铅球掷远问题
铅球掷远问题
摘要
本文研究了铅球掷远的问题，分析了掷远距离和出手速度、出手角度、出手高度的关系.得出了对于不同的出手速度，确定的了最佳出手角度，比较了掷远结果队出手速度和出手角度的灵敏度.
铅球投掷作为田径比赛的一个重要组成项目，投掷距离s (米)的远近是教练员和运动员最关心的问题.由投掷常识知道，影响投掷距离远近的因素主要有三个：铅球出手时的初速度v (米/秒)、出手角度α(度)和出手高度h (米).
针对于问题一：综合考虑了铅球在运动过程中的受力，运用运动的合成和分解把出手速度分解为竖直方向和水平方向，给予运动学知识，建立了模型1，出手速度、出手角度、出手高度分别为v ，α，h ，不难得到
ααα22222cos 2)2sin 2(2sin 2g
hv g v g v L ++=
针对于问题二，运用数值求解，在出手高度相同的条件下，对于不用的出手速度，当出手角度为2
arccos 21v gh gh
+=
α时，铅球掷远最远，并且当h =0时，最佳出手角度是 45；L 是v 和h 的增函数，但是最佳出手角度α只能是数值地计算.L 对v ，α的灵敏度虽然可以分别用()()L
d dL L S L v dv dL v L S α
αα==
,,,来度量，但是它们也只能数值地计算，可以发现，()()α,,L S v L S >,即L 对v 的灵敏度远大于
α的灵敏度.
3，当考虑到运动员展臂过程中对掷球结果的影响，对模型进行适当的调整，掷远结果跟展臂之前的速度u 、展臂过程中运动的距离s 、肩高b 、臂长1s 有关，基于模型一的改进，得到模型二的结果为
)cos(cos ))sin (8.3)(sin (2)2sin 2)sin (8.3(2sin 2)sin (
8.3),,,(12121212121ααααααααs g
g m F
s u s b g g m F s u g g m F s u u s b F L +-+++-++-+=
关键字： 出手角度 出手速度 灵敏度 运动学
目录
1问题提出 (1)
2问题分析 (1)
2.1问题一的分析： (1)
2.2问题二的分析： (2)
2.3问题三的分析： (2)
3模型假设 (2)
4符号说明 (2)
5模型建立与求解 (3)
5.1 问题一的模型建立与求解 (3)
5.1.1 模型的建立与求解 (3)
5.2 问题二的模型建立与求解 (4)
5.2.1 模型的建立与求解 (4)
5.2.2铅球运动轨迹图形示意可求L： (4)
5.2.3由最大L相应的α的求解 (4)
5.2.4模型结果的图形表示速度v对应的α的函数 (6)
5.3比较掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏性研究 (6)
5.3.1不同速度不同角度下对应的投掷距离 (6)
5.3.2不同速度不同角度下的L对v的灵敏度 (7)
5.3.3不同速度不同角度下的L对角度α的灵敏度 (10)
5.4 问题三的模型建立与求解 (13)
5.4.1 模型的建立与求解 (13)
6模型的分析与检验 (15)
6.1模型分析 (15)
6.2模型的检验 (15)
7模型的评价与推广 (17)
7.1 模型的评价 (17)
7.2模型的推广 (17)
8参考文献 (17)
9附录 (18)
附录一 (18)
附录二 (18)
附录三 (19)
1问题提出
球掷远比赛要求运动员在直径2.135m的圆内将重7.257kg(男子)的铅球
投掷在45°的扇形区域内，如图1所示.观察运动员比赛的录像发现，他们的投
掷角度变化较大，一般在38°与45°之间，有的高达55°，建立模型讨论以下
问题：
1.以出手速度、出手角度、出手高度为参数，建立铅球掷远的数学模型.
2.给定出手高度，对于不同的出手速度，确定最佳出手角度.比较掷远结果
对出手速度和出手角度的灵敏性.
3.考虑运动员推铅球时用力臂展的动作，改进上面的模型.
2.135m
45
45
图1
2问题分析
2.1问题一的分析：
问题一要求在给定出手速度、出手角度、出手高度的前提下建立模型、由于
铅球在运动过程中，始终只受重力m g
G ,因而铅球的运动轨迹是一条抛物线.
首先建立平面坐标系，画出铅球的运动轨迹（抛物线），以铅球出手点的铅
垂方向为y轴，以y轴与地面的交点到铅球落地点方向为x轴构造平面直角坐标系．再运用运动的分解对铅球的出手速度v进行水平和竖直方向的分解，得到水
平速度和竖直速度. 以铅球到达最高点时为分界点，将铅球的运动过程分为两个
阶段.分别计算这两个阶段铅球的运动时间，进而得到铅球运动的总时间，从而
可以求出铅球的掷远结果.
2.2问题二的分析：
针对于问题二，运用数值求解，在出手高度相同的条件下，对于不用的出手速度，对水平距离求导，确定最优解，即铅球在不同出手速度下的最佳出手角度.
当出手角度为
2arccos
2
1
v gh gh
+=α时，铅球掷远最远，并且当h =0时，最佳出手
角度是
45；L 是v 和h 的增函数，但是最佳出手角度α只能是数值地计算.L 对
v ，α的灵敏度虽然可以分别用
()()L d dL L S L v dv dL v L S α
αα==
,,,来度量，但是也只
能数值地计算，可以发现，L 对v 的灵敏度远大于α的灵敏度. 2.3问题三的分析：
针对于问题三，需要将运动员的展臂考虑到掷远结果中来.掷远距离跟展臂之前的速度u 、展臂过程中运动的距离s 、肩高b 、臂长1s 的有关，求解过程与模型一相似.
3模型假设
1、假定此运动员每次掷铅球时是在相同的条件下进行的.
2、假定铅球每次运动的轨迹都是在同一平面内.
3、人的高度h 和铅球投掷初速度v 是一定的，当投掷出时间1t 后，铅球到达最高点，当时间在2t 时刻时铅球落地，重力加速度g =9.82/s m ，速度方向与投掷的水平方向所成角为α时(0≤α≤90°)，此情况下铅球落地点与人的距离是L .
4、由于铅球质量大体积小，所受到的空气阻力对铅球运动的影响非常小，故忽略空气阻力对投掷铅球的影响.
4符号说明
h ：人的高度，假设为1.7m
v ：铅球投掷初速度
α：速度方向与投掷的水平方向所成角
L ：下铅球落地点与人的距离
g ：重力加速度g =9.82/s m
1t ：当投掷出时间1t 后，铅球到达最高点 2t ：当时间在2t 时刻时铅球落地 m ：铅球的质量
u ：展臂前速度
s ：球在展臂过程中运动的距离
b ：运动员肩膀到地面的高度
1s ：运动员的臂长
5模型建立与求解
5.1 问题一的模型建立与求解 5.1.1 模型的建立与求解
模型一：在速度，角度，高度为参数的条件下建立掷远模型
由题意知，铅球运动轨迹图形如图1所示
)(t H v
α
h
1t 2t t
图2
由模拟铅球运动轨迹图形可知，在1t 时刻铅球到达最高点，此时竖直方向上的速度为0.
1sin gt v =α即g
v t α
sin 1=
最高点
()g
v h gt h t H 2sin 2122211α
+
=+= 可设该抛物线的方程为
g
v h g v t a t H 2sin )sin ()(222α
α+
+-= h g v h g v a H =++=2sin sin )0(22222αα 2
g
a -
=∴ g
v h g v t g t H 2sin )sin (2)(222α
α+
+--=∴ 又0)(2=t H
g v g
v g h t α
αsin sin 22222++=
∴ 又2cos t v S =
可得给定出手高度下，下铅球落地点与人的距离S
g
v g v g hv S 22sin )22sin (cos 222222ααα++=
5.2 问题二的模型建立与求解 5.2.1 模型的建立与求解
基于模型一对问题二的求解： 5.2.2铅球运动轨迹图形示意可求L ：
由模拟铅球运动轨迹图形可知，在1t 时刻铅球到达最高点，此时竖直方向上的速度为0.
1sin gt v =α即g
v t α
sin 1=
最高点
()g
v h gt h t H 2sin 2122211α
+
=+=
5.2.3由最大L 相应的α的求解
由最终式子可以看出，一个人投掷铅球，在能力(即初速度)一定时，所投掷距离L 只与投掷角度α有关，要看L 是否有最大值，即要看L 关于θ的函数式是否有最大值.(因为L ≥0，当然求最小值无意义，故L 有极值且为极大值就为L 的最大值)
g v g
v g hv g v g v g hv S αααα
ααα2cos )22sin (cos 22cos 2sin )sin (cos 222122
222222'
++?
+-??=
=g v v ghv g
g hv g
v αααααα2cos 2sin cos 812sin 22cos 2sin 224222
2
4+
+- = )2sin cos 82cos 2sin 22cos 2sin (2sin cos 8242222
4222
ααααααα
αv ghv gh v v ghv g v ++
-+
=0
即
02sin 22sin cos 82cos 2cos 2sin 24222=-++ααααααgh v ghv v
αααα2sin cos 8)2sin 2tan 2(242222v ghv v gh +=-? αααα222222cos 82sin 2tan 42tan 4ghv ghv h g =-? αααα2222cos 22sin 2tan 2tan v v gh =-?
ααααα2cos )12(cos 2cos 2sin 2sin 22222+=-?v v gh ]2cos 2cos 2cos )2cos 1[(2sin 32222ααααα++-=?v gh ααα2cos )2cos 1()2cos 1(22+=-?v gh αα2cos )2cos 1(2v gh =-?
2
2cos v gh gh
+=
?α
可得：
当2arccos 21v
gh gh +=
α时投掷距离最远 5.2.4模型结果的图形表示速度v 对应的α的函数
由2
arccos 21v gh gh +=
α可得速度v 对应的α的函数图象，程序见附录一.
010203040
50
60708090100
51015202530354045optimum angle
speed
a n g l e
图3
由图可知，不同的出手速度对应不同的最佳角度，速度不断增加的时候，角度趋于45°.
5.3比较掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏性研究
在分析过程中，去角度的范围从0到2
π
，速度的范围取5到252/s m .程序见附录二.
5.3.1不同速度不同角度下对应的投掷距离
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
051015202530354045
图4
旋转一定的角度只有的效果图，如图5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
5
10
15
20
010
20
30
40
50
图5
5.3.2不同速度不同角度下的L 对v 的灵敏度
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
5
10
15
20
25
-8000-6000-4000-200002000
400060008000
1000012000角
度速度
不同速度不同角度下的 对 速度的灵敏度
图6
旋转一定的角度后，对一定速度，不同角度的灵敏度的效果图
0.20.40.6
0.8
1 1.
2 1.4 1.6
02040-8000
-6000
-4000
-2000
2000
4000
6000
8000
10000
12000
角度
不同速度不同角度下的 对 速度的灵敏度
图7
旋转一定的角度后，对一定角度，不同速度的灵敏度的效果图
012
510
1520
25
-8000
-6000
-4000
-2000
2000
4000
6000
8000
10000
12000
角度
速度
不同速度不同角度下的 对 速度的灵敏度
图8
下图是L 对出手速度求偏导，不同速度不同角度所对其的影响效果图
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
050100150200250300350400
图9
旋转一定的角度的效果图，如图10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
24681012141618200100200300400
图10
5.3.3不同速度不同角度下的L 对角度 的灵敏度
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
5
10
15
20
25
-2-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
x 1026
角度速度
不同速度不同角度下的 对角度的灵敏度
图11
旋转一定的角度后，对一定速度，不同出手角度的灵敏度的效果图
0.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6
2040-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
x 10
26
角
度
不同速度不同角度下的 对角度的灵敏度
速度
图12
旋转一定的角度后，对一定角度，不同速度的灵敏度的效果图
012510
1520
25
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
x 10
26
速度
角度
不同速度不同角度下的 对角度的灵敏度
图13
下图是L 对角度求偏导，不同速度不同角度所对其的影响效果图
0.5
1
1.5
2
5
10
15
20
-1-0.5
0.5
1
x 104
图14
旋转一定的角度的效果图，如图15
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-8000
-6000
-4000-2000
02000
400060008000
图15
由以上图形可以很直观的看出掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏性之
间的关系.可以看出初速度 v 、出手角度α因素对投掷距离L 的影响度的大小,即
()()L
d dL L S L v dv dL v L S α
αα=>=
,, L 对v 的灵敏度远大于α的灵敏度，从而在训练和比赛中对运动员和教练员
有一定的理论指导意义. 5.4 问题三的模型建立与求解 5.4.1 模型的建立与求解
问题三的求解：
设在展臂过程中，用的力为常数F ，设F 与α无关，则铅球在α方向的加速度为
αsin g m
F
a -=
v
s 1s
α
b h
u L
图10
其中m 是铅球的质量，设展臂前速度是u ，球在展臂过程中运动的距离是
s ，则如图，出手速度v 满足
as u v 222+=
代入公式得
(
)αsin 2222sg m
sF
u v -+=
即出手速度与出手角度α有关，随着α的增加而减小. 设肩高b ，臂长1s ，肩恰在场地边界，则掷远为
αcos 1s L D +=
其中L 可有模型一计算出来，v 可用 (
)αsin 2222sg m
sF
u v -+= 计算出
来，αsin 1s b h +=，且一般19.1s s =，于是需要给出b ，1s ，u ，讨论F 和α的影响.
)
cos(cos )8.3)(sin (2)2sin 28.3(2sin 28.3),,,(121212
12121αααααs g a s u s b g a s u g a s u u s b a L +++++++=
即
)cos(cos ))sin (8.3)(sin (2)2sin 2)sin (
8.3(
2sin 2)sin (
8.3),,,(12121212121ααααααααs g
g m F s u s b g g m F s u g
g m F
s u u s b F L +-+++-++-+=
5.4.2根据以上求解，假定臂长1s 为1m ，肩高b 为1.5m ，展臂前的速度为u 为02/s m ，则可得到F 和α对掷远距离的影响图，程序见附录三，图形如下
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
50010001500
2000
2500
出手角度
改进的图形结果
出手力度
投掷距离
图16
旋转一定的角度后的效果图如下
0.2
0.4
0.60.8
1
1.2
1.4
1.6
50
1001502002503003504004505000
500
1000
1500
2000
2500
改进的图形结果
出手角度
投掷距离
出手力度
图17
6模型的分析与检验
6.1模型分析
通过上述模型分析，可得出如下结论：在最佳出手角度的容差范围内对于同一个运动员而言，滑步速度是影响投掷距离的最重要的外界因素，其次是出手速度，故在训练中应注意加强滑步运动和出手速度的练习；运动员应根据各自的具体情况，确定与自身相适应的最佳抛射角度，而不要太过追求最佳抛射角度.
6.2模型的检验
通过上述模型，可知，在不考虑空气阻力、运动员心里状况等等理想的情况下，最佳投射角度为45度，这与实际动员的真实投射角度有偏差，以下是中国铅球运动健将的部分参数，世界优秀铅球运动员的最佳掷远角度应该为38°到40°之间，一级运动健将级铅球运动员为36°到38°，二级与三级铅球运动员应该为30°到36°，可见表1和表2，不同水平铅球运动员的投射角度和掷远距离的数据，其中表1中的理论值由传统的新、旧公式得出，考虑到空气阻力等方面，再此处做对比.
姓名 掷远距
离m / ()1
-?s m V
α
出手高度m / m L 0
理论距离m / 理论 0α
偏差
() αα-0
高飞 8.0 8.11 28.3 1.85 38.48 10.18 李林 11.5 9.88 34.2 1.89 40.36 6.16 马帅 13.3 10.72 35.0 2.00 40.73 5.73 车华美 14.87 11.39 36.86 1.86 0 14.80 41.44 4.58 郭翠霞 15.34 11.55 37.0 1.89 +0.05 15.32 41.49 4.49 韩林 16.13 11.86 36.58 2.08 +0.10 16.16 41.33 4.75 姚永光 17.96 12.49 37.17 2.17 +0.11 18.00 41.56 4.39 隋新梅 18.51 12.74 38.02 2.02 0 18.44 41.89 3.87 黄志红 19.16 13.15 38.02 2.09 -0.08 19.01 41.89 3.87 德罗索娃 20.84 13.49 38.94 2.00 -0.19 20.58 42.26 3.32 李梅素 21.65 14.08 39.35 1.95 0.18 21.76 42.43 3.08 平均（Z ）
16.11
11.77
36.31
1.98
+0.02
18.01
41.26
4.95
表1不同水平铅球运动员的技术参数
上线 国际运动健将 运动健将 一级 二级 三级 少年线 底线 男女
男
女
女
男
男
女
男女
女
男
男
女
男女
22
20.10
18.25
17.10
17.05
16.05
15.30
12.50
10.00
9.50
9.00
8.50
5.00
1.70 40.2‘ 39.7‘ 39.1‘ 38.1‘ 38.4‘ 38.3‘ 37.9‘ 36.1‘ 33.4‘ 3
2.7‘
31.9 31.0 17.7
1.80 39.9‘ 39.4‘ 38.8‘
38.3‘
38.2‘
37.8 37.4 35.5 32.6 31.8 31.0 30.0 15.6 1.90
39.6‘
39.
0‘ 38.4 37.9 37.9 37.4 36.9 34.9 31.8 31
30.0 28.9 13.5
2.00 39.3 38.7 38.0 37.5 37.5 36.9 36.5 34.2 31.0 30.1 29.1 27.9 11.3‘ 2.10 39.0 38.3 37.6 37 37.0 36.5 36.0 3
3.6 30.1 29.2 28.1‘ 26.8‘ 9.1‘ 2.20 38.7
38.0
37.2‘
36.6‘
36.6‘
36.0‘
35.5‘
32.9‘
29.2‘
28.2‘
27.1‘
25.8‘
6.8‘
表2不同技术等级铅球运动员最佳投射角度对照表
注：男子铅球除少年级为6kg 外，其余均为7.26kg ，女子铅球均为4kg ；‘ 代表全力投掷时，此种情况出现几率较小.
由以上数据可知，最佳投射角度应该在35°到41°之间，由于此模型是在理想的状态下考虑，与实际有一定的偏差.
等 级
标 准 最 佳 角
度 出 手 高 度
7模型的评价与推广
7.1 模型的评价
1.模型简单易懂，对于实际指导，有很强的指导意义.
2.上面的模型忽略了铅球在空气中运动时受到的空气阻力影响，重力加速度随地域不同的变化，出手高度因运动员个体差异引起的不同等，如果加上以上因素，得出的公式将会更加准确，但处理过程会变得很复杂.
3.该模型可以得出初速度v、出手角度 因素对投掷距离L的影响度的大小，从而在训练和比赛中对运动员和教练员有一定的理论指导意义.
4.选拔投掷铅球的运动员时，要选身高体壮、爆发力强的运动员，这是因为当出手角度和出手速度一定时，身高者其出手高度必然高，故有助于增加投掷距离.
5.加强爆发力和出手速度的训练，有利于提高投掷距离.
6.为了更好的利用上述结论作为指导，在日常的投掷训练中应注意以下要领，滑步时应低平快；过渡阶段随着左腿低而快地抵趾板下沿，退髋侧移，使铅球低而远的远离出手点；最后发力阶段突出向前性.
7.在实际比赛中，运动员的身体素质、心态、环境等可能是影响铅球投掷距离的因素，而在模型中并没有计算.
8.由于本题模型主要是多元方程和用MATLABA软件绘图，使得计算量和程序编写难度较大.
7.2模型的推广
仔细分析本文中建立模型的特点，不难发现铅球掷远模型不仅能够解决各个出手角度、出手速度对应的铅球掷远距离值，还可以进一步解决炮弹发射距离的测定问题,可以应用于铁饼、标枪或篮球投篮、飞盘的投掷等有关于投掷的问题，也可用于撑杆跳等运动问题.
8参考文献
[1]姜启源，《数学模型》，北京：高等教育出版社，[325][456],1996.
[2]胡守信等，《基于MATLAB的数学实验》，北京：科学出版社，2004.
[3]岂兴明，王占富《matlab 7.0程序设计快速入门》，北京：人民邮电出版社，2009.
[4]孙俊逸，朱永松，《计算方法》，北京：机械工业出版社，2011.
[5]王岩，隋思连，王爱青，《数理统计与MATLAB工程数据分析》，北京：清华大学出版社，2007.
[6]吴德州，张沛林，《不同技术等级铅球运动员最佳投射角度的理论分析》，新乡学院学报（自然科学版），第三期，2009.6.
9附录
附录一
问题二中，图3由2
arccos 21v gh gh +=α可得速度v 对应的α的函数图象的matlab 的程序.
g=9.8; h=1.8; v=0:1:100;
y=0.5*acos((g*h)./(g*h+v.*v))/pi*180; plot(v,y)
title('optimum angle '); xlabel('speed'); ylabel('angle');
附录二
问题二中比较掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏性研究分别对出手速度、出手角度的分析，matlab 对应的程序.
syms v L a h=1.8; g=9.8;
L=(v.*v./2*g).*sin(2*a)+(((v.*v./2*g).*sin(2*a)).^2+2*h.*v.*v.*cos(a).*cos(a)./g).^0.5; L1=diff （L,a,1)
L2=diff(L,a,1)
L 对V 求导S1，L1为灵敏度：
S1=49/5*v*sin(2*a)+1/2/(2401/100*v^4*sin(2*a)^2+18/49*v^2*cos(a)^2)^(1/2)*(2401/25*v^3*sin(2*a)^2+36/49*v*cos(a)^2) L1 =
(49/5*v*sin(2*a)+1/2/(2401/100*v^4*sin(2*a)^2+18/49*v^2*cos(a)^2)^(1/2)*(2401/25*v^3*sin(2*a)^2+36/49*v*cos(a)^2))*v/(49/10*v^2*sin(2*a)+(2401/100*v^4*sin(2*a)^2+18/49*v^2*cos(a)^2)^(1/2))
L 对角度求导S2，灵敏度为L2：
S2=49/5*v^2*cos(2*a)+1/2/(2401/100*v^4*sin(2*a)^2+18/49*v^2*cos(a)^2)^(1/2)*(2401/25*v^4*sin(2*a)*cos(2*a)-36/49*v^2*cos(a)*sin(a)) L2 =
田径比赛规则
田径比赛通则方面 1、参加比赛的运动员必须佩带号码，否则不得参加比赛。 2、田径类比赛项目运动员须由检录处工作人员带到相应的比赛地点。 3、径赛运动员在比赛过程中挤撞或阻挡别人比赛时，应取消其该项比赛资格。 4、如果一名运动员参加一个径赛项目，又参加一个田赛项目，或者参加一个以上的田赛项目，而这些项目又同时举行比赛时，相关裁判可以允许该运动员先进行径赛类比赛项目，之后再回来进行田赛比赛项目。 5、判定名次和成绩相等判定名次的方法。 径赛项目：判定运动员到达终点的名次顺序，是以运动员躯干的任何部分到达终点线内沿的垂直面的先后为准。由于本次大会没有预赛，所以将会以此成绩判定为个人的最好成绩。 田赛项目：远度项目以比赛的三次跳远、三级跳远或投掷中最好的一次成绩作为个人的最好成绩，包括第一名成绩相等决定名次赛时的成绩，然后以各运动员的最好成绩排列名次。高度项目以每名运动员最好一次跳高成绩作为最终成绩，包括第一名成绩相等决定名次赛时的成绩，作为最后决定成绩。 如遇两人或两人以上成绩相等，应按下列规定处理： 径赛类项目比赛成绩相等的录取办法：按成绩录取最后名次时，有两人或两人以上成绩相等，则成绩相等的运动员名次并列，并将比
赛成绩记为最好成绩； 田赛高度项目比赛成绩相等的录取办法：在出现成绩相等的高度中，试跳次数较少者名次列前。如成绩仍相等，在包括最后跳过的高度在内的全赛中，试跳失败次数较少者名次列前。如成绩仍相等：如涉及第一名时，则令成绩相等的运动员在其造成成绩相等的失败高度中的最低的高度上，每人再试跳一次。如仍不能判定，则横竿应提升或降低，提升和降低的高度，跳高为2厘米，他们应在每个高度上试跳一次，直到决出名次为止。决定前八名的试跳，有关运动员必须参加。如涉及其它名次时，成绩相等的运动员名次并列。 田赛远度项目比赛成绩相等的录取方法：如有成绩相等时，应以其次优成绩判定名次。如次优成绩相等，则以第三优成绩判定。如仍相等，并涉及第一名者，则令相等的运动员，按原比赛顺序，进行新一轮比赛，直到决出名次为止。 径赛主要规则 径赛比赛项目：100米、200米、400米、800米、1500米、4×100米接力 1、在本次田径运动会中中，所有400米或以下的径赛项目，必须采用蹲踞式起跑（及使用起跑器）。在‘各就位’及‘预备’口令之后，参赛者应马上完成有关动作，任何参赛者不能在合理时间内完成有关动作，则属起跑犯规。除此以外，在‘各就位’后，以声音或动作扰乱他人，需判以起跑犯规。在发令员喊口令前（枪声响起前）有任何起跑动作，亦属起跑犯规。对起跑犯规的参赛者，前两次发令员应予以警
铅球掷远研究报告数学建模
铅球掷远研究
目录 一、问题的提出 (3) 二、问题分析 (3) 三、模型假设 (4) 四、符号定义 (4) 五、模型建立与求解 (4) 六、模型的评价 (10) 七、参考文献 (10) 八、附录 (10)
摘要： 本文研究了铅球掷远的问题，分析了掷远距离和出手速度、出手角度、出手高度的关系。得出了对于不同的出手速度，确定的了最佳出手角度，比较了掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏度。 铅球投掷作为田径比赛的一个重要组成项目，投掷距离s(米)的远近是教练员和运动，员最关心的问题。由投掷常识知道，影响投掷距离远近的因素主要有三个: 铅球出手时的初、速度v(米/秒)、出手角度A(度) 和出手高度h(米)。迄今为止，利用物理中运动学知识研究铅球投掷运动现象比较多, 而且在研究时很少考虑出手高度的影响[2, 3]。通过建立模型,寻求初速度v、出手角度A和出手高度h 三个因素对投掷距离s的影响度的大小，从而在训练和比赛中对运动员和教练员有一定的理论指导意义. 关键词：铅球掷远投掷距离出手角度灵敏度
一、问题提出 球掷远比赛要求运动员在直径2.135m的圆将重7.257kg（男子）的铅球投掷 45的扇形区域，如图1所示。观察运动员比赛的录像发现，他们的投掷角度在 变化较大，一般在38°- 45°，有的高达55°，建立模型讨论以下问题： 1．以出手速度、出手角度、出手高度为参数，建立铅球掷远的数学模型。 2．在此基础上，给定出手高度，对于不同的出手速度，确定最佳出手角度。 比较掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏性。
二、问题分析 针对如何使铅球掷得最远，只需求得铅球在空中停留时间以及铅球在水平方向的速度即可，铅球投掷后在空中停留的时间可以凭借铅球投掷后在垂直方向上先以向上的速度运动到静止，再做自由落体运动落到地面求出。【1】 三、模型假设 1、 人的高度h 和铅球投掷初速度v 是一定的，当投掷出时间1t 后，铅球到达 最高点，当时间在2t 时刻时铅球落地，重力加速度28.9s m g =，速度方向与投掷的水平方向所成角为θ时)900(?≤≤θ，此情况下铅球落地点与人的距离是S 。 2、 由于空气阻力对铅球运动的影响非常小，故忽略空气阻力对投掷铅球的 影响。【2】 四、符号定义： h ： 人的高度，假设为1.7m v ：铅球投掷初速度
常见运动场地规格尺寸数据(体育教师考编必须掌握数据)
常见运动场地规格尺寸数据 （体育教师考编必须掌握数据） 田径场： 标准400米场地，半径为36.5米至内突沿外沿。每条跑道宽1.22米（包含右侧分道线），分道线宽5厘米 跨栏： 起点至第一栏的距离： 跳远与三级跳 1、坑宽至少2.75米，最宽3米，长一般6—9米。助跑道宽1.22—1.25米，长至少40米。 2、跳远起跳板前沿至沙坑的近段距离为2—4米，沙坑至远端的距离至少10米。
三级跳远起跳线至沙坑近端的距离男子至少13米，女子至少11米（7米，9米），至沙坑远端距离至少21米。 3、坑内沙面与起跳板表面在一个水平面上。起跳板用木料制成，长1.22米，宽20厘米，漆成白色。起跳板前有一块橡皮泥显示板，用来帮助裁判员判断运动员是否犯规。 跳高和撑杆跳高 跳高落地区至少长5米，宽3米。助跑道长度不限，最少为15米。如果条件许可，应不短于20米，呈扇形。跳高架应该有足够的高度，须配稳定放置横杆的横杆托，两立柱之间距离为4.00~4.04米。 撑竿跳高的落地区，至少5米×5米，重大比赛为6米×6米。落地区和穴斗两边铺海绵包。助跑道宽1.22米，长最少40米。撑竿跳高插斗用木料、金属或其它坚实材料制成。插斗埋入地下，上口应与地面齐平。撑竿跳高架两立柱或延伸臂之间距离应不少于4.30米，不超过4.37米。 投掷（铅球、链球、铁饼、标枪） 铅球和的投掷圈直径2.135米，铁饼的投掷圈稍大一点，直径2.5米。 标枪投掷区是一条宽4米，长约30~36.5米的助跑道。在助跑道两边有两条宽5厘米的边界线，边界线的顶端是一个金属或者木质的弧形投掷弧，弧线的半径为8米，线宽7厘米。弧线两端各有两条线为75厘米，线宽7厘米，与助跑道的两平行线垂直。 铅球、链球和铁饼比赛的落地区的扇面角度是34.92度，标枪比赛为约29度。线宽5厘米，不包括在规定的长度（距离）和角度线之内。
铅球比赛规则
铅球比赛规则 1．应抽签决定运动员试掷顺序。 2．运动员超过8人，应允许每人试掷3次，有效成绩最好的前8名运动员可再试掷3次，试掷顺序与前3次试掷后的排名相反。如果在第3次试掷结束后出现第8名成绩相等，按规则第146条3处理。当比赛人数只有8人或少于8人时，每人均可试掷6次。 3．比赛开始前，运动员可在比赛场地练习试掷，练习组应按抽签排定的顺序进行，并始终处于裁判员的监督之下。 4．一旦比赛开始，运动员不得持器械练习，无论持器械与否，均不得使用投掷或落地区以内地面练习投掷。 5、应从投掷圈内将铅球推出。运动员必须从静止姿势开始试掷。允许运动员触及铁圈和抵趾板的内侧。 6、应用单手从肩部将铅球推出。当运动员进入圈内开始试掷时，铅球应抵住或靠近颈部或下颌，在推球过程中持球手不得降到此部位以下。不得将铅球置于肩轴线后方。 7、（a）不允许使用任何装置对投掷时的运动员进行任何帮助，例如使用带子将两个或更多的手指捆在一起。除了开放性损伤需要包扎以外，不得在手上使用绷带或胶布。 （b）不允许使用手套。 （c）为了能更好地持握铅球，运动员可使用某种适宜物质，但仅限于双手。 （d）为了防止手腕受伤，运动员可在手腕处缠绕绷带。 （e）为防止脊柱受伤，运动员可系一条皮带或其他适宜材料制成的带子。 （f）不允许运动员向圈内或鞋底喷洒任何物质。 8、运动员进入圈内开始投掷后，如果运动员身体的任何部位触及圈外地面，或触及铁圈和抵趾板上面，或以不符合规定的方式将铅球推出，均判为一次投掷失败。 9、如果在投掷中未违反上述规定，运动员可中止已开始的投掷，可将器械方在圈内或圈外，在遵守本条第12款的前提下，可以离开投掷圈，然后返回圈内从静止姿势重新开始投掷。 注：本款中允许的所有行为应包括在规则第142条4中规定的一次投掷的时限之内。 10、铅球必须完全落在落地区角度线内沿以内，试掷方为有效。 11、每次有效试掷后，应立即测量成绩。从铅球落地痕迹的最近点取直线量至投掷圈内沿，测量线应通过投掷圈圆心。 12、运动员在器械落地后方可离开投掷圈。 13、离开投掷圈时首先触及的铁圈上沿或圈外地面必须完全在圈外白线的后面，白线后沿的延长线应能通过投掷圈圆心。 14、应以每名运动员最好的一次投掷成绩，包括因第一名成绩相等而进行的决名次赛的试掷成绩，作为其最后的决定成绩。 铅球投掷圈 15、结构：投掷圈应用铁、钢板或其他适宜材料制成，其上沿应与圈外地面齐平。圈内地面应用混凝土、沥青或其他坚硬而不滑的材料修建。圈内地面应保
投掷铅球角度的选择
投掷铅球角度的选择 在投掷铅球时若一个人投掷的初速度一定,怎样投掷才能使铅球投的最远,解决这一问题可作为运动员训练的一种科学依据。主要研究投掷角度的选择。 一、 模型假设 1、 人的高度h 和铅球投掷初速度v 是一定的，当投掷出时间1t 后，铅球到达最高点，当时间在2t 时刻时铅球落地，重力加速度2 8.9s m g =，速度方向与投掷的水平方向所成角为θ时)900(?≤≤θ，此情况下铅球落地点与人的距离是S 。 2、 由于空气阻力对铅球运动的影响非常小，故忽略空气阻力对投掷铅球的影响。 二、 模型构成 由模拟铅球运动轨迹图形可知，在1t 时刻铅球到 达最高点，此时竖直方向上的速度为0 ∴1sin gt v =θ 即g v t θsin 1= ∴最高点g v h gt h t H 2sin 21)(22211θ+=+= 可设该抛物线的方程为g v h g v t a t H 2sin )sin ()(222θθ++-= ∵h g v h g v a H =++=2sin sin )0(22222θθ ∴2g a -= ∴g v h g v t g t H 2sin )sin (2)(222θθ++--= 又0)(2=t H ∴g v g v g h t θθsin sin 22222++= ） （t H θ h o 1t 2t v t
又∵2cos t v S = ∴g v g v g hv S 22sin )22sin (cos 222222θθθ++= 三、 结果解析 由最终式子可以看出，一个人投掷铅球，在能力（即初速度）一定时，所投距离S 只与投掷角度有关θ有关，要看S 是否有最大值，即要看S 关于θ的函数式是否有最大值。（因为0≥S ，当然求最小值无意义，故S 有极值且为极大值就为S 的最大值） 式子00='?=S d dS θ ) 2s i n c o s 82c o s 2s i n 22c o s 2s i n (2s i n c o s 82c o s 2s i n c o s 812s i n 22c o s 2s i n 2c o s 22s i n c o s 22c o s 2s i n )s i n (c o s 22212422224222 224222 2 422222222=++-+=++-=+??? ? ??+?+-??='θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθv g h v gh v v ghv g v g v v ghv g g hv g v g v g v g hv g v g v g hv S 即 02sin 22sin cos 82cos 2cos 2sin 24222=-++θθθθθθgh v ghv v θθθθ2sin cos 8)2sin 2tan 2(242222v ghv v gh +=-? θθθθ222222cos 82sin 2tan 42tan 4ghv ghv h g =-? θθθθ2222cos 22sin 2tan 2tan v v gh =-? θθθθθ2cos )12(cos 2cos 2sin 2sin 22222+=-?v v gh
推铅球的比赛规则是怎样的
推铅球的比赛规则是怎样的 铅球是田径运动的投掷项目之一，那么大家对推铅球的比赛规则了解多少呢?下面就让来告诉你推铅球的比赛规则是怎样的。 在比赛过程中，运动员如果有下列违反规则的行为，则会被判犯规，成绩无效： ①超出时间限制; ②投掷铅球和标枪技术不符合规则规定(规则要求铅球和标枪必须由单手从肩上掷出); ③在投掷过程中，身体和器械的任何一部分不得触及投掷圈铁圈上沿或圈外的地面和标枪投掷弧、延长线以及线以外地面任何一部分，包括铅球抵趾板的上面，否则即为投掷失败; ④只有当器械落地以后，运动员才允许离开投掷圈或助跑道。标枪运动员在投出的枪落地前，不能在投掷后转身完全背对其投出的标枪。完成投掷后，链球、铁饼和铅球运动员必须从投掷圈后半圈的延长线后面退出。标枪运动员必须从投掷弧以及延长线以后退出; ⑤在没有犯规的情况下，参赛者可以中止已开始的试掷动作，将器材放下以后暂时离开投掷区，并重新开始，但是必须在规定的时限内完成投掷; ⑥参赛者可以在比赛期间离开比赛区域，但必须由裁判员许可并由裁判员陪伴;
⑦比赛过程中，运动员不能在比赛场地使用以下电子设备：摄像机、便携式录放机、收音机、CD机、报话机、手机、MP3以及类似的电子设备。 推铅球观赛礼仪1.观摩比赛应提前入座，这样，既尊重运动员，也不影响他人观看比赛。 2.颁奖升旗奏歌时，应肃静起立，不要谈笑或做其他事情，以示尊重。 3.运动员出场时，观众应该给予鼓励和掌声，不只给予该国的和自己喜欢的运动员，还应包括其他的运动员。 4.当运动员开始跳跃、投掷项目助跑时，观众可以根据运动员的助跑节奏鼓掌，注意不要在看台上随意走动。 5.在高度项目比赛中，即使运动员水平再高，最终都要以自己所不能逾越的高度而告终。所以当运动员成功越过某一高度时，我们应该向运动员表示祝贺。但是，当运动员最终未能越过更高高度的横杆而结束比赛时，观众也应该向运动员报以热烈的掌声。 6.在进行短距离径赛项目时，当运动员站在起跑线后，宣告员开始介绍每位运动员时，观众应报以热烈的掌声和欢呼声，以表示对运动员的喜爱和支持。当裁判员发出“各就位”口令后，即运动员俯身准备起跑时，赛场应保持绝对的安静，观众不要鼓掌呐喊，而应该在心里默默地为运动员加油，以免使场上运动员由于场外因素而分神。当发令枪响后，观众就可以完全释放出自己的活力和激情为自己的偶像呐喊助威了。
铅球投掷模型
西北农林科技大学实验报告 学院名称：理学院专业年级：2011级信计1班 姓名：学号：2011014816 课程：数学模型与数学建模报告日期：2013年11月7日 1 实验题目:铅球投掷模型 2 实验问题陈述:众所周知，铅球运动是指运动员单手托住铅球在投掷圆内将铅球掷出并且使千秋在有效区域中，以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。在铅球的训练和比赛中，铅球投掷的距离的远近使人们最关心的问题，而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球投掷得最远？由普通的投掷常识我们知道，在投掷铅球的过程中，有两个重要的因素：投掷角和初速度。对于教练来说，平时的训练中，应更注意哪方面的训练呢？ 3 实验目的:建立模型进行分析如何能使铅球投掷的最远，在投掷角和初速度两个重要因素上运动员在训练时应该更加注重哪一项的训练。选择一个最优的方法使得训练更加具有针对性，使运动员提高起来更加容易。 4 实验内容 抛射模型:在这个模型中，我们不考虑投掷者在投掷圆内用力阶段的力学过程，只考虑前球脱手使得初速度和投掷的角度对铅球投掷远度的影响。为此，我们不妨把铅球视为一个抛射体，关于它的运动可以在如下三个家设置下来分析。
⑴铅球被看成是一个质点，其初速度为v ，运动轨迹如图一。 ⑵铅球运动中忽略空气的阻力。 ⑶投掷角α和初速度v 是相互独立的，并且衡量成绩的远度记为s 。 ⑷运动员具有身高h 。 以铅球出手点的铅垂方向为y 轴（向上为正），以y 轴与地面的交点到铅球落地点方向为x 轴构成平面直角坐标系。在此坐标系内考虑铅球的运动，由物理学的知识可以得到铅球运动方程： ()()?? ???-+??=??=221sin cos gt h t v y t v x αα ,/8.9,2,0秒米=??????∈g πα 解这个方程，得()()222tan 2cos gx y f x x h v αα =-++ ① 图中显示铅球落在地面A 点，此时的远度是 s ，也即轨迹与x 轴相交于点（s ,0）处。代入①解出s ， 得 s =② 这个公式中已经体现了初速度、投掷角度和远度之间的简单关系。也指明了铅球投掷的远度是如何依赖于前两者的。这就是我们需要的铅球投掷模型I ——投射模型。 模型II ——投掷模型 在实际中我们从奥运会的女子铅球比赛中获得这样一组数据
推铅球比赛规则,铅球落地区在哪里.doc
推铅球比赛规则，铅球落地区在哪里？ 铅球比赛 1.应抽签决定运动员试掷顺序。 2.运动员超过8人，应允许每人试掷3次，有效成绩最好的前8名运动员可再试掷3次，试掷顺序与前3次试掷后的排名相反。如果在第3次试掷结束后出现第8名成绩相等，按规则第146条3处理。当比赛人数只有8人或少于8人时，每人均可试掷6次。 3.比赛开始前，运动员可在比赛场地练习试掷，练习组应按抽签排定的顺序进行，并始终处于裁判员的监督之下。 4.一旦比赛开始，运动员不得持器械练习，无论持器械与否，均不得使用投掷或落地区以内地面练习投掷。 5、应从投掷圈内将铅球推出。运动员必须从静止姿势开始试掷。允许运动员触及铁圈和抵趾板的内侧。 6、应用单手从肩部将铅球推出。当运动员进入圈内开始试掷时，铅球应抵住或靠近颈部或下颌，在推球过程中持球手不得降到此部位以下。不得将铅球置于肩轴线后方。 7、(a)不允许使用任何装置对投掷时的运动员进行任何帮助，例如使用带子将两个或更多的手指捆在一起。除了开放性损伤需要包扎以外，不得在手上使用绷带或胶布。 (b)不允许使用手套。 (c)为了能更好地持握铅球，运动员可使用某种适宜物质，但仅限于双手。 (d)为了防止手腕受伤，运动员可在手腕处缠绕绷带。 (e)为防止脊柱受伤，运动员可系一条皮带或其他适宜材料制成的带子。 (f)不允许运动员向圈内或鞋底喷洒任何物质。 8、运动员进入圈内开始投掷后，如果运动员身体的任何部位触及圈外地面，或触及铁圈和抵趾板上面，或以不符合规定的方式将铅球推出，均判为一次投掷失败。 9、如果在投掷中未违反上述规定，运动员可中止已开始的投掷，可将器械方在圈内或圈外，在遵守本条第12款的前提下，可以离开投掷圈，然后返回
数学建模模拟试题及参考答案
《数学建模》模拟试题 一、（02'） 人带着猫、鸡、米过河，船除希望要人计划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。 二、（02'） 雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在六题中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式。 三、（03'） 要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学，模型讨论是否跑都越快，淋雨量越少。 将人体简化成一个长方体，高m a 5.1=（颈部以下），宽m b 5.0=厚m c 2.0=，设跑步距离 ,1000m d =跑步最大速度s m v m /5=，雨速s m u /4= ，降雨量h cm w /2=，记跑步速度为v ，按以下步骤进行讨论； （1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量 （2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为θ，如图1建立总淋雨量与速度v 及参数θ,,,,,,w u d c b a 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算0 30,0==θθ时的总淋雨量。 （3））雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为?，如图2建立总淋雨量与速度v 及参数?,,,,,,w u d c b a 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算030=θ时的总淋雨量。 四、（03'） 建立铅球掷远模型，不考虑阻力，设铅球初速度为v ，出手高度为h 出手角度为α（与地面夹角），建立投掷距离与α,,h v 的关系式，并在h v ,一定的条件下求最佳出手角度。
铅球规则
(四)投掷项目 1、圆圈投掷项目比赛规则的共同点 （1）铅球、铁饼、链球的试掷应在投掷圈内完成，试掷时应从静止姿势开始，允许运动员触及铁圈内沿。（铅球运动员可触及抵趾板内沿） （2）运动员在器械落地后方可离开投掷圈，离开时首先触及的铁圈上沿或圈外地面应完全在圈外白线的后面。 （3）器械必须完全落在落地区角度线内沿以内试掷方为有效。 （4）成绩测量。每次有效投掷后均应进行成绩测量。从落地痕迹的最近点取直线量至投掷圈内沿，测量线应通过投掷圈的圆心。记录测量距离的最小单位为0.01米，不足1厘米不计。 （5）落地区标志线应用宽5厘米的线标出，标志线的内沿延长线的夹角为34.92°。 * 用下列方法精确设置34.92°扇形落地区：在离投掷圈圆心20米处，两条落地区标志线相距12米，即每离开圆心1米，落地区标志线的横距增加60厘米。 （6）每次试掷后，应将器械运回投掷圈附近区域，不得掷回。 （7）不允许向圈内或鞋底喷洒任何物质。 （8）试掷出现下列情况应判失败： A．铅球出手姿势不符合规定； B．在进入投掷圈内并开始投掷之后，身体的任何部分触及铁圈上沿或铁圈外地面或抵趾板上沿。（大型比赛，运动员的整个投掷过程均应录像，以便仲裁。） C．违反上述第2款。 D．超过时限。 （9）个人保护措施 A．不允许运动员使用任何方法以任何形式对试掷进行帮助，例如使用胶带将两个或更多的手指捆在一起。除了开放性损伤需要包扎以外，不得在手上使用胶带。（链球比赛时可在单个手指上捆扎带子，但需要向主裁判展示。） B．除链球外不允许使用手套，掷链球手套的手掌和手背应光滑。除拇指外，其他手指尖应露出。 C．为了更好地持握器械，可使用某种适宜物质，但仅限于双手。此外，链球运动员可在手套上、铅球运动员可在颈部涂抹此类物质。 D．为防止脊柱受伤，运动员可系一条皮革或其他适宜材料制成的腰带。 E．推铅球时，为了防止手腕受伤，运动员可在手腕处缠绕绷带。 2、铅球投掷项目比赛动作规则 应用单手从肩部推出。当运动员进入圈内开始试掷时，铅球应抵住或靠近颈部或下颌，在推球过程中持球手不得降到此部位以下。不得将铅球置于肩轴线后方。 3、投掷比赛的裁判工作方法 （1）田径竞赛规则中对投掷裁判员的规定： 比赛时，裁判员应举白旗或红旗以示试掷的成功或失败。 （2）分工职责与位置： 大型田径赛投掷各项目裁判组的人数一般为12～14人。 A．主裁判2人 a.全面领导裁判组的工作，负责分配每个裁判员的岗位及任务，完成各项裁判工作任务。 b.领导全组认真学习竞赛规程和规则的有关章节，熟练地掌握裁判方法。 c.领导全组裁判员检查场地、器材和仪器设备、领取裁判用具。 d.接收运动员，并提出比赛的要求。
数学建模校内选拔赛
2011年北方工业大学数学建模 时鹏晓张海亮吴本顺 （理学院统08A-2，艺术学院工设08A-1，机电学院材控08A-2） 摘要： 在铅球投掷训练和比赛中，教练和运动员关心的核心问题是铅球的投掷距离的远近，而距离的远近主要取决于铅球的出手速度、出手角度、出手高度等等，它们对铅球投掷距离的远近主次影响是怎样的呢？因为空气阻力等的影响相对比较微小，可以忽略不计，本文主要运用牛顿力学等物理、数学知识建立了铅球投掷过程的数学模型探讨出手速度、出手高度、出手角度这三个影响铅球投掷成绩的主要因素，然后运用数值法进行分析，计算出各影响因素对铅球投掷距离的影响程度，确定出各影响因素的主次关系，为制定科学的铅球训练计划提供依据。 关键词：铅球投掷、数值法、最优出手角度、最远投掷距离 1问题的提出 众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m 的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o的有效扇形区域内。以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。 在铅球的训练和比赛中，铅球投掷距离的远与近是人们最关心的问题。而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得最远。影响铅球投掷远度的因素有哪些？建立一个数学模型，将预测的投掷距离表示为初始速度和出手角度的函数。最优的出手角度是什么？如果在采用你所建议的出手角度时，该运动员不能使初始速度达到最大，那么他应该更关心出手角度还是出手速度？应该怎样折中？ 哪些是影响远度的主要因素？在平时训练中，应该更注意哪些方面的训练？试通过组建数学模型对上述问题进行分析，给教练和运动员以理论指导。 参考数据资料如下： 表1 李素梅与斯卢皮亚内克铅球投掷成绩 表2 我国优秀运动员的铅球投掷数据
田径场地标准数据规格
述 任何田径场地及设施，只要符合《国际田联田径场地设施手册》的规定，均可用于田径比赛。 跑道规格 标准田径场跑道的全长为400米，由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成。 径赛跑道应设8条分道，每条分道的宽度为1.22至1.25米，而且每条分道的宽道必须相同。分道线及径赛跑道上的主要界线，应以5厘米宽的白线标示。 赛跑的距离应从起跑线的后缘（即离终点较远的边缘），丈量至终点线的后缘（亦即离起点较近的边缘）；并且应在分道内侧向外20厘米处进行丈量。 起跑器 起跑器的结构必须十分坚固，并且不会为运动员提供不公正的利益。在跑道上安放起跑器时，起跑器的任何部分均不得触及起跑线或伸延至其它分道。 跨栏跑 跨栏跑的标准距离为男子：110米、400米；女子：100米、400米。每条分道上应设置10个栏架。（男子跨栏跑的规格见表一，女子跨栏跑的规格见表二，学界跨栏跑栏高见表三。） 表一、男子跨栏跑规格 項目组別栏高起点至第一栏栏间距最後一栏至終点 110米栏成年、青年1.067米13.72米9.14米14.02米 少年0.914 400米栏成年、青年0.914米45米35米40米 少年0.840米 表二、女子跨栏跑规格 項目组別栏高起点至第一栏栏间距最後一栏至終点 110米栏成年、青年0.840米13米8.5米10.5米
少年0.762米 400米栏成年、青年0.762米45米35米40米 少年0.762米 表三：学生男、女子跨栏跑栏高 項目男子女子 甲组乙组丙组甲组乙组丙组 100米栏- 0.914米0.762米0.84米0.762米0.762米110米栏1.00米- - - - - 400米栏0.914米- - - - - 表四、铅球规格 铅球男子女子 成年、青年少年成年、青年、少年 重量7.26千克5千克4千克 直徑110-130毫米100-120毫米95-110毫米表五、学生铅球规格 铅球男子女子 甲组乙组丙组甲组乙组丙组 重量5.44千克4千克4千克4千克3千克3千克表六、铁饼规格
关于铅球运动的基本介绍
关于铅球运动的基本介绍 起源于古代人类用石块猎取禽兽或防御攻击的活动。现代推铅球始于14世纪40年代欧洲炮兵闲暇期间推掷炮弹的游戏和比赛，后 逐渐形成体育运动项目。铅球的制作经历了用铁、铅以及外铁内铅 的过程。正式比赛男子铅球的重量为7.26公斤，直径11~13厘米; 女子铅球的重量为4公斤，直径为9.5~11厘米。早期推铅球没有固 定的方式，可以原地推，也可以助跑推;可以单手推，也可以双手推;还出现过按体重分级别的比赛。 最初采用原地推铅球技术，后逐渐发展到侧向推、上步侧向推。20世纪50年代，美国运动员奥布赖恩发明背向滑步推铅球技术， 该技术被称为“铅球史上的一场革命”。70年代，苏联运动员巴雷 什尼科夫发明旋转推铅球技术，由于旋转后难以控制身体平衡，至 今只有极少数运动员使用。比赛时，运动员应在直径2.135米的圈内，用单手将球从肩上推出，铅球必须落在落地区角度线以内方为 有效。男、女铅球分别于1896年和1948年被列为奥运会比赛项目。 在比赛过程中，运动员如果有下列违反规则的行为，则会被判犯规，成绩无效：①超出时间限制; ②投掷铅球和标枪技术不符合规则规定(规则要求铅球和标枪必 须由单手从肩上掷出); ③在投掷过程中，身体和器械的任何一部分不得触及投掷圈铁圈上沿或圈外的地面和标枪投掷弧、延长线以及线以外地面任何一部分，包括铅球抵趾板的上面，否则即为投掷失败; ④只有当器械落地以后，运动员才允许离开投掷圈或助跑道。标枪运动员在投出的枪落地前，不能在投掷后转身完全背对其投出的 标枪。完成投掷后，链球、铁饼和铅球运动员必须从投掷圈后半圈 的延长线后面退出。标枪运动员必须从投掷弧以及延长线以后退出;
铅球掷远问题研究—数学建模竞赛优秀论文范文模板参考资料
铅球掷远研究 目录 一、问题的提出 (3) 二、问题分析 (3) 三、模型假设 (4) 四、符号定义 (4) 五、模型建立与求解 (4) 六、模型的评价 (10) 七、参考文献 (10) 八、附录 (10)
摘要： 本文研究了铅球掷远的问题，分析了掷远距离和出手速度、出手角度、出手高度的关系。得出了对于不同的出手速度，确定的了最佳出手角度，比较了掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏度。 铅球投掷作为田径比赛的一个重要组成项目，投掷距离s(米)的远近是教练员和运动，员最关心的问题。由投掷常识知道，影响投掷距离远近的因素主要有三个: 铅球出手时的初、速度v(米/秒)、出手角度A(度) 和出手高度h(米)。迄今为止，利用物理中运动学知识研究铅球投掷运动现象比较多, 而且在研究时很少考虑出手高度的影响[2, 3]。通过建立模型,寻求初速度v、出手角度A和出手高度h三个因素对投掷距离s的影响度的大小，从而在训练和比赛中对运动员和教练员有一定的理论指导意义. 关键词：铅球掷远投掷距离出手角度灵敏度
一、问题提出 球掷远比赛要求运动员在直径2.135m 的圆内将重7.257kg （男子）的铅球投 掷在 45的扇形区域内，如图1所示。观察运动员比赛的录像发现，他们的投掷角度变化较大，一般在38°- 45°，有的高达55°，建立模型讨论以下问题 ： 1．以出手速度、出手角度、出手高度为参数，建立铅球掷远的数学模型。 2．在此基础上，给定出手高度，对于不同的出手速度，确定最佳出手角度。 比较掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏性。 二、问题分析 针对如何使铅球掷得最远，只需求得铅球在空中停留时间以及铅球在水平方向的速度即可，铅球投掷后在空中停留的时间可以凭借铅球投掷后在垂直方向上先以向上的速度运动到静止，再做自由落体运动落到地面求出。【1】
标准铅球区面积
标准铅球区面积 铅球是田径运动中重要的一项，铅球场的大小有严格的标准。快跟小编一起去了解下吧。 标准铅球场的面积 投掷区 在铅球、铁饼、链球比赛中，运动员都是在投掷圈中站立开始投掷。投掷圈外围是金属镶边，有6毫米厚，顶端涂白。投掷时，运动员不能接触铁边的顶端或者投掷圈以外的地面。铅球和链球的投掷圈直径2.135米，铁饼的投掷圈稍大一点，直径2.5米。 圈内地面由水泥或者有相似的硬度又能防滑的物质构成，它的高度略低于地面高度。铅球投掷圈的正前方放着一个木质的抵趾板，用来防止运动员滑出圈外。运动员可以碰抵趾板的内侧，但不能碰抵趾板的顶部。 落地区 在所有投掷比赛中，落地区都是草坪或者其它能留下印记的物质构成的平坦扇形区域。每一个扇形区由5厘米宽的白线分开(白线5厘米宽不包括在落地区之内)。铅球、链球和铁饼比赛的落地区的扇面角度是34.92度，标枪比赛约为29度。 在奥运会和世界性田径比赛中使用的铅球应该用实心的铁、铜或者其它任何硬度不低于铜的金属制成。铅球的外形必须是球形，表面
必须光滑。 铅球的竞赛规则 在比赛过程中，运动员如果有下列违反规则的行为，则会被判犯规，成绩无效：①超出时间限制; ②投掷铅球和标枪技术不符合规则规定(规则要求铅球和标枪必须由单手从肩上掷出); ③在投掷过程中，身体和器械的任何一部分不得触及投掷圈铁圈上沿或圈外的地面和标枪投掷弧、延长线以及线以外地面任何一部分，包括铅球抵趾板的上面，否则即为投掷失败; ④只有当器械落地以后，运动员才允许离开投掷圈或助跑道。标枪运动员在投出的枪落地前，不能在投掷后转身完全背对其投出的标枪。完成投掷后，链球、铁饼和铅球运动员必须从投掷圈后半圈的延长线后面退出。标枪运动员必须从投掷弧以及延长线以后退出; ⑤在没有犯规的情况下，参赛者可以中止已开始的试掷动作，将器材放下以后暂时离开投掷区，并重新开始，但是必须在规定的时限内完成投掷; ⑥参赛者可以在比赛期间离开比赛区域，但必须由裁判员许可并由裁判员陪伴; ⑦比赛过程中，运动员不能在比赛场地使用以下电子设备：摄像机、便携式录放机、收音机、CD机、报话机、手机、MP3以及类似的电子设备。
完整的数学建模铅球投掷
承诺书 我们仔细阅读了四川理工学院大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写)： C 我们的参赛报名号为(如果设置报名号的话)： 所属学校(请填写完整的全名)：四川理工学院黄岭校区 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 日期： 2012 年 05 月21 日
编号专用页 评阅编号(由评委团评阅前进行编号)：评阅记录表
铅球投掷问题 摘要 本文通过对投掷铅球的水平距离的讨论，研究了根据实际怎样控制水平距离的因素，才能使得铅球飞行更远．运用了力学知识，抛物线规律及数学软件的辅助，建立了各种最佳投掷模型。即运动员应该根据自身的的具体身高与其习惯的出手姿势计算并得出最佳的出手角度，一般而言使出手速度在14m/s左右，对应的出手角度在37.2707°左右时能使得投掷距离最大，而且可以通过各种方式.增大手与铅球间的摩擦力，同时采用旋转投掷法，从腰间发力，在投掷点采用前后脚交替等方法可达到增大初速度从而增加投掷距离的作用． 关键词：铅球投掷投掷距离出手角度出手速度最佳
一、问题的提出 铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o的有效扇形区域内。以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。如图1： 图1 铅球投掷场地 根据优秀运动员的投掷数据看出他们的投掷角度一般为35°—41°,出手速度一般为13.1m/s—14.1m/s，出手高度一般为1.9m—2.1m……………[1]。需解答一下问题： 1.建立数学模型，将预测的投掷距离表示为出手速度、出手角度，找出最佳出手角度。 2.由于出手速度与出手角度相互影响,并同时影响出手距离,应该怎样对出手速度与出手角度折中,才能得到最大的出手距离。 3.分析影响铅球投掷距离的因素，根据结果分析教练员对运动员训练的目标和方向。 二、基本假设 1. 铅球是个质点。 2.忽略空气阻力。 h：出手高度 v：出手速度 ：出手速度与水平面的夹角
铅球比赛的犯规
铅球比赛的犯规 铅球比赛的犯规情况有哪些?让来告诉你吧。 铅球比赛的规则 参赛者必须在推掷圈内，由静止状态开始，把铅球以单手由肩上推出。在整个推铅球的过程中，铅球应接触或接近参赛者的下颚，并且不得低于此位置，也不得移至肩线之后。推掷时，参赛者可以触碰推掷圈及抵趾板的内缘，但身体之任何部位若触到推掷圈或抵趾板上缘，或推掷圈外面的地面，均视作试推失败。铅球未著地前，参赛者不得离开推掷圈。离开推掷圈时，亦必须从其后半圆离开。 在推掷的过程中，参赛者可以中途停顿，甚至把铅球放下，以及离开推掷圈(但仍要乎合上述规定)，然后重新由静止位置开始推掷。 铅球必须完全落在扇形著地区角度线范围以内方为有效。丈量时应从铅球著地痕迹之最近端拉向推掷圈之圆心，以推掷圈内缘至铅球著地痕迹近缘之距离为成绩。距离之计算须以0.01米为最小单位，不足0.01米者应以较低的读数计算成绩。 违规情况 在比赛过程中，运动员如果有下列违反规则的行为，则会被判犯规，成绩无效：①超出时间限制; ②投掷铅球和标枪技术不符合规则规定(规则要求铅球和标枪必须由单手从肩上掷出);
③在投掷过程中，身体和器械的任何一部分不得触及投掷圈铁圈上沿或圈外的地面和标枪投掷弧、延长线以及线以外地面任何一部分，包括铅球抵趾板的上面，否则即为投掷失败; ④只有当器械落地以后，运动员才允许离开投掷圈或助跑道。标枪运动员在投出的枪落地前，不能在投掷后转身完全背对其投出的标枪。完成投掷后，链球、铁饼和铅球运动员必须从投掷圈后半圈的延长线后面退出。标枪运动员必须从投掷弧以及延长线以后退出; ⑤在没有犯规的情况下，参赛者可以中止已开始的试掷动作，将器材放下以后暂时离开投掷区，并重新开始，但是必须在规定的时限内完成投掷; ⑥参赛者可以在比赛期间离开比赛区域，但必须由裁判员许可并由裁判员陪伴; ⑦比赛过程中，运动员不能在比赛场地使用以下电子设备：摄像机、便携式录放机、收音机、CD机、报话机、手机、MP3以及类似的电子设备。 裁判旗示 在投掷项目比赛中，通常有两名主裁判手中持有红、白旗帜各一面，用来示意运动员试投是否成功。举红旗表示试投失败，成绩无效;举白旗表示成功，成绩有效。其中一名站在投掷区附近的称为内场主裁判，主要判定运动员在试投过程中是否犯规;另一名在落地区内的称为外场主裁判，主要判定器械落地点是否有效。
田径比赛规则
track and field 田径 田径或称田径运动是田赛、径赛和全能比赛的全称。'田'是指广阔的空地，在跑道所围绕的中央或临近的场地上举行的跳跃、投掷，统称为田赛，田赛是用米尺丈量所跳的高度、远度和所投器械的远度的项目。'径'是指跑道，在跑道上举行的竞走和各类形式的赛跑都属于径赛，是以时间计算成绩的竞走和跑的项目。简单来说，田赛用距离来衡量，径赛用时间来衡量。此外，田径运动还包括田径全能运动，它是由若干跑、跳、投项目组合而成的，田径比赛由田赛、径赛、公路路跑、竞走和越野跑组成，此外还包括部分田赛和径赛项目组成的“十项全能”。现代田径运动的分类不同，多数将田径运动分为径赛，田赛，全能三大类，或分为竞走，跑，跳跃，投掷，全能五大类。 一、田径竞赛分类和年龄分组 1、分类 （1）按级别和规模分 A、国际田径比赛 B、洲际田径比赛 C、国家级（包括国际邀请赛和对抗赛） D、地区性田径比赛 E、地、市级田径比赛 F、县级及县级以下田径比赛 （2）按运动项目分 a、径赛 ?以时间计算成绩的竞走和跑的项目，叫“径赛”。 b、田赛 ?以高度和远度计算成绩的跳跃、投掷项目叫“田赛”. c、全能运动比赛 二．场地及器材 ?标准400米田径场，内突沿外沿半径为36.5米。每条跑道宽1.22米（包含右侧分道线），分道线宽5厘米。跑进的方向为左手靠内场。分道编号应以左手最内侧分道为第1分道。即赛跑按逆时针方向进行，环形跑道从内向外依次是第1至第9号跑道。 ? ?起跑器 起跑器连接着起跑监视器 ?全自动终点摄影计时系统 ?径赛成绩实时显示牌 显示牌与全自动终点摄影计时系统相连接，可以同步显示每组第一名成绩、实时成绩和分段成绩，便于观众了解比赛进程与结果。 ?栏架 障碍跑设施 ?奥运会障碍跑比赛距离为3000米。
铅球的比赛规则
铅球的比赛规则 国际比赛规则第181条推铅球 比赛 1．应抽签决定运动员试掷顺序。 2．运动员超过8人，应允许每人试掷3次，有效成绩最好的前8名运动 员可再试掷3次，试掷顺序与前3次试掷后的排名相反。如果在第3次试掷结 束后出现第8名成绩相等，按规则第146条3处理。当比赛人数只有8人或少 于8人时，每人均可试掷6次。 3．比赛开始前，运动员可在比赛场地练习试掷，练习组应按抽签排定的顺序进行，并始终处于裁判员的监督之下。 4．一旦比赛开始，运动员不得持器械练习，无论持器械与否，均不得使用投掷或落地区以内地面练习投掷。 5、应从投掷圈内将铅球推出。运动员必须从静止姿势开始试掷。允许运动员触及铁圈和抵趾板的内侧。 6、应用单手从肩部将铅球推出。当运动员进入圈内开始试掷时，铅球应抵住或靠近颈部或下颌，在推球过程中持球手不得降到此部位以下。不得将铅球 置于肩轴线后方。 7、（a）不允许使用任何装置对投掷时的运动员进行任何帮助，例如使用 带子将两个或更多的手指捆在一起。除了开放性损伤需要包扎以外，不得在手 上使用绷带或胶布。 （b）不允许使用手套。 （c）为了能更好地持握铅球，运动员可使用某种适宜物质，但仅限于双手。 （d）为了防止手腕受伤，运动员可在手腕处缠绕绷带。 （e）为防止脊柱受伤，运动员可系一条皮带或其他适宜材料制成的带子。 （f）不允许运动员向圈内或鞋底喷洒任何物质。 8、运动员进入圈内开始投掷后，如果运动员身体的任何部位触及圈外地面，或触及铁圈和抵趾板上面，或以不符合规定的方式将铅球推出，均判为一次投 掷失败。 9、如果在投掷中未违反上述规定，运动员可中止已开始的投掷，可将器械方在圈内或圈外，在遵守本条第12款的前提下，可以离开投掷圈，然后返回圈内从静止姿势重新开始投掷。 注：本款中允许的所有行为应包括在规则第142条4中规定的一次投掷的 时限之内。 10、铅球必须完全落在落地区角度线内沿以内，试掷方为有效。 11、每次有效试掷后，应立即测量成绩。从铅球落地痕迹的最近点取直线 量至投掷圈内沿，测量线应通过投掷圈圆心。
大学运动会铅球细则
田径运动会铅球裁判工作细则 杨程 一、工作任务 保证铅球比赛安全、有序的进行，对每一名运动员的参赛成绩负责。 二、职责与分工 主裁判1名，裁判员2名，志愿者4名。 （一）主裁判职责 1.全面负责比赛项目，尽力做好比赛的各个环节，保证比赛顺利进行。 2.对比赛中投掷成功或者失败做出正确的判罚。 3.对于运动员每次投掷的比赛成绩进行宣读。 4.维持比赛秩序，严控比赛进度，排除比赛的安全隐患。 （二）裁判员职责 1.负责运动员的检录，认真审核运动员的比赛证明。 2.按比赛顺序播报运动员姓名及比赛号码。 3.认真记录运动员每次投掷的比赛成绩。 4.投掷犯规记录为“×”，投掷成功据实填写投掷成绩。 5.与裁判长沟通确认成绩记录表的成绩及名次。 6.确认无误后进行记录表的签名。 （三）志愿者职责 1.负责场地的布置及比赛所需品的搬运。 2.一名志愿者负责对于投掷落地的第一落点插旗子，一名志愿者负责
搬运铅球，两名志愿者负责用尺子进行成绩的测量。四人之间可灵活交替任务以确保体能充足。 3.协助裁判队伍维持比赛的秩序。 三、工作方法 （一）赛前 1.全体裁判员及志愿者认真学习比赛规则。 2.明确各自的职责，相互之间的配合。 3.进行场地的布置，器材的检查。 （二）赛中 1.铅球比赛开始前，主裁判检查场地并对运动员进行规则的讲解。 2.组织运动员进行1-2次投掷热身。 3.运动员每次投掷后，主裁判判定本次投掷成绩，并将成绩告知裁判员，裁判员予以记录。 4.每次有效试掷后，应立即测量成绩。从铅球落地痕迹的最近点取直线量至投掷圈内沿，测量线应通过投掷圈圆心。 5.成绩测量完毕，投掷场地内的志愿者迅速撤离以确保安全。 6.前三轮投掷结束后，裁判组对运动员比赛成绩进行排序，确认进入决赛的8人名单并进行宣读。 7.后三轮投掷结束后，裁判组对运动员比赛成绩进行排序，确认决赛最终成绩并签字。 （三）赛后 1.再次核对成绩及名次，告知前八名运动员到领奖处领奖品，前三名