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第八章习题及答案

138

第八章习题与解答

8-1 设一阶非线性系统的微分方程为

3x x x +-=

试确定系统有几个平衡状态,分析平衡状态的稳定性,并画出系统的相轨迹。

解 令 x

=0 得 -+=-=-+=x x x x x x x 321110()()()

系统平衡状态

x e =-+011,,

其中: 0=e x :稳定的平衡状态;

1,1+-=e x :不稳定平衡状态。

计算列表,画出相轨迹如图解7-1所示。

第八章习题及答案

可见:当x ()01<时,系统最终收敛到稳定的平衡状态;当x ()01>时,系统发散;

1)0(-x 时,x t ()→∞。

注:系统为一阶,故其相轨迹只有一条,不可能在整个 ~x

x 平面上任意分布。

8-2 试确定下列方程的奇点及其类型,并用等倾斜线法绘制相平面图。

(1)

x x x ++=0 (2) ???+=+=212

2112x x x x x x

解 (1) 系统方程为 ??

?<=-+II >=++I )

0(0:)0(0:x x x x x x x x

系统特征方程及特征根:

图解8-1 系统相轨迹

139

??

???+-==-+II ±-==++I )

(618

.0,618.101:)(2

32101:2,122,12

鞍点稳定的焦点s s s j

s s s

(, ) , ,

x

f x x x x dx

dx

x x x dx

dx x x

x x x ==--=--=

=--

=-+=αα

β111

???

?

???

<-=

>--=)

0(11

:II )

0(1

1:

I x x β

αβ

α

计算列表

第八章习题及答案

第八章习题及答案

用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2(a )所示。

图解 系统相平面图

(2) x

x x 112=+ ① 2122x x x

+= ②

140

由式①: x x

x 211=- ③ 式③代入②: (

)( )x x x x x 111112-=+- 即

x x x 11120--= ④ 令

x x 110== 得平衡点: x e =0 由式④得特征方程及特征根为 ??

?-==--414

.0414

.20122,12λs s (鞍点)

画相轨迹,由④式

x x

dx

dx

x x x 1111112===+α x

x 112

=-α 计算列表

第八章习题及答案

用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2(b )所示。

8-3 已知系统运动方程为 sin x

x +=0,试确定奇点及其类型,并用等倾斜线法绘制相平面图。

解 求平衡点,令 x x

==0 得 sin x =0

平衡点 x k k e ==±±π

(,,,012 )。

将原方程在平衡点附近展开为台劳级数,取线性项。

设 F x x x ()

sin =+=0

?

第八章习题及答案

???F x x F

x x x

x e

e

??+=0

??

cos x x x e +?=0 ??

?±±±===?-?±±===?+?)

,5,3,1(0),4,2,0(0

k k x x x k k x x x e e π

π

141

特征方程及特征根: k 为偶数时 s j 21210+==±λ, (中心点)

k 为奇数时 s 212101-==±λ, (鞍点)

用等倾斜线法作相平面

sin sin sin x

dx

dx x x

x x

x +=?+==αα

01

第八章习题及答案

第八章习题及答案

作出系统相平面图如图解7-3所示。

8-4 若非线性系统的微分方程为

(1)

( .) x x x x x +-++=30502

(2) x

xx x ++=0 试求系统的奇点,并概略绘制奇点附近的相轨迹图。 解(1) 由原方程得

(, )( .) . x f x x x x x x x x x x ==----=-+--305305222

x x 110== 得 x x x x +=+=2

10() 解出奇点 x e =-01,

在奇点处线性化处理。

142

在x e =0处:

(, )(, ) ()( .) . x f x x

x

x f x x

x

x

x x x x x x x x

x x

x x x x =

?+

?=--?+-+?=-+========????000000

1260505

即 . x

x x -+=050 特征方程及特征根

s j 12205054

2

0250984,....=

±-=± (不稳定的焦点) 在x e =-1处 x x x

x

x x x

x

x x

x 5.0)5.06()21(01

01

+=?+-+?--==-==-= 即 . x

x x --=050 特征根 ??

?-=+±=718

.0218

.1245.05.022

,1s (鞍点) 概略画出奇点附近的相轨迹如图解7-4(1)所示:

第八章习题及答案

(2) 由原方程

(, ) x f x x xx x ==-- 令 x x

==0 得奇点 x e =0,在奇点处线性化

x

x x x x

x

f

x x

f

x

x

x x x x x x

x ?-?--=?+

?=========00

00)1(????

得 x

x =- 即 x

x +=0

第八章习题及答案

143

特征根 s j 12,=±。奇点x e =0(中心点)处的相轨迹如图解7-4(2)所示。 8-5 非线性系统的结构图如题7-5图所示。

第八章习题及答案

系统开始是静止的,输入信号r t

第八章习题及答案

t ()()=?41,试写出开关线方程,确定奇点的位置和类型,作出该系统的相平面图,并分析系统的运动特点。

解 由结构图,线性部分传递函数为

C s M s s

()()=1

2 得

()()c t m t = ① 由非线性环节有

??

?

??III -<+II

>-I ≤=22)(22)(20)(e t e e t e e t m ②

由综合点得

c t r t e t e t ()()()()=-=-4 ③ 将③、②代入①得

??

?

??-<-->-≤=III

2

)(2II 2)(2I 20)(e t e e t e e t e

开关线方程为 e t ()=±2

02:)(0)(:=-+II ==I e e

c e t e

常数

令 e

e ==0 得奇点 e 02II

= 特征方程及特征根 s s j 21210+==±,

, (中心点)

III : e

e ++=20 令 e

e ==0 得奇点 e 02III

=- 特征方程及特征根 s s j 21210+==±,

, (中心点)

144

绘出系统相轨迹如图解7-5所示,可看出系统运动呈现周期振荡状态。

8-6 题7-6图所示为一带有库仑摩擦的二阶系统,试用相平面法讨论库仑摩擦对系统单位阶跃响应的影响。

第八章习题及答案

解 由系统结构图有

???<->+±+?

=0

:

0:2

15.01

5)()(c c

s s s E s C s s C s E s (.)()()05125+±=

???<=->=+II 055.0I 0535.0c e

c c c e c c

因为 c r e e =-=-1 ②

②代入①式有 ??

?>=+-<=++II

00102I

00106e e e e

e

e e e 特征方程与特征根

??

???±==+-±-==++)

(3

10102:II )(30106:I 2,122,12

不稳定的焦点稳定的焦点j s s s j s s s

依题意 0)0(,0)0(==c c 可得

)0()0(1

)0(1)0(===-=c e c e

以)0,1(为起点概略作出系统相轨迹。可见系统阶跃响应过程是振荡收敛的。

8-7 已知具有理想继电器的非线性系统如题

第八章习题及答案

7-7

145

图所示。

第八章习题及答案

题8-7图 具有理想继电器的非线性系统

试用相平面法分析:

(1)T d =0时系统的运动;

(2)T d =05.时系统的运动,并说明比例微分控制对改善系统性能的作用; (3)T d =2时系统的运动特点。 解 依结构图,线性部分微分方程为

c u = ① 非线性部分方程为 ??

?II <+-I >+=0101e

T e e

T e u d d ②

开关线方程: e

T e d

=-1 由综合口: c r e e =-=-1 ③ ③、②代入①并整理得

??

?II

<++I >+-=0101d d e

T e e

T e e

在 I 区: e

e de

de

==-1 解出: ()e

e e 2

20=-> (抛物线) 同理在 II 区可得:

()e

e e 2

20=< (抛物线)

开关线方程分别为

T d =0时, e =0;

T d =05.时, e

e =-2; T d =2 时, .e e =-05.

概略作出相平面图如图解7-7所示。

146

由相平面图可见:加入比例微分控制可以改善系统的稳定性;当微分作用增强时,系统振荡性减小,响应加快。

8-8 具有饱和非线性特性的控制系统如题7-8图所示,试用相平面法分析系统的阶跃响应。

解 非线性特性的数学表达式为

III

-I

???-=a

e a e a e M M

e y ||线性部分的微分方程式为

Ky c c

T =+ 考虑到e c r =-,上式又可以写成

r

r T Ky e e T +=++ 输入信号为阶跃函数,在0>t 时有,0==r r

,因此有 0=++Ky e e

T 根据已知的非线性特性,系统可分为三个线性区域。

Ⅰ区:系统的微分方程为

)(0a e Ke e e T <=++

按前面确定奇点的方法,可知系统在该区有一个奇点(0,0),奇点的类型为稳定焦点。图解7-8(a )为Ⅰ区的相轨迹,它们是一簇趋向于原点的螺旋线。

Ⅱ区:系统的微分方程为

)(0a e KM e e

T >=++

设一般情况下,初始条件为00)0(,

)0(e e

e e ==。则上式的解为

题8-8图 非线性系统结构图

第八章习题及答案

147

KMt Te KM e T KM e

e t e T t -+-++=-)()()(000 对上式求一次导数,得

KM e KM e t e

T t -+=-)()(0 故当初始条件KM e -=0'时,相轨迹方程为KM e -='。

当KM e -≠0'时,相轨迹方程为KM e

KM e

KMT T e e

e e +++-+=000ln )(

由此可作出该区的相轨迹,如图解7-8(b )所示,相轨迹渐进于直线KM e

-= 。 Ⅲ区:此时系统的微分方程为

)(0a e KM e e T -<=-+

将Ⅱ区相轨迹方程中的KM 改变符号,即得Ⅲ区的相轨迹方程

??

?

?

?≠++--+===)(ln )()(00000KM e

KM e KM e KMT T e e e e KM e KM e

该区的相轨迹如图解7-8(b )所示。

将以上各区的相轨迹连接起来,便是系统的整个相平面图,如图解7-8(c )所示。

第八章习题及答案

图解8-8 非线性系统的相平面图

148

假使系统原来处于静止状态,则在阶跃输入作用时,相轨迹的起始点应为

0)0(,)0(==e

R e 。此时的系统的相平面图如图解7-8(d )所示。由图可知,系统在阶跃输入作用时,系统是稳定的,其稳态误差为零。动态过程具有衰减振荡性质,最大超调量可从图中量得。

8-9 试推导非线性特性 y x =3 的描述函数。 解 y t A t ()sin =3

3

ω

?

?=

π

ωωπ20

4

31sin 1

t d t A B ?

?-=

2

23

)2cos 1(4

1

ωωπ

t d t A

??+-=202

3

)2cos 2cos 21(π

ωωωπt d t t A []20

332sin 2π

ωπ

ππt A A -??????=

?

?++

20

3

2

1

4cos π

ωωπ

t d t A 4

324cos 2023

2032033A

t d A

t d t A A =+?+-=??π

π

ωπ

ωωπ

N A B A j A A A ()=+=112

34

8-10 三个非线性系统的非线性环节一样,线性部分分别为 (1) G s s s ()(.)=+1

011

(2) G s s s ()()

=+2

1

(3) G s s s s s ()(.)

()(.)

=

+++21511011

试问用描述函数法分析时,哪个系统分析的准确度高?

解 线性部分低通滤波特性越好,描述函数法分析结果的准确程度越高。分别作出三个系统线性部分的对数幅频特性曲线如图解7-9所示。

第八章习题及答案

149

由对数幅频特性曲线可见,L 2的高频段衰减较快,低通滤波特性较好,所以系统(2)的描述函数法分析结果的准确程度较高。

8-11 将题7-11图所示非线性系统简化成环节串联的典型结构图形式,并写出线性部分的传递函数。

第八章习题及答案

第八章习题及答案

题8-11图 非线性系统结构图

解 (a) 将系统结构图等效变换为图解7-11(a )的形式。 G s G s H s ()()[()]=+111

第八章习题及答案

(b) 将系统结构图等效变换为图解7-11(b)的形式。 G s H s G s G s ()()

()

()

=+1111

8-12 判断题7-12图中各系统是否稳定;)(1A N -与)(ωj G 的交点是否为自振点。

第八章习题及答案

150

题8-12图 自振分析

解 (a ) 不是

(b ) 是 (c ) 是

(d ) c a 、点是,b 点不是 (e ) 是

(f ) a 点不是,b 点是 (g ) a 点不是,b 点是 (h ) 系统不稳定 (i ) 系统不稳定 (j ) 系统稳定

8-13 已知非线性系统的结构图如题7-13图所示

第八章习题及答案

题8-13图 非线性系统

图中非线性环节的描述函数,N A A A A ()()=

++>62

0。试用描述函数法确定:

(1)使该非线性系统稳定、不稳定以及产生周期运动时,线性部分的K值范围; (2)判断周期运动的稳定性,并计算稳定周期运动的振幅和频率。

151

解 (1)

-=-++126

N A A A ()()

-=--∞=-101

3

1

1N N (),()

dN A dA A ()()

=-+<4

202

N(A)单调降,)(1A N -也为单调降函数。画出负倒描述函数曲线)(1A N -和G j ()ω曲线如图解7-13所示,可看出,当K 从小到大变化时,系统会由稳定变为自振,最终不稳定。 求使 Im[G j ()]ω=0 的ω值:

令 ∠=-?-=-?G j arctg ()ωω902180 得 arctg ωω=?=451,

令 G j K

()ωωωωω===

+122

1

1

??

???=→

=

→==21

3231

231K K K 可得出K 值与系统特性之间的关系: ∞?→??→??→?220:

K

稳定 自振 不稳定

(2)由图解7-13可见,当)(1A N -和G j ()ω相交时,系统一定会自振。由自振条件

N A G j A A K A K

A ()()()()

ωω==

++?-=-++=-16226221 ()A K A +=+624

解出 )23

2

(1

246<

=--=K K K A ω 8-14 具有滞环继电特性的非线性控制系统如题7-14图(a )所示,其中1

,1==h M 。

(1) 当5.0=T 时,分析系统的稳定性,若存在自振,确定自振参数; (2) 讨论T 对自振的影响。

第八章习题及答案

第八章习题及答案

152

题8-14图

解 具有滞环继电特性的描述函数为

h A A hM

j A h A M A N >--=

,4)(14)(2

2ππ 代入1,

1==h M ,有

224

)1(14)(A

j A A A N ππ--=

4

14)

1

)1(1)(1)1(1(4)

1

)1(1()(12222π

ππj

A A

j A A j A A j A A A N ---=+---+--=-

其负倒描述函数)(1A N -曲线如题7-14图(b )所示,)(ωj G 曲线位于第四象限,两曲线必然有交点。

)

(1

)(55)()

1(5)(22A N j G T

j j G s Ts s G -

=--=+=

ωω

ωω 根据虚部相等,有

π

ωπ

ω

T

j

T

j

2045=

-=- 自振角频率随T 增大而增大,当5.0=T 时,18.3=ω。

根据实部相等,有

153

14

)20(

522

--=-A T

π

π

解出非线性输入端振幅为

14004

2

+=

T

A π

当5.0=T 时,18.1=A 。自振振幅随T 增大而减小。

8-15 非线性系统如题7-15图所示,试用描述函数法分析周期运动的稳定性,并确定系统输出信号振荡的振幅和频率。

第八章习题及答案

解 将系统结构图等效变换为图解7-15。

G j j j j ()()()

ωωωωωω=

+=-+-+10110110

122

第八章习题及答案

22

2.042.014)(A j A A A N ππ?-??

? ??-= ???

?????-??? ??-=A j A A 2.02.0142π A j

A A A N 2.02.011

4

)(1

2

-??

?

??--=-πA j

A A ππ2.02.0142

-??

? ??--= 令G j ()ω与)(1A N -的实部、虚部分别相等得

2

22.014110?

?

? ??-=+A A πω

154

10

1024

01572ωωπ

()

..+=

= 两式联立求解得 ω==3910806.,.A 。

由题7-15图,0)(=t r 时,有)(51)()(t x t e t c =

-=,所以)(t c 的振幅为161.05

806.0=。 8-16 用描述函数法分析题7-16图所示系统的稳定性,并判断系统是否存在自振。若存在自振,求出自振振幅和自振频率(h M >)。

第八章习题及答案

题8-16图 非线性系统结构图

解 因为h M >,所以当0>-=c x 时)(1A N 环节输出为h M >,)(2A N 环节输出也为h M >。同样)(3A N 输出也是M ;当0

)(3A N 不起作用,系统可等效为如图解7-16(a )的形式。

画出)(1A N -和G j ()ω曲线如图解7-16(b )所示。可见系统一定自振。由自振条件

1)()(1-=?ωj G A N

1)

2)(1(10

4-=++?ωωωπj j j A M )2(3)2)(1(4022ωωωωωωπ--=++-=j j j j A

M

比较实部、虚部有 ??

???=-=0)2(34022ωωωπA M 解出 ??

?==2

12.2ωM A

图解7-16

155

8-17 试用描述函数法说明题7-17图所示系统必然存在自振,并确定输出信号c 的自振振幅和频率,分别画出信号y x c 、、的稳态波形。

N A A N A A

(),()=

-=-414

ππ 绘)(1A N -和G j ()ω曲线如图解7-17(a )所示,可见D 点是自振点,系统一定会自振。由自振条件可得

N A G j ()()

=

-1

ω

即 -=-+42102πωωA j j ()=-+-410410

22ωωωj () 令虚部为零解出ω=2,代入实部得A=0.796。最后得出自振参数:

A ==07962.,ω。

画出y x c 、、点的信号波形如图解7-15(b )所示。

第八章习题及答案

第八章习题及答案

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