2017年四川省广安、遂宁、内江、眉山高考数学一诊试卷(理
科)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U={x|x≤9,x∈N+},集合A={1,2,3},B={3,4,5,6},则?U (A∪B)=()
A.{3}B.{7,8}C.{7,8,9}D.{1,2,3,4,5,6}
2.已知i是虚数单位,若z(1+i)=1+3i,则z=()
A.2+i B.2﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i
3.若,则=()
A.B.C.D.
4.已知命题p,q是简单命题,则“p∨q是真命题”是“¬p是假命题”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分有不必要条件
5.如图,四边形ABCD是正方形,延长CD至E,使得DE=CD,若点P为CD的
中点,且,则λ+μ=()
A.3 B.C.2 D.1
6.如图,是某算法的程序框图,当输出T>29时,正整数n的最小值是()
A.2 B.3 C.4 D.5
7.从1,3,5,7,9中任取3个数字,从2,4,6,8中任取2个数字,组成没有重复数字的五位数,则组成的五位数是偶数的概率是()
A.B.C.D.
8.已知数列{a n}满足a n=若对于任意的n∈N*都有a n>a n
,
+1
则实数a的取值范围是()
A.(0,)B.(,)C.(,1)D.(,1)
9
.已知不等式sin cos+cos2﹣﹣m≥0对于x∈[﹣,]恒成立,则实数m的取值范围是()
A
.(﹣∞,﹣]B.(﹣∞,﹣]C.[,]D.[,+∞)
10.如图,在三棱锥A﹣BCD中,已知三角形ABC和三角形DBC所在平面互相
垂直,AB=BD,∠CBA=∠CBD=,则直线AD与平面BCD所成角的大小是()
A.B.C.D.
11.椭圆的一个焦点为F,该椭圆上有一点A,满足△OAF 是等边三角形(O为坐标原点),则椭圆的离心率是()
A.B.C.D.
12.已知函数y=f(x)与y=F(x)的图象关于y轴对称,当函数y=f(x)和y=F (x)在区间[a,b]同时递增或同时递减时,把区间[a,b]叫做函数y=f(x)的“不动区间”.若区间[1,2]为函数f(x)=|2x﹣t|的“不动区间”,则实数t的取值范围是()
A.(0,2]B.[,+∞)C.[,2]D.[,2]∪[4,+∞)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.二项式的展开式中常数项为.
14.学校艺术节对同一类的A,B,C,D四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:
甲说:“是C或D作品获得一等奖”;
乙说:“B作品获得一等奖”;
丙说:“A,D两项作品未获得一等奖”;
丁说:“是C作品获得一等奖”.
若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是.
15.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,若该几何体的各个顶点在某一个球面上,则该球面的表面积为.
16.若直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0和函数的图象相切于同一点,则a的值
为.
三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2a+b)cosC+ccosB=0.(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)求sinAcosB的取值范围.
18.张三同学从7岁起到13岁每年生日时对自己的身高测量后记录如表:
(Ⅰ)求身高y关于年龄x的线性回归方程;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的线性回归方程,分析张三同学7岁至13岁身高的变化情况,如17岁之前都符合这一变化,请预测张三同学15岁时的身高.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
=
,=﹣.
19.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x3+ax(a∈R),
且曲线f(x)在x=处的切线与直线y=﹣x﹣1平行.
(Ⅰ)求a的值及函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若函数y=f(x)﹣m在区间[﹣3,]上有三个零点,求实数m的取值范围.
20.设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n,且满足2=a n+1(n∈N*).(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;
(Ⅱ)若b n=(a n+1)?2,求数列{b n}的前n项和T n.
21.已知函数f(x)=ae x﹣x(a∈R),其中e为自然对数的底数,e=2.71828…(Ⅰ)判断函数f(x)的单调性,并说明理由
(Ⅱ)若x∈[1,2],不等式f(x)≥e﹣x恒成立,求a的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做则按所做第一题计分,作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑.[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.在平面直角坐标系中,曲线C1:(a为参数)经过伸缩变换
后的曲线为C2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求C2的极坐标方程;
(Ⅱ)设曲线C3的极坐标方程为ρsin(﹣θ)=1,且曲线C3与曲线C2相交于P,Q两点,求|PQ|的值.
[选修4-5:不等式选讲]
23.已知函数f(x)=|x+b2|﹣|﹣x+1|,g(x)=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|,其中a,b,c均为正实数,且ab+bc+ac=1.
(Ⅰ)当b=1时,求不等式f(x)≥1的解集;
(Ⅱ)当x∈R时,求证f(x)≤g(x).
2017年四川省广安、遂宁、内江、眉山高考数学一诊试
卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U={x|x≤9,x∈N+},集合A={1,2,3},B={3,4,5,6},则?U (A∪B)=()
A.{3}B.{7,8}C.{7,8,9}D.{1,2,3,4,5,6}
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】化简全集U,根据并集与补集的定义,写出运算结果即可.
【解答】解:全集U={x|x≤9,x∈N+}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},
集合A={1,2,3},B={3,4,5,6},A∪B={1,2,3,4,5,6};
∴?U(A∪B)={7,8,9}.
故选:C.
2.已知i是虚数单位,若z(1+i)=1+3i,则z=()
A.2+i B.2﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【解答】解:由z(1+i)=1+3i,得,
故选:A.
3.若,则=()
A.B.C.D.
【考点】运用诱导公式化简求值.
【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值,再利用两角和的正弦公
式求得要求式子的值.
【解答】解:若,则cosα==,
则=sinαcos+cosαsin=+=,
故选:B.
4.已知命题p,q是简单命题,则“p∨q是真命题”是“¬p是假命题”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分有不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】由“¬p是假命题”可得:p是真命题,可得“p∨q是真命题”.反之不成立.
【解答】解:由“¬p是假命题”可得:p是真命题,可得“p∨q是真命题”.
反之不成立,例如p是假命题,q是真命题.
∴“p∨q是真命题”是“¬p是假命题”的必要不充分条件.
故选:B.
5.如图,四边形ABCD是正方形,延长CD至E,使得DE=CD,若点P为CD的
中点,且,则λ+μ=()
A.3 B.C.2 D.1
【考点】平面向量的基本定理及其意义.
【分析】建立如图所示的直角坐标系,设正方形的边长为1,可以得到
的坐标表示,进而得到答案.
【解答】解:由题意,设正方形的边长为1,建立坐标系如图,
则B(1,0),E(﹣1,1),
∴=(1,0),=(﹣1,1),
∵=(λ﹣μ,μ),
又∵P是BC的中点时,
∴=(1,),
∴,
∴λ=,μ=,
∴λ+μ=2,
故选:C
6.如图,是某算法的程序框图,当输出T>29时,正整数n的最小值是()
A.2 B.3 C.4 D.5
【考点】程序框图.
【分析】根据框图的流程模拟程序运行的结果,直到输出T的值大于29,确定最小的n值.
【解答】解:由程序框图知:
第一次循环k=1,T=2
第二次循环k=2,T=6;
第三次循环k=3,T=14;
第四次循环k=4,T=30;
由题意,此时,不满足条件4<n,跳出循环的T值为30,
可得:3<n≤4.
故正整数n的最小值是4.
故选:C.
7.从1,3,5,7,9中任取3个数字,从2,4,6,8中任取2个数字,组成没有重复数字的五位数,则组成的五位数是偶数的概率是()
A.B.C.D.
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
【分析】先求出基本事件总数n=,再求出组成的五位数是偶数包含的基
本事件个数m=,由此能求出组成的五位数是偶数的概率.
【解答】解:从1,3,5,7,9中任取3个数字,
从2,4,6,8中任取2个数字,组成没有重复数字的五位数,
基本事件总数n=,
组成的五位数是偶数包含的基本事件个数m=,
∴组成的五位数是偶数的概率是p===.
故选:D.
8.已知数列{a n }满足a n =若对于任意的n ∈N *都有a n >a n +1,
则实数a 的取值范围是( )
A .(0,)
B .(,
) C .(,1) D .(,1)
【考点】数列递推式.
【分析】,若对于任意的n ∈N *都有a n >a n +1,可得
<0,
a 5>a 6,0<a <1.解出即可得出.
【解答】解:∵满足a n =
,若对于任意的n ∈N *都有a n >a n +1,
∴<0,a 5>a 6,0<a <1.
∴a <0,
+1>a ,0<a <1,
解得
.
故选:B .
9
.已知不等式
sin cos +
cos 2﹣
﹣m ≥0对于x ∈[﹣
,
]恒成立,
则实数m 的取值范围是( )
A
.(﹣∞,﹣
] B .(﹣∞,﹣
] C .[
,
] D .[
,+∞)
【考点】三角函数中的恒等变换应用.
【分析】不等式sin cos +cos 2﹣﹣m ≥0对于x ∈[﹣,]恒成立,
等价于不等式(sin cos +cos 2﹣)min ≥m 对于x ∈[﹣,
]恒成
立,令f (x )=
sin cos +
cos 2﹣
,求x ∈[﹣
,
]的最小值即可.
【解答】解:由题意,令f (x )=sin cos +
cos 2﹣,
化简可得:f (x )=
+
(
cos )
=
=
sin
()
∵x∈[﹣,]
∴∈[,]
当=时,函数f(x)取得最小值为.
∴实数m的取值范围是(﹣∞,].
故选B.
10.如图,在三棱锥A﹣BCD中,已知三角形ABC和三角形DBC所在平面互相
垂直,AB=BD,∠CBA=∠CBD=,则直线AD与平面BCD所成角的大小是()
A.B.C.D.
【考点】直线与平面所成的角.
【分析】如图所示,过点A在平面ABC内作AO⊥BC,垂足为点O,连接OD.根据三角形ABC和三角形DBC所在平面互相垂直,可得AO⊥平面BCD,AO⊥OD.因此∠ADO是直线AD与平面BCD所成的角.通过证明△OBA≌△OBD,即可得出.【解答】解:如图所示,过点A在平面ABC内作AO⊥BC,垂足为点O,连接OD.
∵三角形ABC和三角形DBC所在平面互相垂直,∴AO⊥平面BCD,∴AO⊥OD.∴∠ADO是直线AD与平面BCD所成的角.
∵AB=BD,∠CBA=∠CBD=,
∴∠ABO=∠DBO,又OB公用,
∴△OBA≌△OBD,
∴∠BOD=∠AOB=.OA=OD.
∴∠.
故选:B.
11.椭圆的一个焦点为F,该椭圆上有一点A,满足△OAF 是等边三角形(O为坐标原点),则椭圆的离心率是()
A.B.C.D.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】根据题意,作出椭圆的图象,分析可得A的坐标,将A的坐标代入椭
圆方程可得+=1,①;结合椭圆的几何性质a2=b2+c2,②;联立两个式
子,解可得c=(﹣1)a,由离心率公式计算可得答案.
【解答】解:根据题意,如图,设F(0,c),
又由△OAF是等边三角形,则A(,),
A在椭圆上,则有+=1,①;
a2=b2+c2,②;
联立①②,解可得c=(﹣1)a,
则其离心率e==﹣1;
故选:A.
12.已知函数y=f(x)与y=F(x)的图象关于y轴对称,当函数y=f(x)和y=F (x)在区间[a,b]同时递增或同时递减时,把区间[a,b]叫做函数y=f(x)的“不动区间”.若区间[1,2]为函数f(x)=|2x﹣t|的“不动区间”,则实数t的取值范围是()
A.(0,2]B.[,+∞)C.[,2]D.[,2]∪[4,+∞)
【考点】分段函数的应用.
【分析】若区间[1,2]为函数f(x)=|2x﹣t|的“不动区间”,则函数f(x)=|2x ﹣t|和函数F(x)=|2﹣x﹣t|在[1,2]上单调性相同,则(2x﹣t)(2﹣x﹣t)≤0在[1,2]上恒成立,进而得到答案.
【解答】解:∵函数y=f(x)与y=F(x)的图象关于y轴对称,
∴F(x)=f(﹣x)=|2﹣x﹣t|,
∵区间[1,2]为函数f(x)=|2x﹣t|的“不动区间”,
∴函数f(x)=|2x﹣t|和函数F(x)=|2﹣x﹣t|在[1,2]上单调性相同,
∵y=2x﹣t和函数y=2﹣x﹣t的单调性相反,
∴(2x﹣t)(2﹣x﹣t)≤0在[1,2]上恒成立,
即1﹣t(2x+2﹣x)+t2≤0在[1,2]上恒成立,
即2﹣x≤t≤2x在[1,2]上恒成立,
即≤t≤2,
故选:C
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.二项式的展开式中常数项为24.
【考点】二项式系数的性质.
【分析】根据二项式展开式的通项公式,令x的指数为0求出r的值,从而求出展开式中常数项.
【解答】解:二项式展开式的通项公式为:
=??x r=24﹣r??x2r﹣4,
T r
+1
令2r﹣4=0,解得r=2,
∴展开式中常数项为T3=22?=24.
故答案为:24.
14.学校艺术节对同一类的A,B,C,D四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:
甲说:“是C或D作品获得一等奖”;
乙说:“B作品获得一等奖”;
丙说:“A,D两项作品未获得一等奖”;
丁说:“是C作品获得一等奖”.
若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是B.
【考点】进行简单的合情推理.
【分析】根据学校艺术节对同一类的A,B,C,D四项参赛作品,只评一项一等奖,故假设A,B,C,D分别为一等奖,判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性,即可判断.
【解答】解:若A为一等奖,则甲,丙,丁的说法均错误,故不满足题意,
若B为一等奖,则乙,丙说法正确,甲,丁的说法错误,故满足题意,
若C为一等奖,则甲,丙,丁的说法均正确,故不满足题意,
若D为一等奖,则只有甲的说法正确,故不合题意,
故若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是B
故答案为:B
15.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,若该几何体的各个顶点在某一个球面上,则该球面的表面积为48π.
【考点】球内接多面体;简单空间图形的三视图.
【分析】判断几何体的特征,正方体中的三棱锥,利用正方体的体对角线得出外接球的半径求解即可.
【解答】解:三棱锥补成正方体,棱长为4,
三棱锥与正方体的外接球是同一球,半径为R==2,
∴该球的表面积为4π×12=48π,
故答案为:48π.
16.若直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0和函数的图象相切于同一点,则a的值为3.
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】设切点为(t,),求出切线方程,利用直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0和函数y=的图象相切于同一点,建立方程,求出t,即可得出结论.
【解答】解:设切点为(t,),y′=,x=t时,y′=t,
∴切线方程为y﹣=(x﹣t),即y=tx﹣,
∵一直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0和函数y=的图象相切于同一点,
∴=,∴t=2,
∴切点为(2,1),代入圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0,可得a=3,
故答案为3.
三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2a+b)cosC+ccosB=0.(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)求sinAcosB的取值范围.
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】(Ⅰ)由正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式化简已知的式子,由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C的大小;
(Ⅱ)由(I)和内角和定理表示出B,并求出A的范围,代入sinAcosB后,由两角差的余弦公式、正弦公式化简后,由A的范围和正弦函数的性质求出答案.【解答】解:(Ⅰ)由题意知,(2a+b)cosC+ccosB=0,
∴由正弦定理得,(2sinA+sinB)cosC+sinCcosB=0,
则2sinAcosC+sinBcosC+sinCcosB=0,
即sin(B+C)=﹣2sinAcosC,
∵△ABC中,sin(B+C)=sin(π﹣A)=sinA>0,
∴1=﹣2cosC,得cosC=,
又0<C<π,∴C=;
(Ⅱ)由(I)得C=,则A+B=π﹣C=,
即B=﹣A,所以,
∴sinAcosB=sinAcos(﹣A)
=sinA(cos cosA+sin sinA)=sinA(cosA+sinA)
=sin2A+=()
=
∵,∴,
则,
即,
∴sinAcosB的取值范围是.
18.张三同学从7岁起到13岁每年生日时对自己的身高测量后记录如表:
(Ⅰ)求身高y关于年龄x的线性回归方程;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的线性回归方程,分析张三同学7岁至13岁身高的变化情况,如17岁之前都符合这一变化,请预测张三同学15岁时的身高.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
=
,=﹣.
【考点】线性回归方程.
【分析】(Ⅰ)首先根据表格与公式求得相关数据,然后代入线性回归方程求得,由此求得线性回归方程;
(Ⅱ)将先15代入(Ⅰ)中的回归方程即可求得张三同学15岁时的身高.
【解答】解:(Ⅰ)由题意得=(7+8+9+10+11+12+13)=10,
==141,
(=9+4+1+0+1+4+9=28,
(x i﹣)(y i﹣)=(﹣3)×(﹣20)+(﹣2)×(﹣13)+(﹣1)×(﹣6)+0×0+1×7+2×13+3×19=182,
所以==,=﹣=141﹣×10=76,
所求回归方程为=x+76.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,=>0,
故张三同学7岁至13岁的身高每年都在增高,平均每年增高6.5cm.
将x=15代入(Ⅰ)中的回归方程,得=×15+76=173.5,
故预测张三同学15岁的身高为173.5cm.
19.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x3+ax(a∈R),
且曲线f(x)在x=处的切线与直线y=﹣x﹣1平行.
(Ⅰ)求a的值及函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若函数y=f(x)﹣m在区间[﹣3,]上有三个零点,求实数m的取值范围.
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;导数的运算.
【分析】(Ⅰ)首先求得导函数,然后利用导数的几何意义结合两直线平行的关系求得a的值,由此求得函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)将问题转化为函数f(x)的图象与y=m有三个公共点,由此结合图象求得m的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)当x>0时,f′(x)=x2+a,
因为曲线f(x)在x=处的切线与直线y=﹣x﹣1平行,
所以f′()=+a=﹣,解得a=﹣1,
所以f(x)=x3﹣x,
设x<0则f(x)=﹣f(﹣x)=x3﹣x,
又f(0)=0,所以f(x)=x3﹣x.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(﹣3)=﹣6,f(﹣1)=,f(1)=﹣,f()=0,
所以函数y=f(x)﹣m在区间[﹣3,]上有三个零点,
等价于函数f(x)在[﹣3,]上的图象与y=m有三个公共点.
结合函数f(x)在区间[﹣3,]上大致图象可知,实数m的取值范围是(﹣,0).
20.设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n,且满足2=a n+1(n∈N*).(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;
(Ⅱ)若b n=(a n+1)?2,求数列{b n}的前n项和T n.
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(Ⅰ)首先利用S n与a n的关系:当n=1时,a1=S1,当n≥2时,a n=S n ﹣S n
﹣1
;结合已知条件等式推出数列{a n}是等差数列,由此求得数列{a n}的通项公式;
(Ⅱ)首先结合(Ⅰ)求得b n的表达式,然后利用错位相减法,结合等比数列的求和公式求解即可.
【解答】解:(Ⅰ)当n=1时,a1=S1,有2=a1+1,解得a1=1;
当n≥2时,由2=a n+1得4S n=a n2+2a n+1,4S n﹣1=a n﹣12+2a n﹣1+1,
两式相减得4a n=a n2﹣a n﹣12+2(a n﹣a n﹣1),
所以(a n+a n
﹣1)(a n﹣a n
﹣1
﹣2)=0,
因为数列{a n}的各项为正,所以a n﹣a n
﹣2=0,
﹣1
所以数列{a n}是以1为首项,2为公差的等差数列,
所以数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知b n=(a n+1)?2=2n?22n﹣1=n?4n.
所以前n项和T n=1?4+2?42+3?43+…+n?4n,
4T n=1?42+2?43+3?44+…+n?4n+1,
两式相减得﹣3T n=4+42+43+…+4n﹣n?4n+1
=﹣n?4n+1,
化简可得T n=+?4n+1.
21.已知函数f(x)=ae x﹣x(a∈R),其中e为自然对数的底数,e=2.71828…(Ⅰ)判断函数f(x)的单调性,并说明理由
(Ⅱ)若x∈[1,2],不等式f(x)≥e﹣x恒成立,求a的取值范围.
【考点】函数恒成立问题;函数单调性的判断与证明.
【分析】(Ⅰ)求出原函数的导函数,然后对a分类,当a≤0时,f′(x)<0,f (x)=ae x﹣x为R上的减函数;当a>0时,由导函数为0求得导函数的零点,再由导函数的零点对定义域分段,根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性;
(Ⅱ)x∈[1,2],不等式f(x)≥e﹣x恒成立,等价于ae x﹣x≥e﹣x恒成立,分
离参数a,可得恒成立.令g(x)=,则问题等价于a不小于函数g(x)在[1,2]上的最大值,然后利用导数求得函数g(x)在[1,2]上的最大值得答案.
【解答】解:(Ⅰ)由f(x)=ae x﹣x,得f′(x)=ae x﹣1,
当a≤0时,f′(x)<0,f(x)=ae x﹣x为R上的减函数;
当a>0时,令ae x﹣1=0,得x=lna,
若x∈(﹣∞,﹣lna),则f′(x)<0,此时f(x)为的单调减函数;
若x∈(﹣lna,+∞),则f′(x)>0,此时f(x)为的单调增函数.