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微积分(B)常微分方程与差分方程 练习题

微积分(B)常微分方程与差分方程 练习题
微积分(B)常微分方程与差分方程 练习题

2013-2014(2) 大学数学(B) 练习题

第六章

一、选择题

1. 微分方程xy y 2='的通解为 ( ) A. C e y x +=2

; B. 2

x Ce y =; C. 2C x y e =; D. x Ce y =.

2. 函数221x c y c e +=是微分方程20y y y '''--=的 ( ) A. 通解; B. 特解;

C. 不是解;

D. 是解, 但既不是通解, 也不是特解.

3. 设线性无关的函数321,,y y y 都是二阶非齐次线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的解,

21,C C 是任意常数,则该方程的通解是 ( )

A. 32211y y C y C ++;

B. 3212211)(y C C y C y C +-+;

C. 3212211)1(y C C y C y C ---+;

D. 3212211)1(y C C y C y C --++. 4. 微分方程22y x y y x +=

+'是 ( )

A. 可分离变量的微分方程;

B. 齐次微分方程;

C. 一阶线性齐次微分方程;

D. 一阶线性非齐次微分方程.

二、填空题

1. 微分方程y y y x ln ='的通解是 .

2. 方程x y y sin 2='的奇解为_______________.

3. 微分方程05532

='-+y x x 的通解是 .

4. 微分方程02520422=+-s dt ds

dt

s d 的通解为 .

三、解答题

1. 求微分方程

xy dx

dy

2=的通解. 2. 求下列一阶微分方程满足所给初始条件的特解. (1)

x x x y dx dy sin =+,1)(=πy ; (2)x e y y x -=-'2,4

5)0(=y . 3. 解方程:x e y x cos 2-='''.

4. 求方程

83=+y dx

dy

满足初始条件20=

=x y 的特解.

5. 求微分方程x e y y 24=-''的通解.

6. 求微分方程x

xe y y y 265=+'-''的通解. 7.设函数)()1(2x u x y +=是方程3)1(12+=+-'x x y

y 的通解,求)(x u .

8. 求下列贝努利方程的通解.

(1)0234'2=++y x xy y x ; (2)012=++-'y x

y

y . 9. 求齐次方程dy xy x dx xy y )2()2(2

2

-=-的通解.

10. 求解下列初值问题: 1)(2

='+''y y ,0)0(=y ,0)0(='y . 11. 求微分方程1'''2

=+xy y x 通解. 12. 求下列方程的通解.

(1)054=-'-''y y y ; (2)054=-'-''y y ;

(3)x

e x y y y 2244=+'-''; (4)x y y y 2sin 82=-'+''.

2013-2014(2) 大学数学(B) 练习题

第六章参考答案

一、选择题

1. B ;

2. D ;

3. D ;

4. B ; 二、填空题

1.Cx

e y =; 2.0=y ; 3.C x x y ++=2

32

151; 4. t e t C C s 25

21)(+=.

三、解答题

1.解 原方程为分离变量的微分方程,

分离变量可得

x d x

y

dy

2=, 两边积分:

?

?=xdx y dy 2,得12

ln C x y +=,其中1C 为任意常数, 整理有:2

x Ce y =,其中C 为任意常数. 2.解: (1)该方程的通解为 ]s i n [1

1

C dx e x

x e

y dx

x dx

x +??=?-

=]sin [ln ln C dx e x x e

y x x

+=?-=)sin (1?+C xdx x =)cos (1

C x x

+-, 又1)(=πy ,得1-=πC ,故满足条件1)(=πy 的特解为

)1cos (1

-+-=

πx x y . (2)4

121])([222++-=?

?-+=-?x e Ce e dx e x e C y x x dx dx x

, 将45)0(=y 代人,得2=C ,故所求特解为4

12122++-=x e e y x

x .

3. 解:对所给方程接连积分三次得,12sin 2

1C x e y x

+-='',

22cos 41C Cx x e y x +++=',)2

( sin 81132212C C C x C x C x e y x =++++=.

4. 解:原方程可变形为

y dx dy

38-=,分离变量可得dx y

dy =-38, 两边积分:1383ln C x y +-=-,其中1C 为任意常数,所以3

8

3+=-x

Ce

y , 代入初始条件20==x y 有:32-

=C ,则满足条件的特解为328

33

x y e -=-+. 5. 解:原方程所对应的齐次方程为04=-''y y ,其特征方程为042

=-λ,

解得特征根为2±=λ,所以方程04=-''y y 的通解为x x

e C e C 2221+=-γ. 又x e x

f 2)(=,由于2=λ是特征单根,于是可设原方程的特解为x axe y 2*=.

x e x a y 2)21()*(+=',x e x a y 2)1(4)*(+=''.

代入原方程 x x x e a x e e x a 2224)1(4=-+, x x e ae 224=,于是41=a , 所以x

xe y 24

1*=,于是原方程的通解为x x x xe e C e C y y 222214

1

*++=+=-γ.

6. 解:原方程所对应的齐次方程为065=+'-''y y y ,其特征方程为0652=+-λλ,

解得特征根为32或=λ,所以方程065=+'-''y y y 的通解为x x e C e C 3221+=γ. 又x xe x f 2)(=,由于2=λ是特征单根,可设原方程的特解为x e b ax x y 2)(*+=.把它代入原方程,得 x b a ax =-+-22,比较等式两边同次幂的系数,

得???=-=-0212b a a ,解得?????-=-=1

21b a ,因此求得一个特解为x

e x x y 2)121(*--=, 从而所求的通解为x x

x

e x x e

C e

C y y 22

3221)2

(*+-+=+=γ.

7. 解 对函数)()1(2x u x y +=求导,得)()1()()1(22x u x x u x y '+++=',

将其与y 一起代入所给的微分方程,得

32)1()()1(2)()1()()1(2+=+-'+++x x u x x u x x u x ,

x x u +='1)(,故C x x u ++=

2)1(2

1

)(. 8. 解 (1)方程两边同时除以3

2

y x ,并整理得2

2

211)1(

x y

x y =?-',由一阶微分方程的求解公式,有 32221][1x Cx C dx e x e y

x dx

x dx

+=+??

=-?.

(2)方程两边同时除以2y ,并整理得11

)1(1)1

(=?++

'y

x y ,由一阶微分方程的求解

公式,有 2

11][111x x C e dx e C y x dx

x dx

++

+=??

+=+-+?. 10. 解 方程不显含设y ,令p y =',则p y '='',原方程即12

=+'p p ,

分离变量,得

dx p dp

=-2

1,两边积分,得

C x p p +=-+2|11|

ln .将0)0(='y 代人,得0=C ,故x p

p

2|11|ln =-+,或1122+-=x x e e p ,故)1ln(1

12122x x

x e x C dx e e y ++-=+-=?.将0)0(=y 代入,得2ln 1-=C .故所求初值问题的解为chx e x y x ln )1ln(2ln 2=++--=.

11. 解 方程不显含设y ,令p y =',则p y '='',原方程即12=+'xp p x ,

21

1x

p x dx dp =+,由一阶微分方程的求解公式,有 )(ln 1

]1[12C x x C dx e x

e

p x dx

x

dx +=+??

=?-

即 )(ln 1

]1[12C x x C dx e x

e

y x dx

x

dx

+=+??

='?-

,两边积分,得

2121ln ln 2

1

)(ln 1C x C x dx C x x y ++=+=?.

12. 解 (1)该二阶常系数线性齐次方程的特征方程为0542=--λλ,得两个不相等的

实特征根1-和5,于是该方程的通解为x x

e C e

C y 521+=-.

(2)这是二阶常系数线性非齐次方程,其对应齐次方程的特征方程为042

=-λλ,

得两个不相等的实特征根0和4,故其对应齐次方程的通解为x

e C C y 421+=.为了求得该

方程的一个特解,设Ax y =*代人原方程,得

054=--A ,45-

=A ,于是该方程的通解为x e C C y x

4

5421-+=. (3)这是二阶常系数线性非齐次方程,其对应齐次方程的特征方程为0442

=+-λλ,

得两个相等的实特征根2,故其对应齐次方程的通解为x

e x C C y 221)(+=.为了求得该方程的一个特解,设x

e

C Bx Ax x y 222)(*++=代人原方程,得12

1

=

A ,0=

B ,0=

C ,该方程的通解为x

x

e x e x C C y 2422112

1)(+

+=. (4)这是二阶常系数线性非齐次方程,其对应齐次方程的特征方程为022

=-+λλ,

得两个不相等的实特征根2-和1,故其对应齐次方程的通解为x

x e

C e C y 221-+=.为了求

得该方程的一个特解,设x B x A y 2sin 2cos *+=代人原方程,得 5

2-

=A ,5

6

-

=B ,于是该方程的通解为 x x e C e C y x x 2sin 5

6

2cos 52221--

+=-.

常微分方程期中考试题

常微分方程期中测试试卷(1) 一、填空 1 微分方程 ) (2 2= + - +x y dx dy dx dy n 的阶数是____________ 2 若 ) , (y x M和) , (y x N在矩形区域R内是) , (y x的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则 方程 ) , ( ) , (= +dy y x N dx y x M有只与y有关的积分因子的充要条件是 _________________________ 3 _________________________________________ 称为齐次方程. 4 如果 ) , (y x f___________________________________________ ,则 ) , (y x f dx dy = 存在唯 一的解 ) (x y? =,定义于区间h x x≤ - 0上,连续且满足初始条件 ) ( x y? = ,其中 = h_______________________ . 5 对于任意的 ) , ( 1 y x,) , ( 2 y x R ∈ (R为某一矩形区域),若存在常数)0 (> N N使 ______________________ ,则称 ) , (y x f在R上关于y满足利普希兹条件. 6 方程 2 2y x dx dy + = 定义在矩形区域R:2 2 ,2 2≤ ≤ - ≤ ≤ -y x上 ,则经过点)0,0(的解 的存在区间是 ___________________ 7 若 ) ,..... 2,1 )( (n i t x i = 是齐次线性方程的n个解,)(t w为其伏朗斯基行列式,则)(t w满足 一阶线性方程 ___________________________________ 8若 ) ,..... 2,1 )( (n i t x i = 为齐次线性方程的一个基本解组, )(t x为非齐次线性方程的 一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 _________________________ 9若 ) (x ?为毕卡逼近序列{})(x n?的极限,则有≤ -) ( ) (x x n ? ? __________________ 10 _________________________________________ 称为黎卡提方程,若它有一个特解 ) (x y,则经过变换___________________ ,可化为伯努利方程. 二求下列方程的解 1 3 y x y dx dy + = 2求方程 2 y x dx dy + = 经过 )0,0(的第三次近似解 3讨论方程 2 y dx dy = , 1 )1(= y的解的存在区间 4 求方程 1 ) (2 2= - +y dx dy 的奇解

常微分方程自学练习题

常微分方程自学习题及答案 一 填空题: 1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线. 2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y 1(x);y 2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________. 3 方程0'2''=+-y y y 的基本解组是_________. 4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间. 5 方程 21y dx dy -=的常数解是________. 6 方程0')('')(==+-x q x t p x t 一个非零解为 x 1(t) ,经过变换_______ 7 若4(t)是线性方程组X t A X )('=的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=___________. 8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________. 9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解. 10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________. 11 一阶线性方程)()('x q y x p y =+有积分因子(=μ ). 12 求解方程 y x dx dy /-=的解是( ). 13已知(0)()32 2 2 =+++dy x y x dx y x axy 为恰当方程,则a =____________. 14 ?????=+=0 )0(22y y x dx dy ,1:≤x R ,1≤y 由存在唯一性定理其解的存在区间是( ). 15方程0652 =+-??? ??y dx dy dx dy 的通解是( ). 16方程5 34 y x y dx dy =++?? ? ??的阶数为_______________. 17若向量函数)()();();(321x x x x n Y Y Y Y 在区间D 上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w (x)=____________. 18若P(X)是方程组Y =)(x A dx dy 的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________. 二 单项选择: 1 方程y x dx dy +=-31 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( ). (A)上半平面 (B)xoy 平面 (C)下半平面 (D)除y 轴外的全平面

常微分方程练习题及答案复习题)

常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 (线性、非线性)微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______,可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++,则此方程的系数α= ,β= ,γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的,则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 . 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2.求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4.用比较系数法解方程. . 5.求方程 sin y y x '=+的通解. 6.验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程,并求出它的通解.

《常微分方程》期末模拟试题

《常微分方程》模拟练习题及参考答案 一、填空题(每个空格4分,共80分) 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C (C 为任意常数) ,方程与通过点(2,3)的特解为 2 1=-y x ,与直线y=2x+3相切的解是 2 4=+y x ,满足条件3 3ydx =?的解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ,可将其化为变量可分离方程,其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程过点共有 无数 个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ,满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程 无 奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程 的奇解是 y=0 。 10、35323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。 12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ,该方程可化为一阶线性微分方程组 45?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 2 1d d y x y -=)1,2 (πx x y x y +-=d d y x y =d d

考研高数基础练习题及答案解析

考研高数基础练习题及答案解析 一、选择题: 1、首先讨论间断点: 1°当分母2?e?0时,x? 2x 2 ,且limf??,此为无穷间断点; 2ln2x? ln2x?0? 2°当x?0时,limf?0?1?1,limf?2?1?1,此为可去间断点。 x?0? 再讨论渐近线: 1°如上面所讨论的,limf??,则x? x? 2 ln2 2 为垂直渐近线; ln2 2°limf?limf?5,则y?5为水平渐近线。 x??? x???

当正负无穷大两端的水平渐近线重合时,计一条渐近线,切勿上当。 2、f?|x4?x|sgn?|x| sgn?|x|。可见x??1为可导点,x?0和x?3为不可导点。 2011智轩高等数学基础导学讲义——第2章第4页原文: f???|??|,当xi?yj时 为可导点,否则为不可导点。注意不可导点只与绝对值内的点有关。 ?x ,x?0? 设f??ln2|x|,使得f不存在的最小正整数n是 ? ,x?0?0 x?0 1 2 3 limf?f?0,故f在x?0处连续。 f’?lim x?0

f?f ?0,故f在x?0处一阶可导。 x?0 当x?0时,f’?? ? ?x12x’ ‘????223 ?ln?lnlnxsgnx ? 12 ,则limf’?f’?0,故f’在x?0处连续。?23x?0ln|x|ln|x|f’’?lim x?0 f’?f’ ??,故f在x?0处不二阶可导。 x?0 a b x?0 对?a,b?0,limxln|x|?0。这是我们反复强调的重要结论。 3、对,该函数连续,故既存在原函数,又在[?1,1]内

常微分方程期末试题B答案

2005——2006学年第二学期 常微分方程课程试卷(B) 一、填空题(每空2 分,共16分)。 1.李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件. 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二 维空间上的一条曲线. 3.线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个,其中R ∈ x,n R Y∈. 4.二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关. 5.方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6.变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7.性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W. 8.方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题(每小题3 分,共15分)。 9.两个不同的线性齐次微分方程组( D )的基本解组. (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10.方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是(D ). (A)稳定焦点(B)不稳定焦点(C)鞍点(D)不稳定结点11.方程x(y2-1)d x+y(x2-1)d y=0的所有常数解是( C ). (A) 1± = x(B)1± = y

(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12.n 阶线性非齐次微分方程的所有解( D ). (A )构成一个线性空间 (B )构成一个1-n 维线性空间 (C )构成一个1+n 维线性空间 (D )不能构成一个线性空间 13.方程4d d +-=x y x y ( A )奇解. (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有 三、计算题(每小题8分,共48分) 。 14.求方程 x y x y x y tan d d +=的通解 解:令x y u =,则u x u y '+=', u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时,等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15.求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解 解:积分因子21)(x x =μ, 则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程.取10=x ,00=y ,于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16.求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解 解:令 p y =',得到2 2 2x xp p y +-= (*) ,两端同时关于求导,

常微分方程期末考试练习题及答案

一,常微分方程的基本概念 常微分方程: 含一个自变量x,未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为:F(x,y,y,.....y(n))=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如:f(x)(3)+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f(x)使常微分方程两端恒等,则f(x)称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数(个数等于方程的阶数)的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F(t,x(3))=0的通解的形式为:x(t)=c1x(t)+c2x(t)+c3x(t)。 4.满足初值条件的解称为它的特解(特解不唯一,亦可能不存在)。 5.常微分方程之线性及非线性:对于F(x,y,y,......y(n))=0而言,如果方程之左端是y,y,......y(n)的一次有理式,则次方程为n阶线性微分方程。(方程线性与否与自变量无关)。如:xy(2)-5y,+3xy=sinx 为2阶线性微分方程;y(2)+siny=0为非线性微分方程。 注:a.这里主要介绍几个主要的,常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解,初值条件,初值问题等概念这里予以略去。另外,有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。 二.可分离变量的方程 A.变量分离方程

1.定义:形如 dx dy =f (x)φ(y)的方程,称为分离变量方程。这里f (x ),φ(x )分别是x ,y 的连续函数。 2.解法:分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. (*) 说明: a 由于(*)是建立在φ(y )≠0的基础上,故而可能漏解。需视情况补上φ(y )=0的特解。(有时候特解也可以和通解统一于一式中) b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。 例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解:由题意分离变量得:04 2=+-y dy x dx 即: 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之,得:c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为:cx y x =-4)4( (c 为任意常数),特 解y=0包含在通解中(即两者统一于一式中)。 *例2.若连续函数f (x )满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ,则f (x )是? 解:对给定的积分方程两边关于x 求导,得: )(2)('x f x f = (变上限求积分求导) 分离变量,解之得:x Ce x f 2)(= 由原方程知: f (0)=ln2, 代入上解析式得: C=ln2, B.可化为分离变量方程的类型。 解决数学题目有一个显而易见的思想:即把遇到的新问题,结合已知

高等数学微积分习题

《高等数学B(1)》教学大纲 二、课程描述 中文:高等数学B课程是我校经济、管理类学科各专业一门必修的重要基础理论课程,它能使学生获得微积分学方面的一些基本概念、基本理论和基本方法,并为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。 高等数学课程安排上下两个学期讲授,其主要内容包括:函数、极限与连续、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用、多元函数的微积分、无穷级数、常微分方程、差分方程等。 高等数学课程在传授知识的同时,将通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题的能力、逻辑推理能力和自学能力,并注重培养学生具有比较熟练的运算能力以及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。

湖南大学的高等数学课程是国家级精品课程,课程的教学团队是国家级教学团队。 英文:Course Description: Advanced Mathematics B is an important pubic basic compulsory course for the students majoring in economics or management at Hunan university.In this course, students will learn the basic concepts,basic theories and basic principles in the differential and integral calculus to obtain the necessary mathematics fundamentals for further courses or advanced mathematics studies. Advanced Mathematics B is lectured in two semesters,covering functions,limits and continuity,derivative and differential,the mean value theorem of differential calculus and the application of derivatives,indefinite integral,definite integral and its applications,calculus of multivariate functions,infinite series,ordinary differential equation,difference equation,etc. In this course,the professor not only imparts knowledge,but also cultivates a student’s ability to draw abstraction and generalization,to make logical reasoning and to study independently.This course also focuses on enhancing a student’s ability to achieve relatively proficient calculation and the ability to analyze and solve the problems with all knowledge in hand. Advanced Mathematics B in Hunan University is listed in China Excellent Courses, whose faculty is a national teaching team. 三、课程内容 (一)课程教学目标

(整理)常微分方程试题及参考答案

常微分方程试题 一、填空题(每小题3分,共39分) 1.常微分方程中的自变量个数是________. 2.路程函数S(t)的加速度是常数a,则此路程函数S(t)的一般形式是________. 3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数,作变量变换________,方程可化为变 量分离方程. 4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式 为x= (t),P=ψ(t),t为参数,则方程参数形式的通解为________. 5.方程=(x+1)3的通解为________. 6.如果函数f(x,y)连续,y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上,满 足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解. 7.方程=x2+xy,满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________. 8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0 中a i(t) i=1,2,…,n是〔a,b〕上的连续函数,又x1(t),x2(t),…,x n(t)为方程n 个线性无关的解,则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是:________. 9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________. 10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵,x1(t),x2(t),…,x n(t)是方程组 x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为:x(t)=________的形式. 11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之 等价的一阶方程组________. 12.如果A是3×3的常数矩阵,-2为A的三重特征值,则方程组x′=Ax的基 解矩阵exp A t=________. 13.方程组 的奇点类型是________. 二、计算题(共45分) 1.(6分)解方程 = . 2.(6分)解方程 x″(t)+ =0. 3.(6分)解方程 (y-1-xy)dx+xdy=0. 4.(6分)解方程

最新常微分方程期末考试题大全(东北师大)

证明题: 设()x f 在[)+∞,0上连续,且()b x f x =+∞ →lim ,又0>a ,求证:对于方程 ()x f ay dx dy =+的一切解()x y ,均有()a b x y x =+∞→lim 。 证明 由一阶线性方程通解公式,方程的任一解可表示为 ()()?? ????+=?-x at ax dt e t f C e x y 0, 即 ()()ax x at e dt e t f C x y ?+= 。 由于b x f x =+∞ →)(lim ,则存在X ,当X x >时,M x f >)(。因而 ()dt e M dt e t f dt e t f x X at X at x at ??? +≥0 )( ())(0 aX ax X at e e a M dt e t f -+ = ? , 由0>a ,从而有()∞=?? ????+?+∞→x at x dt e t f C 0lim ,显然+∞=+∞ →ax x e lim 。 应用洛比达法则得 ()()ax x at x x e dt e t f C x y ?+=+∞ →+∞ →0 lim lim ()ax ax x ae e x f +∞→=lim ()a b a x f x ==+∞ →lim 。 证明题:线性齐次微分方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解,其中)(t A 是定义在区间b t a ≤≤上的n n ?的连续矩阵函数。 证 要证明方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解,首先要证明它有n 个线性无关的解,然后再证明任意1+n 个解都线性相关。

常微分方程习题及答案.[1]

第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1.任意微分方程都有通解。( ) 2.微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3.函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4.函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5.微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2 ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6.y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7.xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8.052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9. 2 2 1xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1.在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2.x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3.x e y 2-=''的通解是 。 4.x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5.124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6.微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。

7.x y 1 =所满足的微分方程是 。 8.x y y 2='的通解为 。 9. 0=+ x dy y dx 的通解为 。 10. ()25 11 2+=+- x x y dx dy ,其对应的齐次方程的通解为 。 11.方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12.3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1.微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A .3 B .4 C .5 D . 2 2.微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A .3 B .5 C .4 D . 2 3.下列函数中,哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A .x y 2= B .2x y = C .x y 2-= D . x y -= 4.微分方程32 3y y ='的一个特解是( )。 A .13+=x y B .()3 2+=x y C .()2 C x y += D . ()3 1x C y += 5.函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A .0=+'y y B .02=+'y y C .0=+y y n D . x y y cos =+'' 6.x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( ),其中1C ,2C 为任意常数。 A .通解 B .特解 C .是方程所有的解 D . 上述都不对 7.y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A .1+=x e y B .x e y 2= C .22x e y ?= D . x e y ?=3 8.微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A .x a y sin *= B .x a y cos *?=

常微分方程练习题

常微分方程练习题 §1 一阶常微分方程 1.求下列微分方程的通解: (1))(22y y y x y '+='-; (2)0)4(2=-+dy x x ydx ; (3)0)2()2(2222=-++-+dy x xy y dx y xy x ; (4)x y x y y x tan =-'; (5)2122??? ? ??-++='y x y y ; (6)0)2(=-+dy y xe dx e y y ; (7)0)cos sin 3()1cos (222=-+-dy y y x y dx y x ; (8)0)(4223=+++dy y x y ydy xdx ; (9)0)()(2=++-dy x y dx xy x ; (10)22x xe xy y -=+'; (11)x x e x y y x 1 22-=-'; (12)02)6(2=+'-y y x y ; (13)x y y y y y -+='ln 2; (14)0)(24=-+dy x y xydx ; (15)x y x x y y =-+'1 41 2; (16)0]1)[ln(=--'xy y y x ; (17)0cos 232=+-'x x y y xy ;

(18)212 22sin 22sin 1x e y x y y x ++='+; (19)02)1(322=+'-xy y y x ; (20)y y x y x ++='22)(。 2.求下列微分方程的特解: (1)ydy x xdx y ln ln =,11==x y ; (2)x y x y y tan +=',6 1π==x y ; (3)022=---'x y y y x ,11==x y ; (4)0) ()2(2=+++y x ydy dx y x ,10==x y ; (5)0)1(2=---dx x ydx xdy ,01==x y ; (6)x x y x y 2cos sin cos =+',10==x y ; (7)0tan )sin (=+-ydx dy y x ,61π==x y ; (8)0)cos 1(cos sin ln =-+'y x y y x y x ,π==1x y 。 3. 试确定具有连续导数的一元函数?,它满足2)0(-=?,使得 0)(]tan )(2[sin =+-dy x ydx x x x ?? 是全微分方程,并求此全微分方程的通解。 4.试确定在),0(∞+具有连续导数的一元函数?,它满足 ?+=?? ? ??-x x dt t t t t 121)()(ln )(???。 5.有一曲线)(x f y =(0)(>x f ),它通过)1,1(点,且该曲线在],1[x 上所形成的曲边梯形的面积等于22-y x ,其中)(x f y =。求)(x f 。 6.设),(y x u 具有二阶连续导数,且不恒等于0。证明)()(),(y g x f y x u =的充要条件为y u x u y x u u ????=???2。

2018常微分方程考研复试真题及答案

常微分方程计算题 2.指出下列方程中的阶数,是线性方程还是非线性方程,并说明理由; (1) t 2 2 2dt u d +t dt du +( t 2 -1)u=0 (2) dx dy =x 2+y 2 ; (3)dx dy + 2 x y =0 3.求曲线族y=C 1e x +C 2x e x 所满足的微分方程 4.验证函数y= C 1e x 2+ C 2e x 2-是微分方程y `` -4y=0的解,进一步验证它是通解。 5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程dx dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程 7.什么是求解常微分方程的初等积分法 8.分离变量一阶方程的特征是什么 9.求下列方程的通解 (1) y ` =sinx (2) x 2 y 2 y ` +1=y (3) tgx dx dy =1+y (4) dx dy =exp(2x-y) (5) dx dy =21y 2- (6) x 2 ydx=(1- y 2 +x-2 x 2 y 2 )dx (7)( x 2 +1)( y 2 -1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义 11.试给出一阶方程y ` =f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二

个方程的关系。 12.求解齐次方程通常用什么初等变换,新旧函数导数关系如何 13.求解下列方程 dx dy =2 22y x xy - 14.求解下列方程 (1)(x+2y )dx —xdy=0 (2) dx dy =x y +y x 2 15. dx dy =22y x xy + 16(x 2 +y 2 )dx —2xydy=0 17. dx dy =5 242+---y x x y 18―――――19 20―――――――27

常微分方程习题集

《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程,称为变量分离方程, 这里.分别为的连续函数。 2、形如-的方程,称为伯努利方程, 这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上 关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程,称为 欧拉方程,这里 5、设的某一解,则它的任一解 - 。 二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程 三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x= ,在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax(A为nn常数矩阵)的标准基解矩阵(即(0)=E),证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题2

一、填空题:(30%) 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项,则曲线所满足的 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解,则与线性无关的另一 10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是. 二、求下列微分方程的通解:(40%) 1、 2、 3、 4、 5、求解方程. 三、求初值问题的解的存在区间,并求第二次近似解,给出在解的存在区间的误差估计. (10分)

四、求解微分方程组 满足初始条件的解. (10%) 五、证明题:(10%) 设,是方程 的解,且满足==0,,这里在上连续,.试证明:存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题3 1.辨别题 指出下列方程的阶数,是否是线性方程:(12%) (1)(2)(3) (4)(5)(6) 2、填空题(8%) (1).方程的所有常数解是___________. (2).若y=y1(x),y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解,则用这两个解可把其通解表示为________________. (3).若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程,同它的通积分是 ________________. (4).设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点,过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%) (1).方程是().

常微分方程应用题和答案

应 用 题(每题10分) 1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零,又()f x '存在并对任意,x y 恒有 ()()()f x y f x f y +=,求()f x 。 2、设()()()F x f x g x =,其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件 ()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+= (1)求()F x 所满足的一阶微分方程; (2)求出()F x 的表达式。 3、已知连续函数()f x 满足条件320 ()3x x t f x f dt e ??=+ ??? ?,求()f x 。 4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导,()0,lim ()1x f x f x →+∞ >=,且满足 1 1 0()lim ()h x h f x hx e f x →? ?+ ?= ? ?? ? ,求()f x 。 5、设函数()f x 在(0,)+∞内连续,5 (1)2 f =,且对所有,(0,)x t ∈+∞,满足条件 1 1 1 ()()()xt x t f u du t f u du x f u du =+? ??,求()f x 。 6、求连续函数()f x ,使它满足10 ()()sin f tx dt f x x x =+?? 。 7、已知可微函数()f t 满足 31() ()1()x f t dt f x t f t t =-+?,试求()f x 。 8、设有微分方程 '2()y y x ?-=, 其中21 ()01x x x ?? 。试求在(,)-∞∞内的连续函 数()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞内部满足所给方程,且满足条件(0)0y =。 9、设位于第一象限的曲线()y f x = 过点122?? ? ? ?? ,其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ,且线段PQ 被x 轴平分。 (1)求曲线()y f x =的方程; (2)已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ,试用l 表示曲线()y f x =的弧长s 。 10、求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =,使得由曲线()y y x =与直线 1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。 11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为

常微分方程末考试试卷

常微分方程期末考试试卷 学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______ 一. 填空题 (30分) 1.)()(x Q y x P dx dy += 称为一阶线性方程,它有积分因子 ? -dx x P e )( ,其通解为 _________ 。 2.函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件,如果 _______ 。 3. 若)(x ?为毕卡逼近序列{})(x n ?的极限,则有)()(x x n ??-≤ ______ 。 4.方程22y x dx dy +=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上,则经过点(0,0)的解的存在区间是 _______ 。 5.函数组t t t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 _______ 。 6.若),,2,1)((n i t x i K =为齐线性方程的一个基本解组,)(t x - 为非齐线性方 程的一个特解,则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。 7.若)(t Φ是x t A x )('=的基解矩阵,则向量函数)(t ?= _______是 )()('t f x t A x +=的满足初始条件0)(0=t ?的解;向量函数)(t ?= _____ 是)()('t f x t A x +=的满足初始条件η?=)(0t 的解。 8.若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,21Λ,它们对应的特征值分别为n λλλΛ,,21,那么矩阵)(t Φ= ______ 是常系数线性方程组 Ax x ='的一个基解矩阵。 9.满足 _______ 的点),(**y x ,称为驻定方程组。 二. 计算题 (60分) 10.求方程0)1(24322=-+dy y x dx y x 的通解。

最新常微分方程及其应用

常微分方程及其应用

第5章常微分方程及其应用 习题5.2 1.求下列各微分方程的通解: (1)?Skip Record If...?;(2)?Skip Record If...?; (3)?Skip Record If...?;(4)?Skip Record If...?; (5)?Skip Record If...?;(6)?Skip Record If...?. 2.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解: (1)?Skip Record If...?,?Skip Record If...?;(2)?Skip Record If...?,?Skip Record If...?; (3)?Skip Record If...?,?Skip Record If...?;(4)?Skip Record If...?,?Skip Record If...?; (5)?Skip Record If...?,?Skip Record If...?;(6)?Skip Record If...?,?Skip Record If...?. 5.3 可降阶微分方程及二阶常系数线性微分方程 案例引入求微分方程?Skip Record If...?的通解. 解两边积分,得?Skip Record If...? 两边再积分,得?Skip Record If...? 所以,原方程的通解为?Skip Record If...?,其中?Skip Record If...?为任意常数. 5.3.1 可降阶微分方程 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢20

1. 形如?Skip Record If...?的微分方程 特点:方程右端为已知函数?Skip Record If...?. 解法:对?Skip Record If...?连续积分?Skip Record If...?次,即可得含有 ?Skip Record If...?个任意常数的通解. 2. 形如?Skip Record If...?的微分方程 特点:方程右端不显含未知函数?Skip Record If...?. 解法:令?Skip Record If...?,则?Skip Record If...?.于是,原方程可化为?Skip Record If...?.这是关于?Skip Record If...?的一阶微分方程.设其通解为?Skip Record If...?,即?Skip Record If...?.两边积分,即可得原方程通解?Skip Record If...?,其中?Skip Record If...?为任意常数. 3. 形如?Skip Record If...?的微分方程 特点:方程右端不显含自变量?Skip Record If...?. 解法:令?Skip Record If...?,则?Skip Record If...?.于是,原方程可化为?Skip Record If...?.这是关于?Skip Record If...?的一阶微分方程.设其通解为?Skip Record If...?,即 ?Skip Record If...?.分离变量,得?Skip Record If...?.然后两边积分,即可得原方程通解 ?Skip Record If...?,其中?Skip Record If...?为任意常数.例5-7求微分方程?Skip Record If...?的通解. 解两边积分,得?Skip Record If...? 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢20

(完整版)常微分方程期末考试试卷(6)

常微分方程期末考试试卷(6) 学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______ 一. 填空题 (共30分,9小题,10个空格,每格3分)。 1.当_______________时,方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程,或称全 微分方程。 2、________________称为齐次方程。 3、求dx dy =f(x,y)满足00)(y x =?的解等价于求积分方程____________________的连续解。 4、若函数f(x,y)在区域G 内连续,且关于y 满足利普希兹条件,则方程),(y x f dx dy = 的解 y=),,(00y x x ?作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。 5、若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解,则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。 6、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一个基本解组。 7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵,则expAt =____________。 8、满足___________________的点(**,y x ),称为方程组的奇点。 9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时,则当其实部________时,零解是稳定 的,对应的奇点称为___________。 二、计算题(共6小题,每题10分)。 1、求解方程:dx dy =3 12+++-y x y x 2.解方程: (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0

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