高中数学之计数原理

计数原理（讲义）

? 知识点睛

一、两个计数原理

1. 全排列：n 个不同元素全部取出的排列，叫做n 个不同元素的一个全排列，

A (1)(2)21n n n n n n =?-?-???=L ！

即正整数1到n 的连乘积叫做n 的阶乘，用n ！表示．

A ()m n n n m =-！！，A !C !()!A m m n n m m n m n m ==-，

规定0!1=，0C 1n =． 2. 组合数的性质

C C m n m n n -=，11C C C m m m n n n

-+=+． ? 精讲精练

1. 从A 地到B 地要经过C 地和D 地，从A 地到C 地有3条路，从C 地到D 地有2条路，从D 地

到B 地有4条路，则从A 地到B 地的不同走法共有（ ）种．

A ．3+2+4=9

B ．1

C ．3×2×4=24

D ．1+1+1=3

2. 设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动的方案有a 种，这4名学生在运动会上共同争

夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b 种，则(a ，b )为（ ）

A ．(34，34)

B ．(43，34)

C ．(34，43)

D ．3344(A A )，

3. 填空：

（1）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有______种．

（2）某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成，若要选出不同年级的两人参加市里组织的某项活动，则不同的选法共有______种．

（3）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的取法有_____种．

（4）在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的为_____种（结果用数值表示）．

4. 填空：

（1）用0到9这10个数字，可组成________个没有重复数字的四位偶数．

（2）6个人从左至右排成一行，若最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．

（3）某运输公司有7个车队，每个车队的车均多于4辆且型号相同，现从这个车队中抽调出10辆车，并且每个车队至少抽调一辆，则不同的抽调方法共有________种．

5.4名男生和3名女生并坐一排，分别回答下列问题：

（1）男生必须排在一起的坐法有多少种？

（2）女生互不相邻的坐法有多少种？

（3）男生相邻、女生也相邻的坐法有多少种？

（4）男女生相间的坐法有多少种？

（5）女生顺序已定的坐法有多少种？

6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的情况共有（）种．

A．144B．120C．72D．24

7.市内某公共汽车站有6个候车位（成一排），现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2

个连续空座位的候车方式共有（）种．

A．48B．54C．72D．84

8.填空：

（1）有形状大小相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，则不同的排列方法共有________种．

（2）宿舍楼内的走廊一排有8盏灯，为节约用电又不影响照明，要同时熄灭其中3盏，但这3盏灯不能相邻，则不同的熄灯方法共有________种．

9.有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．

（1）共有几种放法？

（2）恰有1个空盒，有几种放法？

（3）恰有2个盒子不放球，有几种放法？

【参考答案】

1．C

2．C

3．（1）75；（2）74；（3）350；（4）120

4．（1）2296；（2）216；（3）84

5．（1）576；（2）1440；（3）288；（4）144；（5）840

6．D

7．C

8．（1）56；（2）20

9．（1）256；（2）144；（3）84

计数原理（随堂测试）

10.7名同学排队照相．

（1）若排成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？

（2）若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？

（3）若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？

（4）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？

【参考答案】

（1）5040；（2）1440；（3）720；（4）1440

计数原理（习题）

?例题示范

例1：现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，若要求每辆车配1位司机和1位售票员，则车辆、司机、售票员的搭配方案共有多少种？

思路分析：

可以把3辆车看成排了顺序的三个空：，然后把3名司机和3名售票员分别填入．因此可认为事件分两步完成，每一步都是一个排列问题．

第一步，把3名司机安排到3辆车中，有3

A=6种安排方法；

3

第二步，把3名售票员安排到3辆车中，有3

A=6种安排方法．

3

故搭配方案共有3333

A A ?=36种．

例2：5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法共有（ ）

A ．480种

B ．240种

C ．120种

D ．96种

思路分析： 首先把5本书转化成4本书，然后分给4个人．

第一步：从5本书中任意取出2本捆绑成一本书，有25C 种方法；第二步：再把4本书分给4个学生，

有44A 种方法．

由乘法原理，共有2454C A ?=240种方法，故选B ．

? 巩固练习

1. （1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有_______种报名方法．

（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有_____种可能的结果．

2. 已知a ∈{0，3，4}，b ∈{1，2，7，8}，r ∈{8，9}，则方程(x -a )2+(y -b )2=r 2表示__________个不同

的圆．

3. 满足a ，b ∈{-1，0，1，2}，且关于x 的方程ax 2+2x+b =0有实数解的有序数对(a ，b )共有（ ）

A ．14个

B ．13个

C ．12个

D ．10个

4. 某校一年级有5个班，二年级有7个班，三年级有4个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环

赛，共需进行比赛的场数是（ ）

A ．222574C C C ++

B ．222574

C C C ?? C ．222574A A A ++

D ．216C

5. 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1

名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）

A ．12种

B ．10种

C ．9种

D ．8种

6. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有（ ）

A ．144个

B ．120个

C ．96个

D ．72个

7. 计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行展出，要求

同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不能放在两端，则不同的展出方式共有（ ）种．

A ．4

545A A ?

B ．345345A A A ??

C ．1

45345C A A ?? D ．2

45245A A A ??

8. 现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（ ）种．

A ．3

565A A ?

B ．863863A A A -?

C ．3

353A A ? D ．8

486A A -

9. 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（ ）

A ．24对

B ．30对

C ．48对

D ．60对

10. 填空： （1）有10个运动员名额，分给7个班，每班至少分1个，共有__________种分配方案．

（2）由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3都不与5相邻的六位偶数，这样的六位偶数共有__________个．

（3）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．

11.某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅

准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备__________种不同的素菜．

12.3个女生和5个男生排成一排．

（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？

（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？

（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？

（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？

13.某街道有十只路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的

两只，且在两端的灯也不能关掉，求满足条件的关灯方法共有多少种？

【参考答案】

1．（1）81；（2）64

2．24

3．B

4．A

5．A

6．B

7．D

8．A

9．C

10．（1）84；（2）108；（3）480

11．7

12．（1）4320；（2）14 400；（3）14 400；（4）36 000 13．20

高考数学 计数原理 知识汇总

计数原理 课表要求 1、会用两个计数原理分析解决简单的实际问题； 2、理解排列概念，会推导排列数公式并能简单应用； 3、理解组合概念，会推导组合数公式并能解决简单问题； 4、综合应用排列组合知识解决简单的实际问题； 5、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题； 6、会用二项式定理求某项的二项式系数或展开式系数，会用赋值法求系数之和。突破方法 1．加强对基础知识的复习，深刻理解分类计数原理、分步计数原理、排列组合等基本概念，牢固掌握二项式定理、二项展开式的通项、二项式系数的性质。2．加强对数学方法的掌握和应用，特别是解决排列组合应用性问题时，注重方法的选取。比如：直接法、间接法等；几何问题、涂色问题、数字问题、其他实际问题等；把握每种方法使用特点及使用范围等。 3．重视数学思维的训练，注重数学思想的应用，在解题过程中注重化归与转化思想的应用，将不同背景的问题归结为同一个数学模型求解；注重数形结合、分类讨论思想、整体思想等，使问题化难为易。 知识点 1、分类加法计数原理 完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……在第n类办法中有m n种不同的方法。那么完成这件事共有：N=m1+m2+……+m n种不同的方法。 注意：（1）分类加法计数原理的使用关键是分类，分类必须明确标准，要求每一种方法必须属于某一类方法，不同类的任意两种方法是不同的方法，这时分类问题中所要求的“不重复”、“不遗漏”。 （2）完成一件事的n类办法是相互独立的。从集合角度看，完成一件事分A、B两类办法，则A∩B=?,A∪B=I（I表示全集）。 （3）明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事。 2、分步乘法计数原理 完成一件事，需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1·m2·……·m n种不同的方法。 注意：（1）明确题目中所指的“做一件事”是什么事，单独用题中所给的某种方法是不是能完成这件事，是不是要经过几个步骤才能完成这件事。 （2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成。 （3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步去

高中数学教案：计数原理

高中数学教案：计数原理 教学目标： 对差不多概念，差不多知识和差不多运算的把握 注重对分析咨询题和解决咨询题的能力的培养 对综合咨询题要注意数学思想的培养 教学重难点： 对两个差不多计数原理的把握和运用 排列组合以及二项式定理典型题解题技巧 教学设计： 知识网络： 一、两个差不多计数原理： 1、分类计数原理：完成一件事，有n 类方法,在第一类方法中有m1种不同的方法,在第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第n 类方法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。〔加法原理〕 2、分步计数原理：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n 步有mn 种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。〔乘法原理〕 二、排列 排列：一样地，从n 个不同的元素中取出m 〔m ﹤n 〕个元素，并按一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 注意：1、排列的定义中包含两个差不多内容：①〝取出元素〞；②〝按照一定顺序排列〞，〝一定顺序〞确实是与位置有关，这也是判定一个咨询题是不是排列咨询题的重要标志。 2、依照排列的定义，两个排列相同，是指当且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同 排列数公式： )!(!)1()2()1(m n n m n n n n A m n -=+-???-?-?= !12)2()1(n n n n A n n =????-?-?= 三、组合 组合：一样地，从n 个不同元素中取出m 个不同元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的一个组合。 组合数公式： 〔组合数公式1—适用于运算〕 〔组合数公式2—适用于化简证明〕 组合数公式性质：性质1: m n n m n C C -= ! )1()2)(1(m m n n n n m m m n m n C +---=A =A ! )(! ! m n m n C m n -=

高中数学选修2-3计数原理概率知识点总结

选修2-3定理概念及公式总结 第一章基数原理 1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+……+m n 种不同的方法 2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整” 3.两个计数原理的区别: 如果完成一件事，有n 类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事,用分类计数原理， 如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理. 4.排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. （1）排列数: 从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列的个数.用符号m n A 表示 （2）排列数公式:)1()2)(1(+-???--=m n n n n A m n 用于计算， 或m n A )! (! m n n -=() n m N m n ≤∈*,, 用于证明。 n n A =!n =()1231????- n n =n(n-1)! 规定0！=1 5.组合：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 （1）组合数: 从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，用m n C 表示 （2）组合数公式: (1)(2)(1) ! m m n n m m A n n n n m C A m ---+== 用于计算， 或)! (!! m n m n C m n -= ),,(n m N m n ≤∈*且 用于证明。

(完整word)高中数学《计数原理》练习题

《计数原理》练习 一、选择题 1.书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从中任取数学书和语文书各一本，则不同的取法种数有（ ） A 11 B 30 C 56 D 65 2.在平面直角坐标系中，若{}{}1,2,3,3,4,5,6x y ∈∈，则以(),x y 为坐标的点的个数为（ ） A 7 B 12 C 64 D 81 3.若()12n x +的展开式中，3x 的系数是x 系数的7倍，则n 的值为（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 4.广州市某电信分局管辖范围的电话号码由8位数字组成，其中前3位是一样的，后5位数字都是0～9这10个数字中的一个，那么该电信分局管辖范围内不同的电话号码个数最多有（ ） A 50 B 30240 C 59049 D 100000 6.按血型系统学说，每个人的血型为A ，B ，O ，AB 型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，其子女的血型一定不是O 型，如果某人的血型为O 型，则该人的父母血型的所有可能情况种数有（ ） A 6 B 7 C 9 D 10 7.计算0121734520C C C C ++++L 的结果为（ ） A 421C B 321 C C 320C D 420C 8.一个口袋内装有4个不同的红球，6个不同的白球，若取出一个红球得2分，取出一个白球得1分，问从口袋中取出5个球，使总分不少于7分的取法种数有（ ） A 15 B 16 C 144 D 186 二、填空题 9.开车从甲地出发到丙地有两种选择，一种是从甲地出发经乙地到丙地，另一种是从甲地出发经丁地到丙地。其中从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通。则从甲地到丙地不同的走法共有 种。 10.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 种。 14.()()5 211x x +-的展开式中3x 的系数为

【高中数学】计数原理总结

【高中数学】计数原理总结 知识梳理： 1. 分类加法计数原理和分布乘法计数原理 (1)如果完成一件事有n 类不同的方案，在第一类中有m1种不同的方法，在第二类中有m2种不同的方法，…，在第n 类中有mn 种不同的方法,那么完成这件事共有N=_________种不同的方法。 (2)如果完成一件事需要n 个不同的步骤，在第一步中有m1种不同的方法，在第二步中有m2种不同的方法，…，在第n 步中有mn 种不同的方法,那么完成这件事共有N=_________种不同的方法。 (3)分类和分布的区别，关键是看事件能否完成，事件完成了就是___________；必须要连续若干步才能完成则是 _____________。分类要用分类计数原理将种数_________，分步要用分步计数原理将种数_________。 2. 排列与组合 (1)排列 (1)(2)(1)()(1)321(1)(2)(1)()(1)321 !()! m n n n n n m n m n m A n n n n m n m n m n n m ---+---??=---+= ---??=- (1)(2)(!()!m n A n n n n n n m =--=- (2)组合 ①组合数公式(1)(2)(1)!()(1)321()!! m n n n n n m n C n m n m n m m ---+==---??- ①组合数的两个性质_______ _ ____、 。 ③区别排列与组合 3. 常见的解题策略有以下几种： (1)特殊元素优先安排的策略 (2)合理分类和准确分布的策略 (3)排列、组合混合问题先选后排的策略 (4)正难则反、等价转化的策略 (5)相邻问题捆绑的策略 (6)不相邻问题插空处理的策略 (7)定序问题除法处理的策略 (8)分排问题直排处理的策略 (9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略 (10)构造模型的策略。 4. 二项式定理 (1)二项式定理：)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n (2)通项：展开式的第1+r 项，即) ,,1,0(1n r b a C T r r n r n r ==-+ (3)二项式系数的性质： ①对称性：在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等。即 ①增减性与最值：二项式系数先增后减且在中间取得最大值 当n 是偶数时，中间一项取得最大值2n n C 当n 是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值21-n n C =21+n n C ③二项式系数的和： 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和。即 m n n m n C C -=n n n k n n n n C C C C C 2 210 =+???++???+++∴ 0213n-1n n n n C +C +=C +C +=2

高中数学之计数原理

计数原理（讲义） ? 知识点睛 一、两个计数原理 1. 全排列：n 个不同元素全部取出的排列，叫做n 个不同元素的一个全排列， A (1)(2)21n n n n n n =?-?-???=L ！ 即正整数1到n 的连乘积叫做n 的阶乘，用n ！表示． A ()m n n n m =-！！，A !C !()!A m m n n m m n m n m ==-， 规定0!1=，0C 1n =． 2. 组合数的性质 C C m n m n n -=，11C C C m m m n n n -+=+． ? 精讲精练 1. 从A 地到B 地要经过C 地和D 地，从A 地到C 地有3条路，从C 地到D 地有2条路，从D 地 到B 地有4条路，则从A 地到B 地的不同走法共有（ ）种．

A ．3+2+4=9 B ．1 C ．3×2×4=24 D ．1+1+1=3 2. 设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动的方案有a 种，这4名学生在运动会上共同争 夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b 种，则(a ，b )为（ ） A ．(34，34) B ．(43，34) C ．(34，43) D ．3344(A A )， 3. 填空： （1）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有______种． （2）某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成，若要选出不同年级的两人参加市里组织的某项活动，则不同的选法共有______种． （3）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的取法有_____种． （4）在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的为_____种（结果用数值表示）． 4. 填空： （1）用0到9这10个数字，可组成________个没有重复数字的四位偶数． （2）6个人从左至右排成一行，若最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种． （3）某运输公司有7个车队，每个车队的车均多于4辆且型号相同，现从这个车队中抽调出10辆车，并且每个车队至少抽调一辆，则不同的抽调方法共有________种．

高考数学解析分类汇编(4)---计数原理 理

2012年高考真题理科数学解析汇编：计数原理 一、选择题 1 ．（2012年高考（天津理））在2 5 1(2)x x - 的二项展开式中,x 的系数为 （ ） A ．10 B ．10- C ．40 D ．40- 2 ．（2012年高考（新课标理））将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙 两地参加社会实践活动, 每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有 （ ） A ．12种 B ．10种 C ．9种 D ．8种 3 ．（2012年高考（浙江理））若从1,2,2,,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为 偶数,则不同的取法共有 （ ） A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种 4 ．（2012年高考（重庆理））8 的展开式中常数项为 （ ） A ． 16 35 B ． 8 35 C ． 4 35 D ．105 5 ．（2012年高考（四川理））方程2 2 ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--,且,,a b c 互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有 （ ） A ．60条 B ．62条 C ．71条 D ．80条 6 ．（2012年高考（四川理））7 (1)x +的展开式中2 x 的系数是 （ ） A ．42 B ．35 C ．28 D ．21 7 ．（2012年高考（陕西理））两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所 有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有 （ ） A ．10种 B ．15种 C ．20种 D ．30种 8 ．（2012年高考（山东理））现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片 各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为 （ ） A ．232 B ．252 C ．472 D ．484 9 ．（2012年高考（辽宁理））一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不 同的坐法种数为 （ ） A ．3×3! B ．3×(3!)3 C ．(3!)4 D ．9! 10．（2012年高考（湖北理））设a ∈Z ,且013a ≤<,若201251a +能被13整除,则a = （ ） A ．0 B ．1 C ．11 D ．12 11．（2012年高考（大纲理））将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有 （ ） A ．12种 B ．18种 C ． 24种 D ．36种 12．（2012年高考（北京理））从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复

高考数学计数原理

回扣8计数原理 1．分类计数原理 完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有m n种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种方法(也称加法原理)． 2．分步计数原理 完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有m n种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种方法(也称乘法原理)． 3．排列 (1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示． (3)排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)． (4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A n n＝n·(n－1)·(n －2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为A m n＝n！ (n－m)！ ，这里规定0！＝1. 4．组合 (1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示． (3)组合数的计算公式：C m n＝A m n A m m＝ n！ m！(n－m)！ ＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) m！ ，由于0！＝1， 所以C0n＝1. (4)组合数的性质：①C m n＝C n－m n ；②C m n＋1＝C m n＋C m－1 n . 5．二项式定理 (a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)． 这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．式中的C r n a n－r b r叫做二项展开式的通项，用T r＋1表示，即展

2020年高考数学试题分类汇编 计数原理

十四、计数原理 1.（重庆理4）(13)(6) n x n N n +∈ 其中且≥的展开式中56 x x 与的系数相等，则n= A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 2.（天津理5） 在 6 2 ?? - ?的二项展开式中，2x的系数为 A． 15 4 - B． 15 4C． 3 8 - D． 3 8 【答案】C 3.（四川理12）在集合{} 1,2,3,4,5 中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量 (,) a b α=．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记 所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积不超过4的平行四边形的个数为m，则m n = A． 4 15B． 1 3C． 2 5D． 2 3 【答案】D 基本事件： 2 6 (2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3),3515 n C ==?= 由 其中面积为1的平 行四边形的个数 (2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1)其中面积为2的平行四边形的个数为(2,3)(2,5);(2,1)(2,3)其中面积为3的平行四边形的个数(2,3)(4,3);(2,1)(4,5)其中面积为4的平行四边形的个数(2,1)(2,5);(4,1)(4,3);(4,3)(4,5)其中面积为5的平行四边形的个数 (2,3),(4,1);(2,5)(4,5)；其中面积为7的平行四边形的个数(2,5),(4,3)其中面积为8的平行四边形的个数(4,1)(4,5)其中面积为9的平行四边形的个数(2,5),(4,1) 4.（陕西理4） 6 (42) x x - -（x∈R）展开式中的常数项是 A．-20 B．－15 C．15 D．20 【答案】C 5.（全国新课标理8） 5 1 ()(2) a x x x x +- 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项 为 （A）—40 （B）—20 （C）20 （D）40 【答案】D 6.（全国大纲理7）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位 朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 A．4种B．10种C．18种D．20种 【答案】B 7.（福建理6）（1+2x）3的展开式中，x2的系数等于 A．80 B．40 C．20 D．10 【答案】B 8.（安徽理8）设集合 {} 1,2,3,4,5,6, A=}8,7,6,5,4{ = B则满足S A ?且S Bφ ≠ I的集合S 为 （A）57 （B）56 （C）49 （D）8

高中数学 计数原理

第一章 计数原理单元测试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法共有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．32种 2．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ ） A ．36种 B ．48种 C ．96种 D ．192种 3. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种 4. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ ） Ａ．() 2 1 426 10C A 个 Ｂ．24 2610 A A 个 Ｃ．()2 142610C 个 Ｄ．2 42610A 个 5．（x －2y ）10 的展开式中x 6y 4 项的系数是( ) A. 840 B. －840 C. 210 D.－210 6. 由数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有( ) A.72 B.60 C.48 D.52 7.用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（ ）个数. A.6 B.9 C.10 D.8 8.AB 和CD 为平面内两条相交直线，AB 上有m 个点，CD 上有n 个点，且两直线上各有一个与交点重合，则以这m+n-1个点为顶点的三角形的个数是( ) A.2 121m n n m C C C C + B. 21121m n n m C C C C -+ C.21211m n n m C C C C +- D. 2111211---+m n n m C C C C 9.设 () 10 10221010 2x a x a x a a x +???+++=-,则()()2 92121020a a a a a a +???++-+???++的 值为( ) A.0 B.-1 C.1 D. 10．某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有( ) A.8种 B.10种 C.12种 D.32种 11．从6个正方形拼成的12个顶点(如图)中任取3个顶点作为一组，其中可以构成三角形的组数 为 A ．208 B ．204 C ．200 D ．196 12. 从不同号码的五双靴中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为 （ ） A.120 B.240 C.360 D.72 二、 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列 有 种不同的方法（用数字作答）. 14. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有 个（用数字作答）． 15. 若(2x 3 + x 1)n 的展开式中含有常数项，则最小的正整数n = . 16. 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二 人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种。（用数字作答） 三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．从4名男生,3名女生中选出三名代表 (1)不同的选法共有多少种? (2)至少有一名女生的不同的选法共有多少种? (3)代表中男、女生都要有的不同的选法共有多少种? （第10题） （第11题）

高中数学《分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)》导学案 新人教A版选修

高中数学《分类加法计数原理与分步乘法计数原理（1）》导学案新人教A版选修 【学习目标】 1、通过实例总结出分类加法计数原理与分步乘法计数原理； 2、初步认识两个原理的差异、 【重点难点】 重点：总结出分类加法计数原理与分步乘法计数原理的特征、难点：初步认识两个原理的差异、模块一: 自主学习,明确目标 1、阅读第2页-3页探究：(1)你能说说思考中问题的特征吗？分类加法原理的内容（2）用一大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题中的“一件事”是指什么？举例说明问题中的“不同的号码”是什么？ （3）例1中的“一件事”是指什么？“不同的选择”是指什么？（4）阅读第3页探究，这类问题如何计数？ 2、阅读第3页思考-第5页探究：（1）分步乘法原理的内容（2）阅读第5页探究，这类问题如何计数？（3）完成第6页练习1模块二：问题探究问题

1、两个原理都有“完成一件事”，举例说明在具体问题中“一件事”是指什么, 什么情况下是“完成”？ 2、两个原理中都有所谓“不同的方法”，“不同的方法”在两个原理中的意义有什么不同？模块三：巩固训练，整理提高 3、阅读教材第5 页例3，“不同取法”在两个问题中有什么不同？ 4、阅读教材第5 页例4 ，并回答下列问题：(1)、指出其中一种挂法：(2)、“左甲右乙”与“左乙右甲”挂法是否相同？小结通过本节课的学习，你有哪些收获？ 1、知识上 2、思想方法上 3、反思变式训练1： 1、完成教材第6页练习2, 32、一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘有0到9共10数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数号码？ 3、设某班有男生30名，女生24名、现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？ 4、要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和夜班，有多少种不同的选法？ 5、（实验班）书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有3本不同的数学书，第3层放有2本不同的外语书，现取两本不同类型的书，有多少种不同的取法？

高二数学分类计数原理与分步计数原理教案

高二数学分类计数原理与分步计数原理教案 教学目标： 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单问题． 教具准备：投影胶片（两个原理）． 教学过程： ［设置情境］ 先看下面的问题： 2002年夏季在韩国与日本举行的第17届世界杯足球赛共有32个队参赛．它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名．问一共安排了多少场比赛？ 要回答上述问题，就要用到排列、组合的知识．排列、组合是一个重要的数学方法，粗略地说，排列、组合方法就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法． 在运用排列、组合方法时，经常要用到分类计数原理与分步计数原理，下面我们举一些例子来说明这两个原理． ［探索研究］ 引导学生看下面的问题．（出示投影） 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有 3＋2＝5 种不同的走法，如图所示． 一般地，有如下原理：（出示投影） 分类计数原理完成一件事，有类办法，在第1 类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…， 在第类办法中有 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 再看下面的问题．（出示投影） 从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地．一天中，火车有3班，汽车有2班．那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法（如图）？

这个问题与前一个问题不同．在前一个问题中，采用乘火车或汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地；而在这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到乙地． 这里，因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有3×2＝6 种不同的走法．（让学生具体列出6种不同的走法） 于是得到如下原理：（出示投影） 分步计数原理完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第 种不同的方法． 教师提出问题：分类计数原理与分步计数原理有什么不同？ 学生回答后，教师出示投影：分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题，它们的区别在于：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成． （出示投影） 例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书． （1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？ （2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ （解答略） 教师点评：注意区别“分类”与“分步”． 例2 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码？ （解答略） 例3 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？ （解答略） ［演练反馈］ 1．有不同的中文书9本，不同的英文书7本，不同的日文书5本．从其中取出不是同一国文字的书2本，问有多少种不同的取法？ （由一名学生板演后，教师讲评） 2．集合，．从、中各取1个元素作为点的坐标． （1）可以得到多少个不同的点？ （2）这些点中，位于第一象限的有几个？ （由一名学生板演后，教师讲评） 3．某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯，问从1楼到5楼共有多少种不同的走法？

高中数学基本计数原理知识点+练习

要求层次 重难点 加法原理、乘法原理 分类加法计数原理、分步 乘法计数原理 B 分类加法计数原理、分步乘法计数原理 ① 理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理； ② 会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题． 用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题 C （一）知识内容 分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有 12n N m m m =+++L 种不同的方法．又称加法原理． （二）典例分析 【例1】 高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团， 问选取代表的方法有几种． 【例2】 若a 、b 是正整数，且6≤a b +，则以()，a b 为坐标的点共有多少个？ 【例3】 用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ） A ．324 B ．328 C ．360 D ．648 【例4】 用数字12345，，，，组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ） A ．8 B ．24 C ．48 D ．120 【例5】 用012345，，，，，这6个数字，可以组成____个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数． 例题精讲 高考要求 基本计数原理 板块一：加法原理

（一）知识内容 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =???L 种不同的方法．又称乘法原理． （二）典例分析 【例6】 公园有4个门，从一个门进，一个门出，共有_____种不同的走法． 【例7】 将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有_______． 【例8】 如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校， 要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有 种． 【例9】 高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组 织的调查团，问选取代表的方法有几种． 【例10】 六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？ 【例11】 六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？ 【例12】 用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同， 且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）． 【例13】 从集合{12311}L ，，，，中任选两个元素作为椭圆方程22221x y m n +=中的m 和n ，则能组成落在 矩形区域{()|||11B x y x =<，，且||9}y <内的椭圆个数为 。 【例14】 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”， 那么函数解析式为2y x =-，值域为{19}--，的“同族函数”共有（ ） A ．7个 B ．8个 C ．9个 D ．10个 板块二：乘法原理

高中数学教案计数原理

计数原理 教学目标： 对基本概念，基本知识和基本运算的掌握 注重对分析问题和解决问题的能力的培养 对综合问题要注意数学思想的培养 教学重难点： 对两个基本计数原理的掌握和运用 排列组合以及二项式定理典型题解题技巧 教学设计： 知识网络： 一、两个基本计数原理： 1、分类计数原理：完成一件事，有n 类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n 类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。（加法原理） 2、分步计数原理：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n 步有mn 种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。（乘法原理） 二、排列 排列：一般地，从n 个不同的元素中取出m （m ﹤n ）个元素，并按一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 注意：1、排列的定义中包含两个基本内容：①“取出元素”；②“按照一定顺序排列”，“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。 2、根据排列的定义，两个排列相同，是指当且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同 排列数公式： )!(!)1()2()1(m n n m n n n n A m n -=+-???-?-?= !12)2()1(n n n n A n n =????-?-?= 三、组合 组合：一般地，从n 个不同元素中取出m 个不同元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的一个组合。 组合数公式： （组合数公式1—适用于计算） （组合数公式2—适用于化简证明） 组合数公式性质：性质1: m n n m n C C -= ! )1()2)(1(m m n n n n m m m n m n C +---=A =A Λ! )(! ! m n m n C m n -=

高中数学-《计数原理》单元测试题

高中数学-《计数原理》单元测试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法共有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．32种 2．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ ） A ．36种 B ．48种 C ．96种 D ．192种 3. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种 4. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ ） Ａ．() 2 1426 10C A 个 Ｂ．24 2610A A 个 Ｃ． ()214 26 10 C 个 Ｄ．24 2610A 个 5．（x －2y ）10 的展开式中x 6y 4 项的系数是( ) A. 840 B. －840 C. 210 D.－210 6. 由数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有( ) A.72 B.60 C.48 D.52 7.用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（ ）个数. A.6 B.9 C.10 D.8 8.AB 和CD 为平面内两条相交直线，AB 上有m 个点，CD 上有n 个点，且两直线上各有一个与交点重合，则以这m+n-1个点为顶点的三角形的个数是( ) A. 2 121m n n m C C C C + B. 2 1121m n n m C C C C -+ C. 2 1211m n n m C C C C +- D. 2 1 11211---+m n n m C C C C