二次根式分母有理化

二次根式分母有理化1.找出下列各式的有理化因式

例2 把下列各式分母有理化

(1)

1

32

=_________ ; (2)

1

12

=________; (3)

10

25

=______.

()3 1

31

-

2 (2)

35

+

()2 1

51

-()5

2

72

-

()26

3

26

-

+

（4）a b

a b

-

+

(2)

a b

a b

-

-

(1)

1

32

=_________;(2)

1

12

=________;(3)

10

25

=______.

(5)a b

+

(1)12(2)52

-(3)710

+

(4)326

+22

(6)()

a x a x a

-->

中考数学试题解析9分母有理化二次根式化简(含答案)

(分母有理化、二次根式化简 一、选择题 1. （2011?台湾17，4分）计算 6 3 125412 9? ÷ 之值为何（ ） A 、 12 3 B 、 63 C 、33 D 、 4 3 3 考点：二次根式的乘除法。 分析：把分式化为乘法的形式，相互约分从而解得． 解答：解：原式=63541212 9? ? =6 3． 故选B ． 点评：本题考查了二次根式的乘除法，把分式化为乘法的形式，互相约分而得． 2. （2011?贺州）下列计算正确的是（ ） A 、=﹣3 B 、（）2=3 C 、=±3 D 、+= 考点：二次根式的混合运算。 专题：计算题。 分析：根据二次根式的性质进行计算，找出计算正确的即可． 解答：解：A 、=3，此选项错误； B 、（）2=3，此选项正确； C 、=3，此选项错误；

D、+=+，此选项错误． 故选B． 点评：本题考查了二次根式的混合运算．解题的关键是注意开方的结果是≥0的数． 3.（2011黑龙江大庆，3，3分）对任意实数a，则下列等式一定成立的是（） A、a=a B、2a=－a C、2a=±a D、2a＝a 考点：二次根式的性质与化简。 专题：计算题。 分析：根据二次根式的化简、算术平方根等概念分别判断． 解答：解：A、a为负数时，没有意义，故本选项错误； B、a为正数时不成立，故本选项错误； C、=|a|，故本选项错误． D、故本选项正确． 故选D． 点评：本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键． 4.（2011，台湾省，17,5分）下列何者是方程式（﹣1）x=12的解？（） A、3 B、6 C、2﹣1 D、3+3 考点：二次根式的混合运算；解一元一次方程。 专题：计算题。 分析：方程两边同除以（﹣1），再分母有理化即可． 解答：解：方程（﹣1）x=12，两边同除以（﹣1），得x=，

(完整word版)二次根式,分母有理化

上海市延吉第二初级中学数学拓展教学案 年级：八授课教师：丁晓玲授课时间：2013 年9 月日 课题1:二次根式分母分子有理化课时2 第1课时 （本章总课时：11） 课型新授 学习目标（涵盖教学目标的三个维度）1．理解有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化 2．能利用分母有理化进行二次根式加减乘除及混合运算，会解系数或常数项含二次根式的一元一次方程和一元一次不等式. 3．在学习过程中体会类比、化归的数学思想方法。 教学重点有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化。教学难点有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化。 教学过程教师活动学生活动教学设 计说明 一、复习 引入新课回顾如何将 x 1分母有理化 二、典例讲解、 巩固练习一、解答题(共15道，每道8分) 1.已知a<0，化简— 答案：解：原式= = ∵∴从而 求得：又∵a<0, ∴a=-1. 解题思路：先用完全平方式对根号下的式子化简，然后根据算术平方根的双重非负性得出a的值，代入求解 易错点：算术平方根的双重非负性和完全平方式 试题难度：四颗星知识点：实数的综合运算 2.若，求

答案：解：∴ ∵0

八年级数学下册 专题突破讲练 二次根式分母有理化及应用试题

二次根式分母有理化及应用 一、分母有理化 1. 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2. 有理化因式 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。 有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式： a =来确定， ，b a -与b a -等分别互为有理化因式； ②两项二次根式：利用平方差公式来确定， 如： a + a 等分别互为有理化因式。 3. 分母有理化的方法与步骤 二、两种特殊有理化方法 1. 分解约简法：可以利用因式分解进行有理化。 6====； 2. 配方约简法：利用完全平方公式配方，再和分母约分。 分母有理化： 2 2 2 22222+ +?= ==。 总结： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。 分母中含有 中分子分母同乘以分母中含有

例题1 )12013)(2012 201313 412 311 21( +++ +++ ++ + =（ ） A. 2010 B. 2011 C. 2012 D. 2013 解析：此题的实质是分母有理化，合并同类二次根式后，再按平方差公式计算。 答案：解：)12013)(2012 20131 341 231 121 ( +++ +++ ++ + =)12013)(20122013342312(+-++-+-+- =2013－1 =2012。 故选C 。 点拨：考查二次根式的分母有理化。主要利用了平方差公式，所以一般来说，二次根式的有理化因式是符合平方差公式特点的式子。 例题2 与2 12171-最接近的整数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解析：将原式进行分母有理化，再进行估算。 答案：解：原式= 832171 ?- = 2 2 )8(83231 +?- =2 )83(1-=8 31-=83+=223+≈5.828。 与6最接近。故选B 。 点拨：考查了无理数的估算，先利用完全平方公式将分母化简，再进行分母有理化是解题的关键。 有理化在方程中的应用 示例 已知225x -－215x -＝2，则225x -+215x -的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析：根据题意，225x -－215x -＝2，变形为225x -＝2+215x -，两边平方得x 2 =12 4 3 ，代入求值即可。 答案：∵225x -－215x -＝2，∴225x -＝2+215x -，两边平方得25－x 2 =4+15－x 2 +4215x -，即4215x -=6，2215x -=3，两边再平方得4（15－x 2 ）=9，

《二次根式》专题练习(含答案)

初二数学专题练习《二次根式》 一．选择题 1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1 2．若1＜x＜2，则的值为（）A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2 3．下列计算正确的是（）A．=2B．= C．=x D．=x 4．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（） A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b 5．化简+﹣的结果为（）A．0 B．2 C．﹣2D．2 6．已知x＜1，则化简的结果是（）A．x﹣1 B．x+1 C．﹣x﹣1 D．1﹣x 7．下列式子运算正确的是（）A．B．C．D． 8．若，则x3﹣3x2+3x的值等于（）A．B．C．D． 二．填空题 9．要使代数式有意义，则x的取值范围是． 10．在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为． 11．计算：=．12．化简：=．13．计算：（+）=．14．观察下列等式： 第1个等式：a1==﹣1， 第2个等式：a2==﹣， 第3个等式：a3==2﹣， 第4个等式：a4==﹣2， 按上述规律，回答以下问题： （1）请写出第n个等式：a n=； （2）a1+a2+a3+…+a n=．

15．已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b=．16．已知：a＜0，化简=． 17．设，，，…，． 设，则S=（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．三．解答题 18．计算或化简：﹣（3+）； 19．计算：（3﹣）（3+）+（2﹣） 20．先化简，再求值：，其中x=﹣3﹣（π﹣3）0． 21．计算：（+）×． 22．计算：×（﹣）+|﹣2|+（）﹣3． 23．计算：（+1）（﹣1）+﹣（）0． 24．如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：． 25．阅读材料，解答下列问题． 例：当a＞0时，如a=6则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身； 当a=0时，|a|=0，故此时a的绝对值是零； 当a＜0时，如a=﹣6则|a|=|﹣6|=﹣（﹣6），故此时a的绝对值是它的相反数． ∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即， 这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想． 问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况； （2）猜想与|a|的大小关系． 26．已知：a=，b=．求代数式的值．

知识点094--分母有理化(填空题)

一、填空题（共82小题） 1、（2009?上海）分母有理化：= ． 考点：分母有理化。 分析：根据分母有理化的方法，分子、分母同乘以． 解答：解：==． 点评：本题比较容易，考查分母有理化的方法． 2、（2008?上海）化简：=　2+　． 考点：分母有理化。 分析：本题只需将原式分母有理化即可． 解答：解：==2+． 点评：本题考查的是二次根式的分母有理化，找出分母的有理化因式是解答此类问题的关键． 3、（2008?贵港）观察下列等式：，， ，…请你从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算： =　2006　． 考点：分母有理化。 专题：规律型。 分析：所求代数式第一个括号内可由已知的信息化简为： +…+=，然后利用平方差公式计算． 解答：解：∵，，，… ∴原式=（+…+）（） =（）（） =2008﹣2 =2006． 故本题答案为：2006． 点评：解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的抵消规律． 4、（2007?厦门）计算= ． 考点：分母有理化。 专题：计算题。 分析：运用二次根式的乘法法则，将分子的二次根式化为积的形式，约分，比较简便． 解答：解：原式==． 点评：主要考查了二次根式的化简和二次根式的运算法则． 注意最简二次根式的条件是：

①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的因数因式． 上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式． 5、（2006?厦门）计算：（）0+?（）﹣1=　2　． 考点：分母有理化；零指数幂；负整数指数幂。 分析：按照实数的运算法则依次计算，注意（）0=1，（）﹣1=．考查知识点：负指数幂、零指数幂、二次根式的化简． 解答：解：（）0+?（）﹣1=1+?=1+1=2． 点评：传统的小杂烩计算题，涉及知识：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；二次根式的化简． 6、（2006?黄冈）化简：= ． 考点：分母有理化。 专题：计算题。 分析：根据最简二次根式的方法求解即可． 解答：解：==，故填． 点评：本题主要考查了二次根式的化简方法． 7、（2004?郑州）计算：= ． 考点：分母有理化；负整数指数幂。 分析：按照实数的运算法则依次计算，=2，将分母有理化． 解答：解：原式=2+=2+﹣2=． 故本题答案为：． 点评：涉及知识：数的负指数幂，二次根式的分母有理化． 8、（2002?浙江）分母有理化：= ． 考点：分母有理化。 分析：分子分母同乘以有理化因式2﹣． 解答：解：==2﹣． 点评：要将+中的根号去掉，要用平方差公式（+）（﹣）=a﹣b． 9、（2004?江西）化简：=　1﹣　． 考点：分母有理化。 分析：由于5=，将分子提，与分母约分即可．

二次根式分母有理化综合训练

二次根式分母有理化综合训练 分母有理化： 在进行二次根式的运算时，如遇到1 32+这样的式子，还需要进一步的化简： ()()() 1313)13213)1321313)13213222-=--=--=-+-=+（（（，这种化去分母中根号的运算叫分母有理化. 笔记：分母有理化的方法 把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含_____________. 1、按要求填空： （1）把2 1分母有理化,分子分母应同时乘以_______,得到________; （2）把5 31+分母有理化,分子分母应同时乘以________，得到____________; （3）把1541 +分母有理化,分子分母应同时乘以________，得到____________; （4）把 2371+分母有理化,分子分母应同时乘以________，得到____________; 注意：()() b a b a b a -=-+ 2、分母中含有根号的二次根式分母有理化： （1） 121 （2）231 （3）541 （4） 52 （5） 812 （6）327

3、较为复杂的分母有理化练习： （1） 321+ （2）23321- （3）32347++ （4） 3211-+ （5）ab a b b a - （6）b a b a -- 4、计算（25＋1）（ 211+＋321+＋431+＋…＋100 991+）． 7、观察以下各式： 343 412323112121-=+-=+-=+，， 利用以上规律计算： () 120192018201913412311 21+??? ??++++++++

分母有理化

分母有理化导学案 学习目标： 1、 理解有理化因式的概念 2、 能对分母中含有二次根式的式子进行化简． 学习重点： 1、熟练进行分母有理化； 2、会找有理化因式。 学习过程： 一、课前预习 1、化简二次根式达到的要求： （1）被开方数中不能含有因式； （2）被开方数中不含； （3）分母中不含有 。这也最简二次根式的条件。 2、化简： （1 （2） 2 147431?÷ 3、填空 （1）=2)2( （2）=-+)32)(32( （3）=2)3( （4）=-+)12)(12( 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的乘积 ，我们就说这两个代数式互为有理化因式。例如，与551212-+与互为有理化因式。你还能举出一些互为有理化因式的例子来吗？试试看。 方法总结： （1）最简二次根式a 的有理化因式是a 。 （2）式子b a +的有理化因式是b a -，式子b a -的有理化因式是b a + （3）式子b a +的有理化因式是b a -，式子b a -的有理化因式是b a + （4）式子b n a +的有理化因式是b n a -，式子b n a -的有理化因式是b n a + 二、自主学习 1、请写出下列各式的有理化因式

问题：怎么进一步化简呢？ 三、合作探究 1、阅读下列运算过程： ， 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化” ．．．．．．． 。 利用上述方法化简： = （2 = （3= （4= 2、阅读下列分母有理化的运算过程： 121 212)12)(12() 12(1121 -=--=-+-?=+523===- 仿照上述方法化简： = ；= = ；= 小结： 化简一个式子时，如果分母是二次根式的形式，采用分子、分母同乘以分母有理化因式的方法，将分母进行化简。 3==5==

分母有理化教案

《分母有理化》教学设计 一、教材分析 《分母有理化》是北师大版八年级上册第二章第六节的第二课时，是“数与代数”的重要内容，是学习二次根式运算的依据。一方面，它是在了解了勾股定理，学习了平方根基础之上对实数的进一步深入。另一方面，又为学习二次根式的加减法、一元二次方程、二次函数、三角函数等知识奠定基础。因此有承上启下的作用。 二、学情分析 学生已学习了分解因数和平方差公式，进而又学习了二次根式的乘除法及二次根式的化简公式，学生掌握的基础知识和基本技能良好，但是做题速度和正确率有待提高。 三、教学目标 1．知识与技能 （1）理解最简二次根式的概念。 （2）掌握二次根式的分母有理化。 2．过程与方法 通过对最简二次根式的概念学习，提高学生对概念学习的理解能力和自主学习能力、归纳表达能力。 3．情感和态度目标 （1）通过二次根式的分母有理化，培养学生的运算能力，让学生经历合作探究、归纳比较等数学活动，感受学习数学的乐趣。 （2）通过学习分母有理化与除法的关系向学生渗透转化的数学思想，知道数学来源于生活。 四、重点与难点 教学重点：化简二次根式、分母有理化的方法 教学难点：分母有理化的技巧、正确进行分母有理化 五、教学策略与手段 学生是学习的主体，教师是学生学习的组织者、参与者、合作者。所以在教学过程中把自主权、话语权留给学生；结合“自主学习、小组合作、当堂训练、及时巩固”的模式利用学案为载体，让学生乐学会学。并进行一部分的练习，使其掌握应用。 六、课前准备 学生课前自学、教师准备学案教案以及课件 七、教学过程

1.旧知回顾、引入新知 师：谁还记得二次根式混合运算的步骤、运算顺序、互为有理化因式呢？ （1）（先乘除，后加减）． （2）（有括号，先去括号；不宜先进行括号内的运算）． （3）辨别有理化因式： 举例题 师：非常好！那如果在计算中分母是无理数该怎么办呢？又如果分母是两个二次根式的和，应该怎样化简？ 举例题 2．合作探究 师：好现在小组讨论看看你们是如何解决这些问题的。你们会用什么方法为什么这么做？ 3．交流展示 师：我看大家都讨论出结果了，谁来给大家说说你们组是怎么做的。 小组代表发言 4．归纳总结 师：我们知道把分母中的根号化去，使分母变成有理数，就做分母有理化。我们一起来看下下面的式子 x+)(x- y)=x-y（课件展示） (y 等号左边两个含有二次根式代数式相乘，它们的积有什么特征？ 师：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式. x+)与(x- y)互为有理化因师：如x与x互为有理化因式，(y 式。 提问：-2x可以是x的有理化因式吗？为什么？ 填空：x的有理化因式可以是

【青岛版】八年级数学下册专题讲练：二次根式分母有理化及应用试题(含答案)

二次根式分母有理化及应用 一、分母有理化 1. 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2. 有理化因式 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。 有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式： a =来确定， ，b a- 与b a-等分别互为有理化因式； ②两项二次根式：利用平方差公式来确定， 如：a a 等分别互为有理化因式。 3. 分母有理化的方法与步骤 二、两种特殊有理化方法 1. 分解约简法：可以利用因式分解进行有理化。 6 ====； 2. 配方约简法：利用完全平方公式配方，再和分母约分。 分母有理化： 22 2 2222 2 ++? === 总结： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。 分母中含有中分子分母同乘以分母中含有

例题1 )12013)(2012 20131 3 412 311 21( +++ +++ ++ + = （ ） A. 2010 B. 2011 C. 2012 D. 2013 解析：此题的实质是分母有理化，合并同类二次根式后，再按平方差公式计算。 答案：解：)12013)(2012 20131 341 231 121 ( +++ +++ ++ + =)12013)(20122013342312(+-++-+-+- =2013－1 =2012。 故选C 。 点拨：考查二次根式的分母有理化。主要利用了平方差公式，所以一般来说，二次根式的有理化因式是符合平方差公式特点的式子。 例题2 与2 12171-最接近的整数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解析：将原式进行分母有理化，再进行估算。 答案：解：原式= 832171 ?- = 2 2 ) 8(83231 +?- =2 )83(1 -=8 31-=83+=223+≈5.828。 与6最接近。故选B 。 点拨：考查了无理数的估算，先利用完全平方公式将分母化简，再进行分母有理化是解题的关键。 有理化在方程中的应用 示例 已知225x -－215x -＝2，则225x -+215x -的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析：根据题意，225x -－215x -＝2，变形为225x -＝2+215x -，两边平方得x 2 =12 4 3 ，代入求值即可。 答案：∵225x -－215x -＝2，∴225x -＝2+215x -，两边平方得25－x 2 =4+15－x 2 +4215x -，即4215x -=6，2215x -=3，两边再平方得4（15－x 2 ）=9， 化简，得x 2 =12 43，把x 2 =124 3代入225x -+215x -，

中考数学真题解析分母有理化次根式化简(含答案)

(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编 分母有理化、二次根式化简 一、选择题 1. （2011?台湾17，4分）计算 6 3 125412 9? ÷ 之值为何（ ） A 、 12 3 B 、 63 C 、33 D 、 4 3 3 考点：二次根式的乘除法. 分析：把分式化为乘法的形式，相互约分从而解得． 解答：解：原式=63541212 9? ? =6 3． 故选B ． 点评：本题考查了二次根式的乘除法，把分式化为乘法的形式，互相约分而得． 2. （2011?贺州）下列计算正确的是（ ） A 、=﹣3 B 、（ ）2=3 C 、=±3 D 、+= 考点：二次根式的混合运算. 专题：计算题. 分析：根据二次根式的性质进行计算，找出计算正确的即可． 解答：解：A 、=3，此选项错误； B 、（ ）2=3，此选项正确； C 、=3，此选项错误；

D、+=+，此选项错误． 故选B． 点评：本题考查了二次根式的混合运算．解题的关键是注意开方的结果是≥0的数． 3.（2011黑龙江大庆，3，3分）对任意实数a，则下列等式一定成立的是（） A、a=a B、2a=－a C、2a=±a D、2a＝a 考点：二次根式的性质与化简. 专题：计算题. 分析：根据二次根式的化简、算术平方根等概念分别判断． 解答：解：A、a为负数时，没有意义，故本选项错误； B、a为正数时不成立，故本选项错误； C、=|a|，故本选项错误． D、故本选项正确． 故选D． 点评：本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键． 4.（2011，台湾省，17,5分）下列何者是方程式（﹣1）x=12的解？（） A、3 B、6 C、2﹣1 D、3+3 考点：二次根式的混合运算；解一元一次方程. 专题：计算题. 分析：方程两边同除以（﹣1），再分母有理化即可． 解答：解：方程（﹣1）x=12，两边同除以（﹣1），得x=，

最简二次根式及分母有理化

最简二次根式及分母有理化 龙泉九中 黄智艳 （一） 教材分析 《最简二次根式及分母有理化》是北师大版八年级数学上册第二章《实数》部分的内容之一。教材中没有直接给出最简二次根式及分母有理化的概念，这样的编排对学生学习这部分内容有一定困难。 《最简二次根式及分母有理化》是二次根式运算的重要组成部分，它在二次根式的运算中起着承上启下的作用，为此我区导学案就此内容作了深入细致的研究。学案中将它放在《二次根式2a 的化简》及《二次根式的乘除法》之后，为本课的学习提供了方法技能基础，同时它又是后面学习《二次根式的加减法》、《二次根式的混合运算》的根本。 从初中代数的学习来看，该部分是初中代数中进行数式运算的一个重要课题，也是提高学生运算能力的好时机。这里培养起来的实数的运算能力不光会影响学生代数部分的后继学习，同时在几何的学习中起着举足轻重的作用。 从中考角度来看，历届中考几乎从未错失过该考点。 （二） 学情分析 a) 知识方面：学生会分解质因数，能对2a 、2)(a 进行化简，已经掌握的《二次根式的乘除法》及二次根式的性质都为本节课的学习作好了充分而必要的知识铺垫。就知识掌握情况而言，仍有部分学生对公式感觉较抽象，运用起来还不太熟练。 b) 能力方面：学习能力强一点的同学已经拥有一定的知识迁移能力，归纳能力和较强的合作交流能力。 c) 心理方面：初二的学生经过一年的培养，对DJP 教学模式已经充分认同和接受了，能够有序地进行小 组合作学习。初二的学生好胜心较强，有较强的自主意识，能对知识是非进行分辨。 （三） 教学目标 知识与技能目标：1.能判断所给的二次根式是否是最简二次根式； 2.能把所给的二次根式化为最简二次根式； 3.能进行分母有理化。 过程与方法目标：让学生经历二次根式化简的过程，体验数学的简洁美。通过一题多解使学生体会数学中 的最优、最简思想，感受数学计算的魅力。 情感态度与价值观目标：通过本节课的学习让学生体验学习的乐趣，增强学生对学习的信心。 （四） 教学重、难点 教学重点：化二次根式为最简二次根式及分母有理化。 理由是： 能把所给的二次根式化为最简二次根式及分母有理化既是学生前面所学过的二次根式的乘除运算的具体应用，又是后面学习二次根式的加减之根本；在实数的计算中起着至关重要的作用。 教学难点：化二次根式化简为最简二次根式及分母为两项式的分母有理化。 理由是： 化二次根式化简为最简二次根式难找完全平方因数或因式；分母有理化难就难在形式上较复杂，并 且还要求学生运用乘法公式及)0()(2≥=a a a ；这些都是学生知识不易过手的知识点。 （五） 教学策略 1. 小组学习法 采用理由： 我区导学案非常适合学生自主学习；在教学过程中有多处必须利用学习小组完成的学习。同时通过利用组内“高手”的影响力和约束力可以使学困生多学一点，这也适合初二逐渐增多的不自觉学习的学生。 2. 练习法 采用理由： 本节内容属代数中的运算，必要的练习一定少不了。在教学中，教师还可将学生的解题中出现的多种方法予以展示，这样做不但可以拓宽学生的解题视野，也可以潜移默化的影响学生寻求最简、最优解法的数学解题意识。 3. 自主阅读法 采用理由： 初二学生已经有足够的理解力，能理解“最简二次根式”、“分母有理化”、“互为有理化因式”等概念。因此，在概念的学习时，我主要采用此法。 4. 谈话法

精编分母有理化及其应用

分母有理化 一、【知识点梳理】 1．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ① a = b a- 与b a-等分别互为有理化因式。 ② 两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a a 分别互为有理化因式。 3．分母有理化的方法与步骤： （1）先将分子、分母化成最简二次根式； （2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； （3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式。 二、【典型例题】 例1.找出下列各式的有理化因式 例2.把下列各式分母有理化 ( 1( 2 例3.把下列各式分母有理化： （1 （3（4 例4.计算 (1) ? 2(6)) a x a >

例5.（1 ）已知x = y =，求221010x xy y ++的值 （2 + ，其中2a = 2b = 例6. 已知，则a _________ 三、【随堂检测】 A 组 1．找出下列各式的有理化因式 (4) 2．把下列各式分母有理化 ( 1 ( 2 ( 3 ( 4 3. 已知：a = b =a 与b 的关系为（ ） A 、a b = B 、1ab = C 、1ab =- D 、a b =- 4. 2 =________ _; 5．计算 ( 1 ( 2+ (1)5

((2211(3) 22+ 6．比较大小： （1 （2）与，与，与的大小，猜想 与的大小.并证明你的猜想 7. 计算：0(3)1 -+ ． 8．已知 x = y =，求1111x y +--的值. 9．已知12a = ，12b =，求代数式225a ab b -+的值。 10. 已知a ＝21212-+-a a a －a a a a -+-2212的值．

二次根式基本运算(根式加减)分母有理化讲义

内容 基本要求 略高要求 较高要求 二次根式的 化简和运算 理解二次根式的加、减、乘、除运算法则 会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算（不要求分母有理化） 板块一 二次根式的乘除 最简二次根式： a 0a ≥）中的a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式： ⑴被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式） ⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 ⑶分母中不含二次根式 二次根式的计算结果要写成最简根式的形式． 二次根式的乘法法则a b ab 0a ≥，0b ≥） 二次根式的除法法则a a b b = （0a ≥，0b >） 利用这两个法则时注意a 、b ab a b =a 、b 都非负，否则不成立， (7)(5)(7)(5)-?--- 一、二次根式的加减 1.同类二次根式： 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 合并同类二次根式：(x x a b x +=+ 【例1】 35a -3a +是可以合并的二次根式，则____a =。 【例2】 a ） A ．2a B ．23a C ．3a D ．4a 中考要求 例题精讲 二次根式基本运算、分母有理化

【巩固】判断下列各组二次根式是不是同类二次根式： 【例3】下列二次根式中，哪些是同类二次根式？（字母均为正数） ． 【例4】若最简二次根式a2b -的值． a 【巩固】若a b ，的值是（） ，为非负数，a a b A．02 a b ，或11 == ，D．20 == == ， a b == a b ，B．11 a b ，C．02 == a b 【例5】已知最简根式a a,b的值（） A．不存在B．有一组C．有二组D．多于二组 【巩固】若a a，b为整数，则a=______，b=________； 【例6】=的整数解有组.

分母有理化方法集锦

吕广军 二次根式分母有理化是初中代数的重要内容，也是同学们的难点，本文介绍几种有理化方法。供同学们学习时参考。 一. 常规基本法 例1. 化简 解：原式 评注：这是最基本最常用的方法，解法的关键是准确判断分母的有理化因式。 二. 分解约简法 例2. 化简 解：原式 评注：分母提取“公因式”后可直接约分，避免分母有理化，从而简化运算。 例3. 化简 解：原式 评注：由于的有理化因式可能为零，所以不能将分子分母同乘以；若分两种情况讨论又比较繁琐。注意到本题的结构特征，故改用“分解因式”约简的方法，达到分母有理化而又避免讨论。 例4. 化简

解： 评注：注意到7可分拆为4+3，与可配成，从而与分母约分而获得巧解，避繁就简。 例5. 化简. 解：原式 评注：把1转化为，再用平方差公式“因式分解”即能约分。 三. 巧用通分法 例6. 化简 解：原式 评注：注意到本题两“项”互为倒数，且分母互为有理化因式的结构特征，故采用直接通分，同时又达到了分母有理化的效果，使化简更为简捷。 四. 裂项约简法 例7. 化简 解：原式 评注：裂项是本题的关键，做题时要善于观察、分析，找到解题最佳途径。

例8. 化简 解：将原式分子、分母颠倒后就转化为例6。 故原式 评注：本题解法中，先计算原式的倒数，明显方便多了。 五. 等比性质法 例9. 化简 解： 评注：若用常规方法，分子、分母同乘以分母的有理化因式则计算比较繁杂且易出错，注意到本题的结构特征，可用等比性质巧解。

从前面的例子可以看出，函数 y sin(),A x x R ω?=+∈ 及函数 y cos(),A x x R ω?=+∈ （其中A ，ω，? 为常数，且A ≠0，0ω>）的周期仅与自变量的系数有关。那么，如何用自变量的系数表示上述函数的周期呢？ 事实上，令z x ω?=+,那么x R ∈必须并且只需x R ∈，且函数sin ,y A z z R =∈的周期都是2π，由于 )()(2z 2x 2x π?ω πω?πω+++=++=， 所以自变量x 只要并且至少要增加到 2x πω +，函数值才能重复出现，即 2T πω =

分母有理化

分母有理化 分母有理化(fēn mǔ yǒu lǐ huà）(Rationalize the denominator），又称"有理化分母"，指的是在二次根式中分母原为无理数，而将该分母化为有理数的过程，也就是将分母中的根号化去。 概述 由于在初中、高中阶段，最后的二次根式结果要求分母不含根号，故分母有理化成为初中学生学习和使用的一种重要方法。 将分母有理化，会使根式的运算变得简便。 常规方法 下面介绍两种分母有理化的常规方法，基本思路是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号。 1分母是一个单项式 例如二次根式 ，下面将之分母有理化： 分子分母同时乘以√2,分母变为2，分子变为2√2，约分后，分数值为√2。在这里我们想办法把√2化为有理数，只要变为它的平方即可。 2分母是一个多项式 再举一个分母是多项式的例子，如 ，下面将之分母有理化：

思路仍然是将分子分母同乘相同数。这里使用平方差公式,同时乘上√2+1，分子变为2√2+2，分数值为2√2+2，再约分即可。也就是说，为了有理化多项式的分母，原来分母是减号，我们乘上一个数字相同但用加号连接的式子，再用平方差公式。 此方法可应用到根式大小比较中去。 3特殊方法 下面有一些特殊的方法供参考！ 分解约简法 将 分母有理化： 这里我们将分母分解因式后提取出来，这样避免采用平方差公式分解。这种方法较适用于分子分母含有公因式时。 配方约简法 将 分母有理化： 这里我们将分子化成平方式，然后利用完全平方公式配方，再和分母约分，这样避免采用平方差公式分解。 注意事项： 下面举一个含参数的二次根式：将 分母有理化：

八年级数学二次根式拓展提高之分母分子有理化(实数)拔高练习(含答案)

二次根式拓展提高之分母分子有理化(实数)拔高一、解答题(共15道，每道8分) 1.已知a<0，化简— 答案：解：原式= =∵∴从 而求得：又∵a 解题思路：先用完全平方式对根号下的式子化简，然后根据算术平方根的双重非负性得出a的值，代入求解。易错点：算术平方根的双重非负性和完全平方式。 2.若，求 答案：解：∴∵0

= =3-1 =2 解题思路：把根号下的式子化成完全平方式的形式，然后进行开方得出结果。易错点：完全平方式和算术平方根的双重非负性。试题难度：三颗星知识点：完全平方公式 5. 若a、b为有理数，且满足等式，则a+b的值为？答案：解：∵ ∴等式右边=对照等式两端，可得：a3，b=1 ∴a+b=4 解题思路：先把根号下的式子写成完全平方的形式，开方后对照系数求出a和b的值，从而求出a+b的值。易错点：完全平方公式。试题难度：五颗星知识点：实数的综合运算 6. 化简：(1) (2) 答案：解：（1）原式=||—==(2)原式== 解题思路：求解时从前往后每步按照运算法则求解。易错点：分母有理化，算术平方根的双重非负性，最简二次根式。试题难度：二颗星知识点：实数的综合运算 7. 若，则的值为？ 答案：解：===|a|-|b|其中 ，∴原式==2 解题思路：先化简，在求值。易错点：分母有理化。试题难度：三颗星8.若 ，则的值为？ 答案：解：对等号左端分子有理化： =

专题06 分母有理化(原卷版)

专题06 分母有理化 1.分母有理化的概念： 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2.常见类型： 常见类型一：a a b a a a b a b =??=． 常见类型二：b a b a c b a b a b a c b a c --=-+-?=+)())(() (． 其中，我们称n n a 1-是n a 的“有理化因子”，b a -是b a +的“有理化因子”．分母有理化的关键是 找到分母的“有理化因子”． 3.有理化因式的概念： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。 注：二次根式的有理化因式不是唯一的，它们可以相差一个倍数。 4.熟记一些常见的有理化因式： a 的有理化因式是a ； b n a +的有理化因式是b n a -； b a +的有理化因式是b a -； b n a m +的有理化因式是b n a m -； 33b a ±的有理化因式是32332b ab a + 。 专题知识点概述

5.分母有理化十法 分母有理化是一种极其重要的恒等变形，它广泛应用于根式的计算和化简，除掌握基本方法外，需根据不同题的特点，灵活应用解法，讲求技巧，以达化难为易，化繁为简的目的。 通常有约分法、通分法、平方法、配方法、拆解法等十种方法。 【例题1】计算3212 3212 ++-+- 【对点练习】计算)b b a a (ab a ab 2b a b 2a b 4a +÷+++--- 【例题2】将352 -分母有理化 【对点练习】已知5322 y ,5322x ++=-+=，求222 2y xy 2x y x ++的值。 1.将下列各式分母有理化 （1）21 ； （2）121 +。 2.计算6 31254129 ?÷之值为何（ ） A.123 B.63 C.33 D. 433 3. 下列何者是方程式（﹣1）x=12的解？（ ） 例题解析与对点练习 专题点对点强化训练

(有理化)二次根式化简的基本方法

二次根式化简的基本方法 一、乘法公式法 例1计算： 分析：因为2=，所以中可以提取公因式。 解：原式= =×× =19 二、因式分解法 例2化简：。 分析：该题的常规做法是先进行分母有理化，然后再计算，可惜运算量太大，不宜采 取。但我们发现（x-y）和（x+y-）可以在实数范围内进行因式分解，所以有下列做法。 解：原式= = =0. 三、整体代换法 例3化简。 分析：该代数式的两个分式互为倒数，直接进行运算计算量相当的大。不妨另辟蹊径，设=a，=b则a+b=2，ab=1. 解：原式= ====4x+2 四、巧构常值代入法 例4已知，求的值。

分析：已知形如（x0）的条件，所求式子中含有的项，可先将化为=，即先构造一个常数，再代入求值。 解：显然x0，化为=3. 原式===2. 以上就是二次根式化简的一些方法，希望同学们在学习中活学活用，并能总结出更多更好的计算方法来 二次根式化简的基本方法 湖北省黄石市下陆中学陈勇 二次根式是中学代数的重要内容之一，而二次根式的化简是二次根式运算的基础，学好二次根式的化简是学好二次根式的关键。下面给同学们归纳总结了几种方法，帮助大家学好二次根。 一、乘法公式法 例1计算： 分析：因为2=，所以中可以提取公因式。 解：原式= =×× =19 二、因式分解法 例2化简：。 分析：该题的常规做法是先进行分母有理化，然后再计算，可惜运算量太大，不宜采 取。但我们发现（x-y）和（x+y-）可以在实数范围内进行因式分解，所以有下列做法。 解：原式= = =0.

三、整体代换法 例3化简。 分析：该代数式的两个分式互为倒数，直接进行运算计算量相当的大。不妨另辟蹊径，设=a，=b则a+b=2，ab=1. 解：原式= === =4x+2 四、巧构常值代入法 例4已知，求的值。 分析：已知形如（x0）的条件，所求式子中含有的项，可先将化为=，即先构造一个常数，再代入求值。 解：显然x0，化为=3. 原式===2. 以上就是二次根式化简的一些方法，希望同学们在学习中活学活用，并能总结出更多更好的计算方法来

分母有理化专题

《分母有理化》专题 班级 姓名 经验是由痛苦中萃取出来的。 【分母有理化定义】把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 分母有理化的方法与步骤： （1）先将分子、分母化成最简二次根式； （2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； （3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式。 【例题】 例1 .将下列各式分母有理化 63=_________ 323=_________ 18 2 =_____ ___ 6 12=___ ___ 例2.把下列各式分母有理化 2 31- 1 32- 2 32+ 2 32+ 2 31- 1 51+ (1 (2(3

( 6 例3.把下列各式分母有理化： （1 （3 （4 【归纳】有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： a = b a- 与b a-等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a 与a ，

例4.计算 (1) ? 例5.（1）已知 x =，y =，求22 1010x xy y ++的值 （2 ，其中2a =+2b = 例6. 已知，则a _________ 例7.

【当堂训练】 1. 已知：a =， b = ，则a 与b 的关系为（ ） A 、a b = B 、1ab = C 、1ab =- D 、a b =- 2. (1)=_________; (2) =_________. 3．计算 (1 + (2 ((2 2 1 1 (3) 22+ 4.化简，再求值： 22 112( )2y x y x y x xy y -÷-+++，其中,23+=x 23-=y

数学上册《最简二次根式及分母有理化》说

北师大版八年级数学上册《最简二次根式及分母有理化》说课稿 （一）教材分析 《最简二次根式及分母有理化》是北师大版八年级数学上册第二章《实数》部分的内容之一。教材中没有直接给出最简二次根式及分母有理化的概念，这样的编排对学生学习这部分内容有一定困难。 《最简二次根式及分母有理化》是二次根式运算的重要组成部分，它在二次根式的运算中起着承上启下的作用，为此我区导学案就此内容作了深入细致的研 究。学案中将它放在《二次根式2a的化简》及《二次根式的乘除法》之后，为 本课的学习提供了方法技能基础，同时它又是后面学习《二次根式的加减法》、《二次根式的混合运算》的根本。 从初中代数的学习来看，该部分是初中代数中进行数式运算的一个重要课题，也是提高学生运算能力的好时机。这里培养起来的实数的运算能力不光会影响学生代数部分的后继学习，同时在几何的学习中起着举足轻重的作用。 从中考角度来看，历届中考几乎从未错失过该考点。 （二）学情分析 a)知识方面：学生会分解质因数，能对2a、2) (a进行化简，已经掌握的《二次根式的乘除法》及二次根式的性质都为本节课的学习作好了充 分而必要的知识铺垫。就知识掌握情况而言，仍有部分学生对公式感觉 较抽象，运用起来还不太熟练。 b)能力方面：学习能力强一点的同学已经拥有一定的知识迁移能力，归纳 能力和较强的合作交流能力。 c)心理方面：初二的学生经过一年的培养，对DJP教学模式已经充分认同 和接受了，能够有序地进行小组合作学习。初二的学生好胜心较强，有 较强的自主意识，能对知识是非进行分辨。 （三）教学目标 知识与技能目标：1.能判断所给的二次根式是否是最简二次根式； 2.能把所给的二次根式化为最简二次根式； 3.能进行分母有理化。 过程与方法目标：让学生经历二次根式化简的过程，体验数学的简洁美。通 过一题多解使学生体会数学中的最优、最简思想，感受数 学计算的魅力。 情感态度与价值观目标：通过本节课的学习让学生体验学习的乐趣，增强学 生对学习的信心。 （四）教学重、难点 教学重点：化二次根式为最简二次根式及分母有理化。 理由是： 能把所给的二次根式化为最简二次根式及分母有理化既是学生前面所学过的二次根式的乘除运算的具体应用