正规子群和群的同态与同构

同态基本定理与同构定理

第九节 同态基本定理与同构定理 重点、难点：同态基本定理，满同态与子群的关系. 一 同态基本定理 前几节是研究一些定量的东西，下面我们来研究一些定性的东西.本节中的同态基本定理是群论中的研究基础. 定理2.9.1 一个群G 与它的每一个商群N G /同态. 证 令G a aN a N G G ∈?→,;/: π 显然π是G 到N G /的满射.G b a ∈?,，)()())(()()(b a bN aN N ab ab πππ=== 故π是一个满同态. 注1 定理2.9.1中的π称为自然同态； 注2 自然同态π一定是满同态. 利用子群来研究群本身，任意给定一个不变子群N ，有两个可以供我们参考的群： N 和N G /，由于0/→→→N G G N ，故更容易推测G 的性质. 自然会问：定理2.9.1的逆命题是否成立？即0→'→G G ，G '是否与G 的某个商群是同构的呢？我们说是对的.首先有一个概念. 定义2.9.1 设G G '→Φ:为一个群同态.e '为G '的单位元,集合 })(|{e a G a Ker '=Φ∈=Φ称为同态映射Φ的核. 注1 未必要求Φ为满射，但本书中同态均为满同态； 注2 一个同态是单同态?G e Ker ?=}{φ. 推论2.9.2 设π是N G G /→的自然同态，则N Ker =π. 证 由于N G /的单位元是N ，则 N N a G a N aN G a N a G a Ker =∈∈==∈==∈=}|{}|{})(|{ππ. 定理2.9.3 （同态基本定理）设?是群G 到群G '的一个同态满射，则 (1)G Ker ?； (2)G Ker G '??/. 证 (1)由于φ??≠?∈Ker Ker e .,,,G x Ker b a ∈?∈??则e b a '==)()(??为G '的单位元.则

5.3 代数系统的同态与同构

授课时间十一周第 2 次课

更广泛的同态映射定义 定义设V1=和V2=是代数系统，其中°和*是二元运算. f: S1→S2, 且?x,y∈S1 f (x °y) = f(x) *f(y) , f (x ? y) = f(x) ?f(y) 则称f 为V1到V2 的同态映射，简称同态. 设V1=和V2=是代数系统，其中°和*是二元运算. ? 和?是一元运算，f: S1→S2, 且?x,y∈S1 f (x°y)=f(x)*f(y), f (x?y)=f(x)?f(y), f (? x)=?f(x) 则称f 为V1到V2 的同态映射，简称同态. 例V1=，V2=，Zn={0,1, … , n-1}, ⊕是模n 加. 令 f：Z→Zn，f(x) = (x)mod n 则f 是V1到V2 的同态. ?x, y∈Z有 f(x+y) = (x+y)mod n = (x)mod n ⊕ (y)mod n = f(x) ⊕ f(y) 例V1=，V2= f ：R → R＋, f(x)=ex 例题 例1 V=, 判断下面的哪些函数是V 的自同态？ (1) f(x)=|x| (2) f(x)=2x (3) f(x)=x2 (4) f(x)=1/x (5) f(x)= -x (6) f(x)=x+1 解(2) , (5), (6) 不是自同态. (1) 是同态，f(x?y) = |x?y| = |x| ?|y| = f(x) ?f(y) (3) 是同态，f(x?y) = (x?y)2 = x2 ?y2 = f(x) ?f(y) (4) 是同态，f(x?y) = 1/(x?y) =1/x ?1/y = f(x) ?f(y)

第十四讲同态与同构

第十四讲同态与同构 §14.1. 同态 §14.2. 同态基本定理 §14.1. 同态 在讲授半群和monoid时，我们已定义过它们的同态与同构，现定义群同态与群同构。 1.1.定义：设(G,*)与(H,?)为群，f: G→H为映射 (1)f为从群G到群H的同态，指(?a,b∈G)(f(a*b)=f(a)?f(b))， 记为G∽f H (2)f为从G到H的满同态指f为同态且f为onto (3)f为从G到H的同构指f为同态且f为1-1&onto，记为G ≌f H (4)f为从(G,*)到(G,*)的自同态指f(ab)=f(a)f(b) (5)f为从(G,*)到(G,*)的自同构(automorphism)指f为自同态且 1-1&onto 1.2.例： (1)(Z,+),(Z2,+2)为群， 令f(2n)=0,f(2n+1)=1,则f为从(Z,+)到(Z2,+2)的群满同态，但f非同构。 令g(n)=0，则g也为同态但不是满的。

(2)(R,+)为实数加群，(R*,*)为非零实数乘群，令f: R→R*为 f(x)=2x ∵2x+y=2x*2y,∴f为同态，但f不是满的。 (3)令R+为全体正实数，(R+,*)为群，令f: R→R+为f(x)=2x， 则f为从(R,+)到(R+,*)的同构。 1.3.命题：设(G,*),(H,?)为群， (1)令f: G→H，对?x∈G,f(x)=e H,则f为同态。 (2)令a∈G,f a: G→G为f a(x)=axa-1,则f a为自同构。 证明：∵f a(xy)=axya-1=axa-1aya-1=f a(x)f a(y) ∴f a为同态 又∵f a为1-1&onto ∴f a为同构. # 1.4.命题：(Z6,+6)恰有6个自同态，恰有2个自同构。 证明：(1)令f i: Z6→Z6,f I(x)=ix(mod 6)(=ix-[ix/6]*6),i=0,1, (5) ∵f i(x+6y)=i(x+6y)(mod 6)=ix(mod 6)+6iy(mod 6)=f i(x)+6f i(y) ∴f i为同态. ∵f i(1)=i ∴i≠j→f i≠f j,故(Z6,+6)至少有6个自同态。 (2)设f: Z6→Z6为自同态，则若i∈{0,…,5}， 则f(i)=f(1+61+6…+61)=f(1)+6f(1)+6…+6f(1)=if(1)(mod 6),

习题八 同态与同构

习题八: 同态与同构 1．证明：如果f 是由到<*,B >的同态映射，g 是由*??,B 到???,C 的同态映射，那么，f g 是由到???,C 的同态映射。 2．设*??,G 是一个群，而G a ∈，如果f 是G 到G 的映射，使得对于每一个G x ∈，都有 1)(-**=a x a x f 试证明f 是一个从G 到G 上的自同构。 3．试证由表5-8.9所给出的两个群和*??,S 是同构的。 表5-8.9 *??,S

4．设1f ，2f 都是从代数系统到代数系统<*,B >的同态。设g 是从A 到B 的一个映射，使得对任意A a ∈，都有 )()()(21a f a f a g *= 证明：如果<*,B >是一个可交换半群，那么g 是一个由到<*,B >的同态。 5．+??,R 是实数集上的加法群，设 R x e x f ix ∈→,:2π f 是同态否？如果是，请写出同态象和同态核。 6．证明：循环群的同态象必定是循环群。 8．{}??-?,0R 与+??,R 同构吗？ 8．证明：一个集合上任意两个同余关系的交也是一个同余关系。 9．证明定理5-8.4中在B 上所定义的二元运算*是唯一确定的。 10．考察代数系统+??,I ，以下定义在I 上的二元关系R 是同余关系吗？ a)R y x ∈??, 当且仅当)00()00(≥∧≥∨<∧到群*??,2G 的同态，证明是<1G ,★>的一个子群，其中 {})()(|1x g x f G x x C =∈=且 12．设f 为从群*??,1G 到???,2G 的同态映射，则f 为入射当且仅当{}e f Ker =)(。其中，e 是1G 中的幺元。 13．设()*,S 为有限群，且关于运算*满足右消去律，置 ()(){} S a x a x f S x S S f F a a ∈∧*=∈?→=:， 设 为函数的复合运算。证明： （1）() ,F 是半群。 （2）()*,S 与() ,F 同构。

§7—9 一一映射,同态及同构

第 3 讲 §7—9 一一映射，同态及同构（2课时） (Bijection Homomorphism and Osomorphism ) 本讲教学目的和要求：通过了解双射，同态及同构的理论，为后继课程中学习群同态，群同构（群第一、二同构定理）环同态，环同构理论做准备。具体要求： 1、在第一讲的基础上，对各类映射再做深入的研究。 2、充分了解双射（一一映射）的特性以及由此引导出的逆映射。 3、两个代数系统的同态的概念，尤其是同态的满射所具有的性质。 4、掌握同构映射的实质，为以后教学内容奠定基础， 本讲的重点和难点：本讲的重点在于对同态映射定义的了解；由同态满射引导的一系列性质及同构映射本质的掌握。而对双射及自身的逆映射之间的关系学生不易把握，需要认真对待。 本讲的教法和教具：在多媒体教室使用投影仪。在教学活动中安排时间让学生展开讨论。 本讲思考题及作业：本讲思考题将随教学内容而适当地展开。作业布置在本讲结束之后。 一、一一映射 在第1讲中，已对各类映射作了系列性的介绍，这里只对重要的一一映射作重点的讨论。 定义1、设?是集合A到A的映射，且?既是单的又是满的，则称?是一个一

一映射（双射）。 例1：},4,2,0,2,4,{2},2,1,0,1,2,{: --=→--=Z Z ?， 其中Z n n n ∈?=,2)(?，可知?显然是一个双射。 注意：Z 与偶数集Z 2之间存在双射，这表明：Z 与它的一个真子集Z 2一样“大”。 思考题：从例1中得知：一个无限集与其的某个真子集一样“大”。这是否可作为无限集都有的特性？即我们是否有如下的结论：A 为无限集的充要条件是A 与其某个真子集之间存在双射。 定理1：设?是A 到A 的一个双射，那么由?可诱导出（可确定出）A 到A 的一个双射1-?（通常称1-?是?的逆映射） 证明：由于?是A 到A 的双射，那么就A 中任一个元素a ，它在A 中都有逆象a ，并且这个逆象a 是唯一的。利用?的这一特点，则可确定由A 到A 的映射1-?： a a A a A A =∈?→--)(,,:11??，如果a a =)(?，由上述说明，易知1-?是映射。 1-?是满射：A a ∈?，因?是映射a a A a =∈??)(,?使，再由1-?的定义知a a =-)(1?，这恰说明，a 是a 在1-?下的逆象。由a 的任意性，知1-?是满射。 1-?是单射：2121,,a a A a a ≠∈?若由?是满射21a a 及?的逆象分别是 22111121)(,)(,a a a a a a ==--??即及，又?是单射21a a ≠?， 这说明)()(2111a a --≠??，所以1-?是单射。 综合上述讨论知：1-?是A 到A 的一个双射。

群同态定义,单、满同态,同构

群同态定义,单、满同态,同构 群同态定义，单、满同态，同构 群与关于其不变子群的商群之间有某种联系，这种联系从代数角度来说，就是 它们之间有某种相互联系的代数性质，或者可以建立某种对应关系.本节将介绍群 与群之间的对应关系，这种对应关系保持某种代数性质. 定义1 设是两个群，如果存在映射保持代数运算，即 称是到的一个同态;如果同态还是满射，称是满同态; 如果同态还是单射，称 是单同态;既是满同态又是单同态的同态称为同构，这时也称群与同构，记为 ，需要强调这个同构映射时，可记作;当时，同态映射称为自同态，同构映射 称为自同构. 需要说明的是:根据同态定义，在保持运算的等式 中，左边式子的“?”是按照中的运算，而右边式子中的“?”是按照中的运算. 例1 设是两个群，是的单位元，令 则0是到的一个同态，称其为零同态，这个同态在任意两个群之间都存在. 例 2 设是虚数单位，令 则是到的同态. 例3 设是虚数单位，令 .

则按数的乘法构成一个群，并且是到的同态，(请读者验证) 是满同态. 例4设令 注意是一般线性群，是到的同态,(请读者验证) 是单同态.今后,常用表示. 例5 设是群，是的一个不变子群，由上节是关于的商群.令 则是到的同态，并且是满同态.这个同态称为到其商群的自然同态，这是一个非常重要的同态，今后经常用到. 例6 设是所有次单位根构成的群，其中是次本原单位根，令 则是到模剩余类加群的同构映射，因此. 我们知道，若是集合到的映射，是到的映射，则映射合成是到的映射. 这个事实对于群也同样成立. 命题1 设是群到的同态，是群到的同态，则作为映射合成的是到的同态. 证明:是到的映射, 又 ，故是到的同态. 实际上我们还有如下性质: 命题2