A.
B.
C.
D.
北京课改版九年级上学期 期末教学目标检测初三数学试卷
学校 姓名 准考证号 考 生 须 知 1. 本试卷共 4 页,共五道大题,25个小题,满分120分.考试时间120分钟. 2. 在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号. 3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效. 4. 考试结束,请将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:(本题共32分,每小题4分)
在下列各题的四个备选答案中,只有一个是正确的. 1.已知1
sin 2
A =
,则锐角A 的度数是 ( ) A .30? B .45? C .60? D .75?
2. 已知△ABC ∽△DEF ,且AB:DE = 1:2,则△ABC 的周长与△DEF 的周长之比为 ( ) A .2:1 B .1:2 C .1:4 D . 4:1
3.二次函数2
23y x x =-+的对称轴为 ( ) A .x =-2 B .x =2 C .x =1 D .x =-1
4.下面四张扑克牌中,图案属于中心对称的是 ( )
5.如图,ABC △内接于O ⊙,若30OAB ∠=°,则C ∠的大小为 ( ) A .30? B .45?
C O
B
A
E
D
A
C
B
C .60°
D .?90
6.若点B (a ,0)在以点A (1,0)为圆心,以2为半径的圆内, 则a 的取值范围为( ) A .13a -<< B .3a <
C .1a >-
D .3a >或1a <-
7. 抛物线1C :21y x =+与抛物线2C 关于x 轴对称,则抛物线2C 的解析式为 ( ) A. 2y x =-
B. 21y x =-+
C.21y x =-
D. 21y x =--
8.汽车匀加速行驶路程为2012s v t at =+
,
匀减速行驶路程为2
012
s v t at =-,其中0v 、a 为常数. 一汽车经过启动、匀加速行驶、匀速行驶、匀减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数,其图象可能是 ( )
二、填空题:(本题共16分,每小题4分)
9.圆锥的母线长为3,底面半径为2,则它的侧面积为 . 10. 如右图,是由四个直角边分别是6和8的全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”,如果某人随机地往大正方形区域内投针一次,则针扎在阴影部分的概率为 .
A
C
D
B
11.如图,∠DAB =∠CAE ,要使△ABC ∽△ADE ,则补充的一个 条件可以是 (注:只需写出一个正确答案即可). 12. 在数学研究性学习中,佳佳为了求
23
111
1
2222n
++++
的值n S ,设计了如图所示的几何图形,请你利用这个几何图形,计算n S =
(用含n 的式子表示).
三、解答题:(本题共30分,每小题5分) 13. 计算:sin30cos45sin 45tan60?+???-?.
14. 以直线1x =为对称轴的抛物线过点(3,0),(0,3),求此抛物线的解析式.
15. 如图,在ABC ?中,DE // BC ,EF // AB ,AD:AB=3:5,
BC=25,求FC 的长.
16. 如图,90D ∠=?,10BC =,30CBD ∠=?,15A ∠=?.
(1)求CD 的长; (2)求tan A 的值.
17.如图,已知点C 、D 在以O 为圆心,AB 为直径的半圆上,且OC BD ⊥于点M ,CF ⊥AB 于点F 交BD 于点E ,8BD =,2CM =. (1)求⊙O 的半径; (2)求证:CE = BE.
...
12
12213
2C
A M
F
E D
C
B
A
O E F
D
C
B
A
A B C
O
18.如图,一枚运载火箭从地面O 处发射,当火箭到达A 点时,在观测点C 测得其仰角是30,火箭又上升了10km 到达B 点时,测得其仰角为60,求观测点C 到发射点O 的距离. (结果精确到0.1km .
参考数据:41.12≈ 1.73≈,24.25≈).
四、解答题:(本题共20分,每小题5分)
19. 如图,正方形ABCO 的边长为4,D 为AB 上一点,且BD = 3,以点C 为中心,把CBD △ 顺时针旋转90,得到11CB D △. (1)直接写出点1D 的坐标;
(2)求点D 旋转到点1D 所经过的路线长.
20.某园艺公司计划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润1y (万
元)与投入资金x (万元)成正比例关系,如图1所示;种植花卉的利润2y (万元)与投入资金x (万元)成二次函数关系,如图2所示.
(1)分别求出利润1y (万元)与2y (万元)关于投入资金x (万元)的函数关系式; (2)如果该园艺公司以8万元资金投入种植花卉和树木,他至少获得多少利润?他能获取
的最大利润是多少?
21.小明购买了4瓶酸奶,其中3瓶原味,1瓶草莓味,他从中随机拿2瓶酸奶. (1)用列表法(或树状图)列出所有可能的情况; (2)求其中有1瓶是草莓味酸奶的概率.
22.对于二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠,如果当x 取任意整数时,函数值y 都是整数,此时称该点(x ,y )为整点,该函数的图象为整点抛物线(例如:2
22y x x =++).
(1)请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的
图1
A
B
C
D
E
O
解析式 .(不必证明);
(2)请直接写出整点抛物线2
22y x x =++与直线4y = 围成的阴影图形中(不包括边界)所含的整点个数 .
五、解答题:(本题共22分,第23、24题每题7分,第25题8分)
23.已知抛物线C 1:2
2
(24)10y x m x m =-++-的顶点A 到y 轴的距离为3, 与x 轴交于C 、D 两点.
(1)求顶点A 的坐标;
(2)若点B 在抛物线C 1
上,且BCD S ?=B 的坐标.
24.如图,直线AB 经过⊙O 上的点C ,并且OA OB =,CA CB =,直线OB 交⊙O 于点
E D ,,连接EC CD ,.
(1)试判断直线AB 与⊙O 的位置关系,并加以证明; (2)求证:2
BC BD BE =?;
(3)若1
tan 2
E =,⊙O 的半径为3,求OA 的长.
25. 在平面直角坐标系中,矩形OABC 的顶点 A 、C 的坐标分别为(-8,0)和(0,6).将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转α度,得到四边形OA B C ''',使得边'
A '
B 与y 轴交于点D ,
此时边OA '、B C ''分别与BC 边所在的直线相交于点P 、Q . (1)如图1,当点D 与点B '重合时,求点D 的坐标;
(2)在(1)的条件下,求PQ
OD
的值;
(3)如图2,若点D与点B'不重合,则PQ
OD
的值是否发生变化?若不变,试证明你的
结论;若有变化,请说明理由.
初三数学参考答案一、选择题:(本题共32分,每小题4分)
9. 6π,10. 1
25
,11. ABC ADE
∠=∠或ACB AED
∠=∠或AB
AC
AD AE
=,12.
1
1
2n
-.
三、解答题:(本题共30分,每小题5分)
1
222
+13.解:原式= ………………………………………………………4分
1=. …………………………………………………………………5分
14.解:设抛物线的解析式为2
(1)y a x b =-+, ………………………………………1分
抛物线过点(3,0),(0,3). ∴40,3.a b a b +=??+=? 解得1,4.a b =-??=?
… ……………4分
∴抛物线的解析式为2
23y x x =-++. ……………………………………………5分 15. 解: 在ABC ?中,DE//BC ,∴ ADE
ABC ??. ……………………………1分
∴
3
5
AD DE AB BC ==. ……………………………………………………………………2分 又
BC=25,∴ DE=15. …………………………………………………………3分
DE//BC ,EF//AB ,∴四边形DEFB 是平行四边形. ∴DE=BF=15. ……………4分 ∴FC=25-15=10. ………………………………………………………………………5分 16.解:(1)在Rt △BDC 中,90,30D CBD ∠=?∠=?,
sin 30CD
BC
?=
. ∴1
sin 301052
CD BC ?
=?=?
=. …………………………………………….…2分 (2)在Rt △BDC 中,90,30D CBD ∠=?∠=?,
cos30BD
BC
?=
.
∴cos3010BD BC ?
=?== ……………………………………………3分 30,15CBD A ∠=?∠=?,∴A ACB ∠=∠. ∴ AB=BC=10.
∴
在
Rt △CAD
中
,
tan 2
CD A AD =
=== ……………………………5分 17.解:(1)
OC 为⊙O 的半径,OC BD ⊥,∴ 1
2
DM MB DB ==
.
A B
C
O
A
B
C D
E F
M
O
G
B
C D
E F
M
O
DB = 8,∴MB = 4. …
……………………………………………………………………1分 设⊙O 的半径为r ,
2CM =,∴ OM=r -2, 在Rt OMB ?中,根据勾股定理得
22(2)r r -2+4=,解得r =5. …………………………………………………………………2分
(2)方法一:连接AC 、CB ,
AB 是直径,∴ 90ACB ∠=?. ∴90ACF FCB ∠+∠=?.
CF AB CAF ACF ⊥∴∠∠?又,+=90.
∴FCB CAF ∠=∠. ……………………………………3分 OC 为⊙O 的半径,OC BD ⊥,
∴C 是BD 的中点,∴CAF CBD ∠=∠. ……………4分 ∴FCB DBC ∠=∠. ∴.CE BE = …………………5分 方法二:如图,连接BC ,补全⊙O ,延长CF 交⊙O 于点G.
CF AB AB ⊥又,为直径,∴BC =BG . ……………3分
OC 为⊙O 的半径,OC BD ⊥,∴ C 是BD 的中点, ∴ BC =DC . ……………………………………………4分
∴BG =DC .∴FCB DBC ∠=∠. ∴.CE BE = ……5分 18.解:设CO x =,
在OBC ?中,90,60BOC OCB ∠=?∠=?,∴30B ∠
=?.
tan 30,tan 30OC OC OB OB ?=∴==?
. ……………
2分
又
10,10AB AO =∴=-.
在OAC ?中,90,30AOC OCA ∠=?∠
=?
,∴tan 30AO OC ?
=
==. 解得5 1.738.658.7()x km =≈?=≈.
答:观测点C 到发射点O 的距离为8.7km . ………………………………………………5分 四、解答题:(本题共20分,每小题5分)
19.解(1)1D (-3,0). ………………………………………………………………2分 (2)
正方形ABCD 的边长为4,D 为AB 上一点,且BD=3,
根据勾股定理可求得CD = 5. ………………………………………………………3分 ∴点D 旋转到点1D 所经过的路线长为15
2542
ππ??=. ………………………5分 20. 解:(1)设1y kx =,
直线过点(1,2),∴2k =. ∴12(0)y x x =≥.
设2
2y ax =,
抛物线过点(2,2),∴12a =
. ∴2
21(0)2
y x x =≥.…………2分 (2)设该园艺公司投入资金x 万元种植花卉,则投入资金(8)x -万元种植树木,则获
取的利润212(8)(08)2y x x x =-+
≤≤,整理得21
216(08)2
y x x x =-+≤≤. ……………………………………………………………………………………………3分 根据图象得,当x =2时,y 有最小值为14,当x =8时,y 有最大值为32.
答:该园艺公司投入资金2万元种植花卉和6万元种植树木时,获得最少14万元利润; 投入资金8万元种植花卉时,能获取最大利润,且最大利润是32万元.……………5分 21. 解:记原味酸奶为A 、B 、C ,草莓味酸奶为D.
(1) 方法一:表格
……………………………………………………………………………………………3分 方法二:树状图 (略):…………………………………………………………………3分 (2)小明随机拿2瓶酸奶的所有可能为:AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、CD ,共6种. 随机拿2瓶酸奶中有一瓶是草莓味的所有结果为:AD 、BD 、CD ,共3种. ∴小明随机拿2瓶酸奶中有一瓶是草莓味的概率为:
31
62
=. …………………5分
22.解:(1)211122y x x =
++或213122y x x =++或211
222
y x x =++等. …… 3分 (2)4. ……………………………………………………………………………………5分 五、解答题:(本题共22分,第23、24题每题7分,第25题8分) 23.解:(1) 2
2
(24)10y x m x m =-++-
=2
2
2
[(2)]10(2)x m m m -++--+
= 2[(2)]414x m m -+--
∴抛物线顶点A 的坐标为 (2,414)m m +--.
由于顶点A 到y 轴的距离为3,∴23m +=. ∴1m =或5m =-.
抛物线与x 轴交于C 、D 两点,∴5m =-舍去. ∴1m =.
A
B
C
D
E
O
∴抛物线顶点A 的坐标为(3,-18). ……………………………………3分 (2)
抛物线1C 的解析式为2
(3)18y x =--.
∴抛物线1C 与x 轴交C 、D 两点的坐标为
(3+0),
(3-,0).∴
CD=. B 点在抛物线C 1
上,BCD S ?=B (,B B x y ),则2B y =±. ……………5分
把2B y =代入到抛物线1C 的解析式为2
(3)18y x =--解
得3B x =
或
3B x =-.
把2B y =-代入到抛物线1C 的解析式为2
(3)18y x =--解得1B x =-或7B x =.
∴B
点坐标为3,2),(3,2),(1,2),(7,2)----. ………………………7分 24.解:(1)证明:如图,连接OC .
OA OB =,CA CB =,OC AB ∴⊥.
∴AB 是O 的切线. ··························· 2分
(2)
ED 是直径,90ECD ∴∠=.
∴90E EDC ∠+∠=. 又
90BCD OCD ∠+∠=,OCD ODC ∠=∠,
∴BCD E ∠=∠. 又CBD EBC ∠=∠,∴BCD BEC △∽△.
BC BD
BE BC
∴
=
.∴2BC BD BE =?. ···················· 4分 (3)
1tan 2E ∠=
,∴12
CD EC =. BCD BEC △∽△,∴
1
2
BD CD BC EC ==.设BD x =,则2BC x =. 又2
BC BD BE =,∴2
(2)(6)x x x =+.
解得10x =,22x =.
0BD x =>,∴2BD =.
235OA OB BD OD ∴==+=+=. ···················· 7分
25.解:(1)解:∵将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转α度,得到四边形OA B C ''',且A 、C
的坐标分别为(-8,0)和(0,6),
∴8'==OA OA ,6''===OC AB B A . ∴1068'22=+=OB .
∴点D 的坐标为)10,0(. ……………2分 (2)解:∵10'=OB ,6=CO ,∴4'=C B .
∵
4
3
'''tan ==∠=O A B A POC CO CP ,且6=CO , ∴2
9
=
CP . 同理3=CQ . ∴215
=
PQ . ∴4
3=OD PQ . (或:∵
4
3tan =∠==POC CO CP CD CQ . ∴
4
3=++=CO CD CP CQ OD PQ .)……………5分 (3)解:如图2所示,作E C '∥OA 交OP 于点E , ∵E C '∥OA ,且PE ∥CQ ,
∴四边形PEC ,
Q 是平行四边形. ∴E C PQ '=.
∵''''
,C E OD A B AO ⊥⊥,
∴'
'
90,90C EO EOD ODA EOD ∠+∠=?∠+∠=?.
∴''ODA EO C ∠=∠.
又∵?=∠=∠90''O DA EOC ,
(图2)
∴EO C '?∽'ODA ?. ∴
4
3
'''===OA O C OD E C OD PQ . ∴
PQ
OD
的值不会发生改变. …………………………………………………8分