Jacobi iteration for a Laplace discretisation on a 3D structured grid
Jacobi iteration for a Laplace discretisation
on a3D structured grid
Mike Giles
April24,2008
1Model problem
The application is Jacobi iteration of a Laplace discretisation on a uniform3D grid,de?ned by
u(n+1) i,j,k =
1
6
u(n)
i?1,j,k
+u(n)
i+1,j,k
+u(n)
i,j?1,k
+u(n)
i,j+1,k
+u(n)
i,j,k?1
+u(n)
i,j,k+1
,
for0≤i i,j,k ,and?xed boundary data for i=0,I?1,j=0,J?1,k=0,K?1. This is a good model for various iterative solvers,as well as for explicit time-marching methods.It is clearly parallelisable since all grid nodes can be updated simultaneously/independently. Because it is such a simple model problem,it has very few operations per variable,and so the speedup is likely to be limited by the bandwidth to the global memory.The speedup is likely to be better on real applications which require a lot more?oating point operations. Figure1:Partition of2D grid into blocks with overlapping halos 2Approach Each CUDA block processes a BX×BY×K column of the grid.Figure1illus-trates the2D partitioning in the i-j plane.This assumes that BX×BY is much smaller than I×J so that this approach gives enough blocks to keep all of the multiprocessors busy.Because of the i±1and j±1references,each block has to read in the values at the neighbouring nodes(often referred to as“halo”nodes) on all sides. Because of the limited amount of shared memory per multiprocessor,each block works with3k-planes of data at a time,so there is an outer loop over k, inside which the implementation a)loads in plane k+1,b)calculates and stores new values for plane k. In optimising the performance,the key concerns are to: ?ensure coalesced global loads/stores as far as possible to minimise the com-munication time; ?ensure enough overlapping between active warps and/or active blocks to hide the latency on global loads/stores; ?minimise the number of integer operations required for array indexing. Figure2:Layout of a block of size32×8plus halo 3Array storage To achieve the highest bandwidth between the global graphics memory and the multiprocessors,it is necessary for memory transfers to be coalesced,which re-quires that the16threads in a half-warp access a contiguous vector of data ele-ments,with the o?set for the beginning of the vector being a multiple of16. This is achieved to a large extent by using the layout indicated in Figure2 for a block of size32×8.The thin“pencils”indicate correctly aligned vectors of length16,which requires in general that the block size in the i-direction is a multiple of16,and one uses the CUDA routine cudaMallocPitch to allocate memory with padding to ensure that each new row starts at the beginning of one of the vectors.The interior of the block can be read into shared memory by a number of coalesced loads,as can the y-halos above and below.The x-halos on the right and left have to be read in with non-coalesced loads as they require individual elements on di?erent vectors. The computation will compute new values in the interior;these can then be written to global memory by coalesced stores. 4Other implementation details The2D arrangement of threads which is used matches the2D block https://www.wendangku.net/doc/169663569.html,ing just one thread per block element minimises the number of integer index opera-tions which are required after an initialisation phase.With a block size of32×4 (which is found to be optimal on a8800GT)there are128threads per block,which ensures lots of active threads for hiding global memory latency.The register and shared memory requirements are low enough to allow four blocks to be active at a time,giving additional scope for hiding memory latency,and an occupancy count of2/3on current hardware. Some of the threads are also responsible for loading in the required halo ele-ments.It is assumed that the block size is large enough that the number of halo nodes is less than the number of threads. An integer multiply-add macro is de?ned to ensure that integer multiplications are performed using the more e?cient mul24intrinsic. The block size is de?ned as a pair of integer values so that the compiler can evaluate various expressions at compile time,putting the constant values into the execution code and not into registers. 5Performance estimate A“back-of-the-envelope”calculation shows the extent to which performance is limited by the available bandwidth to the global device memory. When using a block of size32×4,each x-halo node requires the loading of a full vector of length16,even though just one element is actually used.Taking this into account,loading in a block plus its halos requires the loading of3nodes of data for each interior node within the block.Hence,each iteration requires three loads and one store per interior node. On a grid of size2563with approximately17M nodes,this equates to67M ?oat load/store operations,and270MB of data. On a8800GT card with a bandwidth of57.6GB/s,this corresponds to4.7ms per iteration,whereas the actual execution time is6.2ms.Thus the sustained bandwidth is75%of the peak achievable. The corresponding“Gold”code executing on a single Xeon core takes310ms so the speedup factor is50×. 二维有限差分析是求解两个变量的拉普拉斯方程的一种近似方法，这种方法的要点如下： 在平面场中，将平面划分成若干正方形格子，每个格子的边长都等于h ，图13-10表示其中的一部分，设0点的电位为V 0，0点周围方格顶点的电位分别为V 1、V 2、V 3和V 4。现在来推导一个用V 1、V 2、V 3和V 4表示V 0的公式： 图13-10 已知平面场的电位满足两个变量的拉普拉斯方程： 0222 2=??+??y V x V 其中 h x V x V x V x x V c a ??- ??≈??? ??????= ??0 22 但是 h V V x V h V V x V c a 30 01 ,-≈??-≈ ?? 所以 2 30013 0010 2 2h V V V V h h V V h V V x V +--≈-- -≈?? 同理 2 4 0020 2 2h V V V V y V +--≈ ?? 将上面两个方程相加一起得： 042 43212222=-+++≈??+??h V V V V V y V x V 由上面方程推出：)(4 1 43210V V V V V +++≈ (13.47) 该式说明0点的电位近似等于相互垂直的方向上和0点等距离的四个点上的电位平均值，距离h 愈小则结果愈精确，方程（13.47）是用近似法求解两个变量拉普拉斯方程的依据。 然而，V 0和V 1、V 2、V 3、V 4都是未知值，这种情况下需要按照方程（13.47）写出每一点的电位方程，然后求这些方程的联立解。 求解时较简便的方法是选代法，这种方法可求出平面场中各点电位的近似值。 图13-11表示一个截面为正方形的导体槽，槽的顶面与侧面相互绝缘，顶面的电位为 拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ --==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ ==? 双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞--∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ? （2） 定义域 若0σσ>时， lim ()0t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()st f t dt e +∞ --?存在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。 0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若 11[()]() f t F S ζ=, 22[()]() f t F S ζ=, 1 κ, 2 κ为常数时，则 11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() []()(0)df t sF s f dt ζ-=- 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。 （3） 原函数积分 若[()]()f t F s ζ=，则(1)(0)()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞=+?式中0(1) (0)()f f t dt ---∞=? （4） 延时性 若[()]()f t F s ζ=，则0 00[()()]()st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移 若[()]()f t F s ζ=，则[()]()at f t e F s a ζ-=+ （6） 尺度变换 若[()]()f t F s ζ=，则1[()]()s f at F a a ζ=（a >0） （7） 初值定理lim ()(0)lim ()t o s f t f sF s + +→→∞ == （8） 终值定理lim ()lim ()t s f t sF s →+∞ →∞ = （9） 卷积定理 若11[()]()f t F s ζ=，22[()]()f t F s ζ=，则有1212[()()]()()f t f t F s F s ζ*= 12121[()()][()()]2f t f t F s F s j ζπ= *= 121 ()()2j j F p F s p dp j σσπ+∞ -∞-? 3. 拉普拉斯逆变换 X韧客橡塑与弹性体论坛 ?查看完整版 X韧客橡塑与弹性体论坛?注塑论坛?注塑件成本核算 页码: 1 注塑件成本核算 - 淘塑2011-04-13 16:50 注塑件成本核算 1、一般耗用取得系数是多少？ 耗用系数分两种情况： 一,可以加水口料，2%-5% 二，不可以加水口料，单模水口重量/(单模水口+成品)+2%至5% 备注:水口料可否退回加工主，否则水口料要折价，还要参考订单数量 2、不同的设备、吨位、穴数、时间不同，公式分别是什么？ 一,不同吨位价位; 例150吨-800至1000元/天 120吨-600至800/天,具体情况还要看操作工人数(一台机几人做) 二,每天(24小时)啤模数; 一般以20至22小时计(可能机,模故障) 20(小时)*60(分)*60(秒)/单模周期(秒)=每天啤塑模数 每啤单价=每天加工费/每天啤塑模数,每穴单价=每啤单价/穴数 第2问可能比较复杂，若是不好具体说的话，那么能否给我个范围，或者给我一个样例，比如用什么设备在什么情况下，加工费用是多少？ 例,150吨注塑机每天加工费1000元,每模啤塑周期20秒出8穴 20(小时)*60(分)*60(秒)/20单模周期(秒)=3600(每天啤塑模数) 1000元/3600=0.28元/模 0.28元/8穴=0.035穴 3、上哪里可以查到不同的注塑机的费用？一般机器的耗损怎么计算？ 注塑机耗损一般以8年计 例150吨每台13万 13万/8年/12个月=0.1354万/月 塑胶件的成本与很多因素有关系，但主要与以下几点组成： 1。原料成本------此成本较为好计算，问一原料供应商多少钱1公斤，将产品的重量乘以的3%的损耗再乘以原料价，即可得到原料成本; 2. 机台成本--------此点问一下塑胶厂，不同注塑机的每小时的加工费用是多少？假设1台100吨的注塑机每小时的加工费用为60元/小时，那么每分钟的加工费用为1元;此时要计算 塑胶件的注塑周期是多少时间，模具的开模穴数是多少？假设你要估价的塑胶件的射出周 期为30秒,那么1分钟可以射出60秒除以30等于二，表示1分钟可以射出二模的产品，另外假设模具为一出二穴，那么塑胶件的机台加工费用为1元除以1分钟内的出模数再除以模具 的穴数，得到最终的机台加工成本即1元除以2模再除以2穴，最后等到于0.25元/个 拉普拉斯方程 一、概念：一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压强p1与液体外的压强p2就会不同，在液面两边就会产生压强差△P= P1- P2，称附加压强，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：，式中γ是液体表面张力系数，该公式称为拉普拉斯方程。 二、在数理方程中 拉普拉斯方程为：，其中?2为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ： 其中?2称为拉普拉斯算子。 拉普拉斯方程的解称为调和函数。 如果等号右边是一个给定的函数f（x，y，z），即： 则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。 三、方程的解 称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。 四、二维方程 两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式： Δu =δ2u/δu2+δ2u/δy2=0 解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程 塑胶类产品报价计算方法 塑胶件的价格： 原材料价格+成型加工费+表面处理加工费+包材费+运输费+通关费+管理费 = 最终价格 1、原材料价格 = {产品单重+（水口重/出模数）*（1+损耗）}*原材料价格 当然这里的原材料价格要化成g为单位啦，正常情况下，我们买原材料时都是按kg来算，而产品单重都用g来称呼。 2、成型加工费 = 成型机台费用 / 24h / 3600s *（成型周期+损耗时间） 注塑机每分钟费用： 50T 0.29元/M、 80T 0.48元/M、 100T 0.57元/M、 120T 0.6元/M、 150T 0.62元/M、 200T 0.75元/M、 250T 0.89元/M、 350T 0.9元/M、 400-500T 1.52元/M 3、表面处理包括：喷油加工、丝印加工、电镀加工、烫金加工等等 喷油加工费 = 油漆用量*油漆单价+开油水用量*开油水单价+损耗*混合油单价+附助材料价喷油这里涉及到的又有很多，包括：开油比例、喷油面积、空间平面数、每平面喷枪扫射次数、喷涂时间、装治具时间、装治具人员数、装治具用附助材料价格（白电水、双面胶等）、干燥时间、干燥拉周期、检查时间、检查人员数等等。很麻烦吧。 丝印加工费 = 油漆用量*油漆单价+开油水用量* 油水单价+损耗*混合油单价+附助材料价丝印与喷油的公式差不多，但涉及到的内容比喷油的简单些，只包括：手动丝印或者移印、丝印次数、干燥、检查时间及人员数。 电镀加工与烫金加工我们之前是外发了，具体的不太了解，不过我知道烫金是需要用烫金纸现经过烫金机器，怎么一磨一贴的就完成了。 4、包材费一般情况下只是胶袋价格、纸箱、刀卡、平卡价格，有些还会用到胶板、吸塑、 汽泡袋、珍珠棉等，哦，在算价时，别忘了，要考虑到它的用量和循环次数哦！ 5、运输费比较简单，先查包装箱的包装产品个数，再看产品的包装外箱多大，根据车箱容 量计算可以容纳的纸箱数，然后把老板给的运输费一除，就知道啦，基本上，分配到每个产品上的运输费都很少啦。 6、通关费是我们自己乱给的，看那个客户不顺眼就多点一点呗，这个费用也是很小很小的啦， 一般都是在小数点后面三位。 7、管理费 = 成品的成本费*8%-20%;也就是公司的利润 另一种塑胶产品成本计算公式(其实也差不多) 单价(VAT/17%)＝材料费+加工费+包装费+管 理费+税 一、材料费： 1、塑胶原料： A、透明产品：(产品净重+50%水口+5％损耗)*原料价格(VAT/17%)。 B、不透明产品：（产品净重+2％损耗)*原料价格(VAT/17%)。 常用拉普拉斯变换总结 1、指数函数 000)(≥ ??∞-∞-∞ ----==000d d ][t s e s e t t te t L st st st 2 01d 1s t e s st ==?∞- 6、正弦函数 00sin 0)(≥ 附录A 拉普拉斯变换及反变换 419 420 421 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根； 收稿日期:2005212210 基金项目:辽宁省教育厅科研基金资助项目(05L415)? 作者简介:刘大卫(1964-),男,贵州贵阳人,贵州工业大学副教授? 第24卷 第2期 2006年4月 沈阳师范大学学报(自然科学版) Journal of S henyang Norm al U niversity (N atural Science ) V ol 124,N o.2Apr.2006 文章编号:1673-5862(2006)02-0166-04 正方形环域Laplace 方程的简明数值解法 刘大卫1,高 明2,3 (1.贵州工业大学基础部,贵州贵阳 550003; 2.沈阳师范大学物理科学与技术学院,辽宁沈阳 110034; 3.沈阳师范大学实验中心,辽宁沈阳 110034) 摘 要:通过正方形环域的Laplace 方程的数值求解过程,详细介绍了使用MA TLAB 求解微 分方程的方法?用MA TLAB 的M 文件,生成正方形环域,用函数numgrid 作网格划分,用函数delsq 建立五点差分格式建立并求解拉普拉斯方程第一边值问题?关 键 词:Laplace 方程;差分法;MA TLAB 中图分类号:O 175 文献标识码:A 0 引 言 Laplace 方程是解决电磁场问题中最常见的方程,在一些具有较复杂边界形状的区域中求出方程的 解析解是非常困难的[122]?因此寻求一种有效的、简明的数值解法对于解决实际问题中复杂边界区域中 的电磁场分布问题具有非常重要的实际价值?通过一个特殊的方形区域的电场分布问题介绍一种应用MA TLAB 数值求解Laplace 方程的方法? 考虑图1所示正方形环域,设区域内满足Laplace 方程Δu =0,内边界处电势u =100,外边界处电势u =0,求区域内的电势分布,易见,这是一个Laplace 方程的第一边值问题? 现用差分法求解这个问题,首先把研究区域划分为图2所示的网格,在这个划分中,除去边界点,区域被分为240个网格节点 ? 图1 正方形环域 图2 网格的划分 差分法求解的基本思想是,在网格节点上用差商代替微商,结合边界条件,把定解问题转化为以未知函数u (x ,y )在节点上的数值为未知量的线性方程组: Ax =b 其中,x 为解向量,代表函数u (x ,y )在节点上的数值?A 为系数矩阵,与网格节点的划分和编号方式有关,通常是一个大型的稀疏矩阵?b 为常数向量,由边界条件确定?对上述问题,A 为240×240阶稀疏矩阵,b 为240×1阶稀疏常数向量?下面用MA TLAB 提供的网格划分函数numgrid 和差分格式建立函数delsq 来构造系数矩阵A ? 注塑机计算公式 一.理论出容积π/4=0.785) (1)螺杆直径²*0.785*射出行程=理论射出容积(cm³); (2)理论射出容积/0.785/螺杆直径=射出行程(cm). 二.射出重量: 理论射出容积*塑料比重*射出常数(0.95)理想=射出重量(gr); 三.射出压力: (1)射出缸面积²/螺杆面积²*系统最大压力 (140kg/cm²)²=射出压力(kg/cm²); (2)射出缸直径²/螺杆直径²*系统最大压力(140kg/cm²)=射出压力(kg/cm²); (3)料管组合最大射出压力*实际使用压力(kg/cm²)/系统最大压力 (140kg/cm²)=射出压力(kg/cm²). 四.射出速率: (1)螺杆面积(cm²)*射出速度(cm/sec)=射出速率(cm³/sec); (2)螺杆直径(cm²)*0.785*射出速度(cm/sec)=射出速度(cm³/sec). 五.射出速度: (1)射出速率(cm³/sec)/螺杆面积(cm²)=射出速度(cm/sec); (2)泵浦单转容积(cc/rev)*马达转速(rev/sec)/60(秒)/射出面积(cm²)=射出速度(cm/sec). (马达转速RPM:60HZ------1150,50HZ-----958) 六.射出缸面积; 射出压力(kg/cm²)/系统最大压力(140kg/cm²)*料管面积(cm²)=射出缸面积(cm²); 单缸---(射缸直径²-柱塞直径²)*0.785=射出缸面积(cm²); 双缸---(射缸直径²-柱塞直径²)*0.785*2=射出缸面积(cm²). 七.泵浦单转容积: 射出缸面积(cm²)*射出速度(cm/sec)*60秒/马达转速=泵浦单转容积(cc/sec). (马达转速RPM: 60HZ------1150,50HZ-----958) 八.螺杆转速及油压马达单转容积: 泵浦单转容积(cc/rec)*马达转速(RPM)/油压马达单转容积=螺杆转速; 1．锁模力 F（TON）公式：F=Am*Pv/1000 F：锁模力:TON Am：模腔投影面积:CM2 Pv：充填压力:KG/CM2 （一般塑胶材料充填压力在150-350KG/CM2） （流动性良好取较底值，流动不良取较高值） 射出压力=充填压力/0.4-0.6 例：模腔投影面积 270CM2 充填压力 220KG/CM2 锁模力=270*220/1000=59.4TON 2．射出压力 Pi（KG/CM2）公式：Pi=P*A/Ao即：射出压力=泵浦压力*射出油缸有效面积÷螺杆截面积 Pi: 射出压力 P：泵浦压力 A：射出油缸有效面积 Ao:螺杆截面积 A=π*D2/4 D：直径π：圆周率3.14159 例1：已知泵浦压力求射出压力？ 泵浦压力=75KG/CM2 射出油缸有效面积=150CM2 螺杆截面积=15.9CM2（∮45mm）公式：2〒R2即：3.1415*（45mm÷2）2=1589.5mm2 Pi=75*150/15.9=707 KG/CM2 例2：已知射出压力求泵浦压力？ 所需射出压力=900KG/CM2 射出油缸有效面积=150CM2 螺杆截面积=15.9CM2（∮45） 泵浦压力P= Pi*Ao/A=900*15.9/150=95.4 KG/CM2 3．射出容积 V（CM3）公式：V= π*(1/2Do)2*ST即：射出容积=3.1415*半径2*射出行程 V：射出容积 CM3 π：圆周率 3.1415 Do：螺杆直径 CM ST：射出行程 CM 例：螺杆直径 42mm 射出行程 165mm V= π*（4.2÷2）2*16.5=228.6CM3 4．射出重量 Vw(g) 公式：Vw=V*η*δ即：射出重量=射出容积*比重*机械效率Vw：射出重量 g V：射出容积η：比重δ：机械效率 例：射出容积=228.6CM3 机械效率=0.85 比重=0.92 射出重量Vw=228.6*0.85*0.92=178.7G 5．射出速度 S（CM/SEC）公式：S=Q/A即：射出速度=泵浦吐出量÷射出油缸有效面积S：射出速度 CM/SEC A：射出油缸有效面积 CM2 Q：泵浦吐出量 CC/REV公式：Q=Qr*RPM/60 (每分钟/L)即：泵浦吐出量=泵浦每转吐出量*马达回转数/每分钟 Qr：泵浦每转吐出量（每回转/CC） RPM：马达回转数/每分钟 例：马达转速 1000RPM/每分钟泵浦每转吐出量85 CC/RPM 射出油缸有效面积 140 CM2 S=85*1000/60/140=10.1 CM/SEC 6．射出率 Sv(G/SEC)公式：Sv=S*Ao即：射出率=射出速度*螺杆截面积 Sv：射出率G/SEC S：射出速度CM/SEC Ao：螺杆截面积 例：射出速度=10CM/SEC 螺杆直径∮42 面积=3.14159*4.2*4.2/4=13.85CM2 Sv=13.85*10=138.5G/SEC 拉普拉斯方程 拉普拉斯方程（Laplace's equation）又称调和方程、位势方程，是一种偏微分方程，因由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。 [1] 拉普拉斯方程表示液面曲率与液体表面压强之间的关系的公式。 中文名 拉普拉斯方程 外文名 Laplace's equation 别称 调和方程、位势方程 提出者 拉普拉斯 关键词 微分方程、拉普拉斯定理 涉及领域 电磁学、天体物理学、力学、数学 目录 .1基本概述 .?在数理方程中 .?方程的解 .2二维方程 .3人物介绍 基本概述 一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压强p1与液体外的压强p2就会不同，在液面两边就会产生压强差△P= P1- P2，称附加压强，其数值与液面曲率大小有关，可表示为： ，式中γ是液体表面张力系数，该公式称为拉普拉斯方程。 在数理方程中 拉普拉斯方程为： ，其中?2为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ： 其中?2称为拉普拉斯算子。 拉普拉斯方程的解称为调和函数。 如果等号右边是一个给定的函数f（x，y，z），即： 则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子 （可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。 方程的解 称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。 [2] 二维方程 拉普拉斯变换公式总结.. 拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞-- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ =? （2） 定义域 若0 σσ>时，lim ()0 t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0 σσ>的全部范围内 收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存在，即()f t 的拉普拉斯变换 存在。0 σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0 σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若 11[()]() f t F S ζ=, 22[()]() f t F S ζ=, 1 κ, 2 κ为常数时，则 11221122[()()]()() f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() []()(0)df t sF s f dt ζ- =- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中() (0) r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0- 时刻的取值。 （3） 原函数积分 若 [()]() f t F s ζ=，则 (1)(0) ()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+ ? 式中 (1)(0)()f f t dt ---∞ =? （4） 延时性 若[()]()f t F s ζ=，则0 [()()]() st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移 若[()]()f t F s ζ=，则[()]() at f t e F s a ζ-=+ （6） 尺度变换 塑胶产品成本计算公式 塑胶产品报价计算一个塑胶件的价格：原材料价格+成型加工费+表面处理加工费+包材费+运输费+通关费+管理费 = 最终价格 1、原材料价格 = {产品单重+（水口重/出模数）*（1+损耗）}*原材料价格 当然这里的原材料价格要化成g为单位啦，正常情况下，我们买原材料时都是按kg来算，而产品单重都用g来称呼。 2、成型加工费 = 成型机台费用 / 24h / 3600s *（成型周期+损耗时间） 注塑机每分钟费用：50T 元/M、 80T 元/M、 100T 元/M、 120T 元/M、 150T 元/M、200T 元/M、 250T 元/M、 350T 元/M、 400-500T 元/M 3、表面处理包括：喷油加工、丝印加工、电镀加工、烫金加工等等 喷油加工费 = 油漆用量*油漆单价+开油水用量*开油水单价+损耗*混合油单价+附助材料价 喷油这里涉及到的又有很多， 包括：开油比例、喷油面积、空间平面数、每平面喷枪扫射次数、喷涂时间、装治具时间、装治具人员数、装治具用附助材料价格（白电水、双面胶等）、干燥时间、干燥拉周期、检查时间、检查人员数等等。很麻烦吧。 丝印加工费 = 油漆用量*油漆单价+开油水用量* 油水单价+损耗*混合油单价+附助材料价 丝印与喷油的公式差不多，但涉及到的内容比喷油的简单些，只包括：手动丝印或者移印、丝印次数、干燥、检查时间及人员数。 电镀加工与烫金加工我们之前是外发了，具体的不太了解，不过我知道烫金是需要用烫金纸现经过烫金机器，怎么一磨一贴的就完成了。 4、包材费一般情况下只是胶袋价格、纸箱、刀卡、平卡价格，有些还会用到胶板、吸塑、汽泡袋、珍珠棉等，哦，在算价时，别忘了，要考虑到它的用量和循环次数哦！ 5、运输费比较简单，先查包装箱的包装产品个数，再看产品的包装外箱多大，根据车箱容量计算可以容纳的纸箱数，然后把老板给的运输费一除，就知道啦，基本上，分配到每个产品上的运输费都很少啦。 6、通关费是我们自己乱给的，看那个客户不顺眼就多点一点呗，这个费用也是很小很小的啦， 一般都是在小数点后面三位。 7、管理费 = 成品的成本费*8%-20%;也就是公司的利润 另一种塑胶产品成本计算公式(其实也差不多) 单价(VAT/17%)＝材料费+加工费+包装费+管理费+税 一、材料费： §4 偏微分方程的数值解法 一、 差分法 差分法是常用的一种数值解法.它是在微分方程中用差商代替偏导数，得到相应的差分方程，通过解差分方程得到微分方程解的近似值. 1. 网格与差商 在平面 (x ,y )上的一以S 为边界的有界区域D 上考虑定解问题.为了用差分法求解，分别作平行于x 轴和y 轴的直线族. ?? ?====jh y y ih x x i i (i ,j =0,±1,±2,…,±n ) 作成一个正方形网格，这里h 为事先指定的正数，称为步 长；网格的交点称为节点，简记为(i ,j ).取一些与边界S 接近的网格节点，用它们连成折线S h ，S h 所围成的区域记作D h .称D h 内的节点为内节点，位于S h 上的节点称为边界节点（图14.7）.下面都在网格D h + S h 上考虑问题：寻求各个节点上解的近似值.在边界节点上取与它最接近的边界点上的边值作为解的近似值，而在内节点上，用以下的差商代替偏导数： ()()[]()()[]()()()[]()()()[]()()()[]y x u h y x u y h x u h y x u h y x u h y x u y x u h y x u h y u y h x u y x u y h x u h x u y x u h y x u h y u y x u y h x u h x u ,),(,,1 ,,2,1 ,,2,1 ,,1 ,,1 222 22222++-+-+≈???-+-+≈ ??-+-+≈ ??-+≈??-+≈?? 注意， 1? 式中的差商()()[]y x u y h x u h ,,1 -+称为向后差商，而()()[]y h x u y x u h ,,1--称为向 前差商，()()[]y h x u y h x u h ,,21 --+称为中心差商.也可用向前差商或中心差商代替一阶偏导数. 2? x 轴与y 轴也可分别采用不同的步长h ,l ，即用直线族 ?? ?====jh y y ih x x j i (i,j =0, ±1, ±2 , ) 作一个矩形网格. 2. 椭圆型方程的差分方法 [五点格式] 考虑拉普拉斯方程的第一边值问题 图14.7 附录A拉普拉斯变换及反变换1.拉氏变换的基本性质 附表A-1 拉氏变换的基本性质 419 2．常用函数的拉氏变换和z变换表 附表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表 420 421 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式，即 11 10111) ()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++== ---- （m n >） 式中，系数n n a a a a ,,...,,110-和011,,,,m m b b b b - 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 （1）0)(=s A 无重根：这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式，即 ∑ =-= -+ +-+ +-+ -= n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 1 2 21 1)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根；i c 为待定常数，称为()F s 在i s 处的留数，可按下列两式计算：lim ()()i i i s s c s s F s →=- （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= ) ()( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为 []?? ????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1)()(＝1i n s t i i c e =∑ (F -4) （2）0)(=s A 有重根：设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 塑胶产品成本计算公式 塑胶产品成本计算公式单价(VAT/17%)=材料费+加工费+包装费+管理费+税 一、材料费： 1、塑胶原料： A、透明产品：(产品净重+50%水口+5%损耗)X原料价格(VAT/17%)。 B、不透明产品：(产品净重+2%损耗)X原料价格(VAT/17%)。 2、油漆费：(喷油后产品重量-注塑产品重量+15%损耗)X色漆价格(VAT/17%)。 3、铜花母：价格按0.10元/个计算。 二、注塑及其加工费： 1、成型费标准： 注塑机型/吨位(T) 成型费(元/分钟) 海天/80T ￥0.48 海天/110T ￥0.57 海天/150T ￥0.62 海天/200T ￥0.75 海天/250T ￥0.89 2、喷油费： A、大件产品(如外壳)：价格按0.05元/个(含人工费)计算。 B、小件产品(如按键、封帽等)：价格按0.05元/排(含人工费)计算。 3、丝印费 A、普通丝印(1～3行字或符号)：价格按0.03元/次/颜色(含材料和人工费)计算 B、大丝印(4行字或符号以上)：价格按0.04元/次/颜色(含材料和人工费)计算。 C、镜片丝印：加5%成品损耗。 注塑件费用=材料费+加工费+包装费+运输费 说明： 1. 材料费=【(1+材料损耗)*产品重量*批量+调机损耗材料重量+正常报废率*产品重量*批量】*材料单价/批量 其中材料损耗一般为3%-5%;调机损耗材料重量和正常报废产品重量一般产品为5000g---15000g 2.加工费=(调机时间/批量+成型时间/模具穴数)*注塑机工缴费 其中据我了解目前上海地区注塑机工缴费按注塑机吨位区分为(国产设备) 设备吨位(T ) 工缴费( 元/小时) 设备吨位(T ) 工缴费( 元/小时) 80 35-45 200 110-160 100 45- 60 250 150-200 120 65-85 300 180-220 150 80-110 350 200-250 180 95-140 400 250-350 另一种注塑价格核算方法是按材料区分,规定材料价格*产品重量。如： 产品材料产品重量范围加工单价(元/g) ABS ≤2g 0.08 2g≤,≤5g 0.06 2g≤,≤10g 0.04 ≥10g 0.03 PC ≤2g 0.08 2g≤,≤5g 0.05 ≥5g 0.045 拉普拉斯方程（Laplace's equation）又称调和方程、位势方程，是一种偏微分方程，因由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。 拉普拉斯方程表示液面曲率与液体表面压强之间的关系的公式。 基本概述 一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压强p1与液体外的压强p2就会不同，在液面两边就会产生压强差△P= P1- P2，称附加压强，其数值与液面曲率大小有关，可表示为： ，式中γ是液体表面张力系数，该公式称为拉普拉斯方程。 在数理方程中 拉普拉斯方程为：，其中?2为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普 拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ： 其中?2称为拉普拉斯算子。 拉普拉斯方程的解称为调和函数。 如果等号右边是一个给定的函数f（x，y，z），即： 则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。 方程的解 称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。 二维方程 两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式： 解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。 人物介绍 §2-8 拉普拉斯(Laplace)定理 行列式的乘法规则 一、拉普拉斯定理 定义9 在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列(n k ≤)，位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ，称为行列式D 的一个k 级子式.在D 中划去这k 行k 列后余下的元素按照原来的次序组成的k n -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式. 从定义立刻看出，M 也是M '的余子式.所以M 和M '可以称为D 的一对互余的子式. 例1 在四级行列式 3 10 120012104121 -=D 中选定第一、三行，第二、四列得到 一个二级子式M ： 1 042= M , M 的余子式为 1 020= 'M . 例2 在五级行列式55 54 5352 51 25242322211514131211 a a a a a a a a a a a a a a a D = 中, 45 43 42 252322 15 1312 a a a a a a a a a M =和54 51 34 31 a a a a M ='是一对互余的子式. 定义10:设D 的k 级子式M 在D 中所在的行、列指标分别是 k k j j j i i i ,,,;,,,2121 ，则M 的余子式M '前面加上符号)()(2121)1(k k j j j i i i +++++++- 后 称做M 的代数余子式. 因为M 与M '位于行列式D 中不同的行和不同的列，所以有下述 引理 行列式D 的任一个子式M 与它的代数余子式A 的乘积中的每一项都是行列式D 的展开式中的一项，而且符号也一致. 定理6(拉普拉斯定理) 设在行列式D 中任意取定了k (11-≤≤n k )个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D . 通常工厂在购买注塑机的时候都是根据自己产品的重量来选择相适应的射出量注塑机。但很多人对一些注塑机生产厂家提供的机器理论射胶容积、理论射胶量、实际射胶量不是很理解，现在将这些数据的计算方法以及如何根据塑料制件选择注塑机的常识问题﹐介绍如下﹕ 一﹑理论射胶容积和理论射胶量 理论射胶容积是按设计值进行计算﹐公式是 V= π/4 Ds2* S (公式1) V-论射胶容积cm3 Ds-螺杆直径cm S-射胶行程cm 理论射胶量等于理论射胶容积乘以塑料常温下的密度即﹕ G=VXρ（公式2) G-理论射胶量g V-理论射胶容积cm3 ρ-常温下的塑料密度g/ cm3 基于聚苯乙烯(ps)塑料的特征﹐通常采用其密度值作为计算的标准﹕ps的常温下密度为1.05g/ cm3。例如﹐公司产品版本中的160F机﹐理论射胶容积307cm3﹐理论射胶量为307×1.05=322.4g 二﹑实际射胶容积和射胶量 每次射胶所需要的容积由每个型腔物料的重量乘以型腔的个数﹐再加上浇口、流通的重量，然后除以在该塑模温度下塑料的密度得到： V=G/ρ熔积Xη （公式3） V-理论射胶熔积cm3 G-实际最大射胶量g ρ-塑料在模塑温度下的密度g/cm3 η-栓胶圈效率安全系数 考虑到射胶过程期间塑料熔体在栓胶圈关闭之前和随橡胶圈与料筒间隙的回流，因此包含一个安全系数η。对多数塑料说，η是0.97，对尼龙η为0.95。 目前公司的注塑机F3、F3J、PVC、PET等系列产品样本中标示的射胶容积和射胶量就是按以上公式和聚苯乙烯密度标准得出。例如：160F2机，射胶容积V=329cm3，ps的熔化温度下密对ρ熔体=0.93g/cm3,ξ=0.97,套用公式(3)计算得出，实际最大射胶量为296g。 对于聚苯乙烯（PS），另外一种实际射胶量的经验计算方法，就是由理论射胶空积，乘以一系数再乘以室温下的聚苯乙烯的密度得到： G=V×ρ×α G-最大实际射胶量g V-理论射胶容积cm3 ρ-ps室温下密度1.05g/cm3 α-系数 按照国家行业标准JB/T7267.94，α取值为0.85。 总重量=所有胶件部分的重量+流道部分的重量注射时的射胶量即为总重量，一段射胶位置即为流道部分的射胶量；二段射胶位置即为产品走胶90%时的射胶量；三段为末段的射胶量。拉普拉斯方程数值解
拉普拉斯变换公式总结
注塑件成本计算
拉普拉斯方程
塑胶件核价公式
常用拉普拉斯变换总结
常用函数的拉氏变换[1]
正方形环域Laplace方程的简明数值解法
注塑机计算公式
注塑工艺计算公式
拉普拉斯方程
拉普拉斯变换公式总结..
塑胶产品成本计算公式
4. 偏微分方程的数值解法
附表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
塑胶件的成本计算公式
拉普拉斯方程
拉普拉斯(Laplace)定理
注塑机射胶量的计算方法