人教a版必修4学案：1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(2)(含答案)

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)

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知识梳理

自主探究

正弦曲线与余弦曲线都既是轴对称图形又是中心对称图形，那么：

(1)正弦函数y ＝sin x 的对称轴方程是______________，对称中心坐标是______________．

(2)余弦函数y ＝cos x 的对称轴方程是______________，对称中心坐标是______________．

对点讲练

知识点一 求正、余弦函数的单调区间

例1 求函数y ＝sin ???

?π

3－2x 的单调递减区间．

回顾归纳 求y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．

变式训练1 求函数y ＝2cos ????

π4－x 2的单调增区间．

知识点二 比较三角函数值的大小

例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．

(1)sin 196°与cos 156°；(2)sin 1，sin 2，sin 3.

回顾归纳 用正弦函数和余弦函数的单调性来比较大小时，应先将异名化同名，再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．

变式训练2 比较下列各组数的大小．

(1)cos 870°，cos 890°；(2)sin ????－37π6，sin 49π3

.

知识点三 正、余弦函数的最值问题

例3 已知函数f (x )＝2a sin ????2x －π3＋b 的定义域为???

?0，π

2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．

回顾归纳 此类问题应特别注意正、余弦函数值域的有界性，即当x ∈R 时，－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1，另外还应注意定义域对值域的影响．

变式训练3 若函数y ＝a －b cos x (b >0)的最大值为32，最小值为－1

2

，求函数y ＝－4a cos

bx 的最值和最小正周期．

1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)单调区间的方法是：

把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π

2

(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间

即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π

2

(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若

ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．

2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．

3．求三角函数值域或最值的常用求法

(1)将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函数的单调性等来确定y 的范围．

(2)将sin x 或cos x 用所求变量y 来表示，如sin x ＝f (y )，再由|sin x |≤1，构建关于y 的不等式|f (y )|≤1，从而求得y 的取值范围.

课时作业

一、选择题

1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

2．函数y ＝sin ???

?x －π

2 (x ∈k )在( ) A ．[0，π]上是增函数 B.????－π2，π

2上是增函数 C ．[0，π]上是减函数 D.????－π2，π

2上是减函数 3．当－π2≤x ≤π

2

时，函数f (x )＝2sin ????x ＋π3有( ) A ．最大值为1，最小值为－1

B ．最大值为1，最小值为－1

2

C ．最大值为2，最小值为－2

D ．最大值为2，最小值为－1

4．函数y ＝sin(x ＋φ)的图象关于y 轴对称，则φ的一个取值是( ) A.π2 B ．－π4

C ．π B ．2π 5．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )

A.[]－1，1

B.???

?－5

4，－1 C.????－54，1 D.?

???－1，54

二、填空题

6．函数y ＝sin(π＋x )，x ∈????－π

2，π的单调增区间是________________． 7．函数y ＝log 1

2

(1＋λcos x )的最小值是－2，则λ的值是________．

8．函数y ＝－cos 2x ＋cos x (x ∈R )的值域是________．

三、解答题

9．求下列函数的单调增区间．

(1)y ＝1－sin x 2； (2)y ＝log 1

2

(cos 2x )．

10．求下列函数的值域．

(1)y ＝1－2cos 2x ＋2sin x ； (2)y ＝2－sin x

2＋sin x

.

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)

答案

(1)x ＝k π＋π

2

(k ∈Z ) (k π，0) (k ∈Z )

(2)x ＝k π (k ∈Z ) ?

???k π＋π

2，0 (k ∈Z ) 对点讲练

例1 解 由已知函数为y ＝－sin ?

???2x －π

3，则欲求函数的单调递减区间，只需求y ＝sin ?

???2x －π

3的单调递增区间． 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π

2＋2k π (k ∈Z )，

解得－π12＋k π≤x ≤5π

12

＋k π (k ∈Z )．

∴函数的单调递减区间为????－π12＋k π，5π

12＋k π (k ∈Z )． 变式训练1 解 y ＝2cos ????

π4－x 2

＝2cos ????x 2－π4.

由2k π－π≤x 2－π

4≤2k π，k ∈Z ，

解得2k π－3π4≤x 2≤2k π＋π

4，k ∈Z .

即4k π－3π2≤x ≤4k π＋π

2

，k ∈Z ，

∴函数的单调增区间是?

??4k π－3π2，4k π＋π

2 (k ∈Z )． 例2 解 (1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°<16°<66°<90°，∴sin 16°

从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.

(2)∵1<π

2

<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，

sin(π－3)＝sin 3.

0<π－3<1<π－2<π

2

且y ＝sin x 在????0，π2上递增， ∴sin(π－3)

变式训练2 解 (1)cos 870°＝cos(2×360°＋150°)＝cos 150°， cos 890°＝cos(2×360°＋170°)＝cos 170°， ∵余弦函数y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴cos 150°>cos 170°，即cos 870°>cos 890°.

(2)sin ????－37π6＝sin ????－6π－π6＝sin ???

?－π6， sin 49π3＝sin ????16π＋π3＝sin π3

， ∵正弦函数y ＝sin x 在???

?－π2，π

2上是增函数， ∴sin ????－π6

. 例3 解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π

3，

∴－3

2

≤sin ????2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1， f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.

由??? 2a ＋b ＝1

－3a ＋b ＝－5，解得???

a ＝12－63

b ＝－23＋123

. 当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1， f (x )min ＝2a ＋b ＝－5.

由??? －3a ＋b ＝1

2a ＋b ＝－5，解得?

??

a ＝－12＋63

b ＝19－123. 变式训练3 解 ∵y ＝a －b cos x (b >0)，

∴y max ＝a ＋b ＝32，y min ＝a －b ＝－1

2.

由?

??

a ＋

b ＝3

2a －b ＝－12

，解得?????

a ＝12

b ＝1.

∴y ＝－4a cos bx ＝－2cos x ， ∴y max ＝2，y min ＝－2，T ＝2π. 课时作业 1．C 2.A

3．D [∵－π2≤x ≤π2，∴－π6≤x ＋π3≤5π

6.

∴当x ＋π3＝－π6，即x ＝－π

2时，f (x )有最小值－1.

当x ＋π3＝π2，即x ＝π

6

时，f (x )有最大值2.]

4．A [若y ＝sin(x ＋φ)的图象关于y 轴对称．