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1.1数列的概念(学生版)

1.1数列的概念(学生版)
1.1数列的概念(学生版)

第二章 数 列

2.1数列的概念与简单的表示法

一、知识要点梳理 知识点一:数列的概念

按一定顺序排列的一列数,如1,1,2,3,5,…,a n ,…,可简记为{a n }。 注意:数列可以看作是定义在N *

或其子集{1,2,3,…,n}上的函数,与以前常见函数的不同主要在于:

(1)定义域是离散的因而其图象也是离散的单点集;(2)有序。 知识点二:数列的表示

(1)列举法:如-2,-5,-8,…

(2)图象法:由点组成的图象;是离散的点集。 (3)解析式法:类似于函数的解析法,数列的解析法就是给出了数列的通项公

式a n =f(n),n ∈N *。

(4)递推:利用数列的第n 项与它前面若干项的关系及初始值确定。如a n =a n-1+a n-2(n ≥3),且a 1=1,a 2=1.

注意:

①并不是每个数列都能写出它的数列通项公式;数列的通项如果存在,也不 一定唯一。 ②数列的列举法与集合的列举法不一样,主要就是有序与无序的差别。

③利用递推关系表示数列时,需要有相应个数的初始值。

知识点三:数列的分类 (1)按项数:有限数列和无限数列;

(2)按单调性:常数列、摆动数列、单调数列(递增数列、递减数列)。

①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.

②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.

③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,……. 知识点四:数列的通项公式与前项和公式 任意数列

的前n 项和

, 于是,

所以有:

注意:由前n 项和求数列通项时,要分三步进行:

(1)求

;(2)求出当n ≥2时的

(3)如果令n ≥2时得出的

中的n=1时有

成立,

则最后的通项公式可以统一写成一个形式,否则就只能写成分段的形式。 规律方法指导

1.与集合中元素的性质相比较,数列中的项也有相应的三个性质: (1)确定性:一个数是否数列中的项是确定的;(2)可重复性:

数列中的数可以重复; (3)有序性:数列中的数的排列是有次序的.

2.数列是一个特殊的函数,其特殊性主要体现在定义域上,根据此特殊性可以判定一个数是否数列中的项;数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式;跟不是所有的函数都有解析式一样,不是所有的数列都有通项公式. 3.要注意强调数列、数列的项、数列的通项三个概念的区别. 4.给出数列的方法中,递推关系包含两种:一种是项和项之间的关系;另一种是项和前n 项和S n 之间的关系.要用转化的数学思想方法.转化是数学中最基本、最常用的解题策略,S n 和a n 的转化,一定要围 绕目标进行转化. 5.重视函数与数列的联系,重视方程思想在数列中的应用

基础自测

1.下列对数列的理解有四种:

①数列可以看成一个定义在N *

(或它的有限子集{1,2,3,…,n })上的函数; ②数列的项数是有限的;③数列若用图象表示,从图象上看都是一群孤立的点; ④数列的通项公式是惟一的. 其中说法正确的序号是( )

A.①②③

B.②③④

C.①③

D. ①②③④

2.(2009·河池模拟)设a n = -n 2

+10n +11,则数列{a n }从首项到第几项的和最大

A.10

B.11

C.10或11

D.12

3.已知数列{a n }的通项公式是a n =

1

32+n n

,那么这个数列是

A .递增数列

B .递减数列

C .摆动数列

D .常数列

4.已知数列{a n }的通项公式是a n =??

?-+,

n n ,

n n )(22)(13为偶数为奇数则a 2·a 3等于

A.70

B. 28

C.20

D.18

5.(2008· 北京理,6)已知数列{a n }对任意的p ,q ∈N *

满足a p +q =a p +a q 且a 2=-6,

那么a 10等于( )

A.-165

B.-33

C.-30

D.-21

例1 写出下面各数列的一个通项公式: (1)3,5,7,9,…;(2)2

1,4

3,8

7,

1615,3231

,…; (3)-1,2

3

,-3

1,4

3,-5

1,63,…;(4)3

2,-1,710,-9

17,1126,-1337

,…;

(5)5,55,555,5 555,55 555,… 解 :(1)各项减去1后为正偶数,所以a n =2n +1.

(2)每一项的分子比分母少1,而分母组成数列21

,22

,23

,24

,…,所以a n =

n

n 2

12-.

(3)奇数项为负,偶数项为正,故通项公式中含因子(-1)n

;各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,…; 而各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为1,偶数项为3,即奇数项为2-1,偶数项为2+1,

所以a n =(-1)n ·n n

)1(2-+.也可写为a n =???

????-)(3)(1

为正偶数为正奇数n n n n

.

(4)偶数项为负,奇数项为正,故通项公式必含因子(-1)n +1

,观察各项绝对值组成的数列,从第3项到第6项可见,分母分别由奇数7,9,11,13

组成,而分子则是32+1,42+1,52+1,62

+1,按照这样的规律第1、2两项可

改写为12112++,-122122+?+,所以a n =(-1)n +1

·1

212++n n .

(5)联想 个n 999=10n -1, 则a n = 个n 555=95 个n )999(=95(10n -1), 即a n =9

5 (10n

-1).

例2 已知数列的通项公式为a n =

1

22+n n .

(1)0.98是不是它的项?(2)判断此数列的增减性. 解 : (1)假设0.98是它的项,则存在正整数n ,满足1

2

2+n n =0.98,

∴n 2

=0.98n 2

+0.98.∵n =7时成立,∴0.98是它的项.

(2)a n +1-a n =

1

1

)1()1(2

22

2+-

+++n n n n =

)

1](1)1[(122

2

++++n n n >0. ∴此数列为递增数列.

例3 (12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足a n +2S n S n -1=0 (n ≥2),a 1=2

1

,求a n . 解 ∵当n ≥2时,a n =S n -S n -1, ∴S n -S n -1+2S n S n -1=0, 即n S 1-11

-n S =2,∴数列?

?????n S 1是公差为2的等差数列.

又S 1=a 1=2

1,∴

11S =2, ∴n

S 1=2+(n -1)·2=2n ,∴S n =n 21.

∴当n ≥2时,a n =-2S n S n -1=-2·

n 21·)1(21-n =-)

1(21-n n , ∴a n =???????≥--=)

2()1(21)1(2

1

n n n n

.

1.根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式: (1)3

2,154,356,638,9910, … (2)21,2,2

9,8,225

,…

(3)3,33,333,3 333,…. (4)5,0,-5,0,5,0,-5,0,…(a n =5sin 2

πn ) (5)1,3,7,15,31,…

2.已知在正项数列{a n }中,S n 表示前n 项和且2n S =a n +1,求a n .

一、选择题

1.数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,…的第100项是 ( ) A.14 B.12 C.13

D.15 2.数列{a n }中,a 1=1,对于所有的n ≥2,n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n =n 2,则a 3+a 5等于 ( )

A.

16

61

B.

9

25 C.

16

25 D.

15

31 3.数列-1,5

8,-7

15,924

,…的一个通项公式a n 是

( )

A. 1

2)

1(2

+-n n n

B.1

)

2()

1(++-n n n n

C.)1(21)2()1(2+-+-n n n

D.

1

2)

2()1(++-n n n n

4.下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第n 个图案中需用黑色瓷砖 块(用含n 的代数式表示)

A.4n

B.4n +1

C.4n -3

D.4n +8

5.(2009·咸阳模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2

-9n ,第k 项满足5<a k <8,则k 等于( )

A.9

B.8

C.7

D.6 6.若数列{a n }的通项公式a n =

2

)1(1+n ,记f (n )=2(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n ),试通过

计算f (1),f (2),f (3)的值,推测出f (n )为( ) A.

n

n 1

+ B.

1

3

++n n C.

1

2

++n n D.

2

3

++n n 二、填空题

7.(2008·沈阳模拟)数列{a n }满足a n +1=???

????

<≤-<≤,

121,12,210,2n n n n a a a a a 1=5

3

,则数列的

第2 008项为 .

三、解答题

8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,满足log 2(1+S n )=n +1,求数列的通项公式.

9.在数列{a n }中,a 1=21,a n =1-1

1-n a (n ≥2,n ∈N *

),数列{a n }的前n 项和为S n .

(1)求证:a n +3=a n ;(2)求a 2 008.

10.已知二次函数f (x )=x 2

-ax +a (x ∈R )同时满足:①不等式f (x )≤0的解集有且只有一个元素;

②在定义域内存在0﹤x 1﹤x 2,使得不等式f (x 1)>f (x 2)成立.设数列{a n }的前n 项和S n =f (n ).

(1)求函数f (x )的表达式; (2)求数列{a n }的通项公式.

2.2等差数列及其前n 项和

一、知识要点梳理

知识点一 等差数列的概念

(1)定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数d ,这个数列叫做等差数列,常数d 称为等差数列的公差.

(2)等差中项:如果b A a ,,成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:A 是a 与b 的等差中项?b a A +=2?a ,A ,b 成等差数列. 知识点二 等差数列的通项公式 通项公式:d n a a n

)1(1-+==d m n a m )(-+,1a 为首项,d 为公差.

知识点三 等差数列的前n 项和公式:

d n n na a a n S n n 2

)1(2)(11-+=+=

=bn an +2

(常数项为0的二次式)

知识点四 等差数列的常用性质 (1)若q p n m +=

+,那么q

p n m a a a a +=+

特殊地,若p n

m 2=+,则p n m a a a 2=+.

(2)d m n a a m n )(-+=;b an a n +=(a ,b 是常数);bn an S n +=2(a ,b 是常数,0≠a )

(3)若{}n a 等差数列,则k k k k k S S S S S 232,,-- 仍成等差

(4)等差数列中,求使前n 项和最大(小)的项数的方法:

递减数列,求n S 最大,令0≥n a ,求正数项;递增数列,求n S 最小,令0≥n a ,求负数项.当然,解决此类型题目还可以利用二次函数的性质,但解一次不等式的方法还是最快的方法.

知识点五 等差数列的判定方法

⑴定义法:d a a n n =-+1(+∈N n ,d 是常数)?{}n a 是等差数列;

⑵中项法:

212+++=n n n a a a (+∈N n )?

{}n a 是等差数列.

基础自测 1、等差数列

32,12-,52-,9

2-,…的一个通项公式是( ) A .122n - B .322n - C .722n - D .3

22

n +

2、下列四个命题:①数列6,4,2,0是公差为2的等差数列;②数列a ,1a -,2a -,3a -是公差为1a -的等差数列;③等差数列的通项公式一定能写成

n a an b =+的形式(a 、b 为常数);④数列{}21n +是等差数列.其中正确命题的序号是( )

A .①②

B .①③

C .②③④

D .③④ 3、C ?AB 中,三内角A 、B 、C 成等差数列,则∠B=( ) A .30

B .60

C .90

D .120

4、已知32

a =

+,32b =-a 、b 的等差中项是( )

A 3

B 2

C 3

D 2

5、已知等差数列1a ,2a ,3a ,…,n a 的公差为d ,则1ca ,2ca ,3ca ,…,n ca (c 为常数,且0c ≠)是( )

A .公差为d 的等差数列

B .公差为cd 的等差数列

C .非等差数列

D .以上都不对

6、在数列{}n a 中,12a =,1221n n a a +=+,则101a 的值为( ) A .49 B .50 C .51 D .52

7、2000是等差数列4,6,8,…的( )

A .第998项

B .第999项

C .第1001项

D .第1000项

8、在等差数列{}n a 中,已知12a =,2313a a +=,则456a a a ++等于( ) A .10 B .42 C .43 D .45 9、在等差数列40,37,34,…中第一个负数项是( ) A .第13项 B .第14项 C .第15项 D .第16项

10、在等差数列{}n a 中,已知1510a =,4590a =,则60a 等于( ) A .130 B .140

C 150

D .160

11、在a 和b (a b ≠)两个数之间插入n 个数,使它们与a 、b 组成等差数列,则该数列的公差为( ) A .

b a

n

- B .

1

b a

n -+ C .

1a b n ++ D .2

b a

n -+ 12、设{}n a 是公差为正数的等差数列,若12315a a a ++=,12380a a a =,则

111213a a a ++=( )

A .120

B .105

C .90

D .75

例1、在等差数列{a n }中,(1)已知a 15=33,a 45=153,求a 61; (2)已知a 6=10,S 5=5,

求a 8和S 8;(3)已知前3项和为12,前3项积为48,且d >0,求a 1. 解 (1)方法一 设首项为a 1,公差为d ,依条件得:??

?+=+=d

a d

a 44153143311,解方程组

得??

?=-=.

4231d ,

a ∴a 61=-23+(61-1)×4=217.

方法二 由d =

m n a a m n --,得d =15451545--a a =30

33

153-=4, 由a n =a m +(n -m )d , 得a 61=a 45+16d =153+16×4=217.

(2)∵a 6=10,S 5=5,∴???=+=+5

10510

511d a d a . 解方程组得a 1=-5,d =3, ∴

a 8=a 6+2d =10+2×3=16,S 8=8×

2

)

(81a a +=44. (3)设数列的前三项分别为a -d ,a ,a +d ,依题意有:???=+??-=+++-48

)()(12

)()(d a a d a d a a d a ,

∴????

?=-=48

)(4

22d a a a ,∴?

?

?±==24

d a . ∵d >0,∴d =2,a -d =2.∴首项为2.∴a 1=2. 例2、已知数列{a n }满足a 1=4,a n =4-14-n a (n ≥2),令b n =21-n a .求证:数列{b n }是等差数列. 证明 ∵a n +1-2=2-n a 4=n n a a )2(2-,∴211-+n a =)2(2-n n a a =)2(222-+-n n a a =21+21-n a ∴211-+n a -21-n a =21, ∴b n +1-b n =21., ∴数列{b n }是等差数列.

例3 (12分)在等差数列{a n }中,已知a 1=20,前n 项和为S n ,且S 10=S 15,求当n 取何值时,S n 取得最大值,并求出它的最大值. 方法一 ∵a 1=20,S 10=S 15, ∴10×20+2910?d =15×20+21415?d ,∴d =-35

.

∴a n =20+(n -1)×(-35

)=-35n +

3

65

. ∴a 13=0. 即当n ≤12时,a n >0,n ≥14时,a n <0. ∴当n =12或13时,S n 取得最大值,且最大值为 S 12=S 13=12×20+21112??(-35

)=130.

方法二 同方法一求得d =-35. ∴S n =20n +2)1(-n n ·(-35) = -65n 2+6125

n =

-652

225??? ??

-n +241253.

∵n ∈N +,∴当n =12或13时,S n 有最大值,且最大值为S 12=S 13=130. 方法三 同方法一得d =-35

. 又由S 10=S 15,得a 11+a 12+a 13+a 14+a 15=0. ∴5a 13=0,即

a 13=0. ∴当n =12或13时,S n 有最大值,且最大值为S 12=S 13

=130.

1.设两个数列{a n },{b n }满足b n =

n

na a a a n

++++++++ 32132321,若{b n }为等差数列,求证:

{a n }也为等差数列.

2.(2009·成都市第一次调研)设{a n }为等差数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7=7,S 15=75,T n 为数列?

??

???n S n 的前n 项和,求T n .

3.等差数列{a n }中,a 1<0,S 9=S 12,该数列前多少项的和最小? 解 由条件S 9=S 12,可得:9a 1+

289?d =12a 1+21112?d ,即d =-10

1

a 1. 由a 1<0知d >0,即数列{a n }为递增数列.

方法一 由???≥+=≤-+=+001111nd a a d )n (a a n n ,得???????

≤-≥--0

10

110110

11n n )(,解得10≤n ≤11.

∴当n 为10或11时,S n 取最小值,∴该数列前10项或前11项的和最小.

方法二 ∵S 9=S 12,∴a 10+a 11+a 12=3a 11=0,∴a 11=0.

又∵a 1<0,∴公差d >0,从而前10项或前11项和最小.

方法三 ∵S 9=S 12,∴S n 的图象所在抛物线的对称轴为x =2

12

9+=10.5,

又n ∈N *

,a 1<0,∴{a n }的前10项或前11项和最小. 方法四 由S n =na 1+

2)1(-n n d =2d 2n +???

?

?-21d a n ,结合d =-101a 1得 S n =??? ??-

1201a ·n 2+??

?

??12021a ·n = -201a 2

221??? ??-n +80441a 1 (a 1<0), 由二次函数的性质可知n =

2

21=10.5时,S n 最小.又n ∈N *

,故n =10或11时S n 取得最小值.

一、选择题

1.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=1,a 3=3,则S 4等于

A .12

B .10

C .8

D .6

2.在等差数列{a n }中,已知1a =2,a 2+a 3=13,则a 4+a 5+a 6等于

A .40

B .42

C .43

D .45

3.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差

A .5

B .4

C .3

D .2

4.已知等差数列{a n }的前三项分别为a -1,2a +1,a +7,则这个数列的通项公式为

A .a n =4n -3

B . a n =2n -1

C .a n =4n -2

D .a n =2n -3

5.(2008·大连模拟)在等差数列{a n }中,若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120,则a 9-3

1a 11的值 A .14 B .15 C .16 D .17

6.等差数列{a n }的前n 项和满足S 20=S 40,下列结论中正确的是

A .S 30是S n 中的最大值

B .S 30是S n 中的最小值

C .S 30=0

D .S 60=0 7

、lg

与lg

的等差中项是( )

A .0 B

. C

.(lg 5- D .1

8、若a b ≠,两个等差数列a ,1x ,2x ,b 与a ,1y ,2y ,3y ,b 的公差分别为1d ,2d ,则

1

2

d d =( ) A .

3

2 B .

23 C 43

D .

3

4

9、一个首项为23,公差为整数的等差数列,如果前6项均为正数,第7项起为负数,则它的公差是( )

A .2-

B .

C .4-

D .6-

10、在等差数列{}n a 中,若34567450a a a a a ++++=,则28a a +的值等于

A .45

B .75

C .180

D .300

11、等差数列{}n a 中,14739a a a ++=,25833a a a ++=,则369a a a ++的

值为( ) A .30

B .27

C .24

D .21

12、设数列{}n a 是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的

首项是( )

A .1

B .2

C .4

D .6 13、高山上的温度从山脚起,每升高100米降低0.7℃,已知山顶的温度是14.1 ,

山脚的温度是26℃,则山脚到山顶的高度为( )

A .1500米

B .1600米

C .1700米

D .1800米 14(2008·广东理,2)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2

1,S 4=20,则S 6等于 ( )

A .16

B .24

C .36

D .48

15.设{a n }是等差数列,a 1>0,a 2 007+a 2 008>0,a 2 007·a 2 008<0,则使S n >0成立的最大自然

数n 是( )

A .4 013

B .4 014

C .4 015

D .4 016

16.(2008·全国Ⅰ理,5)已知等差数列{a n }满足a 2+a 4=4,a 3+a 5=10,则它的前10项的和S 10等于

A .138

B .135

C .95

D .23 17.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且

345

7++=

n n B A n n ,则使得

n

n

b a 为整数的正整数n 的个数是 A .2 B .3 C .4 D .5

18.(2008·重庆理,14)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,a 12=-8,S 9=-9,则S 16= . 二、解答题

19.已知数列{a n }中,a 1=5

3,a n =2-1

1-n a (n ≥2,n ∈N *

),数列{b n }满足b n =

1

1

-n a (n ∈N *

).(1)求证:数列{b n }是等差数列;

(2)求数列{a n }中的最大项和最小项,并说明理由.

20.(2010·福建文17) (本小题满分12分 )

数列{n a } 中a =13,前n 项和n S 满足1n S +-n S =1

13n +??

?

??

(n ∈*

N ).

( I ) 求数列{n a }的通项公式n a 以及前n 项和n S ;

(II )若S 1, t ( S 1+S 2 ), 3( S 2+S 3 ) 成等差数列,求实数t 的值。

§1.1+++数列的概念

§1.1 数列的概念 宜黄县安石中学 万 杰 教学目标 1.通过教学使学生理解数列的概念,了解数列的表示法,能够根据通项公式写出数列的项. 2.通过数列定义的归纳概括,初步培养学生的观察、抽象概括能力;渗透函数思想. 3.通过有关数列实际应用的介绍,激发学生学习研究数列的积极性. 教学重难点 教学重点是数列的定义的归纳与认识; 教学难点是数列与函数的联系与区别. 教学过程 一.揭示课题 先举一个生活中的例子:场地上堆放了一些圆钢,最底下的一层有100根,在其上一层(称作第二层)码放了99根,第三层码放了98根,依此类推,问:最多可放多少层?第57层有多少根?从第1层到第57层一共有多少根?我们不能满足于一层层的去数,而是要求如何去研究,找出一般规律.实际上我们要研究的是这样的一列数 (板书) 象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列. (板书)第三章 数列 (一)数列的概念 二.讲解新课 要研究数列先要知道何为数列,即先要给数列下定义,为帮助同学概括出数列的定义,再给出几列数: ①各排钢管的数量:3,4,5,6,7,8,9 ②我国1998~2002年GDP 值(亿元):78345 82067 89442 95933 102389 ③五次人口普查的数量(百万):60193 72307 103188 116002 129533 ④正弦函数x y sin =的图像在y 轴左边所有最低点从右向左,它们的横坐标依次排成一 列数:2π- 2 5π- 29π- 213π- 217π- …… ⑤正整数 的倒数排成一列数:4 1,31,21,1...... ⑥某人2006年1~~12月工资,按月顺序排列为:1100 1100 1100 (1100) ⑦函数21x y =当 依次取n ,...,3,2,1(*∈N n )时得到一列数:21,...,91,41,1n 请学生观察7列数,说明每列数就是一个数列,数列中的每个数都有自己的特定的位置,这样数列就是按一定顺序排成的一列数. (板书)1.数列的定义:按一定次序排成的一列数叫做数列. 为表述方便给出几个名称:项,项数,首项(以幻灯片的形式给出).以上述七个数列为例,让学生练习指出某一个数列的首项是多少,第二项是多少,指出某一个数列的一些项的项数. 由此可以看出,给定一个数列,应能够指明第一项是多少,第二项是多少,……,每一项都是确定的,即指明项数,对应的项就确定.所以数列中的每一项与其项数有着对应关系,这与我们学过的函数有密切关系.

等差数列的概念教案(1)

等差数列的概念教案 【教学目标】 知识与技能:1、理解等差数列的定义,能根据定义判断一个数列是否为等差数列; 2、了解公差的概念,会求一个给定等差数列的首项与公差; 3、理解等差中项的 概念,会利用等差中项解决相应的简单的等差数列问题。 过程与方法:1、通过对情景问题的分析理解和归纳概括,了解等差数列的简单产生过程; 2、通过解决基本等差数列问题的过程,加深对等差数列概念、公差、等差中项的理解; 情感态度与价值观:1、通过等差数列概念的归纳概括,培养学生的观察能力、分析探索能力激发学生积极思考,追求新知的创新意识; 2、通过解决等差数列概念的基本问题,培养学生分析问题解决问题的能力,提高学生的运算能力。 【教学重点】1、理解等差数列的定义,理解等差中项的概念;2、了解公差的概念,根据给定的等差数列求公差。 【教学难点】探索等差数列定义的形成过程。 【教学方法】情境教学法、自主探究法、讲练结合法 【教学用具】黑板电子白板 【教学课型】新授课 【教学设想】本课教学,重点是等差数列的概念,在讲概念时,通过创设情境引导学生分析出等差数列的特点,从而引出等差数列的定义,进一步引导学生通过定义来判断一个数列是否是等差数列。整个过程以学生自主思考、合作探究、教师适时点拨为主,真正体现课堂教学中学生的主体作用。 【教学准备】1、教师认真备课、制作课件、布置预习内容; 2、学生认真阅读课本内容,标出关键词以及不理解的地方,完成预习内容,做好上课准备。【教学过程】

教学环节学习内容 学生 活动 教师 活动 设计意 图 课前预 习 阅读书本P7-9内容,在等差数列定义中的关 键词下面用彩笔画线 自主 完成 抽查 反馈 了解预 习效果 活动一 创设 情境 、 导入 新课 (5分钟) 在 现实生活中,我们会遇到下面的特殊数列。 情境1:我们经常这样数数,从0开始,每隔5 数一 次,可以得到数列:0,5,,,,,…。 情境2: 2000年,在澳大利亚悉尼举行的奥运会 上,女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置 了7个级别,其中较轻的4个级别体重组成数列 (单位:kg): 48,53, 63。 情境3:水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的 生活环境,用定期放水清库的办法清理水库中的杂 鱼。如果一个水库的水位为18m,自然放水每天水 位降低2.5m,最低降至5.5m。那么从开始放水算 起,至V可以进行清理工作的那天,水库每天的水 位组成数列(单位:m): 18,15.5,,,,5.5。 独立 思考 并完 成这 三个 数列 引导 学生 分析 比较 每个 数列 的特 占 通过 具体 问题 引出 等比 数列 的定 义 活动二 数学建构、引入概念(5分钟)观察:上面三个数列有什么共同特点? 思考:1、等差数列的定义是怎样的? 2、定义中有哪些关键词? 3、公差用什么子母表示? 4、等差数列的定乂如何用符号语言表示? 结合 课本 定义 独立 思考 后回 答 板书 定义 及注 意点 用彩 色粉 笔画 出关 键词 引导 学生 理解 概念, 让学 生经 历观 察、猜 测、抽 象、概 括、的 思维 过程 活动三 例题精讲 、 探究 知新(10分钟) 例1:下列数列是否为等差数列?若是,写出其首项 及公差。 (1)2, 5, 8, 11,14; (2)1, 1, 1, 1, 1; (3)1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0,……; (4)-3, -2, -1, 1, 2, 3。 例2:求下列等差数列中的未知项。 (1)3, a , 5; (2)3, b , c, -9; 独立 思考 后完 成 巡视 并记 录存 在的 问题 个别 指导 集体 反馈 通过 具体 的例 子, 加深 学生 对等 差数 列概 念的 认识

高二数学 等差数列的定义及性质

等差数列的定义及性质 ?等差数列的定义: 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做公差,用符号语言表示为a n+1-a n=d。 ?等差数列的性质: (1)若公差d>0,则为递增等差数列;若公差d<0,则为递减等差数列;若公差d=0,则为常数列; (2)有穷等差数列中,与首末两端“等距离”的两项和相等,并且等于首末两项之和; (3)m,n∈N*,则a m=a n+(m-n)d; (4)若s,t,p,q∈N*,且s+t=p+q,则a s+a t=a p+a q,其中a s,a t,a p,a q是数列中的项,特别地,当s+t=2p时,有a s+a t=2a p; (5)若数列{a n},{b n}均是等差数列,则数列{ma n+kb n}仍为等差数列,其中m,k均为常数。 (6) (7)从第二项开始起,每一项是与它相邻两项的等差中项,也是与它等距离的前后两项的等差中项,即 (8)仍为等差数列,公差为

?对等差数列定义的理解: ①如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或某一项起,每一项与它前一项的差是同 一个常数,那么此数列不是等差数列,但可以说从第2项或某项开始是等差数列. ②求公差d时,因为d是这个数列的后一项与前一项的差,故有 还有 ③公差d∈R,当d=0时,数列为常数列(也是等差数列);当d>0时,数列为递增数 列;当d<0时,数列为递减数列; ④是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据; ⑤证明一个数列是等差数列,只需证明a n+1-a n是一个与n无关的常数即可。 等差数列求解与证明的基本方法: (1)学会运用函数与方程思想解题; (2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键; (3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量:a1,d,n,a n,S n,知道其中任意三 个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’).

数列的概念与简单表示法(含 解析)

第一节数列的概念与简单表示法 知识要点 1.数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义: ①数列:按照一定顺序排列的一列数. ②数列的项:数列中的每一个数. (2)数列的分类: (3)数列的通项公式: 如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 2.数列的递推公式 如果已知数列{a n}的首项(或前几项),且任一项a n与它的前一项a n (n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫数-1 列的递推公式.

3.对数列概念的理解 (1)数列是按一定“顺序”排列的一列数,一个数列不仅与构成它的“数”有关,而且还与这些“数”的排列顺序有关,这有别于集合中元素的无序性.因此,若组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的两个数列. (2)数列中的数可以重复出现,而集合中的元素不能重复出现,这也是数列与数集的区别. 4.数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的特殊函数,数列的通项公式也就是相应的函数解析式,即f(n) =a n(n∈N*). 题型一:由数列的前几项求数列的通项公式 [例1] 下列公式可作为数列{a n}:1,2,1,2,1,2,…的通项公式的是( ) A.a n=1 B.a n=C.a n=2- D.a n= [自主解答] 由a n=2-可得a1=1,a2=2,a3=1,a4=2,….[答案] C 变式:若本例中数列变为:0,1,0,1,…,则{a n}的一个通项公式为________. 答案: a n= 由题悟法 1.根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注意观察每一项的特点,观察出项与n之间的关系、规律,可使用添项、通分、分割等办法,转化为一些常见数列的通项公式来求.对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整. 2.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的思想.

《1.1 数列的概念》教学案2

《1.1 数列的概念》教学案2 学习目标: 了解数列的概念和数列几种常见表示方法(列表、图像、通项公式)并能根据一定条件求数列的通项公式。 学习重点:数列概念 学习难点:根据条件求数列的通项公式 学习过程: 一、课前准备:阅读P 3—4 二、新课导入: ①什么是数列数: ②数列项是: ③按项分类数列分为: 和 ④数列通项公式: 自主测评 1、判断下列是否有通项公式若有,写出其通项公式。 ①3,3,3,3…… ②2,4,6,8,10…… ③1,3,5,7,9…… ④0,1,0,1,0,1…… ⑤0,1,-2,4,-7,6,10,5,9…… 2、数列{}n a 中,22(3)2n a log n =+-,写出数列前五项,32 log 是这个数列 的第几项 探究:(1)是不是所有数列都有通项公式,能否举例说明 (2)若数列有通项公式,通项公式是不是唯一的,若不是能否举例说明 三、巩固应用 例1. P 5 试一试:P 6 T 1-2 例2. P 5 试一试:P 6 T 3 1、写出下列数列的一个通项公式 ①-2,-2,-2,-2…… ②7,77,777,7777…… ③0.7,0.77,0.777,0.7777…… ④3,5,9,17,33…… ⑤0,-1,0,1,0,-1,0,1…… ⑥1112,,,6323 ……

四、总结提升 1、探究新知: 2、数列通项公式n a 与函数有何联系 五、知识拓展 数列前几项和123n n S a a a a a n-1…+=++++ 且 1 1(1)() n n n a n a s s n -=?=? -?≥2 六、能力拓展 1、数列 210210210 1,1,1,1223(1) g g g n n +…………××中首次出现负值的项是第几项 ≥≤ 2、已知数例{}n a 的通项公式254n a n n =-+ (1)数列{}n a 中有多少项是负项? (2)当n 为何值时,n a 有最小值,最小值是多少? 3、已知数列{}n a 的前n 项和221n s n n =++,求数列{}n a 的通项公式? 自我评价:这节课你学到了什么,你认为做自己的好的地方在哪里? 作业:P 9 A :T 4 T 6 B :T 1

等差数列概念说课稿

课题§6.2.1 等差数列的概念说课稿 尊敬的各位领导各位老师 大家上午好! 今天我说课内容是选自人教版数学(基础模块)下册第六章第二节《等差数列的概念》,本节是第一课时。下面我将从说教材、说学生、说教法与学法、说教学过程设计等方面来对本节课进行说明。 一、教材分析 1.教材的地位与作用 等差数列是数列这一章的重要内容之一,它在实际生活中有广泛的应用。本节内容是学生在学习了数列的有关概念的基础上,对数列的知识进一步深入学习和拓展。同时等差数列的学习也为今后继续学习等比数列提供了学习对比的依据。所以,本节课在知识结构上起着承上启下的作用。 2、教学目标 根据教学大纲与学生的实际情况我制定如下教学目标: 【知识目标】 a.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式。 b. 逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题。 【能力目标】 通过教学,培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力;提高学生分析问题解决问题的能力。 【情感目标】 a.让学生体验从特殊到一般的认知规律,培养学生勇于创新的

科学精神。 b. 让学生养成细心观察、认真分析问题的良好的思维习惯。 3.教学重难点 【教学重点】 等差数列的概念和通项公式。 【教学难点】 等差数列的通项公式推导过程及灵活应用。 二、学情分析 中职学生数学基础比较薄弱,但作为高中生他们本身具备一定的观察,思考,分析能力。前面已对数列的知识有了初步的接触与认识,对数学公式运用已具备一定的技能,针对学生的这些情况我在教学中从学生的生活经验和已有的知识背景出发,充分调动学生的积极性,发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位。 三、教法与学法 【教法分析】 本节课我采用启发式、小组探究法以及讲练结合的教学方法。通过问题激发学生求知欲,在教师的启发引导下,使学生主动参与数学实践活动,让学生去分析、探索,得到结论。从而使学生既获得知识又发展智能。通过讲练结合法可以及时巩固所学内容,抓住重点,突破难点。 【学法分析】 在引导分析时,留出学生的思考空间,让学生去观察分析,探索新知。同时鼓励学生大胆质疑,学会探究,把思路方法和需要解决的问题弄清。 四、教学过程设计

等差数列概念及通项公式经典教案

等差数列的概念及通项公式 【学习目标】 1. 准确理解等差数列、等差中项的概念,掌握等差数列通项公式的求解方法,能够熟练应用通项公式解 决等差数列的相关问题 2. 通项对等差数列概念的探究和通项公式的推导,体会数形结合思想、化归思想、归纳思想,培养学生 对数学问题的观察、分析、概括和归纳的能力 3?激情参与、惜时高效,禾U 用数列知识解决具体问题,感受数列的应用价值 【重点】:等差数列的概念及等差数列通项公式的推导和应用 【难点】:对等差数列中“等差”特征的理解、把握和应用 【学法指导】 1.阅读探究课本上的基础知识,初步掌握等差数列通项公式的求法 ; 2.完成教材助读设置的问题,然后结 合课本的基础知识和例题,完成预习自测; 3.将预习中不能解决的问题标出来,并写到后面“我的疑惑” 一、知识温故 1?数列有几种表示方法? 2?数列的项与项数有什么关系? 3函数与数列之间有什么关系? 教材助读 1?一般地,如果一个数列从第 ________ 项起,每一项与它的前一项的差等于 ____________ 常数,那么这个数列 就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的 ___________ ,公差通常用字母 ___________________________ 表示。 2.由三个数a 、A 、b 组成的 ___________ 数列可以看成最简单的等差数列。这时 A 叫做a 与b 的等差数列即 3. 如果数列{a n }是公差为d 的等差数列,则a 2 a 1 a 5 a 1 4.通项公式为a n =an+b (a,b 为常数)的数列都是等差数列吗?反之,成立吗? ,a 3 a 1 a 4 a 1 1. 等差数列a 2d , a ,a 2d ?' A . a n a (n 1)d B. C . a n a 2(n 2)d D. 2.已知数列{, a n } 的通项公式为 a n A . 2 B. 3 C. 2 3. 已知a 1 b - 1 ?的通项公式是( a (n 3)d a 2nd 2n ,则它的公差为( D. 3 ,则a 与b 的等差中项为 【预习自测】 a n a n

数列的概念与简单表示法

数列的概念与简单表示法 [考纲传真]1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 【知识通关】 1.数列的有关概念 n n 若数列{a n }的前n 项和为S n , 则a n =??? S 1,n =1, S n -S n -1,n ≥2. 4.数列的分类 [

求数列的最大(小)项,一般可以利用数列的单调性,即用??? a n ≥a n -1, a n ≥a n +1.(n ≥2, n ∈N *)或?? ? a n ≤a n -1,a n ≤a n +1 (n ≥2,n ∈N *)求解,也可以转化为函数的最值问题或利 用数形结合思想求解. 【基础自测】 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的.( ) (3)所有数列的第n 项都能使用公式表达.( ) (4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.已知数列11×2,12×3,13×4,…,1 n (n +1) ,…,下列各数中是此数列中的项的是( ) A .135 B .142 C .148 D .154 B 3.设数列{a n }的前n 项和S n =n 2,则a 8的值为( ) A .15 B .16 C .49 D .64 A 4.在数列{a n }中,a 1=1,a n =1+(-1)n a n -1(n ≥2),则a 5等于( ) A .32 B .53 C .85 D .23 D 5.根据下面的图形及相应的点数,写出点数构成的数列的一个通项公式a n =________. 5n -4

必修5教案2.2等差数列的概念(一)

§2.2第1 课时 等差数列的概念 教学目标 (1)能准确叙述等差数列的定义; (2)能用定义判断数列是否为等差数列; (3)会求等差数列的公差及通项公式。 教学重点,难点 等差数列的定义及等差数列的通项公式。 教学过程 一.问题情境 1.情境:观察下列数列:: 4,5,6,7,8,9,10,……; ① 3,0,3-,6-,……, ② 第23届到第28届奥运会举行的年份为:1984,1988,1992,1996,2000,2004 ③ 某电信公司的一种计费标准是:通话时间不超过3分钟,收话费0.2元,以后每分钟收话费0.1元,那么通话费按从小到大的次序依次为: 0.2,0.20.1,0.20.12,0.20.13,++?+? ④ 如果1年期储蓄的月利率为1.65%,那么将10000元分别存1个月, 2个月 , 3个月 , …… 12个月,所得的本利和依次为 100001000016.5,1000016.52,1000016.512++?+? , ⑤ 2.问题:上面这些数列有何共同特征? 二.学生活动 对于数列①,从第2项起,每一项与前一项的差都等于1; 对于数列②,从第2项起,每一项与前一项的差都等于3-; 对于数列③,从第2项起,每一项与前一项的差都等于4; 对于数列④,从第2项起,每一项与前一项的差都等于0.1; 对于数列⑤,从第2项起,每一项与前一项的差都等于16.5; 规律:从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一常数。 三.建构数学 1.等差数列定义: 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么 这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥. 思考:

数列的概念与简单表示讲义

数列的概念与简单表示讲义 【知识要点】: 知识点一:数列的概念 ⒈数列的定义:按一定顺序排列的一列数叫做数列. 注意:⑴数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列; ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现. ⒉数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项,第2项,…,第项,….其中数列的第1项也叫作首项。 3. 数列的一般形式:,或简记为,其中是数列的第项 知识点二:数列的分类 1. 根据数列项数的多少分: 有穷数列:项数有限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6是有穷数列 无穷数列:项数无限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6,…是无穷数列 2. 根据数列项的大小分: 递增数列:从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列。 递减数列:从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列。 常数数列:各项相等的数列。 摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 知识点三:数列的通项公式与前项和 1. 数列的通项公式 如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 如数列:的通项公式为(); 的通项公式为(); 的通项公式为(); 注意:(1)并不是所有数列都能写出其通项公式; (2)一个数列的通项公式有时是不唯一的,如数列:1,0,1,0,1,0,…; 它的通项公式可以是,也可以是. (3)数列通项公式的作用:①求数列中任意一项;②检验某数是否是该数列中的一项. (4)数列的通项公式具有双重身份,它表示了数列的第项,又是这个数列中所有各项的一般表示.

2.2等差数列的概念及通项公式

2.2等差数列的概念及通项公式 【基础练习】 1.写出数列的一个通项公式,使它的前四项分别是下列各数 (1).1,3,5,7 (2).2,4,6,8 (3).4,7,10,13 (4).101,51,103,5 2 2.如果12+=n a n ,则____12=-a a ,____23=-a a ,____1=-+n n a a .根据其特点,你得出的结论是_____________. 3.某货运公司的一种计费标准是:1公里以内收费5元,以后每1公里收2.5元,如果运输某批货物80公里,那么需支付_______元运费. 4.已知数列{}n a 满足11=a ,11+=+n n a a ,求=n a _______. 5. .已知数列{}n a 满足11=a , 1111=-+n n a a ,求n a . 【巩固练习】 1.已知等差数列}{n a 中,1,16497==+a a a ,则12a 的值是 ( ) A .15 B .30 C .31 D .64 2.{}n a 使首项11a =,公差3d =的等差数列,如果2005n a =,则序号n 等于 ( ) A .667 B .668 C .669 D .670 3.如果数列}{n a 是等差数列,则 ( ) A.5481a a a a +<+ B.5481a a a a +=+ C.5481a a a a +>+ D.5481a a a a = 4.在首项为81,公差为-7的等差数列{a n }中,最接近零的是第 ( ) A .11项 B .12项 C .13项 D .14项 5.在等差数列{}n a 中,若4681012120a a a a a ++++=,则91113 a a - 的值为( ) A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 6.等差数列{}n a 中,p a q =,q a p =(p q ≠),那么p q a +=

数列的概念与简单表示法

高一数学必修5数列新容:数列与等差数列 数列的概念与简单表示法 数列的分类: (1)据数列的项数是否有限可分类为有穷数列、无穷数列. (2)据数列的项大小关系可分类为 ①递增数列:从第二项起,每一项都大于它的前一项的数列; ②递减数列:从第二项起,每一项都小于它的前一项的数列; ③常数数列:各项相等的数列; ④摆动数列:从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 练习: 1、下列给出数列,试从中发现变化规律,并填写括号的数 (1)()() 1,3,6,10,,21,,??????; (2)()() 3,5,9,17,33,,,??????; (3)() 1,4,9,16,,36,??????. 2.下面数列中递增数列是,递减数列是,常数数列是,摆动数列是 (1)0,1,2,3,??????;(2)82,93,105,119,129,130,132;(3)3,3,3,3,3,??????; (4)100,50,20,10,5,2,1,0.5,0.2,0.1,0.05,0.02,0.01; (5)1,1,1,1,1, ---??????;(6精确到1,0.1,0.01,0.001,???的不足近似值与过剩近似值分别构成数列1,1.4,1,1.141,1.414,;2,1.5,1.42,1.415, ????????????. 3.据下列数列的前几项,写出下列数列的一个通项公式 (1)1,3,5,7,9??????; (2)9,7,5,3,1,??????; (3) 2222 21314151 ;,;; 2345 ---- (4) 1111 ,,,, 12233445 ---- ???? .

数列的概念与表示(一)

数列的概念与表示导学案 一、基础知识 引例:按一定次序排列的一列数 (1)1,2,3,4,5 (2)1,51,41,31,21 (3),1,1,1,1--…… (4)1,1,1,1,…… (5)1,3,5,4,2 (6)2的精确到1,0.1,0.01,0.001,……的不足近似值排列成一列数 1、概念:(1)数列: 注:①按一定次序排列 ②同一个数在数列中可重复出现 上例中能构成数列的是: 。(1)与(5)相同吗? (2)项: (3)项的序号: 2、表示:数列的一般形式为: ,简化为 。 例:,41,31,21, 1…,1,n …简记为: 1,3,5,7,…12-n ,…简记为 注:}{n a 与n a 的区别: 3、数列与函数的关系: 4、数列的通项公式: 作用:①以序号代n 可求数列各项;②可验证某数是否是数列中的项 注:①通项公式有时不存在;②一个数列的通项公式形式可能不唯一。 5、递推公式: 6、分类: 二、例题解析 例1、根据}{n a 的通项公式,写出它的前5项。 (1)1+=n n a n (2)n a n n ?-=)1( 例2、写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数 (1)1,2,3,4; (2)1,3,5,7; (3)5 15,414,313,2122222----; 例3、已知:}{n a 中,11=a ,以后各项由111-+ =n n a a 给出,写出这个数列的前5项。

三、课后练习 1、根据}{n a 的通项公式,写出它的前5项: (1)1)1(5+-?=n n a (2)1 122++=n n a n 2、根据通项公式,写出它的第7项与第10项 (1))2(+=n n a n (2)32+-=n n a 3、写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数。 (1)1,2,3,4 (2)2,4,6,8 (3)161,81,41,21-- (4)5141.4131,3121,211---- 4、写出下面数列}{n a 的前5项 (1))2(35 11≥+==-n a a a n n (2))2(2211≥==-n a a a n n

等差数列的概念与通项公式

台州市高三期未统考参考答案(文) 一、1—5 CAADD 6—10 CBBBC 二、11.21 12.3 π 13.3 14.20 三、15.(1)由题意得x x f 2sin 3)(=,则T π=;┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分 (2)由222,22k x k k Z π π ππ-+≤≤+∈,解得,44k x k k Z π π ππ-+≤≤+∈, 则()f x 的单调递增区间是,44k k k Z ππππ??-++∈???? ┅┅┅┅┅┅┅┅┅14分 16. (1)由题意得2214a a a =,则()()21113a d a a d +=+, 解得21a d d = , ∵0d ≠ ∴1a d =;┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分 (2)∵101109101102 s a d ?=+=, ∵1a d = , ∴12a d == , ∴2n a n = ┅┅14分 17.(1)∵⊥1BB 面A 1B 1C 1D 1,⊥1DD 面A 1B 1C 1D 1,∴BP 在面A 1B 1C 1D 1的射影是B 1D 1,又∵1111C A D B ⊥ ∴PB ⊥A 1C 1;… 7分 (2)连结BC 1,PC 1,BC 1//AD 1,则1PBC ∠或其补角为PB 与AD 1所成的角,又2 22cos 1212121=?-+=∠BC BP PC BC BP BPC ,所以41π =∠PBC ;…14分 18.(1) P(x)=R(x)-C(x)=-10x 3+45x 2+3240x-5000 ([]1,20x N x ∈∈且)┅6分 (2) P ’(x)=-30x 2+90x+3240=-30(x+9)(x-12) ([]1,20x N x ∈∈且)┅9分 当10, P(x)单调递增, 当12

等差数列的概念、等差数列的通项公式 说课稿 教案

等差数列的概念、等差数列的通项公式 从容说课 本节课先在具体例子的基础上引出等差数列的概念,接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式,最后根据这个公式去进行有关计算.可见本课内容的安排旨在培养学生的观察分析、归纳猜想、应用能力.结合本节课特点,宜采用指导自主学习方法,即学生主动观察——分析概括——师生互动,形成概念——启发引导,演绎结论——拓展开放,巩固提高.在学法上,引导学生去联想、探索,同时鼓励学生大胆质疑,学会探究. 在教学过程中,遵循学生的认知规律,充分调动学生的积极性,尽可能让学生经历知识的形成和发展过程,激发他们的学习兴趣,发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位.创设问题情境,引起学生学习兴趣,激发他们的求知欲,培养学生由特殊到一般的认知能力.使学生认识到生活离不开数学,同样数学也是离不开生活的.学会在生活中挖掘数学问题,解决数学问题,使数学生活化,生活数学化. 教学重点理解等差数列的概念,探索并掌握等差数列的通项公式,会用公式解决一些简单的问题. 教学难点(1)等差数列的性质,等差数列“等差”特点的理解、把握和应用; (2)概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法,以及从函数、方程的观点看通项公式. 教具准备多媒体课件,投影仪 三维目标 一、知识与技能 1.了解公差的概念,明确一个数列是等差数列的限定条件,能根据定义判断一个数列是等差数列; 2.正确认识使用等差数列的各种表示法,能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项. 二、过程与方法 1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力; 2.通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性. 三、情感态度与价值观 通过等差数列概念的归纳概括,培养学生的观察、分析资料的能力,积极思维,追求新知的创新意识. 教学过程 导入新课 师上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子:(课本P41页的4个例子) (1)0,5,10,15,20,25,…; (2)48,53,58,63,…; (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5…; (4)10 072,10 144,10 216,10 288,10 366,…. 请你们来写出上述四个数列的第7项. 生第一个数列的第7项为30,第二个数列的第7项为78,第三个数列的第7项为3,第四个数列的第7项为10 510. 师我来问一下,你依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说. 生这是由第二个数列的后一项总比前一项多5,依据这个规律性我得到了这个数列的第7

数列的概念与简单表示法

数列的概念与简单表示法 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

第六章数列 §6.1数列的概念与简单表示法 考点梳理 1.数列的概念 (1)定义:按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的________.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做__________),排在第n位的数称为这个数列的第n项.所以,数列的一般形式可以写成__________,其中a n是数列的第n 项,叫做数列的通项.常把一般形式的数列简记作{a n}. (2)通项公式:如果数列{a n}的__________与序号__________之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. (3)从函数的观点看,数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数(离散的),当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________. (4)数列的递推公式:如果已知数列的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项__________与它的前一项__________ (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. (5)数列的表示方法有__________、__________、__________、__________. 2.数列的分类 (1)数列按项数是有限还是无限来分,分为__________、__________. (2)按项的增减规律分为__________、__________、__________和 __________.递增数列a n+1______a n ;递减数列a n+1_____a n;常数列a n+ 1______a n .递增数列与递减数列统称为__________. 3.数列前n项和S n与a n的关系 已知S n,则a n= ? ? ?(n=1)_________, (n≥2)_________. 自查自纠: 1.(1)项首项a1,a2,a3,…,a n,… (2)第n项n(3)函数值(4)a n a n-1 (5)通项公式法(解析式法) 列表法图象法递推公式法 2.(1)有穷数列无穷数列(2)递增数列递减数列 摆动数列常数列><=单调数列 3.S1S n-S n-1 典型例题讲练 类型一数列的通项公式 例题1根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式: (1)-1,7,-13,19,…; (2) 2 3 , 4 15 , 6 35 , 8 63 , 10 99 ,…;

数列的概念及简单表示法

数列的概念及简单表示法 一、选择题 1.数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是a n等于( ) A.(-1)n+1 2 B.cos nπ 2 C.cos n+1 2 π D.cos n+2 2 π 解析令n=1,2,3,…,逐一验证四个选项,易得D正确. 答案 D 2.数列2 3 ,- 4 5 , 6 7 ,- 8 9 ,…的第10项是( ) A.-16 17 B.- 18 19 C.-20 21 D.- 22 23 解析所给数列呈现分数形式,且正负相间,求通项公式时,我们可以把每一部分进行分解:符号、分母、分子.很容易归纳出数列{a n}的通项公式a n= (-1)n+1· 2n 2n+1 ,故a10=- 20 21 . 答案 C 3.(2016·保定调研)在数列{a n}中,已知a1=1,a n+1=2a n+1,则其通项公式a n =( ) A.2n-1 B.2n-1+1 C.2n-1 D.2(n-1) 解析法一由a n+1=2a n+1,可求a2=3,a3=7,a4=15,…,验证可知a n =2n-1. 法二由题意知a n+1+1=2(a n+1),∴数列{a n+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴a n+1=2n,∴a n=2n-1. 答案 A

4.数列{a n }的前n 项积为n 2,那么当n ≥2时,a n 等于( ) A.2n -1 B.n 2 C. (n +1)2 n 2 D. n 2 (n -1)2 解析 设数列{a n }的前n 项积为T n ,则T n =n 2, 当n ≥2时,a n =T n T n -1=n 2 (n -1)2. 答案 D 5.数列{a n }满足a n +1+a n =2n -3,若a 1=2,则a 8-a 4=( ) A.7 B.6 C.5 D.4 解析 依题意得(a n +2+a n +1)-(a n +1+a n )=[2(n +1)-3]-(2n -3),即a n +2- a n =2,所以a 8-a 4=(a 8-a 6)+(a 6-a 4)=2+2=4. 答案 D 二、填空题 6.若数列{a n }满足关系a n +1=1+1a n ,a 8=34 21,则a 5=________. 解析 借助递推关系,则a 8递推依次得到a 7= 2113,a 6=138,a 5=85 . 答案 8 5 7.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2n +1(n ∈N *),则a n =________. 解析 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n +1,当n =1时,a 1=S 1=4≠2×1+1,因此a n =???4,n =1, 2n +1,n ≥2. 答案 ???4,n =1,2n +1,n ≥2. 8.(2017·北京海淀期末)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n ≠0(n ∈N *),又 a n a n +1=S n ,则a 3-a 1=________. 解析 因为a n a n +1=S n ,所以令n =1得a 1a 2=S 1=a 1,即a 2=1,令n =2,得a 2a 3

数列概念及等差数列

2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 数列概念及等差数列 一.课标要求: 1.数列的概念和简单表示法;通过日常生活中的实例,了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式),了解数列是一种特殊函数; 2.通过实例,理解等差数列的概念,探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式; 3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题。体会等差数列与一次函数的关系。 二.命题走向 数列在历年高考都占有很重要的地位,一般情况下都是一至二个客观性题目和一个解答题。对于本将来讲,客观性题目主要考察数列、等差数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等基本知识和基本性质的灵活应用,对基本的计算技能要求比较高。 预测2013年高考: 1.题型既有灵活考察基础知识的选择、填空,又有关于数列推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题; 2.知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合题,还可能涉及部分考察证明的推理题。 三.要点精讲 1.数列的概念 (1)数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列; 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作,在数列第一个位置的项叫第1项(或首项),在第二个位置的叫第2项,……,序号为的项叫第项(也叫通项)记作; 数列的一般形式:,,,……,,……,简记作。 (2)通项公式的定义:如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式。 例如,数列①的通项公式是= (7,),数列②的通项公式是=()。 说明:①表示数列,表示数列中的第项,= 表示数列的通项公式; ②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如,= =;③不是每个数列都有通项公式。例如,1,1.4,1.41,1.414,…… (3)数列的函数特征与图象表示: 序号:1 2 3 4 5 6 项:4 5 6 7 8 9

数列的概念及简单表示方法

§ 数列的概念及简单表示法 1. 数列的定义 按照一定次序排列起来的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2. 数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 a n +1__>__a n 其中n ∈N + 递减数列 a n +1__<__a n 常数列 a n +1=a n 按其他标准分类 有界数列 存在正数M ,使|a n |≤M 摆动数列 从第二项起,有些项大于它的前一项,有 些项小于它的前一项的数列 3. 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法. 4. 数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n =f (n )来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 5.已知S n ,则a n =??? ?? S 1 ?n =1? S n -S n -1 ?n ≥2? .

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达. ( × ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个. ( √ ) (3)数列:1,0,1,0,1,0,…,通项公式只能是a n = 1+?-1? n +1 2 . ( × ) (4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ,则对?n ∈N +,都有a n +1=S n +1-S n . ( √ ) (5)在数列{a n }中,对于任意正整数m ,n ,a m +n =a mn +1,若a 1=1,则a 2=2.( √ ) (6)若已知数列{a n }的递推公式为a n +1=1 2a n -1,且a 2=1,则可以写出数列{a n }的任何一项. ( √ ) 2. 设数列{a n }的前n 项和S n =n 2 ,则a 8的值为 ( ) A .15 B .16 C .49 D .64 答案 A 解析 ∵S n =n 2 ,∴a 1=S 1=1. 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2 -(n -1)2 =2n -1. ∴a n =2n -1,∴a 8=2×8-1=15. 3. 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S n +S m =S n +m ,且a 1=1,那么a 10等于 ( ) A .1 B .9 C .10 D .55 答案 A 解析 ∵S n +S m =S n +m ,a 1=1,∴S 1=1. 可令m =1,得S n +1=S n +1,∴S n +1-S n =1. 即当n ≥1时,a n +1=1,∴a 10=1. 4. (2013·课标全国Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n =23a n +1 3 ,则{a n }的通项公式是a n =_____. 答案 (-2) n -1 解析 当n =1时,a 1=1;当n ≥2时, a n =S n -S n -1=2 3a n -23 a n -1, 故 a n a n -1 =-2,故a n =(-2)n -1 . 当n =1时,也符合a n =(-2)n -1 . 综上,a n =(-2) n -1 . 5. (2013·安徽)如图,互不相同的点A 1,A 2,…,A n ,…和B 1, B 2,…,B n …分别在角O 的两条边上,所有A n B n 相互平行,

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