《等差数列求和公式》教案

等差数列求和公式

教学目标

1．知识目标

(1)掌握等差数列前n 项和公式，理解公式的推导方法；

(2)能较熟练应用等差数列前n 项和公式求和。

2．能力目标

经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。

3．情感目标

通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。

学生已学等差数列的通项公式，对等差数列已有一定的认知。

教学重点、难点

1．等差数列前n 项和公式是重点。

2．获得等差数列前n 项和公式推导的思路是难点。

教学过程

复习回顾：

1．等差数列的定义；

2．等差数列的通项公式。

新课引入：

问题一：

介绍德国著名数学家高斯，相传高斯在10岁那年他的算术老师给他出了一道算术题：1+2+3+…+100=？。结果高斯很快就算出了答案，你知道高斯是怎么很快的算出结果的吗？ 请同学起来回答，如何进行首尾配对求和：

123...100n S =++++=(1100)(299)...(5051)+++++=10011002

+?（）=5050. 师：非常好！这位同学和数学家高斯一样聪明！这里高斯的配对法就是采用的“首尾配对法”。师：这里1,2,3，…，100这是一个什么数列？生：等差数列。师：这里123...100++++就是在求一个等差数列的和的问题。引出课题：7.2.2等差数列求和。

一、数列的前n 项和意义

一般地，设有数列123,,,,,n a a a a …,我们把123n a a a a ++++叫做数列{}n a 的前n 项和，记作n S ．即123n n S a a a a =++++． 问题二：

（课件出示印度泰姬陵的图片），介绍传说中的泰姬陵陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共21层。你知道镶饰这个图案一共花了多少宝石吗？

学生回答：即求2112321S =++++。师：怎么求？

生：仿照上面的方法，首尾配对（1+21）+（2+20）+…+(10+12)。师：这里一共配成了几对呢？生：10对，再加上中间一个数11，得到结果231。师：很好。我们用高斯的首尾配对法也能求出结果来。那么，有没有更简单一点的配对方法呢？

课件演示，在三角形红宝石图案旁添一个相同倒置三角形蓝宝石图案，将两个三角形拼成平行四边形。则

原三角形红宝石图案：2112321S =++++，

后添的三角形蓝宝石图案：212120191S =++++， 平行四边形图案所有宝石数：212(121)21S =+?， 所以，21(121)212312

S +?==。 这种求和方法叫倒序相加法，与高斯的首尾相配法原理如出一辙。

师：上面我们求了10021,S S ，在这两个问题中，最后，这个和都可以写成首项与末项的和乘以项数的一半。那么，是不是所有的等差数列都有1()2n n a a n S +=

这个求和公式呢？下面我们来证明这个公式。

二．等差数列的前n 项和公式

设有等差数列{}n a ：123,,,,,n a a a a 公差为d ，前n 项和为n S ，则

1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++++-；

()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-+

+--. 将两式分别相加，得：12()n n S n a a =+，

由此得到等差数列{}n a 的前n 项和的公式

1()2

n n a a n S += （公式一） 说明：这里一共有4个量，已知3个量就可以求出第4个量。

因为1(1)n a a n d =+-，所以上面的公式又可以写成

1(1)2

n n n S na d -=+

（公式二） 例题： 例1：在等差数列{a }n 中，

（1）已知1103,101a a ==，求10S ；（2）已知113,2

a d ==，求8S 。 通过此例题，让学生体会在具体的问题中如何根据已知条件选择适当的求和公式。

例2：一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放120支。这个V 形架上共放了多少支铅笔？

请学生回答。先归结为数学问题，然后选择适当的求和公式，代入求解。

课堂小练：

1．计算：135(21)n ++++-= 。

2．已知数列{a }n 为等差数列，

(1)若185,10a a ==，求8S ；

(2)若125,10a a ==，求8S ；

(3)若275,10a a ==，求8S ；

例3：已知等差数列－10，－6，－2，2，…，的前多少项和为54？ 例4：在等差数列{a }n 中，已知1315,,222n n d a S ===-，求1a 及n 。 请学生思考，列出两个关于1a 和n 的方程，再求解。

说明：在等差数列的通项公式与前n 项公式中，含有1,,,,n n a d n a S 五个量，已知其中的3个量就可以求出余下的两个量。

课堂小结：

1．等差数列前n 项和Sn 公式的推导--倒序相加法；

2．等差数列前n 项和Sn 公式的记忆与应用；

1()2n n a a n S +=（公式一）； 1(1)2

n n n S na d -=+（公式二）