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数学百大经典例题

典型例题一

例1 正六棱锥的底面周长为24，侧面与底面所成角为 60，求：（1）棱锥的高；（2）斜高；（3）侧棱长；（4）侧棱与底面所成角．

分析：本题涉及了正棱锥的若干基本量，可以把基本量放置到直角三角形中，由已知量求

未知量．

解：正六棱锥的底面周长为24． ∴正六棱锥的底面边长为4．

在正棱锥ABCDEF S -中，

取BC 中点H ，连SH ，BC SH ⊥，

O 是正六边形ABCDEF 的中心．连SO ，则⊥SO 底面ABCDEF

∴BC OH ⊥．

∴SHO ∠是侧面与底面所成二面角的平面角，即 60=∠SHO ．

（1）在Rt △SOH 中，322

3==BC OH ，

60=∠SHO ，

∴660tan == OH SO ．

（2）同样在△SOH 中，斜高342==OH SH ，（3）Rt △SOH 中，6=SO ，4==BC OB ． ∴1322

=+=

SO SB ．

（4）∵⊥SO 底面ABCDEF ，∴SBO ∠是侧棱与底面所成角，同样在△SOB 中，2

3tan =

∠BO

SO SBO ，∴2

3arctan =∠SBO ，

说明：在立体几何中，要善于把长度和角度放到三角形中去解决，正棱锥中有关长度、角度主要在两上重要的直角三角形中，本题中的方法也可用于其它正棱锥中．比如：已知正四棱锥底面边长为a ，相邻两侧面所成二面角为

120，求正棱锥的高、斜高、侧棱长．正四棱锥相邻侧面是全等的等腰三角形，利用这个性质先落实相邻侧面所成二面的平面角，先计算侧棱长为

a 2

3，然后利用底面边长和侧棱长在两个重要的直角三角形中，计算出高为

a 21，

斜高为

a 2

2．

典型例题二

例2 如图所示，正四棱锥ABCD P -棱长均为13，M ，N 分别是PA ，BD 上的点，

且85：

：：==ND BN MA PM ．

（1）求证：直线//MN 平面PBC ；

（2）求直线MN 与底面ABCD 所成角的正弦．分析：（1）要证明//MN 平面PBC ，只需证明MN 与平面PBC 内某一条直线平行．为此连AN 并延长交

BC 于E ，连PE ．可考虑证明PE MN //．（2）若能证明PE MN //，则P E O ∠即为直线MN 与底面所成的

角．

解：（1）连AN 并延长交BC 于E ，再连PE ． ∵AD BE //，∴ND BN AN EN ：：=，又MA PM ND BN ：：=，

∴MA PM AN EN ：：=， ∴MN PE //，

又?PE 平面PBC ，?MN 平面PBC ，∴//MN 平面PBC ．

（2）设O 为底面中心，连PO ，EO ，则⊥PO 平面ABCD ．又PE MN //，则PEO ∠为直线MN 与平面ABC 所成的角．

由85：

：：==ND BN AD BE 及13=AD ，得8

65=BE ，在△PBE 中， 60=∠PBE ，

13=PB ，8

65=BE ，由余弦定理，得8

91=PE ．在Rt △POE 中，22

13=PO ，8

91=PE ，

则7

24sin =

∠PE

PO PEP ．

说明：本题（2）若直接求MN 与平面ABCD 所成的角，计算就比较复杂，而平移为求PE

与底面所成的角，计算就易得多．可见，平移是求线线、线面所成角的重要方法．

典型例题三

例3 斜三棱柱111-C B A ABC 的底面△ABC 是直角三角形，

90=∠C ，侧棱与底面成

60角，点1B 在底面的射影D 为BC 的中点，cm 2=BC ．

（1）求证11BC AB ⊥；

（2）若C BB A --1为

30的二面角，求四棱锥11-BCC B A 的体积．

分析：证11BC AB ⊥关键在于证出其中一条线垂直于另一条线所在的平面；而求棱锥的体积关键在于求出其底面积和高．这两个问题可由题设及线与线、线与面的位置关系求得．

解：如图所示，

（1）∵⊥D B 1平面ABC ，

?AC 底面ABC ，

∴D B AC 1⊥． ∵BC AC ⊥， ∴⊥AC 平面BC B 1， ∴1BC AC ⊥．

∵1B 在底面ABC 上的射影D 为BC 的中点，侧棱与底面成 60角， ∴四边形11B BCC 是菱形， ∴11BC CB ⊥， ∴⊥1BC 平面1ACB ， ∴11AB BC ⊥．

（2）过C 作B B CE 1⊥，连结AE ． ∵⊥AC 平面C C BB 11，

∴CE 是AE 在平面C C BB 11上的射影， ∴B B AE 1⊥，

∴AEC ∠是二面角C B B A --1的平面角， ∴

30=∠AEC ．

在Rt △BEC 中，360sin =

BC EC ，在Rt △ACE 中，由 90=ACE 可得

130tan 3tan ==

∠=

AEC EC AC ．

∴2

3312

??=

?CE AC S ACE ，

∴ACE B ACE

BC B A V V V --

-11

EB S E B S ACE ACE ?+

??3

()EB E B S ACE +=?131 13

1BB S ACE ?=

1??

．

∴ 33

221

--=

=BC B A BCC B A V V （体积单位）

．说明：证明线线垂直转化成证线面垂直是证明时常用的方法之一，而证线面垂直时又涉

及线与线的垂直，因此线与面各种位置关系经常贯穿问题的始终．当遇到一线垂直于一截面，而截面面积又能计算时，将几何体分割成两个体积之和计算也是一种常用的方法．结果便转化成截面与此线相乘的关系，因而使问题得到简化．

典型例题四

例4如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ，BC AC =，D 、G 分别是PA 和

AB 的中点，E 为PB 上一点，且PB BE 3

，21：：=AB AP ．

（1）求证：⊥EG 平面CDG ；

（2）求截面CDE 分棱锥ABC P -所成两部分的体积之比．

分析：由⊥PA 底面ABC ，可以判定平面⊥PAB 平面ABC ，且相交于AB ，因为G 是AB 的中点，且AC BC =，所以AB CG ⊥，于是有⊥CG 平面PAB ，EG CG ⊥．

若证⊥EG 平面CDG ，只需EG 与平面CDG 中的另一条直线垂直就可以了．为此，就要从已知的数量关系着手，找到新的线与线的垂直关系．

平面CDE 把三棱锥ABC P -分成两部分，显然这两部分具有相同的高线CG ．所以，只要找到△PDE 和四边形ABED 的面积之比，就可以确定两部分的体积之比了．

证明：

（1）∵⊥PA 平面ABC ，且?PA 平面PAB ∴平面⊥PAB 平面ABC ，且相交于AB

在△ABC 中，∵BC AC =，CG 是AB 边上的中线 ∴AB CG ⊥．∴⊥CG 平面PAB ∵?EG 平面PAB ，∴CG EG ⊥

利用两个平面垂直的性质定理可以证明⊥CG 平面PAB 在Rt △PAB 和△GEB 中设x PA =，则x AB 2=

，x PB 3=

，x BE 3

，x BG 2

∵

1322

BG ，

1233

x x

BE ∵PBA GBE ∠=∠，∴△PAB ～△GEB ∵ 90=∠PAB ，∴ 90=∠GEB ∴PB EG ⊥．∵PB DG //

利用相似三角形的性质，得到 90=∠GEB ∴DG EG ⊥

∵G CG DG = ，∴⊥EG 平面CDG ．解：（2）∵APB PD PE S PDE ∠???=

?sin 2

APB PB PA S PAB ∠???=

?sin 21 ∵PA PD 2

，PB PE 32=

∴

3sin 2

1sin 2

∠???∠???=??APB

PE PD APB

PB PA S S PDE

PAB

∴

131

--=

????=??PDE

PAB

PDE

C PAB C S CG S CG V V 三棱锥

三棱锥

∴

2---=

-PDE

C PDE

C PAB

C V V V 三棱锥

三棱锥

∴截面CDE 分棱锥ABC P -为两部分，三棱锥PDE C -与四棱锥ABED C -的体积之比为1：2．

典型例题五

例5四棱锥ABCD P -，侧面PCD 是边长为2的正三角形且与底面垂直，底面ABCD 是面积为32的菱形，ADC ∠为菱形的锐角．（1）求证：CD PA ⊥；（2）求二面角D AB P --的大小；（3）求棱锥ABCD P -的侧面积与体积．

分析：取CD 中点H ，侧面⊥P C D 底面A B C D ，从而

CD PA ⊥可利用三垂线定理转化为证明CD HA ⊥，线面垂直也为二面角D AB P --平面角的落实创造了有利条件，棱锥的侧面积可

通过抓侧面三角形的特殊性来解决．

证明：（1）取CD 中点H ，连PH 、AH ，

∵△PCD 是等边三角形，∴CD PH ⊥，

∵面⊥PCD 底面ABCD ，∴⊥PH 底面ABCD ， ∵等边△PCD 的边长为2，∴2=CD

∴菱形ABCD 的边长为2，又菱形的面积是32，

∴32sin 22=∠?ADC ，∴2

3sin =∠ADC ，又ADC ∠是锐角，

∴ 60=∠ADC ，∴△ADC 是等边三角形，

∴CD AH ⊥，PA 在平面AC 上射影为HA ，∴CD PA ⊥．解：（2）∵AB CD //，由（1）HA CD ⊥，PA CD ⊥， ∴AH AB ⊥，PA AB ⊥．

∴PAH ∠是二面角D AB P --的平面角，在Rt △PHA 中360sin 2=

AH PH ，

∴ 45=∠PHA ，即二面角D AB P --的大小为 45．（3）由（2）在Rt △PHA 中，可得6=PA ，

在Rt △PAB 中，6=

PA ，2=AB ，∴10=

PB ，66221=

?PAB S ，

在△PDA 中，2==DA PD ，6=

PA ，可得2

15=

?PAD S ，

在△PCD 中，2==BC PC ，10=

PB ，可得2

15=

?PBC S ，

又正△PCD 边长为2，∴324

?PCD S ，

∴315632

1526++=+?

+=侧S ，

∵3=

PH ，∴23323

1=??=

PH S V 菱形．

说明：抓线面垂直关系是解决立体几何问题的关键，非特殊棱柱、棱锥的侧面积，往往要通过逐个计算每个侧面的面积相加而得到，这就需要分析每个侧面的具体特点，比如是否为矩形、直角三角形、等边三角形等．可以举一个类似的例子，四棱锥ABCD V -的高为1，底面为菱形，侧面VDA 和侧面VDC 所成角为

120，且都垂直于底面，另两侧面与底面都成

45角，求棱锥的全面积．这里由相交平面VDC 与VDA 都与底面垂直得到VD 垂直于底面，

利用⊥VD 底面ABCD ，一方面落实了棱锥的高为1=VD ，另一方面几个二面角的平面角都

能方便地落实，四个侧面中，有两个是等腰三角形，有两个是直角三角形，通过计算可得，全面积为(

)

2233

．

典型例题六

例6 已知三棱锥ABC P -中，PA 、PB 、PC 与底面ABC 所成角相等， 90=∠CAB ，

a PB AB AC ===，D 为BC 中点，E 点在PB 上且//

截面EAD ，（1）求AE 与底面ABC 所成角；（2）求PC 到平面EAD 的距离．

分析：由PA 、PB 、PC 与底面所成角相等可得P 点在面ABC 上射影为△ABC 的外心，由于△ABC 是直角三角形，可以得到⊥PD 面ABC ，//PC 面EAD 可转化为

DE PC //，E 是PB 中点，找出E 到面ABC 的垂线落实EA

与面ABC 所成角．C 到面EAD 的距离可从两方面得到，一方面直接找C 到面EAD 的垂线，另一方面，用等积法可求点到面的距离．

解：（1）∵PA 、PB 、PC 与底面ABC 成相等的角，设P 在面ABC 上射影为O ，则有PCO PBD PAO ∠=∠=∠，

∴△PAO ≌△PBO ≌△PCO ， ∴PC PB PA ==且OC OB OA ==， ∴O 是△ABC 的外心．

∵△ABC 是直角三角形，且O 是斜边BC 的中点， ∴O 点和D 点重合，即⊥PD 面ABC ，

∵//PC 截面EAD ，过PC 的平面PBC 与平面EAD 交于ED ， ∴ED PC //，∵D 是BC 中点，∴E 是PB 中点，取BD 中点F ，则PD EF //，∴⊥EF 平面ABC ， ∴EAF ∠为EA 与底面ABC 所成角． ∵a PB PA AB ===，∴a AE 23=

，

∵a AC AB ==且

90=∠BAC ，∴a BC 2=．

又a PC PB ==，∴△BPC 也是等腰直角三角形， ∴a BC PD 2

221=

，∴a EF 42=

，

在Rt △AEF 中，6

2sin =

=∠a a EAF ，

∴6

6arcsin

=∠EAF ，即AE 与平面ABC 所成角为6

6arcsin

．

（2）方法一：∵⊥PD 平面ABC ，∴AD PD ⊥．又∵BC AD ⊥，∴⊥AD 平面PBC ，∴PB AD ⊥．由（1）△PBC 是直角三角形， 90=∠BPC ，∴PC PB ⊥， ∵PC ED ⊥，∴ED PB ⊥，∴⊥PB 平面EAD ． ∵a AB PB ==，∴a PE 21=

．即PC 到平面EAD 的距离为

a 21．

方法二：∵PD AD ⊥，BC AD ⊥，∴⊥AD 平面PBC ， ∴DE AD ⊥，又a BC AD 2

221=

，a PB DE 2121=

．

∴2

221a a a S ADE =

?，

∵2

1a S S ABC ACD =

=??，a PD EF 4

，

设C 到面EAD 的距离为h ， ∴EF S h S ACD ADE ?=???，∴

a a h a 4

2418

．

a h 2

，即PC 到平面EAD 的距离为a 2

1．

典型例题七

例7 如图所示，在三棱锥ABC S -中，

SA ⊥底面ABC ，BC AB ⊥，DE 垂直平分SC ，且分别交AC 、SC 于D 、E ，又AB SA =，BC SB =．求以BD 为棱，以BDE 和BDC 为面的二面角的度数．

分析：从寻找二面角的平面角入手．二面角的平面角有时图形中没有给出，需要我们自

己作出，有时平面角在图形中已经存在，只需要将其找出来．

解：∵SA ⊥平面ABC ，BD ?平面ABC ，∴BD SA ⊥． ∵DE 是SC 的垂直平分线，∴SC DE ⊥，且E 是SC 的中点．又BC SB =，∴SC BE ⊥．

又E DE BE = ，∴SC ⊥平面BDE ，∴BD SC ⊥．

又S SA SC = ，∴BD ⊥平面SAC ，∴CD BD ⊥，DE BD ⊥．从而EDC ∠为二面角C BD E --的平面角．设a SA =，则a AB =．

∵SA ⊥平面ABC ，∴AB SA ⊥，AC SA ⊥，从而a SB BC 2==．

又BC AB ⊥，∴a AC 3=

．

在SAC Rt ?中，3

33tan ===∠a

a AC

SA SCA ，∴?=∠30SCA ，

又SC DE ⊥，∴?=∠60EDC ．因此所求的二面角的度数为?60．

说明：本题是通过三棱锥来考查直线与直线、直线与平面、二面角、解三角形等知识，并考查了空间想像能力和逻辑推理能力．解答本题的关键是认定E D C ∠是二面角

C B

E --的平面角．这需要具有一定的观察能力和判断能力，而且要给出严格的证明．学

生很可能发现不了EDC ∠即是所求二面角的平面角，自己再作二面角的平面角，使问题复杂化．本题所给条件较多，所以恰当地选择所需条件进行论证和计算也是解决本题的一个难点．

典型例题八

例8 P 是ABC ?所在平面外的一点，PA 、PB 、PC 两两垂直，3===PC PB PA ．求P 到平面ABC 的距离．

分析：利用三棱锥的性质、体积以及线面关系求解．

解法一：∵3===PC PB PA ，∴P 在底面ABC 内的射影O 是ABC ?的外心．又PA 、PB 、PC 两两相互垂直，∴ABC ?是等边三角形，∴O 是ABC ?的重心．

如图，在POA ?中，3=PA ，

623233260sin 3

???=

AB AO

∴3)6(32

-=-=AO

PA PO ．

解法二：设P 点到平面ABC 的距离为h ．

∵PA 、PB 、PC 两两垂直，3===PC PB PA ， ∴2

93332131=????=

-PBC A V ， 23===AC BC AB ，

9)23(4

?ABC S ．

又ABC P PBC A V V --=， ∴

h ??=32

93129，∴3=

h ．

∴P 到平面ABC 的距离为3．

解法三：取BC 的中点D ，连PD 、AD ．

∵PC PB =，AC AB =，∴BC AD ⊥，BC PD ⊥， ∴BC ⊥平面PAD ，BC ?平面ABC ， ABC .

ABC 平面于交作过平面平面平面平面⊥??

??⊥=⊥∴PO O AD AD PO P AD PAD ABC PAD ，

∴PO 就是P 到平面ABC 的距离．在PAD ?中，3=PA ，2

23=

PD ，

63232

AB AD ．

又∵?=∠90APD ，

∴362

3sin =?=?

=∠?=AD

PA PAD PA PO ．

说明：本题难度并不大．但是这里所给出的三种方法非常典型．方法一利用

PC PB PA ==确定P 在底面内射影为ABC ?的外心；方法二利用体积转化的方法；方法三

利用面面垂直的性质定理进行垂足定位．

典型例题九

例9 如图所示，在三棱锥ABC P -中，底面为直角三角形，两直角边3=AC ，4=BC 三棱锥侧面与底面所成二面角都为?60．求此三棱锥的侧面积．

分析：本题可利用面积射影定理求解．若一棱锥各侧面与底面所成二面角都为α，且已知底S ，则由面积射影定理知：α

cos 底侧S S =

．

解法一：过P 作底面ABC 的垂线，垂足为I ，过I 在底面ABC ?内作AB 的垂线，垂足为D ，连结PD ．由三垂线定理知AB PD ⊥，∴PDI ∠为侧面PAB 与底面ABC 所成二面角的平面角，即?=∠60PDI ．又可知I 为ABC Rt ?的内心．∵3=AC ，4=BC ，5=AB ，从而12

43=-+=

ID ．在PID Rt ?中，由?=∠60PDI ，得2=PD ，从而各侧面三角形的

高均为2．

∴122)345(2

1=?++=

++=???PCA PBC PAB S S S S 侧．

解法二：PCA PBC PAB S S S S ???++=侧

122

432

60cos 60cos 60cos 60cos =??=?

???底S S S S ICA IBC IAB ．

说明：本题考查了三棱锥的有关概念与性质．在三棱锥中，过一条侧棱和高的截面有许

多重要性质，而这个截面又把棱锥的许多有线段、高、角都集中到同一个平面内，所以常常通过研究这个辅助平面来解决问题．解法二是求棱锥侧面积的一种简捷解法，用到了面积射影定理．

典型例题十

例10 三棱锥ABC P -中，AC AP =，2=PB ．将此三棱锥沿三条侧棱剪开，其展开图是一个直角梯形A P P P 321．如图所示．

(1)求证：侧棱AC PB ⊥；

(2)求侧面PAC 与底面ABC 所成的角θ的余弦值．

分析：(1)折叠与展开是互逆过程，将直角梯形折成三棱锥时，B P A P 11⊥，B P C P 22⊥的关系不变，于是在三棱锥ABC P -中有PA PB ⊥，PC PB ⊥故PAC PB 平面⊥，从而

AC PB ⊥．

(2)由(1)可知PAC PB 平面⊥，∴在平面PAC 内作AC PD ⊥于D ，连BD ，则P D B ∠即是所求二面角的平面角，且PBD ?为?Rt ，∴只需求出两条边即可．而边长可以考虑在侧面展开图中求解．

证明：(1)见上述思路分析．

解：(2)作AC PD ⊥，则由三垂线定理知AC BD ⊥，于是PDB ∠是二面角B AC P --的平面角，即θ=∠PDB ．再作3CP AE ⊥于E ，则4=AE ，且E 是3CP 的中点，设

x AC A P A P ===31，y EP CE ==3．在ACE Rt ?中，2

4=-y x ．且由C P C P 32=，得

y y x 2=-，解得23=x ，2=y ．

由AE C P AC D P ?=?33，得38232243=

?==D P PD ．

由2=PB ，3

PD ，3

10=

BD ，知5

4cos ==BD

PD θ．

∴所求二面角的余弦值为5

4．

说明：折与展是一对互逆的过程．在处理这类问题时应充分注意折叠或展开前后各元素(主要是直线、线段、角)的相对位置和数量变化，注意哪些发生了变化，哪些不变．一般来说，位于同一半平面内的元素相对位置和数量关系不变．位于两个不同半平面内的元素，位置和数量要发生变化．这类问题常用的添辅助线方法是作棱的垂线．

典型例题十二

例12 下列命题中，真命题的个数是（）． (1)两相邻侧棱所成之角相等的棱锥是正棱锥． (2)两相邻侧面所成之角相等的棱锥是正棱锥． (3)侧棱与底面所成之角相等的棱锥是正棱锥． (4)侧面与底面所成之角相等的棱锥是正棱锥．

A ．3个

B ．2个

C ．1个

D ．0个

分析：有些同学错解的原因在于未能很好地理解正棱锥的定义以及正棱锥的性质，正棱锥的定义不同于正棱锥的性质，正棱锥的性质可以由其定义结合有关知识推导得到．对照定义，构造反例．

如图所示，ABC S -是正三棱锥，两相邻侧棱所成之角相等，两相邻侧面所成之角相等．在

SB 、SC 上分别取异于B 、C 的点1B 、1C ，连1AB 、1AC ，则三棱锥11C AB S -均满足命

题(1)、(2)的条件，但显然不是正三棱锥，所以命题(1)、(2)为假命题．命题(3)中，侧棱与底面

所成之角相等，顶点在底面的射影是底面多边形的外心．外心不一定是中心，因为底面不一定是正多边形，因此命题(3)也是假命题．在命题(4)中，侧面与底面所成之角相等，顶点在底面的射影是底面多边形的内心，而内心不一定是中心，所以命题(4)也是假命题．综上可知应选D ．

典型例题十三

例13 .如图，已知三棱锥ABC P -中，PC PB PA ==，P 在底面ABC 上的射影为O ．求证：O 为ABC ?的外心．

证明：连结PO 、OA 、OB 、OC ，则⊥PO 底面ABC

∵PC PB PA ==（斜线相等）， ∴CO BO AO ==（射影相等）， ∴O 为ABC ?的外心．

说明：(1)同理可证，如果三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，那么顶点在底面上的射影也是底面三角形的外心．

(2)上述两结论对一般棱锥也成立，即棱锥的侧棱均相等或侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心．

典型例题十四

例14 如果三棱锥的三个侧面与底面所成的二面角都相等，那么顶点在底面上的射影为底面三角形的内心．

如图，已知三棱锥ABC P -，三侧面PAB 、PAC 、PBC 与底面所成二面角都相等，P 点

在底面上的射影为O ．求证：O 为ABC ?的内心．

证明：连结PO ，则⊥PO 平面ABC ．

在底面上作AB OD ⊥、BC OE ⊥、AC OF ⊥，垂足分别为D 、E 、F ．连结PD 、PE 、PF ．

由三垂线定理可得AB PD ⊥、BC PE ⊥、AC PF ⊥．

∴PDO ∠、PEO ∠、PFO ∠分别为二面角C AB P --，A BC P --，B AC P --的平面角．

又∵PFO PEO PDO ∠=∠=∠，PO PO PO ==，

∴PDO Rt ?≌PEO Rt ?≌PFO Rt ?，∴OF OE OD ==， ∴O 为ABC ?的内心．

说明：(1)同理可证，如果三棱锥的顶点到底面三条边的距离相等，那么顶点在底面上的射影为底面三角形的内心（若射影点在多边形内部的话）． (2)上述两结论对一般棱锥也成立，即棱锥的各侧面与底面所成之角均相等或棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内切圆的圆心（射影在多边形内部）．

(3)不要误论为棱锥顶点在底面上的射影一定在底面多边形的内部，顶点在底面的射影可以在底面多边形的外部，也可以在多边形的一边上．

典型例题十五

例15 如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心．已知三棱锥ABC P -的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，O 为P 在底面ABC 上的射影．

求证：O 为底面三角形ABC 的垂心．

证明：如图，连结PO 、AO 、BO ．

∵PB PA ⊥，PC PA ⊥，且P PC PB = ， ∴⊥PA 平面PBC ． ∴BC PA ⊥．

又⊥PO 平面ABC ，

由三垂线定理的逆定理知，BC AO ⊥．

同理，AC BO ⊥．

∴O 点为ABC ?的垂心．

说明：同理可证：如果三棱锥有两组对棱垂直，那么第三组对棱也垂直且顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心．

典型例题十六

例16 三棱锥ABC V -的各面积分别为3=VAB S ，4=VBC S ，5=VAC S ，6=ABC S ，且各侧面与底面所成的二面角都相等，求侧面与底面所成二面角的平面角．

分析：首先找出二面角的平面角α，转化到平面中去，然后利用已知条件列有关α的等式．

解：如图，作⊥VO 平面ABC 于O ，连结AO 、BO 、CO ． ∵侧面与底面所成的角都相等，设者为α， ∴O 为底面ABC ?的内心，

∴过O 在底面ABC ?内作AB OD ⊥，BC OE ⊥，AC OF ⊥，垂足分别为D 、E 、F ；连结VD 、VE 、VF ．由三垂线定理可得AB VD ⊥，BC VE ⊥，AC VF ⊥． ∴α=∠=∠=∠VFO VEO VDO ． ∵AB OD S AOB ??=?2

1，AB VD S VAB ??=

1，而

αcos =VD

OD ，

∴

αcos ==??VD

OD S S VAB

AOB ，∴αcos ?=??VAB AOB S S ．

同理αcos ?=??VBC BOC S S ，αcos ?=??VAC AOC S S ， ∴αcos )(VAC VBC VAB AOC BOC AOB S S S S S S ??????++=++，即αcos ?=?侧底面S S ABC ． ∴αcos )543(6++=， ∴2

1cos =

α，∴3

α=

．

∴侧面与底面所成的二面角为3

．

说明：(1)根据本题的推导过程不难得出如下结论：如果三棱锥的三个侧面与底面成等角

θ，三棱锥的底面积为底S ，侧面积为侧S ，那么θcos ?=侧底S S ．

(2)可以进一步证明：如果棱锥的各个侧面与底面成等角θ，那么θcos ?=侧底S S ．

典型例题十七

例17 如图，已知正三棱锥ABC S -的高h SO =，斜高l SM =．求经过SO 的中点平行于底面的截面'''C B A ?的面积．

分析：求出底面正三角形的边可得其面积，再利用棱锥截面性质，得截面面积．解：连结OM 、OA ．在SOM Rt ?中，2

h l OM -=

．

因为棱锥ABC S -是正棱锥，所以点O 是正三角形ABC 的中心． 2

23260tan 22h l OM AM AB -=???==，

)(33)(344

2222

h l h l AB S ABC -=-??=

?．

据一般棱锥截面的性质，有 4

2''''=

=??h

h S S ABC

C B A ．∴)(4

332

'h l S C B A -=

?．

说明：过高的中点且平行于底面的截面叫做中截面．

典型例题十八

例18 如图，已知棱锥ABC V -的底面积是264cm ，平行于底面的截面面积是2

4cm ，

棱锥顶点V 在截面和底面上的射影分别是1O 、O ，过O O 1的三等分点作平行于底面的截面，求各截面的面积．

分析：顶点到已知截面的距离1h 与原棱锥高h 的关系，可由已知截面面积与底面积的量的关系得到，从而各截面对应的高与原棱锥的高的关系可以求出，再运用一般棱锥截面性质可以求得各截面面积．

解：设棱锥的高为h ，其顶点到已知截面之距11h VO =，1OO 的三等分点为2O 、3O ，

由已知得

h ，∴

11=h

h ，∴h h 4

11=

∴h h h VO VO O O 434

111=

=-=，

而O O O O O O 33221==，则h h O O O O O O 4

433133221=?=

==． ∴241412h h h VO =+=，h h h h VO 4

4141413=++=．

设过2O 、3O 的截面面积分别为2S 、3S ，底面面积为S 则

2)21(h h S S ∶∶=，∴16412==S S (2

cm )． 2

3)4

h h S S ∶∶=，∴366416

93=?=

S (2

cm )．

∴两截面的面积分别为2

16cm 和2

36cm ．

说明：本题还可以求得以V 为顶点，分别以过1O 的截面、过2O 的截面、过3O 的截面为底面的棱锥，以及原棱锥的侧面积之比，这四个棱锥的侧面积之比依次为

1694164361644321∶∶∶∶∶∶∶∶∶锥锥锥锥==S S S S ．

典型例题十九

例19 正三棱锥底面边长和高都是4，它的一个内接三棱柱的三个侧面都是正方形．求

内接三棱柱的全面积．

分析：如图所示．三棱柱的上底面'''F E D ?与正三棱锥的底面ABC ?相似，它们的相似比等于PO PO ∶'

．设三棱柱的棱长为x ，则有

x x -=

，得出2=x ，侧全S S S F E D +='

2．

解：设三棱柱的棱长为x ，由于三棱柱的上底面'

''F E D ?∽ABC ?，则有

PD AB

E D '

，

即4

x x -=

，∴2=x ，360sin 2

x S F E D ，1232

==x S 三棱柱侧，

∴12322'''+=+=三棱柱侧全S S S F E D ．

典型例题二十

例20 如图(1)设正三棱锥ABC P -的底面边长a ，侧棱长为a 2，过A 作与PB 、PC 分别交于D 和E 的截面，当截面ADE ?的周长最小时，求截面的面积．

分析：因为截面ADE ?的三个顶点都在正三棱锥的侧面上，现若沿侧棱PA 将棱锥展开，则截面ADE ?的周长为最小时，就是线段'AA 的长，如图(2)所示．

解：将正三棱锥ABC P -沿侧棱PA 展开，当截面ADE ?的周长为最小值时，其周长即是展开图中线段'AA 之长．

在侧面展开图中，∵'

CA BC AB ==，且CB A ABC '

∠=∠．

∴四边形'ABCA 是等腰梯形，BC AA //'

，∴PAB BDA PBC ∠=∠=∠，

∴BD A '?∽'PBA ?，PB B A BA BD ∶∶''=．∵'2BA PB =，∴BD BA 2'=．

∵a BD PB PD 2

-=，又PB PD BC DE ∶∶=，∴a DE 4

．

∴a EA DE D A AA 411''=

++=．

在三棱锥中，取截面ADE ?的边DE 的中点为H ， ∵AE AD =，∴DE AH ⊥，∴a a a HD

AD AH 8

55)8

-=-=

，

∴2

5532

1a AH DE S ADE =

．

说明：本例中，求侧面展开图中'AA 之长时运用了平面几何知识，过程较为简明．若在三角形'PAA 中，由a PA PA 2'==，计算出'APA ∠的余弦后，再用余弦定理求'AA 之长，就麻烦得多了．

典型例题二十一

例21 已知正三棱锥ABC P -的底面边长为a ，过BC 作截面DBC 垂直侧棱PA 于D ，且此截面与底面成?30的二面角，求此正三棱锥的侧面积．分析：先找出二面角的平面角，再由正三棱锥的一些线面关系，把要求的斜高转化到直角三角形中，解直角三角形．

解：如图，作⊥PO 底面ABC 于O ．

∵ABC P -为正三棱锥，

∴O 为底面正三角形ABC 的中心，连结AO 交BC 于M ，连结PM ，则BC AM ⊥，BC PM ⊥，

∴BC ⊥平面APM ，DM BC ⊥，

∴AMD ∠为截面DBC 与底面ABC 所成二面角的平面角， ∴?=∠30AMD ．

∵⊥PA 平面DBC ，∴DM PA ⊥，?=∠60PAM ． ∵正三角形ABC 的边长为a ，∴a AO 33=

，a MO 63=

．

在PAO Rt ?中，a a AO PO 33

360tan ?=??=．

在POM Rt ?中，∵a a a OM

PO PM ==

+=+=6

39)6

2，

∴2

396

3932

1a a a S =

侧．

说明：(1)在多面体中，求边长、侧棱长、高和斜高等长度以及距离、角等等，要充分注意各多面体的概念，在多面体中首先画出所求元素，其次根据不同情况作出辅助线（注意经常用到三垂线定理），然后加以解决．

典型例题二十二

例22 棱锥的底面是等腰三角形，这等腰三角形的底边长为cm 12，腰长为cm 10，棱锥的侧面与底面所成的二面角都是?45，求这个棱锥的侧面积．

已知三棱锥ABC V -的底边是等腰三角形，cm AC AB 10==，cm BC 12=，侧面VAB 、

VBC 、VCA 与底面ABC 所成的二面角都是?45．

求棱锥ABC V -的侧面积．

解法1：作点V 在底面ABC ?上的射影O ，如图，

则O 是底面ABC ?的内心，作AB OE ⊥于E 点，连接VE ，则AB VE ⊥（三垂线定理），故VEO ∠是侧面与底面所成的二面角的平面角，?=∠45VEO ，

∵ABC ?内切圆半径3)

101012(2

1610122

=++-??==?l S OE ，

其中)(2

1CA BC AB l ++=

，?S 是ABC ?的面积．

∴斜高232==OE VE ，

∴248

)(2

1=++??=

CA BC AB VE S 侧．

即棱锥ABC V -的侧面积为248cm ．

解法2：还可用面积射影定理：由于棱锥的侧面与底面所成的二面角均为?45，

故2482

10122145cos 22=-??=?=

底

侧S S

(完整版)数学归纳法经典例题详解

例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ．请读者分析下面的证法：证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ．那么当n =k +1时，有： ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立．由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．正确方法是：当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k

()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式： a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立，并证明你的结论．分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性．解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组． ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a ，解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立．下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．因为起始值已证，可证第二步骤．假设n =k 时，等式成立，即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立．综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．例3．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．

小升初数学训练典型例题分析-找规律篇

名校真题测试卷找规律篇时间：15分钟满分5分姓名_________ 测试成绩_________ 1 （12年清华附中考题）如果将八个数14，30，33，35，39，75，143，169平均分成两组，使得这两组数的乘积相等，那么分组的情况是什么？ 2 （13年三帆中学考题）观察1+3=4 ； 4+5=9 ； 9+7=16 ； 16+9=25 ； 25+11=36 这五道算式，找出规律，然后填写20012＋（）＝20022 3 （12年西城实验考题）一串分数：12123412345612812,,,,,,,,,,,,.....,,,......,33,55557777779991111 其中的第2000个分数是 . 4 （12年东城二中考题）在2、3两数之间,第一次写上5,第二次在2、5和5、3之间分别写上7、8(如下所示),每次都在已写上的两个相邻数之间写上这两个相邻数之和.这样的过程共重复了六次,问所有数之和是多少? 2......7......5......8 (3) 5 (04年人大附中考题) 请你从01、02、03、…、98、99中选取一些数，使得对于任何由0～9当中的某些数字组成的无穷长的一串数当中，都有某两个相邻的数字，是你所选出的那些数中当中的一个。为了达到这些目的。

(1)请你说明：11这个数必须选出来； (2)请你说明：37和73这两个数当中至少要选出一个； (3)你能选出55个数满足要求吗？【附答案】 1 【解】分解质因数，找出质因数再分开，所以分组为33、35、30、169和14、39、75、 143。 2 【解】上面的规律是：右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列3、5、7、9、11……，所以下面括号中填的数字为奇数列中的第2001个，即4003。 3 【解】分母为3的有2个，分母为4个，分母为7的为6个，这样个数2+4+6+8… 88=1980<2000，这样2000个分数的分母为89，所以分数为20/89。 4 【解】：第一次写后和增加5，第二次写后的和增加15，第三次写后和增加45，第四次写后和增加135，第五次写后和增加405，…… 它们的差依次为5、15、45、135、405……为等比数列，公比为3。它们的和为5+15+45+135+405+1215＝1820，所以第六次后，和为1820+2+3＝1825。 5 【解】 (1)，11，22，33，…99，这就9个数都是必选的，因为如果组成这个无穷长数的就是1~9某个单一的数比如111…11…，只出现11，因此11必选，同理要求前述9个数必选。 (2)，比如这个数3737…37…，同时出现且只出现37和37，这就要求37和73必须选出一个来。 (3)，同37的例子， 01和10必选其一，02和20必选其一，……09和90必选其一，选出9个 12和21必选其一，13和31必选其一，……19和91必选其一，选出8个。 23和32必选其一，24和42必选其一，……29和92必选其一，选出7个。 ……… 89和98必选其一，选出1个。

高考数学大题经典习题

1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。（1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围；（2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()3 2 1 (2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-，则()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立，而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1．故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点，且|AB|＝2，αββα-=-)()(f f .

数学归纳法典型例习题

欢迎阅读数学归纳法典型例题一. 教学内容：高三复习专题：数学归纳法二. 教学目的掌握数学归纳法的原理及应用三. 教学重点、难点四. ??? ??? （1 ??? （2（）时命题成立，证明当时命题也成立。??? 开始的所有正整数 ??? 即只称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。【要点解析】 ? 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。 ??? 用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。

? 2、运用数学归纳法时易犯的错误 ??? （1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。 ??? （2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。 ??? （3）关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。 ? 例1. 时，。，右边，左边时等式成立，即有，则当时，由①，②可知，对一切等式都成立。的取值是否有关，由到时（2 到本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法，即，则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证。（3）在步骤②的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确时证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的区别和联系。

小升初数学测试题经典十套题及答案

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* （人教版）小升初入学考试数学试卷(一) 班级______姓名______得分______ 一、选择题：（每小题4分，共16分） 1、在比例尺是1：4000000的地图上，量得A、B两港距离为9厘米，一艘货轮于上午6时以每小时24千米的速度从A开向B港，到达B港的时间是（）。 A、15点 B、17点 C、19点 D、21点 2、将一根木棒锯成4段需要6分钟，则将这根木棒锯成7段需要（）分钟。 A、10 B、12 C、14 D、16 3、一个车间改革后，人员减少了20%，产量比原来增加了20%，则工作效率（）。 A、提高了50% B、提高40% C、提高了30% D、与原来一样 4、A、B、C、D四人一起完成一件工作，D做了一天就因病请假了，A结果做了6天，B做了5天，C做了4天，D作为休息的代价，拿出48元给A、B、C三人作为报酬，若按天数计算劳务费，则这48元中A就分（）元。 A、18 B、19.2 C、20 D、32 二、填空题：（每小题4分，共32分） 1、学校开展植树活动，成活了100棵，25棵没活，则成活率是（）。 2、甲乙两桶油重量差为9千克，甲桶油重量的1/5等于乙桶油重量的1/2，则乙桶油重（）千克。 3、两个自然数的差是5，它们的最小公倍数与最大公约数的差是203，则这两个数的和是（）。 4、一个圆锥与一个圆柱的底面积相等，已知圆锥与圆柱的体积比是1：6，圆锥的高是4.8厘米，则圆柱的高是（）厘米。

5、如图，电车从A站经过B站到达C站，然后返回。去时B站停车，而返回时不停，去时的车速为每小时48千米，返回时的车速是每小时（）千米。 6、扑克牌游戏，小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：第一步，分发左中右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；第二步，从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；第三步，从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；第四步，左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆。这时小明准确说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现有的张数是（）。 7、前30个数的和为（）。 8、如图已知直角三角形的面积是12平方厘米，则阴影部分的面积是（）。三、计算：（每小题5分，共10分）

[高考数学]高考数学函数典型例题

?0x时,总有 00 ?01}的四组函数如下: ①f(x)=x2,g(x)=x;②f(x)=10-x+2,g(x)=2x-3 x;

③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2（x-1-e -x ) . 年高考江苏卷试题 11 ）已知函数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则满足不等式 ) 剪成两块，其中一块是梯形，记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年高考天津卷理科 16) 设函数 f ( x ) = x 2 - 1 ，对任意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立，则实数 m 的取值范围是。 34 ．（ 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35．（20XX 年高考江苏卷试题 14）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长）梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . （Ⅰ）若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ，求 a 的取值范围；（Ⅱ）证明： ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 .

(完整版)数学归纳法经典例题及答案(2)

数学归纳法（2016.4.21）一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确．综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点：两步骤,一结论。二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ．当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．

题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ Λ．那么当n =k +1时， 11 1 31 21 1++++++k k Λ 1 1 1211 2+++=++

数学归纳法经典例题及答案精品

【关键字】认识、问题、要点数学归纳法（一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确．综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点：两步骤,一结论。二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k ．当n =k +1时．这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ．那么当n =k +1时，这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是 1211 1 31 21 1+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明：

1211 2+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．题型3.证明数列问题例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)． (1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值． (2)设b n ＝ a 22n －3，T n ＝ b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3 . 解： (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5 令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243. (2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2 b n ＝a 22 n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3 ＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3 成立那么，当n ＝k ＋1时，左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3 ＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)?? ??k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3 ＝右边．故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3 .

通用版小升初数学专项训练+典型例题分析-找规律篇(含答案)

测试卷找规律篇时间：15分钟满分5分姓名_________ 测试成绩_________ 1 （12年清华附中考题）如果将八个数14，30，33，35，39，75，143，169平均分成两组，使得这两组数的乘积相等，那么分组的情况是什么？ 2 （13年三帆中学考题）观察1+3=4 ； 4+5=9 ； 9+7=16 ； 16+9=25 ； 25+11=36 这五道算式，找出规律，然后填写20012＋（）＝20022 3 （12年西城实验考题）一串分数：12123412345612812 , ,,,,,,,,,,,.....,,,......,33,55557777779991111 其中的第2000个分数是 . 4 （12年东城二中考题）在2、3两数之间,第一次写上5,第二次在2、5和5、3之间分别写上7、8(如下所示),每次都在已写上的两个相邻数之间写上这两个相邻数之和.这样的过程共重复了六次,问所有数之和是多少? 2......7......5......8 (3) 5 (04年人大附中考题) 请你从01、02、03、…、98、99中选取一些数，使得对于任何由0～9当中的某些数字组成的无穷长的一串数当中，都有某两个相邻的数字，是你所选出的那些数中当中的一个。为了达到这些目的。

导数典型例题(含答案)

导数典型例题导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 .1002 C ！解法一 f ＇(0)=x f x f x ?-?+→?) 0()0(lim = x x x x x ?--?-?-??→?0 )100()2)(1(lim 0 Λ =lim 0 →?x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=（-1）（-2）…（-100）=100！ ∴选D. 解法二设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100+…+ a 1x +a 0，则f ＇(0)= a 1，而a 1=（-1）（-2）…（-100）=100！. ∴选D. 点评解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解. 【例2】已知函数f (x )=n n n k k n n n n x c n x c k x c x c c 11212210 ++++++ΛΛ，n ∈N *，则 x x f x f x ??--?+→?) 2()22(lim 0 = . 解 ∵ x x f x f x ??--?+→?) 2()22(lim 0 =2x f x f x ?-?+→?2) 2()22(lim + []x f x f x ?--?-+→?-) 2()(2lim 0 =2f ＇(2)+ f ＇(2)=3 f ＇(2)，又∵f ＇(x )=1 1 2 1 --+++++n n n k k n n n x c x c x c c ΛΛ， ∴f ＇(2)= 21（2n n n k n k n n c c c c 222221+++++ΛΛ）=21[(1+2)n -1]= 2 1(3n -1). 点评导数定义中的“增量Δx ”有多种形式，可以为正也可以为负，如 x m x f x m x f x ?--?-→?-)()(000 lim ，且其定义形式可以是 x m x f x m x f x ?--?-→?) ()(000 lim ，也可以是 00 ) ()(lim x x x f x f x --→?（令Δx =x -x 0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖. 【例3】如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加，则圆半径R =10 cm 时，圆面积增加的速度是 .

小升初数学经典题型汇总

小升初数学：应用题综合训练1 1. 甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地要植900棵，B地要植1250棵.已知甲、乙、丙每天分别能植树24，30，32棵，甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地植树.两块地同时开始同时结束，乙应在开始后第几天从A地转到B地？总棵数是900＋1250＝2150棵，每天可以植树24＋30＋32＝86棵需要种的天数是2150÷86＝25天甲25天完成24×25＝600棵那么乙就要完成900-600=300棵之后，才去帮丙即做了300÷30＝10天之后即第11天从A地转到B地。 2. 有三块草地，面积分别是5，15，24亩.草地上的草一样厚，而且长得一样快.第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。把每头牛每天吃的草看作1份。因为第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×30＝300份所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份因为第二块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45＝1260份

所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15＝84份所以45－30＝15天，每亩面积长84－60＝24份所以，每亩面积每天长24÷15＝份所以，每亩原有草量60－30×＝12份第三块地面积是24亩，所以每天要长×24＝份，原有草就有24×12＝288份新生长的每天就要用头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288÷80＝头牛所以，一共需要＋＝42头牛来吃。两种解法：解法一：设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：10*30/5=60；每亩45天的总草量为：28*45/15=84那么每亩每天的新生长草量为（84-60）/（45-30）=每亩原有草量为*30=12，那么24亩原有草量为12*24=288，24亩80天新长草量为24**80=3072，24亩80天共有草量3072+288=3360，所有3360/80=42（头）解法二：10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩，根据28头牛45天吃15木，可以推出15亩每天新长草量（28*45-30*30）/（45-30）=24；15亩原有草量：1260-24*45=180；15亩80天所需牛180/80+24（头）24亩需牛：（180/80+24）*（24/15）=42头

实用文库汇编之数学归纳法经典例题及答案

*实用文库汇编之数学归纳法（2016.4.21）* 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确．综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点：两步骤,一结论。二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k ．当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．

题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ．那么当n =k +1时， 11 1 31 21 1++++++k k 1 1 1211 2+++=++

矩阵典型习题解析

2 矩阵矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单! 2.1 知识要点解析 2.1.1 矩阵的概念 1．矩阵的定义由m×n个数a ij（i 1,2, ,m; j 1,2, , n）组成的m行n 列的矩形数表 a11 a12 a1n a2n a m1 a m2 a mn 称为m×n矩阵，记为 A （a ij ）m n 2．特殊矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵；（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵；（4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是 1 的对角阵，记为E；（6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等设 A (a ij )mn; B (b ij )mn 若a ij b ij(i 1,2, ,m; j 1,2, ,n)，则称 A 与B相等，记为A=B 2.1.2 矩阵的运算

1．加法 (1)定义：设 A (A ij )mn ,B (b ij ) mn ，则 C A B (a ij b ij )mn (2) 运算规律 ① A+B=B+A ； ②( A+B )+C=A+(B+C ) ③ A+O=A ④ A+(-A ) =0， –A 是 A 的负矩阵 2．数与矩阵的乘法 (1)定义：设 A (a ij ) mn , k 为常数，则 kA (ka ij )mn (2)运算规律 ①K (A+B) =KA+KB , ② (K+L )A=KA+LA , ③ (KL) A= K (LA) 3．矩阵的乘法 (1)定义：设 A (a ij )mn ,B (b ij )np .则 n AB C (C ij )mp ,其中 C ij a ik b kj k1 (2) 运算规律 ① (AB)C A (BC) ；② A(B C) AB AC ③ (B C)A BA CA 3)方阵的幂 ①定义：A (a ij ) n ，则 A k A K A ②运算规律： A m A n A m n (A m )n A (4)矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 ① AB BA ② AB 0, 不能推出 A 0或B 0; ③ (AB)k A k B k 4．矩阵的转置 (1) 定义：设矩阵 A=(a ij )mn ，将 A 的行与列的元素位置交换，称为矩阵 A 的转置，记为 A T (a ji )nm ， (2) 运算规律 ①(A T )T A; ②(A B)T A T B T ； ③(kA)T KA T ; ④ (AB)T B T A T 。

小升初数学典型题

升中典型题 1、一种商品按定价的75折出售，仍可获利20%，若按定价出售可获利（）%。 2、圆柱体和圆锥体的底面半径的比是2：3，高的比是4：3，则圆柱与圆锥的体积比是（）：（）。 3、有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它是长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是（）。 4、小芳骑车从甲地到乙地每小时行30千米，然后按原路返回，若想往返的平均速度为40千米，则返回时每小时应行（）千米。 5、一个半圆形，半径是r，它的周长是（）。 6﹑水结成冰后体积增了1 11 , 冰融化成水后,体积减少( ) 7.冰化成水后，体积比原来减少1 12，水结成冰后，体积比原来增加了（）. 8、甲数为a，比乙数的3 4多b，表示乙数的式子是（）。 9、一个圆柱和一个圆锥的体积相等。已知圆柱的高是圆锥高的 2 3，圆柱的底面积和圆锥底面积的比是（） .10、甲种商品降价20％后与乙商品涨价20％后的价格相等，甲乙两种商品的原价的比是（）。 11.甲数比乙数少20％，乙数比甲数多（）％。 12.甲乙两个数最大公因数是3，最小公倍数是45，若甲数是9，那么乙数是（）。 13. 相同的小正方形拼成一个大正方形，至少要（）个。相同的小正方体拼成一个大正方体，至少要（）个。二、解决问题。 1﹑用同一种方砖铺一间长8米,宽6米的乒乓球室的地板,先用200块方砖就铺了32平方米,余下的还要多少方砖(用比例解) 2﹑小明读一本书,第一天读了这本书的1 4 多6页,第二天读了这本书的 2 5 少2页,第三天读完剩下的17页,这本书共有多少页 3、一筐梨，先拿走30kg，又拿出余下的70%，这时剩下的梨正好是原来的1 10。这筐梨原来多少kg

高考数学大题经典习题

1. 对于函数()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-。（1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 2 2sin cos t t t -+ t 的取值范围；（2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-，则 ()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02(2)323(2)0 a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-+ ∈恒成立，而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1．故2 2sin cos 1t t t -+ ≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得22 4a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3)(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B

高考数学典型例题详解

高考数学典型例题详解奇偶性与单调性函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识. ●难点磁场 (★★★★★)已知偶函数f (x )在(0，+∞)上为增函数，且f (2)=0,解不等式f ［log 2(x 2+5x +4)］≥0. ●案例探究［例1］已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,设不等式解集为A ，B =A ∪{x |1≤x ≤5},求函数g (x )=－3x 2+3x －4(x ∈B )的最大值. 命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目. 知识依托：主要依据函数的性质去解决问题. 错解分析：题目不等式中的“f ”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域. 技巧与方法：借助奇偶性脱去“f ”号，转化为x cos 不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值. 解：由? ??<<-<

∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2f (0)对所有θ∈［0, 2 π ］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m 的范围，若不存在，说明理由. 命题意图：本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力，属★★★★★题目. 知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题. 错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法. 技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题. 解：∵f (x )是R 上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f (x )是R 上的增函数.于是不等式可等价地转化为f (cos2θ－3)>f (2m cos θ－4m ), 即cos2θ－3>2m cos θ－4m ,即cos 2θ－m cos θ+2m －2>0. 设t =cos θ,则问题等价地转化为函数g (t ) =t 2－mt +2m －2=(t － 2 m )2 －4 2 m +2m －2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g (t )在［0，1］上的最小值为正. ∴当 2 m <0,即m <0时，g (0)=2m －2>0?m >1与m <0不符；当0≤2 m ≤1时，即0≤m ≤2时，g (m )=－42m +2m －2>0 ?4－221,即m >2时，g (1)=m －1>0?m >1.∴m >2 综上，符合题目要求的m 的值存在，其取值范围是m >4－22.