4） ()??-73 187（－） 2 ÷（－73）×74÷（－571）［1521－（141÷152＋321］÷（－181） 5 1×（－5）÷（－51 ）×5 －（31 －211 +143 －72 ）÷（－421 ） －13×32 －×72 +31 ×（－13）－75 × 8－（－25）÷（－5） （－ 13）×（－134）×131 ×（－671 ） （－487 ）－（－521 ）+（－441 ）－381 （－ 16－50+352 ）÷（－2） （－）－（－341 ）+－521 178－+43212 +532119 － （－6）×(－4)+(－32)÷(－8)－3 －72 －(－21 )+|－121 | （－9）×(－4)+ (－60)÷12 [(－149)－175+218]÷(－421) －|－3|÷10－（－15）×31
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