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江苏省高校第十一届本一高等数学竞赛试题

江苏省高校第十一届本一高等数学竞赛试题

2012年江苏省普通高等学校第十一届

高等数学竞赛试题(本科一级)

一填空题(每小题4分,共32分) 1.=----→3431)1()

1)(1)(1(lim x x x x x 。

2.),1ln(2x y -=则=)(n y 。

3.=?208sin πxdx 。

4.=?∞+dx x

x 131arccos 1

。 5.函数),(),(),(y x f x x ψ?皆可微,设)),(),((xy y x f z ψ?+=则=??-??y z x z 。 6.设,:222z z y x ≤++Ω则

=++???Ωdxdydz z y x 2)( 。 7.点)3,1,2(-到直线2

2311z y x =-+=-的距离为 。 8.级数∑∞=-+-1

)1()1(n n k n n n 为条件收敛,则常数k 的取值范围是 。 二、(每小题6分,共12分)(1)求n n

n n 1)1(321lim +∞

→-+-+- 。 (2)设)(x f 在0=x 处三阶可导,且,3)0(,0)0(=''='f f 求30)()1(lim x

x f e f x x --→。 三、(每小题6分,共12分)在下面两题中,分别指出满足条件的函数是否存在?若存在,举一例,

并证明满足条件;若不存在,请给出证明。

(1)函数)(x f 在0=x 处可导,但在0=x 的某去心邻域内处处不可导。

(2)函数)(x f 在),(δδ-上一阶可导)0(>δ,)0(f 为极值,且))0(,0(f 为曲线)(x f y =的拐点。

四、(10分)设函数),(y x f 在平面区域D 上可微,线段PQ 位于D 内,点Q P ,的坐标分别为),(b a P ,

),(y x Q ,求证:在线段PQ 上存在点),(ηξM ,使得

))(,())(,(),(),(b y f a x f b a f y x f y x

-'+-'+=ηξηξ。 五、(12分)计算曲线积分?-++-++-+Γdz y x z dy x z y dx z y x )()()(2

22222222,其中Γ为

y z y x 6222=++与)0(422≥=+z y y x 的交线,从z 轴正向看去为逆时针方向。

六、(12分)点)3,2,5(),1,2,1(--B A 在平面322:=--z y x ∏的两侧,过点B A ,作球面∑使其在

平面∏上截得的圆Γ最小。(1)求球面∑的球心坐标与该球面的方程;

(2)证明:直线AB 与平面∏的交点是圆Γ的圆心。

七、(10分)求级数∑∞=-++122)1()1(n n n

n n n 的和。

江苏省高等数学竞赛题(本科一级)

2008年江苏省高等数学竞赛题(本科一级) 一.填空题(每题5分,共40分) 1.a =,b =时,2lim arctan 2 x ax x x bx x p +=--2. a =,b =时()ln(1)1x f x ax bx =-++在0x ?时关 于x 的无穷小的阶数最高。 3.2420 sin cos x xdx p =ò4.通过点()1,1,1-与直线,2,2x t y z t ===+的平面方程为 5.设222,x z x y =-则(2,1)n n z y ??= 6.设D 为,0,1y x x y ===围成区域,则 arctan D ydxdy=蝌7.设G 为222(0)x y x y +=?上从(0,0)O 到(2,0)A 的一段弧,则 ()()x x ye x dx e xy dy G ++-ò= 8.幂级数1 n n nx ¥ =?的和函数为,收敛域为。二.(8分)设数列{}n x 为1223,33,,33(1,2,)n n x x x x n +==-=-+=L L 证明:数列{}n x 收敛,并求其极限 三.(8分)设()f x 在[],a b 上具有连续的导数,求证 / 1 max ()()()b b a x b a a f x f x dx f x dx b a #?-蝌四.(8分)1)证明曲面:(cos )cos ,sin ,(cos )sin x b a y a z b a q j q q j S =+==+()02,02q p j p ##()0a b <<为旋转曲面 2)求旋转曲面S 所围成立体的体积 五.(10分)函数(,)u x y 具有连续的二阶偏导数,算子 A 定义为

江苏省高等数学竞赛试题剖析

2010年江苏省高等数学竞赛试题(本科一级) 一.填空(每题4分,共32分) 1.() () 3 sin sin lim sin x x x x →-= 2.设函数,f ?可导,()()arctan tan y f x x ?=+,则y '= 3. 2cos y x =,则()n y = 4.21x x dx x e +=? 5. 4211dx x +∞=-? 6.圆222 222042219x y z x y z x y z +-+=? ?++--+≤?的面积为 7.设2,,x f x y f y ?? - ???可微,()()123,22,3,23f f ''==,则()() ,2,1x y dz == 8.级数()()1 111! 2!n n n n n ∞ =+--∑的和为 二.(10分)设()f x 在[]0,c 上二阶可导,证明:存在()0,c ξ∈, 使得()()()()()3 0212 c c c f x dx f f c f ξ''=+-? 三.(10分)已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2,E 为11D C 的中点,F 为侧面正方形11BCC B 的中点,(1)试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。(2)试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 四(12分)已知ABCD 是等腰梯形,//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长,使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。 五(12分)求二重积分()22cos sin D x y dxdy +??,其中22:1D x y +≤ 六.(12分)应用高斯公式计算()222ax by cz dS ∑ ++??,(,,a b c 为常数) 其中222:2x y y z ∑++=.

江苏省第十九届初三数学竞赛试卷

江苏省第十九届初中数学竞赛试题 (初三年级)第二试 班级_________姓名_________成绩_________ 确的,请将正确答案的英文字母填在题后圆括号内。 1、已知整数,x y =,那么整数对(,)x y 的个数是( ) (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 2、方程222x x x -=的正根的个数是 ( ) (A ) 0 (B )1 (C )2 (D )3 3、在直角坐标系中,已知两点A (8,3)-、B (4,5)-以及动点C (0,)n 、D (,0)m , 则当四边形ABCD 的周长最小时,比值 m n 为 ( ) (A )23- (B )2- (C )32- (D )3- 4、设一个三角形的三边长为正整数,,a n b ,其中b n a ≤≤。则对于给定的边长n ,所有这样的三角形的个数是 ( ) (A )n (B )1n + (C )2n n + (D )1(1)2 n n + 5、甲、乙、丙、丁4人打靶,每人打4枪,每人各自中靶的环数之积都是72(中靶环数最高为10),且4人中靶的总环数恰为4个连续整数,那么,其中打中过4环的人数为 ( ) (A ) 0 (B )1 (C )2 (D )3 6、空间6个点(任意三点不共线)两两连线,用红、蓝两色染这些线段,其中A 点连出的线段都是红色的,以这6个点为顶点的三角形中,三边同色的三角形至少有 ( ) (A )3个 (B )4个 (C )5个 (D )6个

二、填空题(每题7分,共56分) 7、已知1222 S x x x =--++,且12x -≤≤,则S 的最大值与最小值的差是 。 8、已知两个整数a 、b ,满足010b a <<<,且9a a b +是整数, 那么数对(,)a b 有 个。 9、方程22229129x y x y xy ++-=的非负整数解是_______________________________________。 10、密码的使用对现代社会是极其重要的。有一种密码的明文(真实文),其中的字母按计算机键盘顺序(自左至右、自上而下)与26个自然数1,2,3,…,Q W E R T Y U I O P A S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 F G H J K L Z X C V B N M 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 x '。例如,有一种译码方法按照以下变换实现: x x '→,其中x '是(32)x +被26除所得的余数与1之和(126)x ≤≤。 则1x =时,6x '=,即明文Q 译为密文Y ; 10x =时,7x '=,即明文P 译为密文U 。 现有某变换,将明文字母对应的自然数x 变换为密文字母相应的自然数x ': x x '→,x '为(3)x b +被26除所得余数与1之和(126,126)x b ≤≤≤≤。 已知运用此变换,明文H 译为密文T ,则明文DAY 译成密文为____。 11、如图,AB 为半圆O 的直径,C 为半圆上一点,60AOC ∠=,点P 在AB 的延长线上,且3PB BO cm ==。连结PC 交半圆于点D ,过P 作PE ⊥PA 交AD 的延长线于点E ,则PE = cm 。 A E P C D 第11题

最新大学生高等数学竞赛试题汇总及答案

前三届高数竞赛预赛试题(非数学类) (参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看 一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。) 2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题(每小题5分) 1.计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15,其中区域D 由直线1=+y x 与 两坐标轴所围成三角形区域. 解:令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=, ? -=10 2 d 1u u u (*) 令u t -=1,则21t u -= dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-, 2.设)(x f 是连续函数,且满足?--=2 022d )(3)(x x f x x f ,则 =)(x f ____________. 解:令?=2 0d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f , A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得3 4=A 。因此3 10 3)(2- =x x f 。 3.曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是 __________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面 2 2 22-+=y x z 在 ) ,(00y x 处的法向量为 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x ,故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平 行,因此,由 x z x =, y z y 2=知

江苏省第一届至第十届高等数学竞赛本科三级试题

江苏省第一届(1991年)高等数学竞赛 本科竞赛试题(有改动) 一、填空题(每小题5分,共50分) 1.函数sin sin y x x =(其中2 x π ≤ )的反函数为________________________。 2.当0→x 时,34sin sin cos x x x x -+x 与n x 为同阶无穷小,则n =____________。 3.在1x =时有极大值6,在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。 4.设(1)()n m n n d x p x dx -=,n m ,是正整数,则(1)p =________________。 5. 22 2 [cos()]sin x x xdx π π - +=? _______________________________。 6. 若函数)(t x x =由?=--x t dt e t 102 所确定的隐函数,则==0 2 2t dt x d 。 7.已知微分方程()y y y x x ?'= +有特解ln x y x =,则()x ?=________________________。 8.直线21x z y =?? =?绕z 轴旋转,得到的旋转面的方程为_______________________________。 9.已知a 为单位向量,b a 3+垂直于b a 57-,b a 4-垂直于b a 27-,则向量b a 、的夹 角为____________。 10. =? ????????? ??+???? ??+???? ??+∞→n n n n n n 12222 2212111lim 。 二、(7分) 设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ,求n n a ∞ →lim 。 三、(7分)求c 的值,使? =++b a dx c x c x 0)cos()(,其中a b >。

江苏省高等数学竞赛历年真题(专科)

2012年江苏省第十一届高等数学竞赛试题(专科) 一.填空(4分*8=32分) 1.=-+-+→5614 34lim 4x x x 2. =+++∞→43 3321lim n n n 3. =?→x x tdt t x x 32030sin sin lim 4.)1ln(x y -=,则=)(n y 5.=? xdx x arctan 2 6.?=2 11arccos dx x x 7.点)3,1,2(-到直线22311z y x =-+=-的距离为 8.级数∑∞=--21)1(n k n n n 为条件收敛,则常数k 的取值范围是 二.(6分*2=12分) (1)求))(13(lim 31223 ∑=∞→+-i n i n n n (2)设)(x f 在0=x 处可导,且,2)0(,1)0(='=f f 求2 01)1(cos lim x x f x --→ 三.在下面两题中,分别指出满足条件的函数是否存在?若存在,举一例,若不存在,请给出证明。(4分+6分=10分) (1)函数)(x f 在),(δδ-上有定义(0>δ),当0<<-x δ时,)(x f 严格增加,当δ<δ),)0(f 为极值,且))0(,0(f 为曲线)(x f y =的拐点。 四.(10分) 求一个次数最低的多项式)(x p ,使得它在1=x 时取得极大值13,在4=x 时取得极小值-14。 五.(12分) 过点)0,0(作曲线x e y -=Γ:的切线L ,设D 是以曲线Γ、切线L 及x 轴为边界的无界区域。

2018年江苏省高等数学竞赛本科一级试题与评分标准

2018本一试题解答与评分标准 一.填空题( 每小题4分,共20分) (1) 设()()()()12ln arctan ,,,1u x f u x y f x u x ??-+===+则 1 d d x y x == . (2) () 2 2 sin cos2d x x x π+=? . (3) () 2 20 1 d 1x x +∞ =+? . (4) 已知函数(),,F u v w 可微,()()0,0,01,0,0,02,u v F F ''==()0,0,03,w F '=函数 (),z f x y =由() 22223,4,0F x y z x y z x y z -+-+=确定,满足()1,20,f =则 ()1,2x f '= . (5) 设Γ是区域 (){}2 2,4,0x y x y y x +≤≤≤|的边界曲线,取逆时针方向, 则 ()()()() () 3 3 1e d e d y y x y y x x y xy y Γ -+-+++=? . 一.答案: (1) 1;5 (2) 2 ;23 π - (3) ;4π (4)2;- (5) 6.π 二. 解下列两题( 每小题5分,共10分) (1) 求极限 ()()()()2 132321lim ;24222n n n n n →∞?? ???-?- ? ????-??? (2) 求极限 () 2244 44lim sin .x y x xy y x y x y →∞ →∞ ++?++ 解 (1) 记 ()() 2 222 221321,242n n a n ???-= ?? ?因为 ()() () 2 212112k k k -?+<()*,k ∈N (1分)所以 ()()() ()()2 2 222 2 2321133557 21210,2462222n n n n n a n n n -?-???--<=???? ?<-(2分) 因为 () 2 21 lim 0,2n n n →∞ -=应用夹逼准则得 lim 0.n n a →∞= (2分) (2) 应用不等式的性质得 () 222222442222,2,x xy y x y xy x y x y x y ++≤++≤++≥(2分)

全国大学生高等数学竞赛试题汇总及其规范标准答案

前三届高数竞赛预赛试题(非数学类) (参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看 一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。) 2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题(每小题5分) 1.计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=, v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u (*) 令u t -=1,则2 1t u -= dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-, ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t

? +-=10 4 2 d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ??????+-=t t t 2.设)(x f 是连续函数,且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f , A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3.曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面2222 -+=y x z 在) ,(00y x 处 的 法 向 量 为 ) 1),,(),,((0000-y x z y x z y x ,故 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行,因此,由x z x =,y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====, 即1,200==y x ,又5)1,2(),(00==z y x z ,于是曲面022=-+z y x 在 )),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ,即曲面 22 22-+=y x z 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。 4.设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则 =2 2d d x y ________________. 解: 方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导,得 29ln )()()(y e e y y f x e y y f y f '=''+ 因)(29ln y f y xe e =,故 y y y f x '=''+)(1 ,即))(1(1y f x y '-= ',因此 2 222)](1[)())(1(1d d y f x y y f y f x y x y '-' ''+'--=''= 3 22 232)] (1[)](1[)())(1(1)](1[)(y f x y f y f y f x y f x y f '-'--''='--'-''= 二、(5分)求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→Λ,其中n 是给定的正整数. 解 :因

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题(本科二级)

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题(本科二级) 一 填空题(每题4分,共32分) 1.0sin sin(sin ) lim sin x x x x →-= 2.2 ln(1x y x =+,/y = 3.2cos y x =,()()n y x = 4.21x x e dx x -=? 5.4 2 1 1dx x +∞ =-? 6.圆222 222042219 x y z x y z x y z +-+=?? ?++--+≤??的面积为 7.(2,)x z f x y y =-,f 可微,//12(3,2)2,(3,2)3f f ==,则(,)(2,1)x y dz == 8.级数1 1(1)! 2!n n n n n ∞ =+-∑的和为. 二.(10分) 设()f x 在[],a b 上连续,且()()b b a a b f x dx xf x dx =??,求证:存在点(),a b ξ∈,使 得()0a f x dx ξ =?. 三.(10分)已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2,E 为11D C 的中点,F 为侧面正方形11BCC B 的中点,(1)试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。(2)试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.

四(12分)已知ABCD 是等腰梯形,//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长,使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。 五(12分)求二重积分()22cos sin D x y dxdy +??,其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥ 六、(12分)求()()21x x y e dx x y dy Γ ++++?,其中Γ为曲线22 201212 x x x y x x ?≤≤?+=≤≤?从()0,0O 到()1,1A -. 七.(12分)已知数列{}n a 单调增加,123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====- ()2,3,,n = 记1 n n x a =,判别级数1 n n x ∞ =∑的敛散性.

江苏省第一届至第十界高等数学竞赛本科一级真题

江苏省第一届(1991年)高等数学竞赛 本科竞赛试题(有改动) 一、填空题(每小题5分,共50分) 1.函数sin sin y x x =(其中2 x π ≤ )的反函数为________________________。 2.当0→x 时,34sin sin cos x x x x -+x 与n x 为同阶无穷小,则n =____________。 3.在1x =时有极大值6,在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。 4.设(1)()n m n n d x p x dx -=,n m ,是正整数,则(1)p =________________。 5. 22 2 [cos()]sin x x xdx π π - +=? _______________________________。 6. 若函数)(t x x =由?=--x t dt e t 102 所确定的隐函数,则==0 22t dt x d 。 7.已知微分方程()y y y x x ?'= +有特解ln x y x =,则()x ?=________________________。 8.直线21 x z y =?? =?绕z 轴旋转,得到的旋转面的方程为_______________________________。 9.已知a v 为单位向量,b a ??3+垂直于b a ??57-,b a ??4-垂直于b a ??27-,则向量b a ??、的夹 角为____________。 10. =? ????????? ? ?+???? ? ?+???? ? ? +∞→n n n n n n 122 22 2 2 1211 1lim Λ 。 二、(7分) 设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ,求n n a ∞ →lim 。 三、(7分)求c 的值,使 ? =++b a c x c x 0)cos()(,其中a b >。

大连市高等数学竞赛试题B答案完整版

大连市高等数学竞赛试 题B答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

大连市第二十三届高等数学竞赛试卷 答案(B)

一、填空题(本大题共5小题,每小题2分, 计10分) 1. n ? ?∞→= e^2 . 2. 30tan sin lim x x x x →- = 1/2 . 3. 0 lim x x x + →= 1 . 4. 2 cos lim x x t dt x →?= 1 . 5. 若221lim 2,2 x x ax b x x →--=+-则(,)(4,5).a b =- 二、(本题10分)设?????=≠=),0(1),0(1sin )(3 x x x x x f 求)(x f '. 解 当0≠x 时,x x x f 1 sin )(3=为一初等函数,这时 ; 1 cos 1sin 311cos 1sin 3)(2232x x x x x x x x x x f -=? ?? ??-??? ?? +='(6分) 当0=x 时,由于 ),0(01 sin lim )(lim 300f x x x f x x ≠==→→(8分) 所以)(x f 在0=x 处不连续,由此可知)(x f 在0=x 处不可导。(10分)

解:0,1,1x x x ===-为间断点。(3分) 当0x =时, 由于00lim ()lim 1,1|| x x x f x x x ++→→==+ 而00lim ()lim 1,x x f x --→→==- 所以0x =是跳跃间断点。(5分) 当1x =时, 由于11lim ()lim 1,1|| x x x f x x x →→==+ 所以1x =是可去间断点。(7分) 当1x =-时, 而1 lim (),x f x →-=∞ 所以1x =-是无穷间断点。(8分) 考生注意: 考试时间 150 分钟 试卷总分 100 分 共 四 页 第 1页

江苏高等数学竞赛历年试题(本一)

2000年江苏省第五届高等数学竞赛试题(本科一级) 一、填空(每题3分,共15分) 1.设( )f x = ,则()f f x =???? . 2. 1lim ln 1 x x x x x x →-=-+ . 3. () 14 4 5 1x dx x =+? . 4.通过直线122123:32;:312321x t x t L y t L y t z t z t =-=+???? =+=-????=-=+?? 的平面方程为 . 5.设(),z z x y =由方程,0y z F x x ?? = ??? 确定(F 为任意可微函数),则z z x y x y ??+=?? 二、选择题(每题3分,共15分) 1.对于函数11 2121 x x y -= +,点0x =是( ) A. 连续点; B. 第一类间断点; C. 第二类间断点;D 可去间断点 2.设()f x 可导,()()() 1sin F x f x x =+,若欲使()F x 在0x =可导,则必有( ) A. ()00f '=; B. ()00f =;C. ()()000f f '+=;D ()()000f f '-= 3. () 00 sin lim x y x y x y →→+=- ( ) A. 等于1; B. 等于0;C. 等于1-;D 不存在 4.若 ()()0000,,, x y x y f f x y ????都存在,则 (),f x y 在()00,x y ( ) A. 极限存在,但不一定连续; B. 极限存在且连续; C. 沿任意方向的方向导数存在; D 极限不一定存在,也不一定连续 5.设α 为常数,则级数 21sin n n n α∞ =? ? ∑ ( ) A. 绝对收敛 B. 条件收敛; C. 发散; D 收敛性与α取值有关

高等数学竞赛试题(完整资料).doc

【最新整理,下载后即可编辑】 第二十届高等数学竞赛试卷 一、填空题(每小题5分,本题共50分): 1. 若0→x 时,1)1(4 1 2 --ax 与x x sin 是等价无穷小,则= a . 2. = +→) 1ln(1 2) (cos lim x x x . 3. 设函数2 301sin d ,0,(),0,x t t x f x x a x ?≠?=??=?? 在0x =处连续,则a = . 4. =??+??=y z y x z x x y xy z 则设,sin . 5. 的解为: 满足微分方程9 1 )1(ln 2-==+'y x x y y x . _______ )()( ,,)()(,.=-=???≤≤==>??D dxdy x y g x f I D x a x g x f a 则表示全平面, 而其他若设01 006 7.. d tan )cos (222 22005= +? -x x x x π π 8. . sin 2sin sin 1lim = ??? ??+++∞→n n n n n n πππ 9. . ,1222= ≤++Ω???Ω dv e z y x z 计算 所界定由设空间区域 10. 设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内,函数 (,)f x y 具有连续偏导 数,且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=. 对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ,则 .. ),(),(= -?dy y x f x x d y x f y L 二、计算题(每小题6分,本题共42分): . ,)()(cos .的解,并求满足化简微分方程:用变量代换2101010 2=' ==+'-''-<<===x x y y y y x y x t t x π 解题过程是:

江苏省高等数学竞赛历年真题(专科)

2012年省第十一届高等数学竞赛试题(专科) 一.填空(4分*8=32分) 1.=-+-+→5614 34lim 4x x x 2. =+++∞→4 3 3321lim n n n Λ 3. =?→x x tdt t x x 32030sin sin lim 4.)1ln(x y -=,则=)(n y 5.=? xdx x arctan 2 6.?=2 11arccos dx x x 7.点)3,1,2(-到直线22311z y x =-+=-的距离为 8.级数∑∞=--21)1(n k n n n 为条件收敛,则常数k 的取值围是 二.(6分*2=12分) (1)求))(13(lim 31223 ∑=∞→+-i n i n n n (2)设)(x f 在0=x 处可导,且,2)0(,1)0(='=f f 求201)1(cos lim x x f x --→ 三.在下面两题中,分别指出满足条件的函数是否存在?若存在,举一例,若不存在,请给出证明。(4分+6分=10分) (1)函数)(x f 在),(δδ-上有定义(0>δ),当0<<-x δ时,)(x f 严格增加,当δ<δ),)0(f 为极值,且))0(,0(f 为曲线)(x f y =的拐点。

四.(10分) 求一个次数最低的多项式)(x p ,使得它在1=x 时取得极大值13,在4=x 时取得极小值-14。 五.(12分) 过点)0,0(作曲线x e y -=Γ:的切线L ,设D 是以曲线Γ、切线L 及x 轴为边界的无界区域。 (1)求切线L 的方程。 (2)求区域D 的面积。 (3)求区域D 绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。 六.(12分) 点)3,2,5(,)1,2,1(--B A 在平面322:=--∏z y x 的两侧,过点B A ,作球面∑使其在平面∏上截得的圆Γ最小。 (1)求直线AB 与平面∏的交点M 的坐标。 (2)若点M 是圆Γ的圆心,求球面∑的球心坐标与该球面的方程。 (3)证明:点M 确是圆Γ的圆心。 七.(12分) 求级数∑∞ =-++12)1()1(n n n n n n 的和。

(2020年编辑)江苏省历年初中数学竞赛试题及解答(23份)

第十五届江苏省初中数学竞赛试题初一年级第一试 一、选择题(每小题7分,共56分.以下每题的4个结论中,仅有一个是正确的,请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内) 1.在-|-3|3,-(-3)3,(-3)3,-33 中,最大的是( ). (A)-|-3|3 (B)-(-3)3 (C)(-3)3 (D)-33 2. “a 的2倍与b 的一半之和的平方,减去a 、b 两数平方和的4倍”用代数式表示应为( ) (A)2a+( 21b 2)-4(a+b)2 (B)(2a+21b)2-a+4b 2 (c)(2a+21b)2-4(a 2+b 2) (D)(2a+2 1b)2-4(a 2+b 2)2 3.若a 是负数,则a+|-a|( ), (A)是负数 (B)是正数 (C)是零 (D)可能是正数,也可能是负数 4.如果n 是正整数,那么表示“任意负奇数”的代数式是( ). (A)2n+l (B)2n-l (C)-2n+l (D)-2n-l 5.已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a 、1、-l ,那么|a+1|表示( ). (A)A 、B 两点的距离 (B)A 、C 两点的距离 (C)A 、B 两点到原点的距离之和 (D)A 、C 两点到原点的距离之和 6.如图,数轴上标出若干个点,每相邻两点相距1个单位,点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ,且d-2a =10,那么数轴的原点应是( ). (A)A 点 (B)B 点 (C)C 点 (D)D 点 7.已知a+b =0,a ≠b ,则化简 a b (a+1)+b a (b+1)得( ). (A)2a (B)2b (C)+2 (D)-2 8.已知m<0,-l20)人,女生20人,a-20表示的实际意义是 12.在数-5,-3,-1,2,4,6中任取三个相乘,所得的积中最大的是 13.下表中每种水果的重量是不变的,表的左边或下面的数是所在行或所在列水果的总重量, 0.25,则正确结果

江苏高等数学历年本科三级竞赛真题史上最完整

2010年江苏省普通高等学校非理科专业 第十届高等数学(本科三级)竞赛题 一、填空题(每小题4分,共32分) 1) ()30sin sin sin lim x x x x →- = 1 6 2)() 2arctan e tan ,x y x x y '=+=则 ()2 4 2e tan sec 1x x x x x +++ 3) 设由y x x y =确定(),y y x =d d y x =则 ()()()() 2 2ln ln 1ln ln 1.y x y y y x x y x x x y ----或 4)() 2 cos ,n y x y ==则 12cos 22 n n x π-??+ ?? ? 5) 21e d x x x x -=? e x C x -+ 6)设 2, ,x z f x y y ??=- ??? f 可微,()()123,22,3,23,f f '' ==则 ()() d z ,2,1x y ==7d 8d x y - 7) 设函数 (),F u v 可微,由 ( )2 2 ,0F x z y z ++=确定(),,z z x y =则 z z x y ??+=?? 12z - 8)设 22:2,0, d D D x y x y x y +≤≥=则 16 9 二、(10分)设a 为正常数,使得 2e ax x ≤ 对一切正数x 成立,求常数a 的 最小值。 22ln e 2ln ,ax x x x ax a x ≤?≤?≥ 解 (3分) 要求a 的最小值,只要求 ()2ln x f x x = 的最大值。 (2分) 令()() 2 21ln 0x f x x -'= = 得e,x = (2分) 由于()()0e 0,e 0,x f x x f x ''<<><<时时

2016江苏省高等数学竞赛题本科一级

2016江苏省高等数学竞赛题(本科一级) 1. 设234()(1)(2)(3)(4),.(2).f x x x x x f ''=----试求 2. 求极限0tan(tan )tan(tan(tan ))lim tan tan(tan )tan(tan(tan )) x x x x x x →-?? 3.设Γ为曲线21x y =+上从点(0,2)A 到(1,3)B 的一段弧,试求曲线积分2(1).xy xy e xy dx e x dy Γ++? 4.已知点(3,2,1)P 与平面:2231x y z ∏-+=,在直线2124x y z x y z ++=??-+=? 上求一点Q ,使得线段PQ 平行于平面∏,试写出点Q 的坐标. 二.判断下一命题是否成立?若判断成立,给出证明;若判断不成立,举一反例,作出说明. 命题:若函数()f x 在0x =处连续,0(2)()lim ()x f x f x a a R x →-=∈,则()f x 在0x =处可导,且 (0)f a '=.

三.设函数()f x 在区间[0,1]上二阶可导,(0)0,(1)1f f ==. 求证:(0,1),()(1)()1f f ξξξξξξ'''?∈++=+使得. 四.求定积分220sin 1cos x x dx x π+? . 五.设函数(,)f x y 在点(2,2)-处可微,满足: 2222(sin()2cos ,2cos )1()f xy x xy y x y o x y +-=++++ 试求曲面(,)z f x y =点(2,2)-处的切平面方程.

中国石油大学(华东)第二十四届高等数学竞赛试题及答案

中国石油大学(华东) 第二十四届高等数学竞赛试题答案 一、填空题(每小题4分,本题共20分): 1、= ??-∞ →n n n n n n e e e e 12 1 lim e 。 2.设u xy y x =+ ,则??2 2 u y = 0 。 3.设L 为沿抛物线y =x 2 上从点(1,1)到点(2,4) 的一段曲线弧,则对坐标的曲线积分 可化成对弧长的曲线积分___________,其中P (x ,y )和 Q (x ,y )是在L 上的连续函数。 ? ++L ds x y x xQ y x p 2 41) ,(2),( 4.设z e y e y x x =+-sin cos ,则????2 2 2 2z x z y + = 0 。 5、= →2 1 ) (cos lim x x x 2 1- e 。 二、选择题(每小题4分,本题共20分): 1、 = +-= ?I x e e I x x 则设,d 1 1 ( C ) c e A x +-)1ln()( ;)1l n ()(c e B x ++  ;)1ln(2)(c x e C x +-+ c e x D x ++-)1l n (2)( 2、a x a x a f x f a x =-=--→则点设 ,1)() ()(lim 2(A) 的驻点 不是 但不是极值点 的驻点 是的极小值点是 的极大值点 是)()(,,)()()()()()(x f D x f C x f B x f A 3、方程0 10 cos 0 2 2 =+ +?? -x t x dt e dt t 的根的个数(B) (A)0 (B) 1 (C)2 (D) 3 4、若曲线x e t y e t z e t t t ===cos ,sin ,在对应于 t = π 4点处的切线与zx 平面交角的 正弦值是(A) (A) 2 3 (B) 1 3 (C) 0 (D) 1 5、设C 表示椭圆,其方向为逆时针方向, 则曲线积分 (B) (A) πab (B) 0 (C) a +b 2 (D) -πab 2 三、计算下列各题(每小题7分,本题共42分):

江苏省高校历届专科类数学竞赛试题

江苏省高校历届专科类高等数学竞赛试题 第五届(2000年)专科类高等数学竞赛试题 一、填空题(每小题3分,共15分) 1.已知 2 1()d f x dx x ??=? ?,则()f x '= . 2.1 ln 0 lim (tan )x x x + →= . 3 . = . 4.若级数11 (2)66n n n n n a n -∞=-+∑收敛,则a 的取值为 . 5. [()()]sin a a f x f x xdx -+-=? . 二、选择题(每小题3分,共15分) 1.函数21 ()(1) x e f x x x -=-的可去间断点为( ). A .0,1x = B .1x = C .0x = D . 无可去间断点 2.设2 1 ()sin ,()sin f x x g x x x ==,则当0x →时,()f x 是()g x 的( ). A .同阶无穷小但不等价 B .低阶无穷小 C .高阶无穷小 D .等价无穷小 3.设常数0k >,函数()ln x f x x k e =- +在(0,)+∞内零点个数为( ). A .3 B .2 C .1 D . 0 4.设()y f x =对一切x 满足240y y y '''--=,若0()0f x >且0()0f x '=,则函数()f x 在点0x ( ). A .取得极大值 B .取得极大值 C .某个邻域内单调增加 D .某个邻域内单调减少 5.过点(2,0,3)-且与直线2470, 35210x y z x y z -+-=?? +-+=? 垂直的平面方程是( ). A .16(2)1411(3)0x y z --+++= B .(2)24(3)0x y z --++= C .3(2)52(3)0x y z -+-+= D .16(2)1411(3)0x y z -+++-=

高等数学竞赛试题含答案

高等数学竞赛试题 一、选择题 1. 设n n n y z x ≤≤,且0)(lim =-∞ →n n n x y ,则n n z ∞ →lim ( C ) (A) 存在且等于零; (B) 存在但不一定等于零; (C) 不一定存在; (D) 一定不存在. 2. 设)(x f 是连续函数,)()(x f x F 是的原函数,则( A ) (A) 当)(x f 为奇函数时,)(x F 必为偶函数; (B) 当)(x f 为偶函数时,)(x F 必为奇函数; (C) 当)(x f 为周期函数时,)(x F 必为周期函数; (D) 当)(x f 为单调增函数时,)(x F 必为单调增函数. 3. 设0>a ,)(x f 在),(a a -内恒有2|)(|0)("x x f x f ≤>且,记? -= a a dx x f I )(,则有( B ) (A) 0=I ; (B) 0>I ; (C) 0

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