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第三章 有限元和刚性体

第三章有限元和刚性体

有限元和刚性体是ABAQUS模型的基本元素。有限元是可变形的。刚性体不可变形,只作刚体运动。用户对有限元多少有一些了解,而对有限元软件中刚性体概念可能感到有些陌生。

ABAQUS软件引入刚性体是为了提高计算效率。在ABAQUS中任何物体或物体的局部都可以定义为刚性体,大多数单元类型可为刚性体定义所用(参考ABAQUS/Stardard用户手册24-1节所列的表)刚性体与变形体结合的优点是对刚性体运动的完全描述可只用一个参考点,所以不超过六个自由度即可定位一个刚性体。与此相反,变形单元需要许多自由度,并要求大量的单元计算来确定变形。当某一局部变形可忽略或对它的变形不感兴趣时,则可在建模时构造一个刚性体部件,这样做就会极大地节省计算时间而并不影响整体结果。

3.1 有限元

ABAQUS有各种各样的单元,其庞大的单元库提供了一套强大的工具来解决许多不同类型的问题,本节介绍影响单元特性的五个方面问题。

3.1.1 单元的表征

每一个单元都由下面几个特性来表征:

·单元族

·自由度(和单元族直接相关)

·节点数

·数学描述,即单元列式

·积分

ABAQUS中每一种单元都有自己特有的名字,例如T2D2,S4R和C3D81。单元的名字标志着一种单元的五个特性。单元命名的规则将在本章里说明。

单元族

图3-1给出了应力分析中最常用的单元族。单元族之间一个明显的区别是每一个单元族所假定的几何类型不同。

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图3-1 常用单元族

在这本指南里将用到的单元族有实体单元、壳单元、梁单元、桁架和刚性体单元,这些将在以后的各章里详细讨论。其它的单元族在这本指南中没有讲到;如果对应用它们感兴趣,请查阅ABAQUS/Standard用户手册的Part V。

单元名字里开始的字母标志着这种单元属于哪一个单元族。例如,S4R中的S表示它是壳单元,C3D81中的C表示它是实体单元。

自由度

自由度(dof)是分析中计算的基本变量。对于壳和梁单元的应力/位移模拟分析,自由度是每一节点处的平动和转动。对于热传导模拟分析,自由度为每一节点处的温度;因此,热传导分析要求应用与应力分析不同的单元,因为它们的自由度不同。

ABAQUS中自由度的排序规则如下:

1 1方向的平动

2 2方向的平动

3 3方向的平动

4 绕1轴的转动

5 绕2轴的转动

6 绕3轴的转动

7 开口截面梁单元的翘曲

8 声压或孔隙压力

9 电势

11 温度(或物质扩散分析中归一化浓度),对梁和壳,指厚度方向第一点温度。

12 梁和壳厚度上其它点的温度

方向1,2,3分别对应于整体坐标的1-,2-,和3-方向,除非已经在节点处定义了局部坐标系。

轴对称单元是一个例外,其位移和转动自由度指的是:

1 r-方向的平动

2 z-方向的平动

3r-z平面内的转动

方向r和z分别对应于整体坐标的1-和2-方向,除非已经在节点处定义了局部坐标系。如何在节点处定义局部坐标系,请参考第5章的讨论。

在本指南中,限于结构方面的应用,所以只讨论单元的平动和转动自由度。

其它类型的单元(如热传导单元)可参考ABAQUS/Standard用户手册。

节点数——插值的阶数

ABAQUS仅在单元的节点处计算位移或任何其它的自由度。在单元内的任何其它点处,位移是节点位移插值获得的。通常插值的阶数由单元采用的节点数决定。仅在角点处在节点的单元,例如图3-2(a)所示的8节点实体单元,在每一方向上采用线性插值,因此常常称这类单元为线性单元或一阶单元。具有边中点节点的单元,如图3-2(b)所示的20节点实体单元,采用二次插值,因此常常被称为二次单元或二阶单元。一般情况下单元的节点数在其名字中清楚地标记着。8节点实体单元,如你前面已经看到过的那样,叫做C3D8;8节点一般壳单元叫做S8R。梁单元族的记法稍有不同:插值的阶数在单元的名字中标记着。这样,一阶三维梁单元叫做B31,而二阶三维梁单元叫做B32。

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图3-2线性实体单元和二次实体单元

单元列式

单元列式是指用来定义单元行为的数学理论。ABAQUS中所有的应力/位移单元行为都是基于拉格朗日或物质描述的:在整个分析过程中和一个单元相关的物质保持和这个单元相关,而且物质不能穿越单元边界。在欧拉或空间描述中,单元在空间固定,而物质在单元之间流动。欧拉方法通常用于流体力学分析。ABAQUS运用欧拉方法来模拟对流换热,这本指南中不讨论这一题目。

为了适用于不同类型的物理行为,ABAQUS中的某些单元族包含具有几种不同列式的单元。例如,壳单元族有三个类别:一类具有一般壳体理论的列式,一类具有薄壳理论的列式,另外一类具有厚壳理论的列式(这些单元的列式在第5章解释)。

某些单元族除了有标准的列式,还有一些其它供选择的列式。具有其它供选择列式的单元可以由其单元名字末尾的附加字母来识别。例如,实体、梁和桁架单元族包括了杂交元列式,杂交单元由其名字末尾的“H”字母标识(C3D8H和

B31H)。

有些单元列式可求解耦合场问题。例如以字母C开头和字母T结尾的单元(如C3D8T)具有力学和热学自由度,可用于力一热学耦合问题的仿真计算。几个最常用的单元列式会在本指南的后面部分讨论。

积分

ABAQUS应用数值技术积分每一单元体上各种变量。对于大部分单元,ABAQUS运用高斯积分方法来计算单元内每一个高斯点处的物质响应。对实体单元,必须在全积分和减缩积分之间作出选择,对于给定问题,这个选择很大程度上影响着单元精度,这将在4.1节中详细讨论。

ABAQUS在单元名字末尾用字母“R”来识别减缩积分单元,对杂交单元,末尾字母为RH。例如,CAX4是全积分、线性、轴对称实体单元;而CAX4R 是减缩积分、线性、轴对称实体单元。

3.1.2 实体单元

在不同的单元族中,实体(连续体)单元能够模拟的构件种类最多。从概念上讲,实体单元仅模拟部件中的一小块物质。由于实体单元可以在其任何表面与其它单元连接起来,就像建筑物中的砖或马赛克镶嵌中的瓷砖一样,因此能用来建造几乎任何形状、承受任意载荷的模型。

在ABAQUS中应力/位移实体单元的名字以字母“C”开头。随后的两个字母表示单元的维数,即单元的自由度数,但有时有例外。字母“3D”表示三维单元;“AX”表示轴对称单元;“PE”表示平面应变单元,而“PS”则表示平面应力单元。

三维实体单元库

三维实体单元可以是六面体形(砖形)、楔形或四面体形。三维实体单元的完整清单和每一类单元的节点布局可以在ABAQUS/Standard用户手册的14.1.4节中查到。

二维实体单元库

ABAQUS拥有几类离面行为互不相同的二维实体单元。二维单元可以是四边形或三角形。最常用的三类二维单元如图3-3所示。

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图3-3 平面应变,平面应力和无扭曲的轴对称单元

ε为零;这类单元可以用来模拟厚结构。

平面应变单元假定离面应变

33

σ为零;这类单元适合于用来模拟薄结构。

平面应力单元假定离面应力

33

无扭曲的轴对称单元,即“CAX”类单元,可模拟360?的环;这类单元适合于用来分析受轴对称截荷作用、又具有轴对称几何形状的结构。

ABAQUS也提供了广义平面应变单元、可以发生扭曲的轴对称单元和反对称变形的轴对称单元。

广义平面应变单元包括了附加的广义列式。离面应变可以随着模型平面内的位置线性变化。这种单元列式特别适合于厚截面的热应力分析。

可以发生扭曲的轴对称单元用来模拟初始时为轴对称形状,但能沿对称轴发生扭曲的物体。这些单元对于模拟圆柱形结构,例如轴对称橡胶套管的扭转很有用。

反对称变形的轴对称单元则用来模拟初始为轴对称几何形状的反对称变形物体。它们适合于模拟像随剪切载荷作用的轴对称橡胶支座一类的问题。

后面的三类二维实体单元在这本指南里不作讨论。

二维实体单元必须在1-2平面内定义,并使节点编号绕单元周界逆时针旋转,如图3-4所示。当用前处理器产生网格时,要确保所有点处的单元法线方向一致,即都在整体坐标的3轴正方向上。不能提供正确的单元节点布局将引起ABAQUS给出单元有负面积的出错信息。

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图3-4 二维单元正确的节点布局

自由度

所有的应力/位移实体单元在每一节点处有平动自由度。对应地,自由度1、2和3在三维单元中是有效的,而在平面应变单元、平面应力单元和无扭曲轴对称单元中只有自由度1和自由度2是有效的。查阅ABAQUS/Standard用户手册的14.1.3节中可以找到在其它类二维实体单元中有效的自由度。

单元性质

所有的实体单元必须赋予截面性质,它定义了材料性质和与单元相关的附加几何数据。三维单元和轴对称单元是不需要附加几何信息的,节点坐标就能够完整地定义单元的几何形状。而平面应力和平面应变单元则必须指定单元的厚度,它们的默认值为1。

单元列式和积分

实体单元族有若干可选择的单元列式,包括非协调模式的列式和杂交单元列式,这些列式都将在这本指南中详细讨论。实体单元可以应用完全积分或减缩积分。

单元列式和积分类型对实体单元的精度都会产生显著的影响,这将在4.1节中讨论。

单元输出变量

应力和应变这样的默认单元输出变量是参照整体直角(笛卡尔)坐标系的。

应力分量是作用在整体坐标的1轴方向因此,图3-5(a)所示的积分点处

11

的。即使在一个大变形分析中单元发生转动(如图3-5(b)所示),仍默认是在整体笛卡尔坐标系中定义单元变量,然而,ABAQUS允许用户为单元变量定义一个局部坐标系。该局部坐标系在大变形分析中随着单元的运动而转动。当所分析的物体有某些自然材料方向时(如复合材料中的纤维方向),局部坐标系会十分有用。

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图3-5 实体单元默认的材料方向

3.1.3 壳单元

壳单元用来模拟那些厚度方向尺寸远小于另外两维尺寸,且垂直于厚度方向的应力可以忽略的结构。

在ABAQUS中壳单元的名字以字母“S”开头。轴对称壳单元都以字母“SAX”开头,而反对称变形的轴对称单元以字母“SAXA”开头。除轴对称壳外,壳单元名字中的每一个数字表示单元中的节点数,而轴对称壳单元名字中的第一个数字则表示插值的阶数。如果名字中最后一个字符是数字“5”,那么这种单元只要可能就会只用到三个转动自由度中的两个。

壳单元的运用将在第5章详细讨论。

壳单元库

一般的三维壳单元有三种不同的单元列式:一般壳单元、薄壳单元和厚壳单元。壳单元库中有线性和二次插值的三角形、四边形壳单元,以及线性和二次的轴对称壳单元。表3-1对单元库中提供的壳单元进行了总结。

表3-1 ABAQUS中的三类单元

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自由度

名字以数字“5”结尾的三维壳单元(例如S4R5,STRI65)每一节点只有5个自由度:3个平动自由度和面内的2个转动自由度(即没有绕壳面法线的转动自由度)。然而,如果需要的话,节点处的所有6个自由度都是可以激活的,例如,在施加转动边界条件时或者节点位于壳的折线上时就需用6个自由度。

其它的三维壳单位(例如S4R,S8R)在每一节点处有6个自由度(3个平动自由度和3个转动自由度)

轴对称壳单元的每一节点有3个自由度:

1 r-方向的平动

2 z-方向的平动

6 r-z平面内的平动

单元性质

所有的壳单元都有壳的截面特性,它规定了壳单元的材料性质和厚度。壳的横截面刚度可在分析中计算,亦可在分析开始时计算。若选择分析中计算刚度,ABAQUS就会用数值积分方法来计算壳厚度方向上所选点的力学性质。所选的

点称为截面点,如图3-6所示。相关的材料性质可以是线性或非线性的,用户可在壳厚度方向上指定任意奇数个截面点。

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图3-6 壳单元厚度方向截面点

若选择在分析开始时计算横截面刚度,可定义横截面性质来构造线性或非线性性质。此时ABAQUS直接根据截面工程参量(面积、惯性矩等)构造壳体横截面性质,所以就不必积分单元横截面上任何变量。因此,这个选择的计算量较小。此时会根据力和力矩结果来计算响应,只有特别输出要求时才会计算应力和应变。当壳体响应是线弹性时,建议采用这个方法。

单元列式和积分

ABAQUS有三类单元,它们之间可以通过单元列式区分开:一般壳单元,厚壳单元和薄壳单元。壳的单元列式将在第5章里详细讨论。S4S4R,S31S3R 和SAX轴对称壳单元考虑了有限膜应变,而且允许壳的厚度随着单元的变形而变化。所有其它的壳单元均假定小应变和壳的厚度不发生变化,即使单元的节点可能发生有限转动。

所有的四边形壳单元(S4除外)和三角形壳单元(S3/S3R除外),都应用减缩积分方案。其它的三角形壳单元应用完全积分方案。

单元输出变量

壳单元的输出变量根据每一个壳单元表面上的局部材料方向进行定义。在大位移分析中,这些轴随着单元的变形而发生转动。用户亦可以定义单元局部坐标系,它们在大位移分析中随单元变形可以旋转。

3.1.4 梁单元

梁单元用来模拟长度方向尺寸远大于另外二维尺寸,且只有长度方向的应力比较显著的构件。

在ABAQUS中梁单元的名字以字母“B”开头。下一个字符表示单元的维数:“2”指的是二维梁单元,“3”指的是三维梁单元。第三个字符表示插值的阶数:“1”表示线性插值,“2”表示二次插值,“3”则表示三次插值。

梁单元的应用将在第6章讨论。

梁单元库

梁单元库中有二维和三维的线性、二次及三次梁单元。

自由度

三维梁单元每个节点有6个自由度:3个平动自由度(1~3)和3个转动自由度(4~6)。“开口截面”型的梁(例如B31OS)有一个表示梁横截面翘曲量的附加自由度(7)。

二维梁单元的每个节点有3个自由度:2个平动自由度(1和2)和1个绕模型所在平面法线的转动自由度(6)。

单元性质

所有的梁单元必须有梁截面特性,它规定了梁的材料性质和梁横截面轮廓线;节点坐标只定义了梁的长度。用户必须给出梁截面轮廓线的几何尺寸和形状。换言之,用户可以通过给定截面面积和惯性矩这类工程性质定义一个一般的梁截面轮廓线。

若用户定义了梁截面的几何轮廓线,ABAQUS就会用数值积分方法计算横截面性质,材料行为可以是线性或非线性的。

若用户提供截面的面积,惯性矩和扭矩等工程特性参数来代替指定横截面尺寸,则ABAQUS就不必对横截面积分,这个方法计算量较少。在用这个方法时,材料可以是线性或非线性的。此时,根据力和弯矩结果来计算响应,只有在特别请求时才计算应力和应力。

单元列式和积分

线性梁单元(B21和B31)和二次梁单元(B22和B32)允许剪切变形,并考虑了有限轴向应变;它们不仅适合于模拟细长梁,也适合于模拟短梁。尽管三次梁单元(B23和B33)允许梁的大位移和大转动,但不考虑剪切柔度,并且假定轴向应变很小,因此,它们适合于模拟细长梁。ABAQUS提供线性和二次梁单元的变种单元(B31OS和B32OS)来模拟薄壁开口梁。这些单元能正确地模拟开口横截面的扭转和翘曲效应,例如I-型和U-型槽钢。这本指南中不涉及开口截面梁。

ABAQUS也提供杂交梁单元来模拟非常细长的构件,例如海上石油平台上的柔性立管,和模拟非常刚硬的连接件。在这本指南中不涉及杂交梁单元。

单元输出变量

σ)和扭转引起的剪应力三维剪切变形梁单元的应力分量为轴向应力(

11

σ)。在薄壁截面梁中剪应力沿截面的壁作用。相应的应变量也可以输出。剪(

12

切变形梁单元也提供截面上的横向剪力。细长(三次)梁的输出结果只有轴向变量。空间开口截面梁的输出结果也只有轴向变量,因为此时的扭转剪应力可略去。

所有的二维梁单元只用到轴向的应力和应变。

根据用户需要,轴向力、弯矩和绕局部梁轴的曲率也可以输出。至于哪种单元提供哪些分量的详细情况,可以查阅ABAQUS/Standard用户手册。第153.1节。局部梁轴的定义细节将在第6章里给出。

3.1.5 桁架单元

桁架单元是只能承受拉载荷的杆。它们不能承受弯矩,因此适合于模拟铰接框架结构。桁架单元还可以近似地模拟线缆和弹簧(例如,网球排)。桁架单元有时还用来代表其它单元里的加强构件。第2章里的桥式吊车桁架模型就采用桁架单元。

所有桁架单元的名字都以字母“T”开头。随后的两个字符表示单元的维数,如“2D“表示二维桁架单元,“3D”表示三维桁架单元。最后一个字符表示单元中的节点数。

桁架单元库

桁架单元库中有二维和三维的线性和二次桁架单元。

自由度

桁架单元的节点只有平动自由度。三维桁架单元有1、2和3三个自由度,二维桁架单元只有1和2两个自由度。

单元性质

所有的桁架单元必须有桁架截面性质,它包括材料特性和横截面积。

单元列式和积分

除了有标准的单元列式外,还有一种杂交桁架单元列式。这种单元适合于模拟刚度比整体结构的刚度大得多的非常刚硬的连接件。

单元输出变量

桁架单元的输出变量为轴向的应力和应变。

3.2 刚性体

在ABAQUS里,刚性体视为节点和单元的集成体。整个刚性体的运动由一个称为刚性体参考节点的运动所控制(如图3-7所示)。刚性体的形状既可以由解析面定义,也可以由网格堆积得到,所谓解析面是指二维轮廓线经历旋转、拉伸等操作所得到的面。在分析计算过程中,刚性体形状不变,但可以有刚体位移。离散后的刚性体的质量和惯性是基于单元分布计算的,也可以根据需要进行配置。

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图3-7 组成刚性体的单元

刚性体的运动由参考点的边界条件描述。刚性体的集中载荷可施加于节点上,分布载荷施加在其单元上,载施加在刚性体参考节点上。刚性体与模型中其它部分之间的相互作用有两种方式,一是与可变形单元的节点进行连结的方式,二是与可变形单元的接触方式。刚性体的使用将在第十一章里说明。

3.2.1 何时使用刚性体

刚性体用来模拟那些极刚硬的部件,它们不是完全固定就是有显著的刚体运动。刚性体也可用来模拟可变形部件之间的约束,还可提供一种指定某些接触作用的方便的方法。当ABAQUS用于拟静态成形分析时,刚性体是模拟诸如冲模、压模、拉道、毛坯夹具、滚辊等工具的理想模型,可作为有效的约束方法。为了检验的目的,把模型的若干部分模拟成刚性体也许是有用的,例如在复杂模型中,难以预先确定所有可能的接触条件,距接触区很远的单元可置于刚性体部件中,形成最后计算模型的进程就会快得多。一旦对模型和接触对的确定感到满意,再用精确的变形体单元代替刚性体即可。

把模型的一部分用刚性体来代替变形单元的主要优点是计算效率的提高。刚性体所占有的那部分中的单元水平的计算可不必去做。因为某些计算要求修正刚性体节点的运动来整合集中载荷和分布载荷,刚体运动完全可由刚性体参考节点上的六个自由度的最大值所完全决定。

3.2.2 刚性体部件

因为刚体运动是由刚性体参考节点控制的,所以刚性体参考节点既有平动又有转动的自由度,并且一个刚性体只能定义一个刚性体参考点。

除了刚性体有旋转的情况或者要求出绕刚性体中某一轴的反力矩情况外,刚性体参考点的位置并不重要。在上述两种情况中,节点应位于刚性体绕其转动的轴上.离散的刚性体由节点集合组成,这些节点是配置给刚性体的单元而产生的,

除了刚性体参考节点以外,这些节点称为刚性体从节点(见图3-7),它们提供了对其它单元的连接方式。刚性体上的节点有两种类型:

·销节点,它只有平动自由度

·锚节点,它同时有平动和转动自由度

刚性体节点类型由节点所在的刚性体的单元类型决定,在直接对刚性体配置节点时,节点类型也可以指定或修正。无论是何种节点,都是刚性体的一部分,它们的运动完全被刚性体参考节点所约束。

在刚性体参考节点上可以施加边界条件、多点约束、约束方程和载荷,但刚性体上其它节点则不能施加任何约束和载荷。

3.2.3 刚性单元

ABAQUS中的刚性体的功能使大多数单元(不是指刚性单元)可成为刚性体的一部分。例如若壳单元或刚性元都配置给刚性体,则它们的效果是相同的。对刚性体的加载和加边界条件规则适合于所有组成刚性体的单元类型,包括刚性元在内。

所有的刚性元的名字都以字母R开头,后面的字符是其维数,例如2D意味着平面单元,AZ意味着轴对称单元。最后的字符代表单元的节点数。

刚性单元库

三维四边形(R3D4)和三角形(R3D3)刚性单元用来模拟三维刚性体的二维表面。另外一种两节点刚性梁单元(RB3D2)主要是用来模拟受流体阻力和浮力作用的海上结构中的构件。

两节点刚性单元可以用来构造平面应变、平面应力及轴对称模型。还有一种平面两节点刚性梁单元则主要是用来模拟二维的海上结构。

自由度

只有在刚性体参考节点处有独立的自由度。三维单元刚性体参考节点有3个平动自由度和3个转动自由度;而平面和轴对称单元参考节点的自由度为1.2和6(绕-3轴的转动)。

附在刚性单元上的节点只有从属自由度。从属自由度的运动完全由刚性体参考节点的运动确定。平面和三维刚性单元只有平动从属自由度,相应于变形梁单元,刚性梁单元有同样数目的从属自由度:三维刚性梁单元为1到6,平面刚性梁单元为1,2和6。

物理性质

所有刚性单元必须指定其截面性质。对于平面和刚性梁单元,必须定义横截面面积。而对于轴对称和三维单元,必须指定其厚度。只有在刚性单元上作用体

力时才需要这些数据。

单元列式和积分

由于刚性单元不能变形,所以它们不用数值积分点,也不需要选择积分方案。

单元输出变量

刚性体单元没有变量输出。刚性体单元仅有的输出是节点的运动。另外刚性体参考节点处的反作用力和反力矩可以输出。

3.3 小结

·ABAQUS拥有广泛适用于结构应用的庞大的单元库。单元类型的选择对模拟计算的精度和效率有重大的影响。

·节点的有效自由度依赖于此节点所在的单元类型。

·单元的名字完整地标明了单元族、单元的列式、节点数及积分类型。

·所有的单元都必须指定截面特性,它不仅可用来提供定义单元几何形状所需的附加数据,而且用来识别相关的材料性质定义。

·对于实体单元,ABAQUS参照整体笛卡尔坐标系来定义单元的输出变量,如应力和应变。可以把整体坐标系转为局部材料坐标系。

·对于三维壳单元,ABAQUS参照位于壳表面上的坐标系来定义单元的输出变量,用户自行定义一个局部材料坐标系。

·为了提高计算效率,模型中的任何部分都可以定义为一个刚性体,它仅仅在其参考点上有自由度。