浙江省绍兴一中高三数学回头考试试题 理
一、选择题：(本大题共10小题，每小题3分，共30分)。 1．已知复数z ，映射zi z f →:，则i 32+的原象是（ ） A ．i 23- B ．i 32- C ．i 23+ D ．i 32+
2．已知角α的终边上一点的坐标为22(sin
,cos ),33
ππ
则角α的最小正值为（ ） A ．23π B ．56π C ．53π D ．116
π
3．如果n x
x )23(32
-的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值为（ ）
A ．3
B ．5
C ．6
D ．10
4．集合{}
R x x y y M ∈-==,12，集合{}
R x x y x N ∈-==,92，则=?N M （ ）
A ．{}31≤≤-t t
B ．{}
30≤≤t t C ．(
)(
){}
1,2,
1,2-
D ．φ
5．命题甲：22,2,211x x x
-??
?
??成等比数列；命题乙：)3lg(,)1lg(,lg ++x x x 成等差数列；则甲是
乙的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．设函数???<+≥+-=0
,60
,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）
A ．),3()1,3(+∞?-
B ．),2()1,3(+∞?-
C ．),3()1,1(+∞?-
D ． )3,1()3,(?--∞
7．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，
[,,(0,1)]a b c ∈，已知他投篮一次得分的期望是2，则
b
a 31
2+的最小值为（ ）
A ．
3
32 B ．
3
28 C ．
314 D ．3
16 8．若实数x ，y 满足不等式组330,
230,10,x y x y x my +-≥??
--≤??-+≥?
且x y +的最大值为9，则实数m =
( )
A ．2-
B ． 1-
C ．1
D ． 2
9. 已知点P 的双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 右支
上一点，1F 、2F 分别为双曲线的左、右焦点，I 为 △21F PF 的内心，若2121F IF IPF IPF S S S ???+=λ成立， 则λ的值为（ ）
A ．a b a 222+
B ．b a
C ．a b
D ．22b
a a +
10．设函数2()(0)f x ax bx c a =++<的定义域为D ，若所有点))(,(t f s ),(D t s ∈构成一个正方形区域，则a 的值为（ ）
A ．2-
B ．4-
C ．6-
D ．8-
二、填空题:(本大题共7小题，每小题3分，共21分)． 11．幂函数3
222
)1()(--?--=m m
x m m x f 在),0(+∞∈x 上是减函数，则实数m = ；
12．.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为 ；
13．如右图给出的是计算
20
1614121+???+++的 值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件
是 ；
14．直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===，120BAC ∠=，则此球的表面积等于 ；
15．为参加2012年伦敦奥运会，某旅游公司为三个旅游团提供了d c b a ,,,四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，则选择a 线路旅游团数ξ的数学期望=ξE ；
16．当02
x π
<<时，函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值为________．
17．已知O 是△ABC 的外心，2=AB ，1=AC ，
120=∠BAC .设=，=,若
n m +=，则=-n m ．
三、解答题:．（本大题共49分）
18．（本题满分9分）已知函数1cos sin 3cos )(2
+-
=x x x x f ．
（Ⅰ）求函数
)(x f 的单调递增区间；
（Ⅱ）若65)(=θf ，)3
π
23π(，∈θ，求θ2sin 的值；
19．（本题满分9分）已知等比数列}{n a 满足13223a a a +=，且32a +是2a 与4a 的等差中项； （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）若2log n n n b a a =-，12n n S b b b =++
+，
求使不等式1
2470n n S +-+<成立的n 的最小值；
20．（本小题满分9分）平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=，且0
45BAD ∠=，以
BD 为折线，把ABD ?折起，使平面ABD CBD ⊥平面，连AC 。 （Ⅰ）求证：AB DC ⊥ （Ⅱ）求二面角B-AC-D 平面角的大小； （Ⅲ）求四面体ABCD 外接球的体积。
21．（本小题满分10分）已知,MA MB 是曲线C ：2
4
x y =的两条切线，其中,A B 是切点，
（I ）求证：,,A M B 三点的横坐标成等差数列；
（II ）若直线AB 过曲线C 的焦点F ，求MAB ?面积的最小值；
22．（本小题满分12分）设函数2
()(3),x
f x x x m e -=++?（其中m R ∈，e 是自然对数的底数） （I ）若3,()(0,(0))m y f x f ==求曲线在点处的切线方程； （II ）若函数()(,0)f x -∞在上有两个极值点。 ①求实数m 的范围； ②证明()f x 的极小值大于e 。
2012届高三数学理科回头考答案
三、解答题：本大题共5小题，共49分。
18．（本题满分9分）解：（Ⅰ）1cos sin 3cos )(2+-=x x x x f
12sin 23
22co 1+-+=
x x s 2
3)32cos(++=πx ． …3分 由πππ
ππ223
22+≤+
≤+k x k ，得6
53
π
ππ
π+
≤≤+
k x k （Z k ∈）． ∴函数)(x f 的单调递增区间是]6
5,3
[π
ππ
π+
+k k （Z k ∈）
． …5分
（Ⅱ）∵65)(=
θf ， ∴6523)32cos(=++πx ， 3
2
)32cos(-=+πθ． ∵??
?
??∈323ππθ，，∴)35,(32πππθ∈+， 35)32(cos 1)32(sin 2-=+--=+πθπθ．…7分
∴)32cos(23)32sin(21)3
3
2sin(2sin π
θπθπ
π
θθ+-+=
-
+
=6
532-=
． …9分 19．（本题满分9分）解：（1）设等比数列}{n a 的首项为1a ，公比为q ，
则有211(2)3a q a q += ① 32
11()24a q q a q +=+ ②
由①得：2
320q q -+=，解得 2q =或 1q =（不合题意舍去）
当2q =时，代入②得：12a =； 所以1222n n
n a -=?= …4分
（2）2log 2n
n n n b a a n =-=- 所以23
2122232n n S n =-+-+-+
+-23(2222)(123)n n =++++-+++
+
122(12)
(1)11
2212222
n n n n n n +-+=
-=---- …7分 因为12470n n S +-+< 代入得2
900n n +->， 解得9n >或10n <-（舍去）
所以所求n 的最小值为10 …9分
20（本题满分9分）（1）解：在ABD ?中，
22202cos 454,2BD AB AD AB AD BD =+-?=?=， 易得AB BD ⊥，
面ABD ⊥面BDC ∴AB ⊥面BDC ∴AB DC ⊥ …3分
在四面体ABCD 中，以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，过D 垂直于平面BDC 的射线为z 轴，建立如图空间直角坐标系。
则D （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0），A （2，0，2）
（2）设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =，而(0,0,2),(2,2,0)BA BC ==-，
由00
n BA n BC ??=???=??得：20220z x y =??-+=?，取(1,1,0)n = 。
再设平面DAC 的法向量为(,,)m x y z =，而(2,0,2),(0,2,0)DA DC ==，
由0
m DA m DC ??=???=??得：22020x z y +=??=?，取(1,0,1)m =-，
所以1
cos ,2
||||n m n m n m ?<>=
=?，所以二面角B-AC-D 的大小是060 …7分
（3）……由于,ABC ADC ??均为直角三角形，故四面体ABCD 的外接球球心在AD 中点，
又23AC =，所以球半径3R =，得34
433
ABCD V R ππ== 。 …9分
21．（1）证明：1
2
y x '=
，设11(,)A x y 、22(,)B x y ； 直线MA 的方程为1111()2y y x x x -=- ① 直线MB 的方程为2221
()2
y y x x x -=- ②
①-②得：点M 的横坐标12
2
x x x +=，所以 点,,A M B 的横坐标成等差数列；…4分
（2）焦点F 的坐标为（0，1），显然直线AB 的斜率是存在的； 设直线AB 的方程为1y kx =+
将直线AB 的方程代入214
y x =得：2
440x kx --= （0?>恒成立）
24(1)AB k =+，且2M x k = 又由①②得：121
14
M y x x ==-
，从而点M 到直线AB 的距离221d k =+， …8分
3
22
4(1)4MAB S k ?=+≥ 当且仅当0k =时取等号；
故MAB ?面积的最小值为4 …10分