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全等辅助线添加秘籍3

全等辅助线秘籍三

一、倍长中线法

例1

(北京文汇中学2009-2010期中测试题)，AD 是△ABC 中BC 边上的中线，若AB =2，AC =4，则AD 的取值范围是___________。

例2

已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF =EF ，求证：AC =BE 。

A B C

D E

中点的妙用

例3

⑴如图1，△ABC 与△BDE 均为等腰直角三角形，BA ⊥AC ，ED ⊥BD ，点D 在AB 边上。连接EC ，取EC 中点F ，连接AF ，DF ，猜测AF ，DF 的数量关系和位置关系，并加以证明。

图1

⑵如图2，将△BDE 旋转至如图位置，使E 在AB 延长线上，D 在CB 延长线上，其他条件不变，则⑴中AF ，DF 的数量关系和位置关系是否发生变化，并加以证明。

D A

图2

例4

已知四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证EFGH 为平行四边形。

F D

例5

如图，已知四边形ABCD 中，AB =CD ，M 、N 分别为BC 、AD 中点，延长MN 与AB 、CD 延长线交于E 、F ，求证∠BEM =∠CFM

E F

例6

已知△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD =∠ACE =90°，连接DE ，设M 为DE 的中点。 ⑴求证：MB =MC ；

⑵设∠BAD =∠CAE ，固定Rt △ABD ，让Rt △ACE 移至图示位置，此时MB =MC 是否成立？请证明你的结论。

A C

出现中点的时候一般有以下作辅助线的方法 ⑴倍长中线法 ⑵构造中位线

⑶如果是直角三角形，经常还会构造斜边上的中线

例7

如图，已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，点M 为EC 中点，求证△BMD 为等腰直角三角形。

1．在△ABC 中，AB =12，AC =30，求BC 边上的中线AD 的范围。

2．在△ABC 中，D 为BC 边上的点，已知∠BAD =∠CAD ，BD =CD ，求证：AB =AC 。

3．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，M 是BC 中点，∠B =2∠C ，如图，求证：DM =

4．已知△ABC 中，AC =7，BC =4，D 为AB 中点，E 为边AC 上一点，且102

AED C

∠=?+∠9，

求CE 的长。

5．在任意五边形ABCDE 中，M,N,P,Q 分别为AB 、CD 、BC 、DE 的中点，K 、L 、分别为MN 、PQ 的中点，求证：KL 平行且等于1

4A E 。

6．如图，已知△ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD=AB，那么CE是CD的几分之几？

7．四边形ABCD四边中点分别为E、F、G、H，当四边形ABCD满足时，EFGH 为菱形；当四边形ABCD满足时，EFGH为矩形；当四边形ABCD满足时，EFGH为正方形。

初中几何辅助线技巧秘籍

初中几何辅助线技巧大全一初中几何常见辅助线口诀人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为△和□。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。圆形半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。注意点辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。

基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。二由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线（一）、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。图1-1 O A B D E F C A D E

初中数学辅助线的添加方法

初中数学辅助线的添加方法一、添辅助线有二种情况 1、按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们，相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。2、按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。（4）直角三角形斜边上中线基本图形：出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。（5）三角形中位线基本图形：

几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线（7）相似三角形：相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。（8）特殊角直角三角形：当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明（9）半圆上的圆周角：出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角；出现90度的圆周角则添它所对弦---直径；平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等组成一样。二、基本图形的辅助线的画法

全等三角形中辅助线的添加

全等三角形中辅助线的添加一.教学内容：全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。二．知识要点： 1、添加辅助线的方法和语言表述（1）作线段：连接……；（2）作平行线：过点……作……∥……；（3）作垂线（作高）：过点……作……⊥……，垂足为……；（4）作中线：取……中点……，连接……；（5）延长并截取线段：延长……使……等于……；（6）截取等长线段：在……上截取……，使……等于……；（7）作角平分线：作……平分……；作角……等于已知角……；（8）作一个角等于已知角：作角……等于……。 2、全等三角形中的基本图形的构造与运用常用的辅助线的添加方法：（1）倍长中线（或类中线）法：若遇到三角形的中线或类中线（与中点有关的线段），通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形。（2）截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；②补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。（3）一线三等角问题（“K”字图、弦图、三垂图）：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。（4）角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。（5）角含半角、等腰三角形的（绕顶点、绕斜边中点）旋转重合法：用旋转构造三角形全等。（6）构造特殊三角形：主要是30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造)和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形。三、基本模型：（1） △ABC中AD是BC边中线方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE

全等三角形辅助线秘籍-中线倍长发(优质讲义)可编辑打印

全等三角形的辅助线秘籍（一）—中线倍长学生/课程年级学科授课教师日期时段核心内容中线倍长的辅助线添加课型教学目标1.让学生理解中线倍长的思想方法，明确什么时候需要添加此种辅助线. 2.让学生掌握中线倍长的特点，构造SAS型全等. 重、难点中线倍长辅助线的添加知识导图知识梳理 1.中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线． 2.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线（或类中线）延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 3.倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，用SAS证全等。倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。口诀：遇中线，先倍长；证全等，找关系。 4.利用中线倍长我们通常可以解决：线段的不等关系（结合三角形的三边关系），线段相等，线段倍分。 5.遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．（8字型） △ABC中，AD是BC边中线

（1）方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE （2）延长MD到N，使DN=MD，连接CD 导学一：利用中线倍长证明线段的等量关系例 1. 已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF。我爱展示 1. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE．求证：AD+BC=DC．导学二：利用中线倍长证明线段的等量关系例 1. 如图，在△ABC中，点0为BC的中点，点M为AB上一点，ON⊥OM交AC于N．求证：BM+CN＞MN．

第四讲------三角形中辅助线的常见的添加方法

第四讲-------常用的辅助线的方法知识点一：三角形问题添加辅助线方法 1）、方法1：三角形中线--------------中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。 2）、方法2：含有平分线------------构造全等三角形。常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。 3）、方法3：证明两线段相等，可通过构成全等三角形；利用关于平分线段的一些定理；转化到同一三角形中，证明角相等； 4）、方法4：证明一条线段与另一条线段之和等于第三条线段-----------常采用截长法或补短法。截长法是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。三角形中作辅助线的常用方法举例一．倍长中线 1：已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图5-2，求证EF ＝2AD 。 A B C D E F 2 5 图

二、截长补短法作辅助线。在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠ACB ＝2∠B ，求证：AB ＝AC ＋CD 。三、延长已知边构造三角形：例如：如图7-1：已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B ，求证：AD ＝BC 练习如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD 的长。 A D C B E 12 A B C D E 1 7 图O

几种证明全等三角形添加辅助线方法

全等三角形复习课适用学科数学适用年级初中二年级适用区域通用课时时长（分钟）120 知识点全等三角形的性质和判定方法熟练掌握全等三角形的性质和判定方法，并学会用应用教学目标学会做辅助线证明三角形全等，常用的几种作辅助线的方法教学重点通过学习全等三角形，提高学生观察能力和分析能力教学难点教学过程构造全等三角形几种方法在几何解题中，常常需要添加辅助线构造全等三角形，以沟通题设与结论之间的联系。现分类加以说明。一、延长中线构造全等三角形例1.如图1，AD是厶ABC的中线，求证：AB+ AC>2AD。图1 图2 证明：延长AD至E,使AD= DE,连接CE如图2。??? AD是厶ABC的中线，二BD= CD。又???/ 1 = Z 2，AD= DE, ???△ ABD^A ECD( SAS。AB= CE ???在△ ACE中，CE+ AC>AE, ??? AB+ AC> 2AD。、沿角平分线翻折构造全等三角形

例 2.如图 3,在厶 ABC 中，/ 1 = / 2,/ ABC = 2/C 。求证：AB + BD = AC 。 A D 图3 ■ 3 ---- -- C 图4 证明：将厶ABD 沿AD 翻折，点B 落在AC 上的E 点处，即：在AC 上截取 AE = AB,连接EDb 如图4。 ???/ 1 = / 2, AD =AD , AB = AE, ???△ ABD^A AED ( SAS 。 ??? BD = ED,/ ABC =/ AED = 2/C 。而/AED =/ C +/ EDC ???/ C =/ EDC 所以 EC = ED = BD 0 ??? AC = AE + EC,二 AB + BD = AG 三、作平行线构造全等三角形例3.如图5,A ABC 中，AB = AG E 是AB 上异于A 、B 的任意一点，延长 AC 至U D , 使 CD = BE,连接 DE 交 BC 于 F 。求证：EF = FD 证明：过E 作EM // AC 交BC 于M ，如图6 则/ EMB =/ ACB / MEF =/ CDR ??? AB = AC,A / B =/ ACB ???/ B =/ EMB 。故 EM = BE ??? BE = CD,二 EM = CB 又???/ EFM=/ DFC / MEF =/ CDF

全等辅助线(倍长中线,截长补短,旋转,角分线)

D C B A E D F C B A 全等三角形常用辅助线一、倍长中线（线段）造全等 1：（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________. 2：如图△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 3：如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. E D C B A

E D A 中考应用（09崇文二模）以ABC ?的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ?和等腰Rt ACE ?，90,BAD CAE ∠=∠=?连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC ?为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是，线段AM 与DE 的数量关系是；（2）将图①中的等腰Rt ABD ?绕点A 沿逆时针方向旋转? θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．二、截长补短 1.如图，ABC ?中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC 2、如图，AC ∥BD ，EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AC+BD C D B A

D C B A P 2 1 D C B A P Q C B A 3：如图，已知在ABC 内，0 60BAC ∠=，0 40C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 4：如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证：0 180=∠+∠C A 5:如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC

中考数学几何辅助线秘籍

中考数学几何辅助线秘籍等腰三角形 1.作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法； 2.作一腰上的高； 3.过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。梯形 1.垂直于平行边 2.垂直于下底，延长上底作一腰的平行线 3.平行于两条斜边 4.作两条垂直于下底的垂线 5.延长两条斜边做成一个三角形菱形 1.连接两对角 2.做高平行四边形 1.垂直于平行边 2.作对角线--把一个平行四边形分成两个三角形 3.做高--形内形外都要注意矩形 1.对角线 2.作垂线很简单。无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等。三角形图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。解几何题时如何画辅助线? ①见中点引中位线，见中线延长一倍在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关

问题。 ②在比例线段证明中，常作平行线。作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。 ③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有 1、过上底的两端点向下底作垂线 2、过上底的一个端点作一腰的平行线 3、过上底的一个端点作一对角线的平行线 4、过一腰的中点作另一腰的平行线 5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交 6、作梯形的中位线 7、延长两腰使之相交四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线。

三角形全等添加辅助线的5种常用方法

三角形全等添加辅助线的5种常用方法三角形全等的证明及相关问题，是初中几何部分的基础，也是重点和难点，不管是在中考还是平时的考试中，都是高频出现。全等三角形的基础知识点就那么几条，很容易掌握，但是一般考试中的题目，不可能直接给出几组条件让我们直接写出证明过程，很多时候都要经过分析思考，添加辅助线，才能得到全等三角形。下面就简单介绍一下构造全等三角形的五种常用方法。一、等腰三角形三线合一法当我们遇到等腰三角形（等边三角形）相关题目时，用三线合一性质，很容易找出思路。它的原理就是利用三角形全等变换中的对折重叠。我们来看一个例题：二、倍长中线法遇到一个中点的时候，通常会延长经过该中点的线段。倍长中线指延长中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等。如图所示，点D为△ABC边BC的中点．延长AD至点E，使得DE＝AD，并连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）。

我们来看一个例题：三、遇角平分线作双垂线法在题中遇见角平分线，做双垂直，必出全等三角形。可以从角平分线上的点向两边作垂线，也可以过角平分线上的点作角平分线的垂线与角的两边相交。在很多综合几何题当中，关于角平分线的辅助线添加方法最常用的就是这个。看看在具体题目中怎么操作吧！

四、作平行线法在几何题的证明中，作平行线的方法也非常实用，一般来讲，在等腰、等边这类特殊的三解形中，作平行线绝对是首要考虑。五、截长补短法题目中出现线段之间的和、差、倍、分时，考虑截长补短法；截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段间的等量关系。

初中几何辅助线大全(很详细哦)

初中几何辅助线—克胜秘籍等腰三角形 1. 作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法； 2. 作一腰上的高； 3 .过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。梯形 1. 垂直于平行边 2. 垂直于下底，延长上底作一腰的平行线 3. 平行于两条斜边 4. 作两条垂直于下底的垂线 5. 延长两条斜边做成一个三角形菱形 1. 连接两对角 2. 做高平行四边形 1. 垂直于平行边 2. 作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形 3. 做高——形内形外都要注意矩形 1. 对角线 2. 作垂线

很简单。无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等。三角形图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。解几何题时如何画辅助线? ①见中点引中位线，见中线延长一倍在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。 ②在比例线段证明中，常作平行线。作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。 ③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有 1、过上底的两端点向下底作垂线

初中数学常见辅助线的添加方法

初中数学常见辅助线的添加方法 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

中考数学复习专题 ——几何论证题中辅助线的添加方法例1： ADBC 中AB ∥CD ，底角∠ABC=450 AC 、BD 交于点O ，且∠BOC=1200 分析：在已知条件中，底角∠ABC=450，有的同学想到延长两腰，出现一个等腰直角三角形。而在本题中这样添辅助线，反而增加解题困难，因为 ∠BOC=1200 的条件不能很好的运用。故本题添辅助线时，应考虑过上底顶点D （或A ）作对角线的平行线，把梯形问题转化为平行四边形及顶角为1200的等腰三角形问题，而解等腰三角形时，常添的辅助线是作底上的高，这样不难求BC AD 的比值。证明：过D 点作DF ∥AC 交BC 的延长线于F ，作DE ⊥BC 于E AD ∥BC AD=CF AC ∥DF ??ACFD 平行四边形 AC=DF 等腰梯形ABCD ? DB=AC ?BD=DF AC ∥DF ?∠BDF=∠BOC=1200 DE ⊥BF ∠BDE=600 ? BE=EF ?BE=EF=a 3 ∠BED=900 设a DE =

DE ⊥BC a CE DE == a AD CF )13(-== ∠BCD=450 EF=a 3 a CE BE BC )13(+=+= PQ 是线段AB 的中垂线， OD ⊥BC OD 的中点是线段AB 的中垂线，同学们肯定想到连结AC 运用线段中垂线性质，但证明此题这样的添线与其它已知条件的应用没有多大关系，这种添线不能解答本题，而图中出现“母子三角形”，使我们想到能否运用三角形相似及线段成比例来解本题。而要证CM ⊥AD ，从图中观察到如能证得∠1=∠A ，那么CM ⊥AD 即可成立；而∠A 除了在Rt △AON 中，它还在△AOD 中，若把∠1也放到与△AOD 相似的三角形中，结论就可成立。因此构筑一个与△AOD 相似的三角形是本题解答的关键。而已知条件M 是OD 的中点，想到增添中点（或添平行线）的方法，故取OC 的中点为G ，想法证明△AOD ∽ △CGM 。通过基本图形分析，发现∠2=∠3，故∠AOD=∠CGM 。因此证：GM CG OD AO =是本题又一关键。证明：取OC 的中点为G ，连GM, ∵PQ 是AB 的中垂线, ∴∠BOC=900设OA=OB=a ，OD=b . ∵OD ⊥BC, ∴∠CDO=∠ODB=900

全等三角形中常见辅助线的添加方法

全等三角形中常见辅助线的添加方法举例一．有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。例：如图1：已知AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE ＋CF ＞EF 。二、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例：：如图2：AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE ＋CF ＞EF 三、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。例：如图3：AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。图3 练习：已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4，求证EF ＝2AD 。 A B C D E F N 1 图1234 2 图A B C D E F M 123 4A B C D E A B C D E F 4 图

四、截长补短法作辅助线。例如：已知如图5：在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任一点。求证：AB －AC ＞PB －PC 。五、延长已知边构造三角形：例如：如图6：已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B ，求证：AD ＝BC 六、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图8：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠1＝∠2，CE ⊥BD 的延长于E 。求证：BD ＝2CE 7 七、连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图9；AC 、BD 相交于O 点，且AB ＝DC ，AC ＝BD ，求证：∠A ＝∠D 。八、取线段中点构造全等三有形。例如：如图10：AB ＝DC ，∠A ＝∠D 求证：∠ABC ＝∠DCB 。 A B C D N M P 5图12A B C D E 6 图O D B A 110 图O 10图D C B A M N

(完整版)三角形全等添加辅助线口诀

三角形全等添加辅助线口诀人说几何很困难点就在辅助线，辅助线，如何添加？把握定理和概念，还要刻苦加钻研，找出规律凭经验，图中有角平分线，可向两边引垂线，也可将图对折看，对称以后关系现，角平分线平行线，等腰三角形来添，角平分线加垂线，三线合一试试看，线段垂直平分线，常向两边把线连，要证线段倍与半，延长缩短可试验，三角形中两中点，连接则成中位线，三角形中有中线，延长中线等中线。几何，不谈战术谈战略学而思中考研究中心施佳辰作为和代数并列为初中数学两大知识点的几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。话虽如此，变形金刚也不是无敌的，最终仍旧是人类的智慧更胜一筹。实际上，每一道几何题目背后都有着一定的法则和规律，每一类题都有着相似的解题思想，这种思想的集中体现，便是模型（变形金刚的原力所在）对于几何，我们不仅仅要在战术上坚定执行，在战略层面上也要对几何在初中三年的整体学习有一个明确的了解。得模型者得几何，而模型思想的建立又并非一朝一夕，是需要同学们在大量的实战做题和不断总结方法中培养出来的。对于模型的理解和认识，分为很多层面，最浅的是基本的形似，看到图形相仿或相似的题目，能够有意识的联想以前学过的题型并加以运用，套用，这是最简单的模型思想。高一些的是神似，看到一些关键点，关键线段或是题目所给

条件的相似便能够联想到所学知识点，通过推理和演绎逐步取得正确的解法，记住的是一些具体模型，这，是第二种层次。最高的境界是，心中只有很少几种基本模型，这些模型就像种子，看到一道题目就会发芽，开花结果，随着对于题目的深入理解，不断地寻找适合的花朵，每一朵花上面都有着一种具体的模型，而每种模型之间，都会有树枝相连，相互间并不是孤立的，而是借由其他条件贯穿连接的。达到这样的理解才能算是包罗万象，驾轻就熟。我们对于模型的把控能不应当仅限于会用于具有明显模型特征的题目，对于一些特征并不明显的题目，我们要有能力添加辅助线去挖掘图形当中的隐藏属性。这就要求同学们对于每一种基本图形的理解要十分深刻，不仅仅要认识模型，还要会补全模型，甚至构造模型来解决问题，这对于同学们动手添加辅助线的能力要求就很高了。学好几何无非做好以下几点想学好几何，一定要注意以下几点： 1、多做题，在起步初期，多见一些题，对一些模型有初步认识。 2、多总结，尽量在老师的帮助下能够总结出一些模型的主要辅助线做法和解题方法。 3、多应用，多用模型解决问题，不要没有方法的撞大运，要根据图形特点思考解法。 4、多完善，不断做题总会有新的知识添加到已有的模型体系中来，不断壮大自己的知识树。 5、多思考，对于任何一道题都有可能存在不止一种方法，每种方法涉及到的模型不尽相同，要能够通过一题多解发现模型之间的相互关系，增强自己对模型的理解深度。从长远的角度来说，中考几何压轴的考察趋势越来越倾向于竞赛化的趋势，而考察重点则是以三大变化为主题的综合题目。如今三大变换的思想也在不断的渗透在初二几何的题目中来，平移、旋转、轴对称这些技巧也会慢慢被我们所熟识。然而仅仅熟悉并不够，我们还要结合模型把他们灵活掌握并能够精确与用到实际的题目中去，这样才能使我们做几何题目的能力有所提高。初二这一年是模型大爆炸得时期，上学期的全等三角形的模型，下学期的四边形模型以及很多学校在初二暑假就会开设的圆的知识，很多都是需要同学们运用模型思想解决的问题。这些知识点不仅多，而且十分重要，可以说初中几何部分的重点全部集中在初二这一年，故而打好基础，勤加练习，多做总结是我们不得不去完成的任务。同学们，希望大家能够确实从初二开始抓紧模型和方法的积累，不仅仅是为即将到来的其期中、期末做好准备，更要着眼于未来的，毕竟我们的目标是中考，拥有充裕的知识储备和良好的解题习惯才是成功的关键。现在，我们要保证走的每一步都不会留下遗憾，保证每一次学习都会有所收获！几个字驾驭初二几何题学而思施佳辰

全等三角形辅助线经典做法习题

全等三角形证明方法中辅助线做法一、截长补短通过添加辅助线利用截长补短，从而达到改变线段之间的长短，达到构造全等三角形的条件 1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD．分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD．证明：在AC上截取AF=AE，连接OF． ∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60° ∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°．显然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60° 在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC ∴△DOC≌△FOC，CF=CD ∴AC=AF+CF=AE+CD． 2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B,试判断AB，AC，CD三者之间的数量关系,并说明理由.

3.如图,在△ABC 中,∠A=60°,BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB,BD ，CE 交于点O,试判断BE,CD,BC 的数量关系,并加以证明. 4.如图,AD ∥BC,DC ⊥AD,AE 平分∠BAD,E 是DC 的中点.问：AD,BC,AB 之间有何关系？并说明理由. 5.(德州中考)问题背景：如图1：在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系. (1)小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G.使DG=BE.连接AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是； (2)如图2，若在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠D=180°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF=2 1 ∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由.

全等三角形辅助线专题

1、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AC＝AB＋BD，求证：∠B＝2∠C 证明：在AC上截取AE＝AB，连结DE ∵AD是∠BAC的角平分线 ∴∠BAD＝∠EAD 在△BAD与△EAD中，有： AB＝AE （已知） ∠BAD＝∠EAD （已证） AD＝AD （公共边） ∴△BAD≌△EAD （SAS） ∴∠B＝∠AED （全等三角形对应角相等） ∵∠AED＝∠EDC＋∠C （三角形的外角等于不相邻的内角和） ∴∠B＝∠EDC＋∠C （等量代换） ∵△BAD≌△EAD （已证） ∴BD＝ED （全等三角形对应边相等） ∵AC＝AB＋BD （已知） AB＝AE （已知） BD＝ED （已证） ∴ED＝CE （等量代换） ∴∠C＝∠EDC （等边对等角） ∵∠B＝∠EDC＋∠C （已证） ∴∠B＝2∠C 2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB＞AC，试判断AB－AC与BD－CD 的大小并说明理由。证明：在AB上截取AE＝AC，连结DE ∵AD是∠CAB的角平分线 ∴∠CAD＝∠EAD 在△CAD与△EAD中，有： AC＝AE （已知） ∠CAD＝∠EAD （已证） AD＝AD （公共边） ∴△CAD≌△EAD （SAS） ∴CD＝ED （全等三角形对应边相等） ∵AC＝AE （已知） ∴AB－AC＝AB－AE＝BE （等量代换） ∵BD－CD＝BD－DE＜BE （三角形两边之差少于第三边） ∴BD－CD＝AB－AC 3、如图，O为∠BAC内一点，且AB＝AC，OB＝OC，反向延长OB 交AC于D，反向延长OC交AB于E，求证：AD＝AE 证明方法一：连结BC ∵AB＝AC，OB=OC ∴∠ABC＝∠ACB，∠OBC＝∠OCB （等边对等角） ∴∠ABC－∠OBC＝∠ACB－∠OBC

几何中常见的辅助线添加方法

几何专题——辅助线平面几何是初中教学的重要组成部分，它的基础知识在生产实践和科学研究中有着广泛的应用，又是继续学习数学和其他学科的基础，但许多初中生对几何证实题感到困难，尤其是对需要添加辅助线的证实题，往往束手无策。一、辅助线的定义：为了证实的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线。二、几种常用的辅助线：连结、作平行线、作垂线、延长等注意：1）添加辅助线是手段，而不是目的，它是沟通已知和未知的桥梁，不能见到题目，就无目的地添加辅助线。一则没用、二则辅助线越多，图形越乱，反而妨碍思考问题。 2）添加辅助线时，一条辅助线只能提供一个条件三、正确添加辅助线歌人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证实有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证实是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆假如碰到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证实题目少困难。辅助线，是虚线，画图注重勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时把握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。几何证题难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，中线处长加倍看；底角倍半角分线，有时也作处长线；线段和差及倍分，延长截取证全等；公共角、公共边，隐含条件须挖掘；全等图形多变换，旋转平移加折叠；中位线、常相连，出现平行就好办；四边形、对角线，比例相似平行线；梯形问题好解决，平移腰、作高线；两腰处长义一点，亦可平移对角线；正余弦、正余切，有了直角就方便；非凡角、非凡边，作出垂线就解决；实际问题莫要慌，数学建模帮你忙；圆中问题也不难，下面我们慢慢谈；弦心距、要垂弦，碰到直径周角连；切点圆心紧相连，切线常把半径添；两圆相切公共线，两圆相交公共弦；切割线，连结弦，两圆三圆连心线；基本图形要熟练，复杂图形多分解；以上规律属一般，灵活应用才方便。

初中数学常见辅助线添加方法

初中数学常见辅助线添加方法我们在解数学几何题时经常会用到辅助线。如果题目给出的条件不够，则需要通过添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题。这便是辅助线的作用。一条巧妙的辅助线能够使一道难题迎刃而解。添辅助线的2种情况一、按定义添辅助线如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。二、按基本图形添辅助线每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”!这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下： 1.平行线是个基本图形。当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线。 2.等腰三角形是个简单的基本图形。当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。

3.等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形。出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。 4.直角三角形斜边上中线基本图形。出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。 5.三角形中位线基本图形。几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。 6.全等三角形。全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添

全等辅助线秘籍一

全等辅助线秘籍一 1 全等三角形定义：经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。边边边（SSS ） ②边角边（SAS ） ③角边角（ASA ） ④角角边（AAS ） ⑤斜边，直角边（HL ）全等三角形的性质： 1．全等三角形的对应角相等、对应边相等。 2．全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。 3．全等三角形周长，面积相等。注意： 1．使用判定定理时，是否为夹边，夹角要看清，没有边边角（SSA ）这个判定定理。 2．书写三角形、线段和角的名称的时候注意对应点应在对应的位置上。常见辅助线写法： ⑴过点A 作BC 的平行线AF 交DE 于F ⑵过点A 作BC 的垂线，垂足为D ⑶延长AB 至C ，使BC ＝AC ⑷在AB 上截取AC ，使AC ＝DE ⑸作∠ABC 的平分线，交AC 于D ⑹取AB 中点C ，连接CD 交EF 于G 点图3 图1 图2

例1 如图，AB＝CD＝1，∠AOC＝60°，证明：AC＋BD≥1。 O C D A B 例2 (北京中考）如图，已知△ABC ⑴请你在BC边上分别取两点D、E（BC的中点除外），连接AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形； ⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明AB＋AC＞AD＋AE。

例3 已知线段OA、OB、OC、OD、OE、OF。 ∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝60°。且AD＝BE＝CF＝2。求证：S△OAB＋S△OCD＋S△OEF3。例4 如图1，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，如果∠1＝∠2，那么∠3＝∠4。仔细阅读以上材料，完成下面的问题。如图2，设P为□ABCD内一点，∠P AB＝∠PCB，求证：∠PBA＝∠PDA。图1 图2

全等辅助线秘籍(全等加强版)

第一部分：知识梳理一、全等三角形定义： 1、经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形； 2、形状一样、大小一样的两个三角形称为全等三角形。二、全等三角形的基本图形：三、全等三角形性质： 1、全等三角形的对应角相等、对应边相等； 2、全等三角形的对应边上的高、中线、角平分线对应相等； 3、全等三角形周长、面积相等。四、两点注意事项： 1、使用判定定理时，是否为夹边，夹角要看清，没有边边角（SSA）这个判定定理。 2、书写三角形、线段和角的名称的时候注意对应点应在对应的位置上。五、常见辅助线写法： 1、过点A作BC的平行线AF交ED于F； 2、过点A作BC的垂线，垂足为D； 3、延长AB至C，使BC=AC； 4、在AB上截取AC，使AC=DE; 5、作ABC ∠的平分线，交AC于D； 6、取AB中点C，连接CD交EF于G点第二部分：全等辅助线秘籍一：平移变换秘籍一：平移变换：例1：如图，AB=CD=1，? +BD ≥ AC = ∠60 AOC求证：1 总结：几何里证明不等式常用的方法：1、三角形三边关系；2、两点之间线段最短；3、直角三角形中，斜边大于直角边。

例2、如图，已知ABC ?（1）请你在BC 边上分别取两点D 、E （BC 的中点除外），连接AD 、AE ，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明：AB+AC>AD+AE 例3、已知:线段OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ，EOF DOE COD BOC AOB ∠=∠=∠=∠=∠ =?60,且AD=BE=CF=2. 求证：3<++???OEF OCD OAB S S S 例4、如图，在四边形ABCD 中，连接对角线AC 、BD ，如果21∠=∠，那么43∠=∠。仔细阅读以上材料，完成下面的问题。(4点共圆）问题：如图，设P 为平行四边形ABCD 内一点，,PCB PAB ∠=∠求证：PDA PBA ∠=∠