2006年浙江大学427数学分析考研真题【圣才出品】

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2006年浙江大学427数学分析考研真题

浙江大学2006年攻读硕士学位研究生入学试题

考试科目：数学分析（427） 考生注意：

1．本试卷满分为150 分，全部考试时间总计180 分钟；

2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。

一、（20分) ()i 证明：数列

1111ln (1,2,3,)23n x n n n =++++-=收敛； ()ii 计算：1111lim()1232n n n n n →∞

+++++++.

二、（15分) 设()f x 是闭区间

[],a b 上的连续函数，对任一点(),x a b ∈，存在趋于零的数列，使得

2()()2()lim 0k k k k f x r f x r f x r →∞++--=.

证明：函数()f x 为一线性函数.

三、（15分) 设()h x 是

(),-∞+∞上的无处可导的连续函数，试以此构造连续函数()f x ，在

(),-∞+∞上仅在两点可导，并且说明理由.

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四、（15分) 设22222221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=?.

()i 求(,)f x y x ??以及(,)f x y y ??；

()ii 问(,),(,)f f x y x y x y ????在原点是否连续?(,)f x y 在原点是否可微?试说明理由.

五、（20分) 设()f x 在()0,+∞的任何闭子区间[],αβ上黎曼可积，且0()f x dx +∞

?收敛，

证明：对于常数 1a >，成立

000lim ()()xy y a f x dx f x dx ++∞+∞-→=??.

六、（15分) 计算曲面积分

32222()S xdydz ydzdx zdxdy I ax by cz ++=++?? 其中

{}2222(,,)S x y z x y z r =++=，常数0,0,0,0a b c r >>>>.

七、（15分) 设V 为单位球：

2221x y z ++≤，又设,,a b c 为不全为零的常数，计算： cos()V I ax by cz dxdydz

=++???.

八、（20分) 设函数21()12f x x x =--，证明级数

()0!(0)n n n f ∞=∑收敛.

九、（15分) 设()f x 在)0,+∞??上可微，(0)0f =.若有常数0A >，使得对任意

)

0,x ∈+∞??，有

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()()f x A f x '≤.证明在)

0,+∞??，()0f x =.