2019届高考数学一轮复习：《正弦定理和余弦定理》教学案(含解析)

第七节正弦定理和余弦定理

[知识能否忆起]

1．正弦定理

2．余弦定理

3．三角形中常用的面积公式

(1)S＝1

2

ah(h表示边a上的高)；

(2)S＝1

2

bcsin A＝

1

2

acsin B＝

1

2

absin C；

(3)S＝1

2

r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．

[小题能否全取]

1．(2018·广东高考)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝( )

A ．4 3

B ．2 3 C. 3

D.32

解析：选B 由正弦定理得：

BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝323

2

×2

2＝2 3. 2．在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60°

D ．75°

解析：选C ∵cos A ＝b 2

＋c 2

－a 2

2bc ＝1＋4－32×1×2＝1

2，

又∵0°

3．(教材习题改编)在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有( ) A ．无解

B ．两解

C ．一解

D ．解的个数不确定

解析：选B ∵a sin A ＝b

sin B ，

∴sin B ＝b a sin A ＝24

18sin 45°，

∴sin B ＝

22

3

. 又∵a

4．(2018·陕西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c.若a ＝2，B ＝π

6，c ＝23，则b

＝________.

解析：由余弦定理得b 2

＝a 2

＋c 2

－2accos B ＝4＋12－2×2×23×3

2

＝4，所以b ＝2. 答案：2

5．△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 解析：设BC ＝x ，由余弦定理得49＝25＋x 2

－10xcos 120°， 整理得x 2

＋5x －24＝0，即x ＝3.

因此S △ABC ＝12AB×BC×sin B＝12×3×5×32＝153

4.

答案：1534

(1)在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A>B ?a>b ?sin A>sin B.

(2)在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：

典题导入

[例1] (2018·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsin A ＝3acos B. (1)求角B 的大小；

(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值． [自主解答] (1)由bsin A ＝3acos B 及正弦定理 a sin A ＝b

sin B

，得sin B ＝3cos B ， 所以tan B ＝3，所以B ＝π

3.

(2)由sin C ＝2sin A 及

a sin A ＝c

sin C

，得c ＝2a. 由b ＝3及余弦定理b 2

＝a 2

＋c 2

－2accos B ， 得9＝a 2

＋c 2

－ac. 所以a ＝3，c ＝2 3.

在本例(2)的条件下，试求角A 的大小． 解：∵

a sin A ＝b

sin B ， ∴sin A ＝asin B

b

＝3·sin π33

＝12

. ∴A ＝π6

.

由题悟法

1．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．

2．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．

以题试法

1．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，asin Asin B ＋bcos 2

A ＝2a. (1)求b a

；

(2)若c 2

＝b 2

＋3a 2

，求B. 解：(1)由正弦定理得，

sin 2

Asin B ＋sin Bcos 2

A ＝ 2sin A ，即 sin B(sin 2

A ＋cos 2

A)＝2sin A. 故sin B ＝ 2sin A ，所以b

a ＝ 2.

(2)由余弦定理和c 2

＝b 2

＋3a 2

，得cos B ＝＋32c

.

由(1)知b 2

＝2a 2

，

故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2

B ＝12，

又cos B>0，故cos B ＝2

2

，所以B ＝45°.

典题导入

[例2] 在△ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asin A ＝(2b ＋c)sin B ＋(2c ＋b)sin C. (1)求A 的大小；

(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．

[自主解答] (1)由已知，根据正弦定理得2a 2

＝(2b ＋c)·b＋(2c ＋b)c ，即a 2

＝b 2

＋c 2

＋bc. 由余弦定理得a 2

＝b 2

＋c 2

－2bccos A ， 故cos A ＝－1

2，∵0

(2)由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2

C ＋sin Bsin C ＝34.

又sin B ＋sin C ＝1， 解得sin B ＝sin C ＝1

2

.

∵0°

∴△ABC 是等腰的钝角三角形．

由题悟法

依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：

(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；

(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．

[注意] 在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．

以题试法

2．(2018·安徽名校模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(4，－1)，n ＝? ??

??cos 2A 2，cos 2A ，且m·n＝72.

(1)求角A 的大小；

(2)若b ＋c ＝2a ＝23，试判断△ABC 的形状．

解：(1)∵m ＝(4，－1)，n ＝? ??

??cos 2A 2，cos 2A ，

∴m·n＝4cos 2A 2－cos 2A ＝4·1＋cos A 2－(2cos 2A －1)＝－2cos 2

A ＋2cos A ＋3.

又∵m·n＝7

2

，

∴－2cos 2

A ＋2cos A ＋3＝72，

解得cos A ＝1

2.

∵0

π3

. (2)在△ABC 中，a 2

＝b 2

＋c 2

－2bccos A ，且a ＝3， ∴(3)2＝b 2＋c 2－2bc·12＝b 2＋c 2

－bc.①

又∵b ＋c ＝23，

∴b ＝23－c ，代入①式整理得c 2

－23c ＋3＝0，解得c ＝3，∴b ＝ 3，于是a ＝b ＝c ＝ 3，即△ABC 为等边三角形．

典题导入

[例3] (2018·新课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，acos C ＋3asin C －b －c ＝0.

(1)求A ；

(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c.

[自主解答] (1)由acos C ＋3asin C －b －c ＝0及正弦定理得sin Acos C ＋3sin Asin C －sin B －sin C ＝0.

因为B ＝π－A －C ，

所以3sin Asin C －cos Asin C －sin C ＝0.

由于sin C≠0，所以sin ?

????A －π6＝1

2.

又0＜A ＜π，故A ＝π

3

.

(2)△ABC 的面积S ＝1

2bcsin A ＝3，故bc ＝4.

而a 2

＝b 2

＋c 2

－2bccos A ，故b 2

＋c 2

＝8. 解得b ＝c ＝2.

由题悟法

1．正弦定理和余弦定理并不是孤立的．解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用． 2．在解决三角形问题中，面积公式S ＝12absin C ＝12bcsin A ＝1

2acsin B 最常用，因为公式中既有边也有角，

容易和正弦定理、余弦定理结合应用．

以题试法

3．(2018·江西重点中学联考)在△ABC 中，12cos 2A ＝cos 2

A －cos A.

(1)求角A 的大小；

(2)若a ＝3，sin B ＝2sin C ，求S △ABC .

解：(1)由已知得12(2cos 2A －1)＝cos 2

A －cos A ，

则cos A ＝12.因为0

3.

(2)由b sin B ＝c sin C ，可得sin B sin C ＝b

c ＝2，

即b ＝2c.

所以cos A ＝b 2

＋c 2

－a 2

2bc ＝4c 2

＋c 2

－94c 2

＝12， 解得c ＝3，b ＝23，

所以S △ABC ＝12bcsin A ＝12×23×3×32＝33

2

.

1．在△ABC 中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，条件“acos B”成立的( ) A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C acos B.

2．(2018·泉州模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝π

3

，b＝1，△ABC的面积为

3

2

，则a的值为( )

A．1 B．2

C.

3

2

D. 3

解析：选 D 由已知得1

2

bcsin A＝

1

2

×1×c×sin

π

3

＝

3

2

，解得c＝2，则由余弦定理可得a2＝4＋1－

2×2×1×cos π

3

＝3?a＝ 3.

3．(2018·“江南十校”联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝23，c＝22，

1＋tan A

tan B

＝

2c

b

，则C＝( )

A．30° B．45°

C．45°或135° D．60°

解析：选B 由1＋

tan A

tan B

＝

2c

b

和正弦定理得

cos Asin B＋sin Acos B＝2sin Ccos A，

即sin C＝2sin Ccos A，

所以cos A＝

1

2

，则A＝60°.

由正弦定理得

23

sin A

＝

22

sin C

，

则sin C＝

2

2

，

又c

4．(2018·陕西高考)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最

小值为( )

A.

3

2

B.

2

2

C.1

2

D．－

1

2

解析：选C 由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos C，又c2＝1

2

(a2＋b2)，得2abcos C＝

1

2

(a2＋b2)，即cos C＝

a2＋b2 4ab ≥

2ab

4ab

＝

1

2

.

5．(2018·上海高考)在△ABC中，若sin2 A＋sin2B

C．钝角三角形D．不能确定

解析：选C 由正弦定理得a 2

＋b 2

，所以cos C ＝a 2＋b 2－c

2

2ab

<0，所以C 是钝角，故△ABC 是钝角三角形．

6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c.若b ＝2asin B ，则角A 的大小为________． 解析：由正弦定理得sin B ＝2sin Asin B ，∵sin B≠0， ∴sin A ＝1

2，∴A ＝30°或A ＝150°.

答案：30°或150°

7．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，A ＝

π

3

，则C 的大小为________． 解析：由正弦定理可知sin B ＝bsin A

a

＝3sin π3

3＝12，所以B ＝π6或5π6

(舍去)，所以C ＝π－A －B ＝π－π3－π6＝π

2

. 答案：π

2

8．(2018·北京西城期末)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若b ＝25，B ＝π

4，sin C

＝

5

5

，则c ＝________；a ＝________. 解析：根据正弦定理得b sin B ＝c sin C ，则c ＝bsin C sin B ＝22，再由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2accos B ，即a

2

－4a －12＝0，(a ＋2)(a －6)＝0，解得a ＝6或a ＝－2(舍去)．

答案：2 2 6

9．(2018·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－1

4

，则b ＝________.

解析：根据余弦定理代入b 2＝4＋(7－b)2

－2×2×(7－b)×? ??

??－14，解得b ＝4.

答案：4

10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，asin A ＋csin C －2asin C ＝bsin B. (1)求B ；

(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c. 解：(1)由正弦定理得a 2

＋c 2

－2ac ＝b 2

. 由余弦定理得b 2

＝a 2

＋c 2－2accos B. 故cos B ＝

2

2

，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋6

4

. 故a ＝b×sin A sin B ＝2＋6

2＝1＋3，

c ＝b×

sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°

＝ 6.

11．(2018·北京朝阳统考)在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足3a －2bsin A ＝0.

(1)求角B 的大小；

(2)若a ＋c ＝5，且a>c ，b ＝7，求AB ·AC 的值． 解：(1)因为3a －2bsin A ＝0， 所以 3sin A －2sin Bsin A ＝0， 因为sin A≠0，所以sin B ＝32

. 又B 为锐角，所以B ＝π3

.

(2)由(1)可知，B ＝π

3.因为b ＝ 7.

根据余弦定理，得7＝a 2

＋c 2

－2accos π3

， 整理，得(a ＋c)2

－3ac ＝7. 由已知a ＋c ＝5，得ac ＝6. 又a>c ，故a ＝3，c ＝2.

于是cos A ＝b 2

＋c 2

－a 2

2bc ＝7＋4－947

＝7

14，

所以AB ·AC ＝|AB |·|AC |cos A ＝cbcos A ＝2×7×

7

14

＝1. 12．(2018·山东高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B(tan A ＋tan C)＝tan Atan C.

(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S.

解：(1)证明：在△ABC 中，由于sin B(tan A ＋tan C)＝ tan Atan C ，

所以sin B ? ???

?sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin C cos C

，

因此sin B(sin Acos C ＋cos Asin C)＝sin Asin C ， 所以sin Bsin(A ＋C)＝sin Asin C. 又A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(A ＋C)＝sin B ， 因此sin 2

B ＝sin Asin C. 由正弦定理得b 2

＝ac ， 即a ，b ，c 成等比数列．

(2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2，

由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22

－22×1×2＝3

4，

因为0

B ＝

7

4

， 故△ABC 的面积S ＝12acsin B ＝12×1×2×74＝7

4

.

1．(2018·湖北高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C ，3b ＝20acos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )

A ．4∶3∶2

B ．5∶6∶7

C ．5∶4∶3

D ．6∶5∶4

解析：选D 由题意可得a>b>c ，且为连续正整数，设c ＝n ，b ＝n ＋1，a ＝n ＋2(n>1，且n ∈N *

)，则由余弦定理可得3(n ＋1)＝20(n ＋2)·

＋

2

＋n 2

－

＋

2

＋

，化简得7n 2－13n －60＝0，n ∈N *

，解得n ＝4，由正

弦定理可得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.

2．(2018·长春调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4sin 2

A ＋

B 2－cos 2

C ＝7

2

，且a ＋b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为________．

解析：因为4sin

2

A ＋

B 2－cos 2

C ＝7

2

， 所以2[1－cos(A ＋B)]－2cos 2

C ＋1＝72

，

2＋2cos C －2cos 2C ＋1＝72，cos 2

C －cos C ＋14＝0，

解得cos C ＝12.根据余弦定理有cos C ＝12＝a 2

＋b 2

－7

2ab

，

ab ＝a 2＋b 2－7,3ab ＝a 2＋b 2＋2ab －7＝(a ＋b)2

－7＝25－7＝18，ab ＝6，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12absin C

＝12×6×32＝332

. 答案：

33

2

3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2b －c)cos A －acos C ＝0. (1)求角A 的大小； (2)若a ＝3，S △ABC ＝

33

4

，试判断△ABC 的形状，并说明理由． 解：(1)法一：由(2b －c)cos A －acos C ＝0及正弦定理，得 (2sin B －sin C)cos A －sin Acos C ＝0， ∴2sin Bcos A －sin(A ＋C)＝0， sin B(2cos A －1)＝0. ∵0

∴cos A ＝1

2.

∵0

π3

. 法二：由(2b －c)cos A －acos C ＝0，

及余弦定理，得(2b －c)·b 2

＋c 2

－a 2

2bc －a·a 2

＋b 2

－c

2

2ab ＝0，

整理，得b 2

＋c 2

－a 2

＝bc ，∴cos A ＝b 2

＋c 2

－a 2

2bc ＝1

2

，

∵0

π

3

. (2)∵S △ABC ＝12bcsin A ＝33

4，

即12bcsin π3＝33

4， ∴bc ＝3，①

∵a 2

＝b 2

＋c 2

－2bccos A ，a ＝3，A ＝π

3

， ∴b 2

＋c 2

＝6，② 由①②得b ＝c ＝3， ∴△ABC 为等边三角形．

1．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________. 解析：在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°.又∵sin A ＝asin B b ＝1

2

，∴A ＝30°或150°(舍)，∴C ＝90°，∴sin C ＝1.

答案：1

2．在△ABC 中，a ＝2bcos C ，则这个三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形

D ．等腰或直角三角形

解析：选A 法一：(化边为角)由正弦定理知： sin A ＝2sin Bcos C ，又A ＝π－(B ＋C)， ∴sin A ＝sin(B ＋C)＝2sin Bcos C. ∴sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝2sin Bcos C ， ∴sin Bcos C －cos Bsin C ＝0， ∴sin(B －C)＝0.

又∵B 、C 为三角形内角，∴B ＝C.

法二：(化角为边)由余弦定理知cos C ＝a 2

＋b 2

－c

2

2ab

，

∴a ＝2b·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－c

2

a ，

∴a 2

＝a 2

＋b 2

－c 2

，∴b 2

＝c 2

，∴b ＝c.

3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 cos 2C ＝－1

4.

(1)求sin C 的值；

(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长． 解：(1)因为cos 2C ＝1－2sin 2

C ＝－14，且0

所以sin C ＝

104

. (2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝4.由cos 2C ＝2cos 2

C －1＝－14，及0

得cos C ＝±

6

4

. 由余弦定理c 2

＝a 2

＋b 2

－2abcos C ，得b 2

±6b －12＝0，解得b ＝6或26，

所以??

?

b ＝6，

c ＝4

或??

?

b ＝26，

c ＝4.

4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ， 且cos B ＝4

5

，b ＝2.

(1)当A ＝30°时，求a 的值；

(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值． 解：(1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝3

5

.

由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝103，所以a ＝5

3.

(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac·sin B，sin B ＝3

5，

所以

3

10

ac ＝3，ac ＝10. 由余弦定理得b 2

＝a 2

＋c 2

－2accos B ， 得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2

－16，

即a 2

＋c 2

＝20.

所以(a ＋c)2

－2ac ＝20，(a ＋c)2

＝40. 所以a ＋c ＝210.

2021届高三数学一轮复习第4单元训练卷三角函数(理科) B卷(详解)

2021届单元训练卷?高三?数学卷（B ） 第4单元 三角函数 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知2sin(π)3α-=- 且π (,0)2 α∈-，则tan(2π)α-=（ ） A B ． C D ．2．已知π4 cos()45 α-=，则sin 2α=（ ） A ．725- B ． 725 C ．15 - D ． 15 3．已知π1 sin()63 α-=，则πcos(2)3α-=（ ） A ．79 - B ． 9 C ． 79 D ．9 - 4．已知π3sin()45α-=，π5π (,)24 α∈，则sin α=（ ） A B ． C ．± D ． 5．函数()g x 的图像是由π()sin(2)2f x x =+的图像向左平移π 6 个单位得到，则()g x 的一条对称轴方程是（ ） A ．π6 x =- B ．π6 x = C ．π12 x =- D ．π12 x = 6．已知1tan 4tan θθ+=，则2π cos ()4 θ+=（ ） A ． 1 5 B ． 14 C ． 13 D ． 12 7 ．函数()cos f x x x =-，[0,π]x ∈的单调递减区间是（ ） A ．2π[0, ]3 B ．π2π [, ]23 C ．2π[ ,π]3 D ．π5π [, ]26 8．若π1sin()6 3α-=，则2π cos( 2)3 α+的值为（ ） A ．1 3- B ．79 - C ． 13 D ． 79 9．函数π()sin(2)(||)2f x x ??=+< 的图象向左平移π 6 个单位后得到函数()g x 的图象，且()g x 是R 上的奇函数，则函数()f x 在π [0,]2 上的最小值为（ ） A ．2 - B ．12 - C ． 12 D ． 2 10．设π (0,)2α∈，π(0,)2β∈，且1sin tan cos α βα += ，则（ ） A ．π32 αβ-=- B ．π22αβ-=- C ．π32 αβ+= D ．π22 αβ+= 11．将函数sin 2y x =的图象向右平移π (0)2 ??<< 个单位长度得到()y f x =的图象．若函数()f x 在区间π[0,]4 上单调递增，且()f x 的最大负零点在区间5ππ (,)126 --上，则?的取值范围是（ ） A ．ππ (,]64 B ．ππ(,)62 C ．ππ( ,]124 D ．ππ( ,)122 12．函数πsin sin()3 y x x =+的图象沿x 轴向右平移(0)m m >个单位后，得到()y g x =为偶函数，则m 的最小值为（ ） A ． π 12 B ． π2 C ． π3 D ． π6 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13 ．函数2 3 ()cos cos 2 f x x x x =+ 的单调递增区间为__________．

广东省高考数学一轮复习：62 几何概型

广东省高考数学一轮复习：62 几何概型 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共17题；共34分) 1. （2分）(2018·宜宾模拟) 设不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于1的概率是（） A . B . C . D . 2. （2分）已知实数x∈[0，8]，执行如右图所示的程序框图，则输出的x不小于55的概率为（） A . B . C .

D . 3. （2分） (2018高二上·唐县期中) 在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为（） A . B . C . D . 4. （2分） (2018高二上·阳高月考) 两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，则他们两人在约定时间内相见的概率为（）． A . B . C . D . 5. （2分） (2016高一下·烟台期中) “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）

A . B . C . D . 6. （2分）(2019·永州模拟) 如图，在边长为的正六边形内任取一点，则点到正六边形六个顶点的距离都大于的概率为（） A . B . C . D . 7. （2分）已知满足约束条件，且的最小值为6.若实数则点落在上述区域内的概率为（） A . B .

高三数学第一轮复习教案(1)

第1页 共64页 高考数学总复习教案 第一章-集合 考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义． §01. 集合与简易逻辑 知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，. [注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集.

2020届高考数学一轮复习通用版讲义数列求和

第四节数列求和 一、基础知识批注——理解深一点 1．公式法 (1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2 . 推导方法：倒序相加法． (2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝????? na 1 ，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝ n (n ＋1) 2 ； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n (4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 二、基础小题强化——功底牢一点 (一)判一判(对的打“√”，错的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2 －1＝12? ???1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 2＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )

届高考理科数学第一轮复习辅导讲义

选修4经典回顾 主讲教师：丁益祥 北京陈经纶中学数学特级教师 开篇语 选修系列4在高考中主要考查4—1中的几何证明选讲、4—4中的坐标系与参数方程、4—5中的不等式选讲三个专题内容．围绕着三部分内容的试题，既有选择题和填空题，又有解答题．因此在第一轮复习中必须围绕上述核心考点，选择相关的问题进行求解训练，提高解决不等式问题能力 开心自测 题一：不等式|21|35x x -++≤的解集是_______________． 题二：如图，,AB CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，他们相交于AB 的中点P ，23 a PD = ，30OAP ∠=?，则CP ＝_________． 考点梳理 选修4—1几何证明选讲部分： 1．垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

2．圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．圆内接四边形的性质定理： 圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内角的对角． 4．圆内接四边形的判定定理： 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果一个四边形的外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． 5．切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等． 6．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 7．相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 8．切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 选修4—4中的坐标系与参数方程部分： 1. 极坐标与直角坐标的关系 设点M的直角坐标为(x，)y，极坐标为(ρ，)θ， 则 cos, sin. x y ρθ ρθ = ? ? = ? 或 222, tan(0). x y y x x ρ θ ?=+ ? ? =≠ ??

广东省高考数学一轮复习：18 三角函数的图象与性质

广东省高考数学一轮复习：18 三角函数的图象与性质 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共12题；共24分) 1. （2分）在下列函数中，图象关于直线对称的是（） A . B . C . D . 2. （2分）已知函数在上有两个零点,则的值为（） A . B . C . D . 3. （2分）下列函数中，在区间(0，)上为增函数且以为周期的函数是（） A . B . C . D . 4. （2分）若函数是奇函数，则（）

A . １ B . ０ C . ２ D . －１ 5. （2分）(2019·大连模拟) 函数的最小正周期为（） A . B . C . D . 2 6. （2分） (2020高二上·安徽月考) 已知函数，将函数图象向右平移个单位得到 的图象，若点为函数图象的一个对称中心，为图象的一个对称中心，则的最小值为（） A . B . C . D . 7. （2分）(2019·新乡模拟) 已知函数，若 的最小正周期为，且，则的解析式为（） A . B .

C . D . 8. （2分）(2017·重庆模拟) 已知f（x）是定义在（0，3）上的函数，f（x）的图象如图所示，那么不等式f（x）cosx＜0的解集是（） A . （0，1）∪（2，3） B . C . D . （0，1）∪（1，3） 9. （2分） (2019高一下·宁江期末) 已知函数，若存在满足 ，且，则n 的最小值为（） A . 3 B . 4 C . 5 D . 6 10. （2分） (2020高三上·郑州月考) 已知点在函数（且， ）的图象上，直线是函数的图象的一条对称轴．若在区间内单调，则 （）

高考理科数学第一轮复习教案

第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理 两个原理 分类加法计数原理、分步乘法计数原理 (1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理． (2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题． 知识点两个原理

1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m ＋n种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 易误提醒(1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的． (2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步与步之间是相关联的． [自测练习] 1．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有() A．30 B．20 C．10 D．6 解析：从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6种．答案：D 2．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为() A．243 B．252 C．261 D．279 解析：0,1,2…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，

∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．答案：B 考点一分类加法计数原理|

2019届高考数学一轮复习教师用书文

2019届高考数学一轮复习教师用书文 第一节集合 1．集合的含义与表示 (1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系． (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． 2．集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． (2)在具体情境中，了解全集与空集的含义． 3．集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． (3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算． 授课提示：对应学生用书第1页 ◆教材通关◆ 1．元素与集合 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)集合中元素与集合的关系有且仅有两种：属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“?”表示)． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．

2．集合间的基本关系 A B [必记结论] 集合的子集、真子集个数的规律为：含n 个元素的集合有2n 个子集，有2n －1个真子集(除集合本身)，有2n －1个非空子集，有2n －2个非空真子集(除集合本身和空集，此时n ≥1)． 3．集合的基本运算 (1)A ∩?＝?，A ∪?＝A ； (2)A ?B ?A ∩B ＝A ?A ∪B ＝B ??U A ??U B ?A ∩(?U B )＝?； (3)A ∪(?U A )＝U ，A ∩(?U A )＝?，?U (A ∩B )＝(?U A )∪(?U B )，?U (A ∪B )＝(?U A )∩(?U B )． [小题诊断] 1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( ) A ．A ∩ B ＝?????? ??? ?x ??? x < 3 2 B ．A ∩B ＝?

广东高考数学考试一轮复习攻略

广东高考数学考试一轮复习攻略 一、夯实基础，知识与能力并重。 没有基础谈不上能力;复习要真正地回到重视基础的轨道上来，这里的基础不是指针 对考试机械重复的训练，而是指要搞清基本原理、基本方法，体验知识形成过程以及对知 识本质意义的理解与感悟，同时，对基础知识进行全面回顾，并形成自己的知识体系。 著名数学家华罗庚先生说：“数学是一个原则，无数内容，一种方法，到处可用。” 华罗庚先生还一再倡导读书要把书读得“由薄到厚”，再“由厚到薄”，如果说我们从小 学到中学学习12年数学的过程是“由薄到厚”的过程，那么高考复习的过程应该是深刻 领会数学的内容、意义和方法，认真梳理、归纳、探究、总结、提练，把握规律、灵活运用，把数学学习变成“由厚变薄”的过程，变成我们培养科学精神、掌握科学方法的最有 效的工具，成为自己做高素质现代人的重要武器，那时，做高考数学题就会得心应手。 二、复习中要把注意力放在培养自己的思维能力上。 培养自己独立解决问题的能力始终是数学复习的出发点与落脚点，要在体验知识的过 程中，适时进行探究式、开放式题目的研究和学习，深刻领悟蕴涵在其中的数学思想方法，并加以自觉的应用，力求做到使自己的理性思维能力、分析问题和解决问题的能力有切实 的提高。 学习好数学要抓住“四个三”：1、内容上要充分领悟三个方面：理论、方法、思 维;2、解题上要抓好三个字：数、式、形;3、阅读、审题和表述上要实现数学的三种语言 自如转化文字语言、符号语言、图形语言;4、学习中要驾驭好三条线：知识结构是明线要 清晰，方法能力是暗线要领悟、要提练，思维训练是主线思维能力是数学诸能力的核心， 创造性的思维能力是最强大的创新动力，是检验自己大脑潜能开发好坏的试金石。 三、讲究复习策略。 在第一轮复习中，要注意构建完整的知识网络，不要盲目地做题，不要急于攻难度大 的“综合题、探究题”，复习要以中档题为主，选题要典型，要深刻理解概念，抓住问题 的本质，抓住知识间的相互联系。高考题大多数都很常规，只不过问题的情景、设问的角 度改变了一下，因此，建议考生在首轮复习中，不要盲目地自己找题，而应在老师的指导下，精做题。 数学是应用性很强的学科，学习数学就是学习解题。搞题海战术的方式、方法固然是 不对的，但离开解题来学习数学同样也是错误的的，其中的关键在于对待题目的态度和处 理解题的方式上。

2020高考数学第一轮复习全套讲义

第一章 集合与简易逻辑 第1课时 集合的概念及运算 【考点导读】 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想． 【基础练习】 1. 集 合 {(, )0 2,02,,} x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示{ ( , ) , ( 0,． 2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈，{2,}B x x k k Z ==∈，则A B ?=?． 3.已知集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合M N ?=_______． 4.设全集{1,3,5,7,9}I =，集合{1,5,9}A a =-，{5,7}I C A =，则实数a 的值为____8 或2___． 【范例解析】 例.已知R 为实数集，集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ?=， {01R B C A x x ?=<<或23}x <<，求集合B . 分析：先化简集合A ，由R B C A R ?=可以得出A 与B 的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题. 解：（1） {12}A x x =≤≤，{1R C A x x ∴=<或2}x >.又R B C A R ?=， R A C A R ?=， 可得A B ?. {0,2}

广东省2019届高三数学理一轮复习典型题专项训练：平面向量

广东省2019届高三数学一轮复习典型题专项训练 平面向量 1、（2018全国I 卷高考题）在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ） A ．31 44AB AC - B ．13 44AB AC - C ． 31 44 AB AC + D ． 13 44 AB AC + 2、（2017全国I 卷高考题）已知向量a ，b 的夹角为60?，2a =，1b =，则2a b +=________． 3、（2016全国I 卷高考题）设向量)1,(m a =→ ，)2,1(=→ b ，且2 22b a b a +=+，则=m _______ 4、（广州市2018高三一模）已知向量(),2m =a ，()1,1=b ，若+=+a b a b ，则实数m = ． 5、（广州市2018高三二模）已知向量a 与b 的夹角为4 π ，2,2==a b ，()⊥+λa a b ，则实数λ= ． 6、（广州市2018高三上期末调研）已知向量(),2x x =-a ，()3,4=b ，若a b ，则向量a 的模 为________． 7、（广州市海珠区2018届高三综合测试（一））已知向量a ，b 的夹角为 60，2=a ，22=-b a ，则=b A ．4 B ．2 C ．2 D ．1 8、（惠州市2018届高三4月模拟考试）在ABC ?中， 3A π =，2AB =，3AC =，2CM MB =， 则AM BC ?=( ) (A) 113- (B) 43- (C) 43 (D) 11 3 9、（惠州市2018届高三第三次调研）已知向量a b ⊥，2,a b ==则2a b -= ． 10、（惠州市2018届高三第一次调研）已知正方形ABCD 的中心为O 且其边长为1，则 ()()=+?-BC BA OA OD ． 11、（揭阳市2018届高三学业水平（期末）考试）已知sin 24 a π =，cos 24 b π =，且a 、b 的夹 角为 12 π ，则=a b ? （A ） 116 （B ）18 （C ）38 （D ）14

数学高考第一轮复习策略

数学高考第一轮复习策略 一、构建知识网络，注重基础，重视预习，提高复习效率。 数学的基础知识理解与掌握，基本的数学解题思路分析与数学方法的运用，是第一轮 复习的重中之重。对知识点进行梳理，形成完整的知识体系，确保基本概念、公式等牢固 掌握。要扎扎实实，对每个知识点都要理解透彻，明确它们要求以及与其他知识之间的联系。 复习课的容量大、内容多、时间紧。要提高复习效率，必须使自己的思维与老师的思 维同步。而预习则是达到这一目的的重要途径，要做到“两先两后”，即先预习后听课， 先复习后作业。以提高听课的主动性，减少听课的盲目性。而预习了之后，再听老师讲课，就会在记忆上对老师讲的内容有所取舍，把重点放在自己还未掌握的内容上，从而提高复 习效率。预习还可以培养自己的自学能力。 二、提高课堂听课效率，勤动手，多动脑。 所有课都进入复习阶段，通过复习，学生要能检测出知道什么，哪些还不知道，哪些 还不会，因此在复习课之前一定要弄清那些已懂那些还不懂，增强听课的主动性。现在学 生手中都会有一种复习资料，在老师讲课之前，要把例题做一遍，做题中发现的难点，就 是听课的重点;对预习中遇到的没有掌握好的有关的旧知识，可进行补缺，以减少听课过 程中的困难;有助于提高思维能力，自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可 提高自己思维水平;体会分析问题的思路和解决问题的思想方法，坚持下去，就一定能举 一反三，提高思维和解决问题的能力。此外还要作好笔记，笔记不是记录而是将上述听课 中的要点，思维方法等作出简单扼要的记录，以便复习，消化，思考。 三、建好错题档案，做好查漏补缺。 这里说的“错”，是指把平时做作业中的错误收集起来。复习，各类试题要做几十套，甚至更多。如果平时做题出错较多，就只需在试卷上把错题做上标记，在旁边写上评析， 然后把试卷保存好，每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷看一看。查漏补 缺的过程就是反思的过程。除了把不同的问题弄懂以外，还要学会“举一反三”，及时归纳。 每次订正试卷或作业时，在做错的试题旁边要写明做错的原因大致可分为以下几类： 1、找不到解题着手点。 2、概念不清、似懂非。 3、概念或原理的应用有问题。 4、知识点之间的迁移和综合有问题。

《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)古典概型

古_典_概_型 [知识能否忆起] 一、基本事件的特点 1．任何两个基本事件是互斥的． 2．任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 二、古典概型的两个特点 1．试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． 2．每个基本事件出现的可能性相等，即等可能性． [提示] 确定一个试验为古典概型应抓住两个特征：有限性和等可能性． 三、古典概型的概率公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数 . [小题能否全取] 1．(教材习题改编)从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为( ) A.12 B.13 C.23 D ．1 解析：选C 基本事件总数为(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共三种，甲被选中共2种．则P ＝23 . 2．(教材习题改编)从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是( ) A.35 B.25 C.13 D.23 解析：选D 从六个数中任取2个数有15种方法，取出的两个数是连续自然数有5种情况，则取出的两个数不是连续自然数的概率P ＝1－ 515＝23 . 3．甲、乙两同学每人有两本书，把四本书混放在一起，每人随机拿回两本，则甲同学拿到一本自己书一本乙同学书的概率是( ) A.13 B.23

C.12 D.14 解析：选B 记甲同学的两本书为A ，B ，乙同学的两本书为C ，D ，则甲同学取书的情况有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 共6种，有一本自己的书，一本乙同学的书的取法有AC ，AD ，BC ，BD 共4种，所求概率P ＝2 3 . 4．(2012·南通一调)将甲、乙两球随机放入编号为1,2,3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1,2号盒子中各有一个球的概率为________． 解析：依题意得，甲、乙两球各有3种不同的放法，共9种放法，其中有1,2号盒子中各有一个球的放法有2种，故有1,2号盒子中各有一个球的概率为29 . 答案：29 5．(教材习题改编)从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选两台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是________． 解析：P ＝3×210＝3 5. 答案：35 1.古典概型的判断： 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概率模型才是古典概型． 2．对于复杂的古典概型问题要注意转化为几个互斥事件的概率问题去求． 典题导入 [例1] (2012·安徽高考)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( ) A.15 B.25 C.35 D.45 [自主解答] (文)设袋中红球用a 表示，2个白球分别用b 1，b 2表示，3个黑球分别用c 1，c 2，c 3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为(a ，b 1)，(a ，b 2)，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(a ，

高考数学一轮复习(一) 集合与函数

高考一轮复习（一） ——集合与函数 一、集合 1.集合的含义与表示 （1）集合的概念：集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法：N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系：对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法： ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 2.集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 B A ? （或)A B ? A 中的任一元素都属于B (1)A ?A (2)A ?? (3)若B A ?且B C ?，则A C ? (4)若B A ?且B A ?，则A B = A(B) 或B A 真子集 A ≠ ?B （或B ≠ ?A ） B A ?，且B 中 至少有一元素不属于A （1）A ≠ ??（A 为非空子集） (2)若A B ≠?且B C ≠?，则A C ≠ ? B A 集合 相等 A B = A 中的任一元素 都属于B ，B 中的任一元素都属于 A (1)A ?B (2)B ?A A(B) （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. 3.集合的基本运算 （8）交集、并集、补集

最新高考数学第一轮复习教案1

高三一轮复习 5.4 数列求和 （检测教 师版） 时间:50分钟 总分：70分 班级： 姓名： 一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分） 1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝－20，则－6a 4＋3a 5＝( ) A.－20 B.4 C.12 D.20 【答案】C 【解析】 因为S 5＝－20，所以S 5＝5a 3＝－20，∴a 3＝－4，∴－6a 4 ＋3a 5＝－6(a 1＋3d )＋3(a 1＋4d )＝ －3(a 1＋2d )＝－3a 3＝12. 2.(2012·大纲全国)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15， 则数列???? ?? 1a n a n ＋1的前100项和为( ) A.100101 B.99101 C.99100 D.101100 【答案】A 【解析】 由S 5＝5a 3及S 5＝15得a 3＝3，∴d ＝a 5－a 3 5－3 ＝1，a 1＝1， ∴a n ＝n ，1a n a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1 n ＋1，所以数列???? ??1a n a n ＋1的 前100项和T 100＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1 101＝100 101，故选A. 3.数列{a n }满足：a 1 ＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有：a m ＋n ＝a m ＋a n

＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1 a 2 008 ＝( ) A.2 007 2 008 B.2 007 1 004 C. 2 0082 009 D.4 0162 009 【答案】D 【解析】法一 因为a n ＋m ＝a n ＋a m ＋mn ，则可得a 1＝1，a 2＝3，a 3＝ 6，a 4＝10，则可猜得数列的通项a n ＝n （n ＋1）2，∴1 a n ＝2n （n ＋1）＝2? ?? ??1n －1n ＋1，∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1 a 2 008＝ 2? ????1－12＋12－13＋…＋12 008－12 009＝2? ? ? ??1－12 009＝4 0162 009.故选D. 法二 令m ＝1，得a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ＝1＋a n ＋n ，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1， 用叠加法：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2 ， 所以1a n ＝2n （n ＋1）＝2? ?? ??1n －1n ＋1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1 a 2 008＝2? ??? ?1－12＋2? ????12－13＋…＋2? ????1 2 008－12 009＝2? ????1－12 009＝4 0162 009，故选D. 4.设a 1，a 2，…，a 50是以－1，0，1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝9且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50当中取零的项共有( ) A.11个 B.12个 C.15个 D.25个 【答案】A

高三数学第一轮复习教学案

天印中学2010届高三数学第一轮复习教学案 主备人：李松 2009-12-1立体几何2） 课题：线面平行与面面平行（B 级） 【教学目标】 1. 掌握直线与平面平行，判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关问题； 2. 掌握平面与平面平行，判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关问题。 〖走进课本〗——知识整理 1.直线与平面的位置关系有 ; ; 三种 2.直线与平面平行的判定定理： 用符号表示为 3.直线与平面平行的性质定理： 用符号表示为 4.两个平面平行的判定定理 有符号表示为 5.两个平面平行的性质定理 有符号表示为 〖基础训练〗——提神醒脑 1.直线a ⊥平面α，直线α||b ，则a 与b 的关系是（ ） A.b a || B. b a ⊥ C. b a ,一定异面 D. b a ,一定相交 2.如果直线a 平行于平面α，则（ ） A.平面α内有且只有一条直线与a 平行； B. 平面α内无数条直线与a 平行； C. 平面α内不存在与a 垂直的直线； D. 平面α内有且只有一条直线与a 垂直； 3.若直线a 与平面α内无数条直线平行，则a 与α的位置关系是（ ） A.α||a B. α?a C.α||a 或α?a D. α?a 4.已知直线b a ,和平面α，那么b a ||的一个必要不充分的条件是（ ） A.α||a ，α||b B. α⊥a ，α⊥b C. α?b 且α||a D. b a ,与α成等角 5.以下六个命题：其中正确命题的序号是 ①两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行； ②平行于同一条直线的两个平面平行； ③平行于同一平面的两个平面平行； ④一个平面内的两相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，则这两个平面平行； ⑤与同一条直线成等角的两个平面平行； ⑥一个平面上不共线三点到另一平面的距离相等，则这两个平面平行；

2019-2020年高考数学第一轮复习教案人教版

【教学目标】 正确理解和熟练掌握三垂线定理及其逆定理，并能运用它解决有关垂直问题。 【知识梳理】 1．斜线长定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中， ①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； ②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； ③垂线段比任何一条斜线段都短． 2．重要公式 如图，已知OB ⊥平面α于B ，OA 是平面α的斜线，A 为斜足， 直线AC ?平面α，设∠OAB =θ1，又∠CAB =θ2，∠OAC =θ．那么 cos θ=cos θ1cos θ2． 3．直线和平面所成的角 ①平面斜线与它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角． ②一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)．如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，那么就说直线和平面所成的角是0的角． 三垂线定理和三垂线定理的逆定理的主要应用是证明两条直线垂直，尤其是证明两条异面直线垂直，此外，还可以作出点到直线的距离和二面角的平面角．在应用这两个定理时，要抓住平面和平面的垂线，简称“一个平面四条线，线面垂直是关键”． 【点击双基】 1．下列命题中，正确的是 ( ) (A )垂直于同一条直线的两条直线平行 (B )平行于同一平面的两条直线平行 (C )平面的一条斜线可以垂直于这个平面内的无数条直线 (D )a 、b 在平面外，若a 、b 在平面内的射影是两条相交直线，则a 、b 也是相交直线 2．直线a 、b 在平面α内的射影分别为直线a 1、b 1，下列命题正确的是 ( ) (A )若a 1⊥b 1，则a ⊥b (B )若a ⊥b ，则a 1⊥b 1 (C )若a 1//b 1，则a 与b 不垂直 (D )若a //b ，则a 1与b 1不垂直 3．直线a 、b 在平面外，若a 、b 在平面内的射影是一个点和不过此点的一条直线，则a 与b 是 ( ) (A )异面直线 (B )相交直线 (C )异面直线或相交直线 (D )异面直线或平行直线 4．P 是△ABC 所在平面外一点，若P 点到△ABC 各顶点的距离都相等，则P 点在平面ABC 内的射影是△ABC 的 ( ) C α D A B O

2018学年广东省高考数学文科第一轮复习辅导资料

2018学年广东省高考数学文科第一轮复习辅导资料 知识回顾： 1．已知集合A ＝{y |y ＝x 2 －2x －1，x ∈R }，集合B ＝{x |－2≤x <8}，则集合A 与B 的关系是________ 2．满足{1}A ?{1,2,3}的集合A 的个数是________个． 3．集合A ＝{3，log 2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________. 4．已知函数f (x )＝? ???? 3x ，x ≤1， －x ，x >1.若f (x )＝2，则x ＝________. 5、设函数f (x )＝? ?? ?? x 2 －4x ＋6，x ≥0 x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________． 6、下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________． ①y ＝－1x ②y ＝－(x －1) ③y ＝x 2 －2 ④y ＝－|x | 7．若函数f (x )＝log 2(x 2 －ax ＋3a )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 8．若函数f (x )＝x ＋a x (a >0)在(3 4 ，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围__． 9、已知定义域在[－1,1]上的函数y ＝f (x )的值域为[－2,0]，则函数y ＝f (cos x )的值域 是________． 10、定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)等于________． 11.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)、f (11)、f (80)的大小关系为________． 12.已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)

2021届高考数学第一轮复习精品试题：统计

2011届高考数学第一轮复习精品试题：统计 2011届高考数学第一轮复习精品试题：统计 必修3 第2章统计 §2.1 抽样方法 重难点：结合实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性，在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法． 考纲要求：①理解随机抽样的必要性和重要性． ②会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法． 经典例题：某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有多少学生？ 当堂练习： 1．为了了解全校900名高一学生的身高情况，从中抽取90名学生进行测量，下列说法正确的是（） A．总体是900 B．个体是每个学生C．样本是90名学生D．样本容量是90 2某次考试有70000名学生参加，为了了解这70000名考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，有以下四种说法： ①1000名考生是总体的一个样本；②1000名考生数学成绩的平均数是总体平均数； ③70000名考生是总体；④样本容量是1000， 其中正确的说法有：（） A．1种B．2种C．3种D．4种 3．对总数为N的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的概率为0.25，则N的值为（） A．120 B．200 C．150 D．100 4．从某鱼池中捕得120条鱼，做了记号之后，再放回池中，经过适当的时间后，再从池中捕得100条鱼，计算其中有记号的鱼为10条，试估计鱼池中共有鱼的条数为（）A．1000 B．1200 C．130 D．1300 5．要从已编号（1～60）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（）A.5，10，15，20，25，30 B.3，13，23，33，43，53 C.1，2，3，4，5，6 D.2，4，8，16，32，48 6．从N个编号中抽取n个号码入样，若采用系统抽样方法进行抽取，则分段间隔应为（） A．N n B．n C． N n ?? ?? ?? D. 1 N n + ?? ?? ?? 7．某小礼堂有25排座位，每排有20个座位。一次心理讲座时礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下了座位号是15的所有的25名学生测试。这里运用的抽样方法是（）A、抽签法B、随机数表法C、系统抽样法D、分层抽样法8．某校有行政人员、教学人员和教辅人员共200人，其中教学人员与教辅人员的比为10:1，行政人员有24人，现采取分层抽样容量为50的样本，那么行政人员应抽取的人数为（）