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理论力学教案-运动学

论力学--运动学

运动学研究点和刚体运动的几何规律，即运动方程、轨迹、速度、加速度或角速度、角加速度等运动特征量。

第六章点的运动学

点的运动学是研究一般物体运动的基础，又具体独立的应用意义。描述点的运动有矢径法、直角坐标法、自然法三种方法。

§6.1 矢量法

一．矢量法表示点的运动方程

设动点M 在空间作曲线运动，在参考坐标系上任取某确定的点O 为坐标原点，则动点的位置可用原点至动点的矢径r 表示。当动点M 运动时，矢径r 的大小和方向一般也随时间而改变，并且是时间的单值连续函数，即

)(t r r =

上式称为用矢量表示的点的运动方程。动点M 在运动过程中，其矢径r 的末端在空间描绘出的曲线，称为动点M 的运动轨迹。也称为矢径r 的矢端曲线。二．矢量法表示点的速度

)()(t t t r r r -+=??

平均速度

t t t t ????)

()(r r r υ-+=

= 瞬时速度

d t t t r

r υυ=

==→→????00

lim

lim 三．矢量法表示点的加速度 )()(t t t υυυ-+=?? 平均加速度

t t t t ????)

()(υυυa -+=

瞬时加速度

200lim lim dt d dt d t t t r

υυa a ====→→????

结论：动点的速度等于它的矢径r 对时间的一阶导数，其加速度等于动点的速度对时间的一阶导数，也等于动点的矢径r 对时间的二阶导数。

§6.2 直角坐标法

一．直角坐标表示动点的运动方程

由于k j i r z y x ++=，当动点在轨迹上运动时，

r 随时间而变化，则动点M 的坐标值x ，y 和z 随时间而变化。即

??===)

()()(321t f z t f y t f x

消去方程中的参数t ，则得到动点运动的轨迹。二．直角坐标表示动点的运动速度

由于动点M 的矢径可表示为 k j i r z y x ++=，所以动点M 的速度可表示为 k j i r υdt

dt dy dt dx dt d ++==

将动点M 的速度写成投影形式，即

k j i υz y x υυυ++=

比较以上两式，可得

dt dx x =

υ，dt dy y =υ，dt

dz z =υ 三．直角坐标表示动点运动的加速度

动点M 的速度可表示为k j i r υdt

dz dt dy dt dx dt d ++==

，其加速度可表示为 k j i υa 222222dt

d dt y d dt x d dt d ++==

将动点M 的加速度写成投影形式，即

k j i a z y x a a a ++=

比较以上两式，可得 2

2dt x d a x =

，2

2dt y d a y =

，2

2dt z d a z =

结论：动点的速度在各坐标轴上的投影等于各对应的坐标对时间的一阶导数，动点的加速度在各坐标轴上的投影等于各对应的坐标对时间的二阶导数。

例1．如图所示，杆AB 长为l ，以等角速度ω绕B 点转动，其转动方程为ωt =?，而杆连接的滑块B 接规律t b a s ωsin +=水平线作简谐振动，其中a 、b 为常数，求点A 轨迹。

解：采用直角坐标系如图所示。 A 点的坐标可表示为 ?sin l s x +=

?sin sin l ωt b a ++= ωt l b a sin )(++= ωt l l y cos cos -=-=?

点A 的运动轨迹可从上面的方程消去参数t 而得到

1)()(2

=++-l y

l b a x

例2．如图所示，偏心凸轮半径为R ，绕O 轴转动，转角ωt =?(ω=常数)，偏心距e OC =，凸轮带动顶杆AB 沿铅垂线作往复运动。试求顶杆的运动方程，速度和加速度。解：顶杆的运动方程可以用顶杆上A 点的运动方程表示， A 点的坐标可表示为 0=x

22)cos (sin ??e R e y -+= t e R t e ωω222cos sin -+= 运动速度

0==dt

x υ

e R t

t e t e dt dy y ωωωωωωυ2222

cos 2sin cos 2cos -+

]cos 22sin [cos 2

e R t e t e -+=ωωω

运动速度 0==

d a x

x υ ]

cos cos 2sin cos 22sin cos sin cos 22

sin [22222222

e R t

e R t t e t e t e R t t e t e dt d a y

y ωωωωωωωωωωωωωυ--?

--+

-==

])

cos (cos cos sin [2

222432t e R t

e t eR t e --+

-=ωωωωωωω

§6.3 自然坐标法

用点的运动轨迹建立弧坐标及自然轴系，并利用它们来表示点的各种运动量的方法称为点运动的自然坐标法。一．弧坐标

动点M 的位置可以由弧长来确定。当动点M 运动时，s 不断随时间变化，即 )(t f s = 上式称为用弧坐标表示的点的运动方程。二．自然轴系

密切面：在点的运动轨迹上取两个极为接近的点M 和'M ，它们的切线分别为MT 和''T M ，过M 点作直线1MT 平行于''T M ，则MT 和1MT 确定一个平面。令'M 无限趋近于M ，则此平面趋近于某一极限位置，此极限平面称为曲线在点M 的密切面。M 处切线的单位矢量用τ表示。法平面：过M 点并与切线垂直的平面称为法平面。

主法线：在法平面内过M 点的所有直线都和切线垂直，都是法线，在密切面内的那条法线称为主法线。其单位矢量用n 表示。

副法线：法平面内过M 点与主法线垂直的法线称为副法线。副法线的单位矢量可用b 来表示。以上三个单位矢量有如下关系：

n τb ?=

自然坐标系：以M 为原点，切线，主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M 的自然坐标系。三．点的速度

点的速度υ是一个矢量，它的方向沿轨迹的切线。显然，可将动点的速度矢写成如下的形式

τυυ=

式中τ为沿轨迹切线的单位矢量，它始终指向弧坐标的正方向。当动点在曲线轨迹上运动时，它的方向随时间而发生变化。υ表示速度的大小，其值等于弧坐标对时间的一阶导数，即 dt

ds =

υ 如果

0>dt

，则速度与τ的正向相同，弧坐标随时间而增大。反之，速度与τ的正向相反。

四．点的加速度

将速度对时间求一阶导数，得

d dt d dt d τ

τυa υ

υ+==

上式中右边两项均是矢量，分别称为切向加速度τa 和法向加速度n a 。前者表示速度大小变化对加速度的贡献，而后者是速度方向变化对加速度的贡献。即反映速度大小变化的加速度τa 和方向变化的加速度n a 可分别表示为

ττa 22dt

d dt d ==υτ， dt d n τa υ

= 前一式表明切向加速度的大小等于速度的代数值对时间的一阶导数，或弧坐标对时间的二阶导数，它的方向沿动点轨迹的切线。后一式中的dt

d τ

的大小和方向我们还须进一步分析。

d dt ds ds d dt d τ

ττυ

=?= 而

n τττ?=?==→→→s s

s ds d s s s ??????????????000lim )(lim lim n ?=

故 n a ?=ρ

υ2

n 结论：点的加速度为n a a a τ+=，其中τa 22dt

d =τ称为切向加速度，n a ?=ρυ2n 称为法向加速度。例1．图示机构，已知l OO =1，t ω?=，=ω常数，D 是十字型导槽，求导槽D 的速度和相对于OA 杆的速度。

解：建立如图所示的坐标系，则D 点的坐标可表示为

t l l x ω?22cos cos == t l l y ω??2sin 2

sin cos == D 点的速度为 t l dt

x ωωυ2sin -== t l dt

y ωωυ2cos ==

D 点速度的大小为

ωυυυl y x =+=2

由于 ωt l l OD cos cos ==? 故导槽相对于OA 杆的速度为 ωt l ωt l dt

dt OD d r sin )cos ()(ωυ-===

例2 图示摇杆滑道机构中的滑块M 同时在固定的圆弧槽BC 中和摇杆OA 的滑道中运动，已知弧度BC 的半径为R ，摇杆OA 的轴O 在通过弧BC 的圆周上，摇杆以匀角速度ω绕O 轴转动，当运动开始时，摇杆在水平位置。试分别用直角坐标法和自然法给出点M 的运动方程，并求出其速度和加速度。

解：1．直角坐标法：M 点的直角坐标为：?

??=+=t R y t

R R x ωω2sin 2cos

求导后可得M 点速度和加速度：

??????????-==-====-==t R V a t R V a t R y V t R x V y y x

x y

x ωωωωωωωω2sin 42cos 42cos 22sin 222 ， 2．自然坐标法：M 点的弧坐标为：t R t R S ωω22=?=

于是M 点速度和加速度分别为：R R

V a V a R S v n

402ωωτ======，，。例3 动点A 沿图示作匀加速度圆周运动。已知圆周半径为R ，初速度为零。若点的全加速度与切线间的夹角为α，并以β角表示点走过的圆弧S 所对应的圆心角，试证明：βα2tan =。证明：设动点A 自原点A 0沿圆弧运动。由题意知：

βατττττ222tan 2)(2

1222

====?===∴==

R R R S a a a R S R t a R V a t a V t a S n n ；，

点的运动学问题一般解题步骤为：

1)．根据题意，确定研究对象，并将其抽象为动点；

2)．分析动点的运动情况，并根据其特点选择恰当的解题方法。当动点轨迹可按题意直接确定时，采用自然坐标法；当动点轨迹不可确定时，采用直角坐标法；

3)．在具体求解时，常会遇到两种情况：一种是运动方程、速度、加速度都是待求的未知参数，此时应先按题意建立运动方程，可将动点的坐标用时间t 表出，一但运动方程已建立，就可用函数求导的方法按速度、加速度与运动方程之间的关系求出其速度、加速度；另一种是已知动点的加速度或速度，要求出动点的运动方程，此时可根据运动方程、速度、加速度之间的关系，通过积分的方法来确定。

矢径法通常用于理论推导，在具体问题的计算中通常采用直角坐标法和自然坐标法。如果点的运动轨迹未知，一般选用直角坐标法；如果点的轨迹已知，则用自然坐标法比较方便。在已知直角坐标表示点的运动方程中，若要分析动点的曲率半径或以自然法表示的点的运动加速度时，则往往需要综合运用动点的a υr 、、在各种坐标系中的表达式。点的运动基本公式如表二所示：

表2 点的运动基本公式

第七章刚体的简单运动

§7.1 刚体的平动

一．刚体平动的概念

当刚体运动时，其上任一直线始终与初始状态保持平行，称这类运动为刚体的平行移动，简称为刚体平动。二．刚体平动的性质

刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同，且在任意瞬时各点的速度、加速度都相等，于是刚体平动可简化为点的运动来分析。根据点的运动性质，刚体平动可分为直线平动和曲线平动两种。

证明：

BA B A +=r r

B B B A A dt

d dt d dt d υr

r r υ==+==

)( B B

A A dt

d dt d a υυa ===

§7.2 刚体的定轴转动

一刚体定轴转动的概念

当刚体运动时，其上一定存在一条直线，在运动时始终保持不动，称这类运动为刚体的定轴转动，称这条不动的直线为转轴。刚体作定轴转动时，其上各点的轨迹形状相同，且都为圆周，在任意瞬时各点的角速度、角加速度都相等。

设有一刚体T 在约束A 和B 的作用下绕定轴z 作转动，取z 轴的正向如图所示。通过轴线作一固定平面Q ，此外，再选一与刚体固结的平面P ，这个平面和刚体一起转动。由于刚体的各点相对于动平面P 的位置是一定的，因此，只要知道平面P 的位置也就知道刚体上各点的位置，亦即知道整个刚体的位置。而平面P 在任一瞬时t 的位置可由它与固定平面Q 的夹角来确定，这一夹角称为转动刚体的位置角或转角，用?来表示。转角?是一个代数量，其正负号这样来确定：自z 轴的正向往负向看去，从固定平面Q 按逆时针方向

转动到动平面P ，这样得到的转角?规定为正值，反之，转角?取负值。转角一般用弧度(rad )表示。

二．转动方程，转动角速度和角加速度

(1) 转动方程：当刚体转动时，转角?随时间而变化，是时间t 的单值连续函数，可表示为

)(t f =?

上式称为刚体定轴转动时的转动方程，即转角随时间的变化关系。 (2) 转动的角速度：转角对时间的一阶导数，即 ??

ω ==

d d 它反映了某瞬时刚体定轴转动时的快慢，单位是s rad / (3) 转动的角加速度

ωε ===

22d d d d t

t 当ω和ε同号时，表示刚体加速转动；反之，当当ω和ε异号时，表示刚体减速转动。

讨论：匀速转动时转角可表示为 ωt +=0??；当匀变速转动时有关系：εt +=0ωω，

2002

εt t ++=ω??，)(202

2??εωω-=-。例1．电动机由静止开始匀加速转动，在s t 20=时其转速m in /360r n =，求在此s 20内转过的圈数。

解：电动机初始静止，即

00=ω

在s t 20=时其转动的角速度为

)/(1230

s rad n ππ

ω==

由εt +=0ωω，可得电动机转动的角速度为 )/(6.00

s rad t

πωωε=-=

在s 20内转过的角度为

ππω??120206.02

212200=??=++=εt t 故在此s 20内转过的转数 )N 圈(602==

§7.3 转动刚体内各点的速度和加速度

一．刚体作定轴转动时其内各点速度

当刚体作定轴转动时，体内各点都在垂直于转动轴的平面内作圆周运动，圆心就是在该平面与转动轴的交点O 。M 点弧坐标s 与转角?的关系为

?r s =

式中?是时间t 的函数，因此，上式就是用自然法表示点M 沿已知轨迹的运动方程。在任一瞬时，点M 的速度的大小为

ω?υr dt

d r dt ds ===

结论：转动刚体内任一点的速度大小，等于刚体转动的角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方。据于上述分析，可用图表示通过轴心的直径上各点的速度分布规律如下图所示。

二．刚体作定轴转动时其内各点加速度

在任一瞬时，点M 的切向加速度τa 的大小为

εωυτr dt

d r dt d a === 即转动刚体内任一点的切向加速度的大小等于刚体的角加速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线，指向和角加速度ε的转向一致。

点M 的法向加速度n a 的大小为 22

ωυr r

a n ==

即转动刚体内任一点的法向加速度的大小等于刚体的角速度的平方与该点到轴线的垂直距离

的乘积，它的方向总是沿着MO 指向O ，即指向转动轴。

点M 的全加速度a 的大小和方向分别为

422

2ωετ+=+=r a a a n

2tan ω

ατ==

n a a 这里α表示全加速度a 与半径MO (即n a )之间的夹角。由以上分析可知：①在每一瞬时，转动刚体内各点的速度和全加速度的大小与各点到转动轴的距离成正比。②在每一瞬时，刚体内各点的全加速度与其半径方向的夹角都相同。据于上述分析，可用图表示通过轴心的直径上各点的加速度的分布规律如下图所示。

§7.4 轮系传动比

一．齿轮传动

齿轮传动中，齿轮互相啮合相当于两轮的节圆相切并作纯滚动，两节圆的切点M 1和M 2称为啮合点，在每一瞬时可以认为啮合点之间没有相对滑动。因此，啮合点的速度和切向加速度的大小和方向相同，即

21υυ=，ττ

21a a =

而111ωυr =，222ωυr =；111ετ

r a =，222ετr a =。因而有

2211ωωr r =，2211εεr r = 联合上面两式，可得

122121z z r r ===εεωω 通常在机械工程中，把主动轮与从动轮的角速度之比称为传动比，并用一个带角标的符号12i 表示，于是有

12212112z z r r i ====εεωω

有时为了区分轮系中各轮转向，对各轮规定统一的转动正向，这时各轮的角速度可取代数值，从而传动比也可取代数值

2122112z z r r i ±=±==

ωω 式中正号表示主动轮与从动轮转向相同(内啮合)，如图(b )所示；而负号表示主动轮和从动轮

转向相反(外啮合)，如图5.19(a )所示。

1υ

(a)

(b)

二．带轮传动

由于皮带和带轮之间不打滑，可知

11'

r A A ωυυ== 22'r B B ωυυ==

由于皮带不伸长，可知

A υυ= 即有2211r r ωω=，同样地把主动轮与从动轮的角速度之比称为传动比，并用一个带角标的符号12i 表示，于是有

2112r r i ==

ωω 结论：带轮的传动比等于从动轮的半径除以主动轮的半径。

§7.4以矢量表示角速度和角加速度·以矢积表示点的速度和加速度

一．用矢量表示角速度和角加速度

刚体绕定轴z 作定轴转动，其转动的角速度的大小为ω，角加速度大小为ε，则角速度和角加速度可用矢量表示为

k ωω=，k εε=

二．用矢量法表示一点的速度和加速度 (1) 用矢量法表示一点的速度

动点M 的速度大小可表示为

ωθωυ?==sin r R

而θsin ωr =?r ω

''B

动点M 的速度可用矢量法表示为

r ωυ?=

结论：绕定轴转动刚体上任一点的速度等于刚体转的角速度矢与该点矢径的矢积。 (2) 用矢量法表示一点的加速度上式对时间取一阶导数，可得 υωr εr ωr ωr ωυa ?+?=?+?=?==dt

d dt d dt d dt d )( 上式第一项的大小为

R εθε==?sin r r ε

这个结果恰好等于点M 的切向加速度的大小。而矢积r ε?的方向垂直于ε和r 所构成的平面，指向也恰和点M 的切向加速度的方向一致，因而式中第一项r ε?恰好表示点M 的切向加速度，即有

r εa ?=τ

式中第二项的大小为

ωωυR ==?υω

亦即矢积υω?的大小与点M 的法向加速度的大小相同，其方向也恰好和点M 的法向加速度的方

向一致。因此式中第二项υω?恰好表示点M 的法向加速度，即有 υωa ?=n

因而可以得到结论：转动刚体内任一点的切向加速度等于刚体的角速度矢与该点矢径的矢积，法向加速度等于刚体的角速度矢与该点速度矢的矢积。

例1 一个绕O 轴转动的皮带轮，某瞬时轮缘上点A 的速度为A υ=50cm/s ，加速度为a A =150cm/s 2，轮内另一点B 的速度为B υ=10cm/s ，已知OA －OB =20cm ，试求此瞬时皮带轮转动的角速度和角加速度，以及B 点的加速度。

解：5===

OB OA OB

υυυυω，即

；cm 20=-OB OA 又 rad/s 2cm 5cm 25===∴ω，，OB OA

，

又22cm /s 100=?=OA a n

A ω εετ?=?=-=-=25100150)(2

222

OA a a a n A A A

，

2rad/s 52=∴ε 222cm

/s 510cm /s 20=?==?=OB a OB a B n B εωτ， B 点的加速度还可用加速度分布规律来求解，OA

a a A B =

2cm /s 3015025

=?==

∴A B a OA OB a 例2 飞轮半径R =0.5m ，由静止开始转动，其转动规律为(rad/s)5t

ε，其中c 为常数，已知t =5秒时，轮缘上一点的速度为υ=20(m/s)，试求当t =10秒时，该点的速度和加速度。

解：)55ln(d 5d d 55d 5d d 0

c t t c t c t c t t

+?=?+=+=∴+==?

?ωωωωεω；积分：，

当t =5秒时，υ=20m/s ，即72.57)

5ln(rad/s 405

.020

=+===

t c R

ω，于是可得

故当t =10秒时，飞轮的角速度为rad/s 4.63)5

5ln(72.57)55ln(

=+?=+?=t c ω 该点的速度为m /s 7.314.635.0=?==ωυR 该点的切向加速度为2m/s 92.110

572.575.05=+?=+?

==t c R R a τε 该点的法向加速度为222m/s 20104.635.0=?==ωR a n

例3 图示直角折杆OABC 绕O 轴在铅直面内转动。已知：OA =15cm ，AB =10cm ，BC =5cm ，转动的角加速度为2rad/s 4t =ε，（t 为秒计），若杆自静止开始转动，试求t =1(s)时，杆上B 、C 点的速度和加速度。

解：20

02d 4d d 4d 4d d t t t ,t t t t t

=?====?

?ωωωω

εω积分，即：

2rad/s 4rad/s 2)(1===∴εω，时，当s t 连结OC ，与AB 短相交D 点。

1351510cm 51055.2155.7cm 5.7cm 5.23

1222222=+==+++=+=∴==?==OB DC OD OC AD BD OA BC AD BD ，，

故杆上B 、C 点的速度和加速度为：

B 点：22cm /s 1320cm

/s 1320cm /s 1310==?==?=n

B B B a OB a OB ，，εωυτ

C 点：22cm /s 540cm /s 540cm /s 520==?==?=n C C C a OC a OC ，，εωυτ

第八章点的合成运动

§8.1 相对运动、牵连运动和绝对运动

一．两种参考系

(1) 定系：固定在地球上的参考系，一般用Oxyz 表示。

(2) 动系：固定于运动的物体上的坐标系，一般用''''z y x O 表示。二．三种运动

(1) 绝对运动：动点相对于定系的运动。 (2) 相对运动：动点相对于动系的运动。 (3) 牵连运动：动系相对于定系的运动。例如，卷扬小车取吊一重物A ，重物通过卷扬机而产生向上的运动；另一方面，卷扬小车又在天车上移动，重物由初始的A 点到达'A 。则重物相对于地面或墙体的运动是绝对运动，其位移为'AA ；而重物相对于卷扬机小车的运动是相对运动，其位移为''AA ；

而卷扬机小车相对于地面的运动是牵连运动，其位移为'''A 。又如，一个旅客在运动的车厢内行走，地面上的人看到该乘客的运动是绝对运动，坐在车厢内的人看到该乘客的运动是相对运动，而地面上的人看到车厢内不动的人的运动是牵连运动。

三种运动的关系：如果没有牵连运动，则物体的绝对运动等同于相对运动，同时，如果没有相对运动，则物体的绝对运动等于牵连运动；可见，物体的绝对运动等于物体的相对运动和牵连运动的合成。

三．三种速度和三种加速度

绝对速度a υ，相对速度r υ和牵连速度e υ；绝对加速度a a ，相对加速度r a 和牵连加速度e a

§8.2 点的速度合成定理

相对运动轨迹为弧AB ，牵连运动轨迹弧MM 1，绝对运动轨迹弧'MM 。三种运动可分别表示为牵连运动：在t t t ?+→过程中，1M M → 相对运动：在t t t ?+→过程中，'1M M → 绝对运动：在t t t ?+→过程中，'M M → 由于''11M M MM MM +=，故有

M M t MM t t t t ??????'lim lim '

lim

10100→→→+=

这样可得到三种运动速度有如下的关系： r e a υυυ+=

例1．已知半径为R 的半圆形凸轮，以等速度0υ沿水平轨道向左运动，它推动杆AB 沿铅垂导轨上下滑动，在图示位置时，060=?，求该瞬时顶杆AB

解：(1) 选择A 点为动点，凸轮为动系

(2) 画出动点的速度图 (3) 由速度合成定理 r e a υυυ+=，可知

003

3υ?υ?

υυ===c t g c t g e a 例2．在刨床的摆动导杆机构中，曲柄OM 长为20cm ，以转速m in /30r n =作逆时针转动。曲柄转动轴与导杆转轴之间的距离OA =30cm ，当曲柄与OA 相垂直且在右侧时，求导杆AB 的角速度AB ω

解：(1) 选择动点M ，动系为导杆AB

(2) 画出动点的速度图 (3) 由速度合成定理 r e a υυυ+=，可知

θωθυυsin sin ?==OM a e

θωθ

θωυω2

s i n s i n /s i n =?==OM OM AM e

)/(967.013

4130040060302s rad ==??=

一．牵连运动为平动时，点的加速度合成定理

合成定理为

r a a a a +=e 证明： ''r r r +=O

可得 2

'22

2'dt

d dt

d O r r r +

即有

r a a a a +=e

例1．如图所示曲柄导杆机构，已知曲柄长r OA =，某瞬时它和铅直线间的夹角为?，曲柄转动的角速度为ω，转动的角加速度为ε解：(1) 选择动点A ，动系BCD

(2) 进行加速度分析，由于动系作平动，画出加速度合成图如图所示

(3) 由r a n

a a a a a +=+e τ，

列e a 方向的投影方程

e a n

a a a a =+??τs i n

c o s ε?ω??τcos sin

cos 2r r a a a a n a e +=+=例2 已知cm B O A O 1021==，又AB O O =21，s rad /2=ω，060=?，求CD 杆的速度和加速度。解：(1) 选 MP ：C ，MS ：AB (2) 画出C 点的速度合成图和加速度合成图

(3) 由r e a υυυ+=，可得

/(1.0c o s c o s 1m A O e a =?==?ω?

υυ (4)

由r n

a a a a +=，可得

.0sin sin 21A O a a n

e a =?==?ω?

一．当牵连运动为定轴转动时，点的加速度合成定理

设动系的角速度为e ω，角加速度为e ε，相对于定系Oxyz 的轴z 转动，动点M 相对于动系''''z y x O 运动。将动系的原点'O 取在Oz 轴上，动点M 的相对运动轨迹为AB ，相对矢径为'r ，相对运动速度r υ 和相对运动加速度r a 分别表示为 '''''''k j i r z y x ++=

''''k j i υdt

dz dt dy dt dx r ++=

''''''2

2k j i a dt

z d dt

y d dt

x d r +

动点M 的牵连速度和牵连加速度可表示为

r ωυ?=e e e e e e υωr εa ?+?= 而 ''

''''k j i r ωυυυdt

dz dt dy dt dx e r e a +++

?=+= 故 dt d dt dz dt d dt dy dt d dt dx dt z d dt y d dt x d dt d dt d e a a '''''''''''')(222222k j i k j i r ωυa ++++++?== dt d dt dz dt d dt dy dt d dt dx dt

z d dt y d dt x d dt d e e '

''''''''222222k j i k j i r ωr ε++++++?+?= dt

d dt dz dt d dt dy dt d dt dx dt z d dt y d dt x d r

e e e '

'''''''')(2

2k j i k j i υυωr ε+++

++?+?= dt

d dt dz dt d dt dy dt d dt dx r

e r e '

'''''k j i υωa a +

++?++= 由于有

''i ωi ?=e dt d ，''j ωj ?=e dt d ，''

k ωk ?=e dt

d 这样有 r

e dt

d dt dz dt d dt dy dt d dt dx υωk j i ?=++'

''''' 故可得

C r a a a a a ++=e

其中：r e C υωa ?=2称为科氏加速度。r e a a a a 、、均可能包括切向加速度和法向加速度，但C

a 只能是一个，其大小为θυωsin 2r e C a =，方向为垂直由e ω和r υ组成的平面，且符合右手螺旋法则。

例1 M 点在OA 上按规律(cm )322t x +=运动，同时杆OA 绕O 轴以等角速度ω=2(rad/s)转动，如图所示。求当t =1秒时，点M 的绝对加速度。

解：本题既可按点的运动学求解，也可按点的合成运动求解。解法一：按点的运动学求解。取直角坐标系Oxy ，如图所示，于是可写出任一瞬时M 点的运动方程：

??????+=?=?+=?=t t OM y t

t OM x M

M 2sin )32(sin 2cos )32(cos 2

2?? 求二次导数可得加速度：

?????+-==+--==t t t t y a t t t t x a M y

M x 2sin )61(22cos 242cos )61(22sin 242

当t =1s 时有：???-=--=2sin 142cos 242

cos 142sin 24y

x a a

222cm

/s 78.271424=+=+=y x M a a a 解法二：按点的合成运动求解。

动点为M ，动系固连于OA 杆上。因为动系作定轴转动，所以根据r e a υυυ+=和C r e a a a a a ++=分别作出点M 的速度合成图和加速度合成图，如图所示。

由加速度图可知：22)(C

n e r a a a a a +-= 其中： 22222

cm /s 242cm /s 20cm /s 6d d ======

r C n

e r a x a t x a ωυω，，，

故：222cm/s 78.2724)206(=+-=a a

注意：画速度合成图的目的是为了计算相对速度大小和确定相对速度方向，以便在画动点M 的加速度合成图时，可方便地计算科氏加速度大小和确定科氏加速度的方向。本题中解法一概念清楚，条理明白；解法二用到了科氏加速度概念，应注意其大小的的计算和方向确定，解法二运算较为简便。

例2 机构如图所示，已知曲柄OA 长为40cm ，角速度ω=0.5rad/s ，角加速度ε=0.5rad/s ，绕O 轴逆时针转向转动。由于曲柄的A 端推动水平板B ，使滑杆BC 沿铅直方向上升。求当曲柄与水平线间的夹角030=α时，滑杆BC 的速度和加速度。

解：取曲柄OA 端点A 为动点，动坐标系固连在滑杆BC 上，杆BC 作平动，根据速度合成定理：r e a υυυ+=

画出速度合成图，如图所示。

根据几何关系可得：αυυυcos a e BC == ωυ?=OA a

cm /s 3.17cos e =?==∴αωυυOA BC

根据牵连运动为平动时点的加速度合成定理r e a a a a +=知：

因为绝对运动为曲线运动，所以有：r e a n a a αa a +=+τ

为了计算方便，利用矢量投影法计算。假设r e a a 、的指向如图所

示，取投影轴Axy ，则将上式向y 轴投影后得：e n a a a a a =-ααsin cos τ 其中：ε?=OA a a τ，2ω?=OA a n a

解之得：cm /s 3.12sin cos 2=??-??==αωαεOA OA a a e BC 讨论：

1．本题中曲柄OA 杆的端点A 始终沿BC 杆的水平面运动，因此选此点为动点，BC 杆为动系，三种运动简单、明显。

2．解题时必须画速度合成图和加速度合成图，且应分开画。求速度时，因为速度合成定理

r e a υυυ+=中只有三个矢量，可用几何法即利用速度平行四边形几何关系求解，注意绝对速度

V a

必须是速度平行四边形的对角线；求加速度时，在加速度合成定理

a a a a e r =+中，因为绝对运

动为曲线运动，绝对加速度包括切向加速度和法向加速度，因此加速度合成定理中矢量较多，这时应该应用矢量投影法求解。由于本题不需要求相对加速度，因此写投影方程时只需向y 轴投影。用投影法求解时未知加速度的方向可以任意假设，然后根据计算结果的正负号来确定其真实方向。

例3 一牛头刨床机构如图所示。已知rad/s 2cm 2011==ω，角速度A O ，求图示位置时滑枕CD 的速度和加速度。

解：1)．先研究动点A ，动系固连于O 2B 上。运动分析如图(a )、(b)所示。设O 2B 角速度为ω，角加速度为ε，由图知cm/s 40cm 40112=?==OA V A O O ω，，根据速度合成图可得：

cm /s 2030sin cm /s 32030cos 01e 1r 11===?=a a υυυυ，

rad/s

5.022e 1

1==

∴?=A

O A O e υωωυ

根据加速度合成图，向x ，y 轴投影得：

?-?+?-?-=-30cos 30sin 30cos 30sin 111

1r τ

n e

1C a a a a a a

?+?+?+?-=30sin 30cos 30sin 30cos 0111

C r e

a a a a

其中：)(cm /s 802

1=?=A O a a ω，2

cm /s 101

=?=A O a n

ω，

e υ

r a y

理论力学运动学习题课

1. 图示的曲柄滑道机构中，曲柄长OA =10cm ,绕O 轴转动。当?=30°时，其角速度ω=1rad/s ，角加速度α=1rad/s 2，求导杆BC 的加速度和滑块A 在滑道中的相对加速度。解取滑块A 为动点，动坐标系固连于导杆上。切向加速度a a τ和法向加速度a a n ，其大小分别为 a a τ=OA ·ε=10cm/s 2 a a n =OA ·ω2=10cm/s 2 牵连运动为平动的加速度合成定理为 a a = a a τ+ a a n = a e + a r 将上式各矢量分别投影在x 轴和y 轴上，解得 a r ==3.66cm/s 2 a e =13.66cm/s 2 a e 即为导杆在此瞬时的平动加速度。 2. 滚压机构的滚子沿水平地面作纯滚动。已知曲柄OA 长r ，以匀角速度ω转动。连杆AB 长r L 3=, 滚子半径为R 。求图示位置滚子的角速度和角加速度。解（1）分析运动，先选AB 杆为研究对象（2）根据瞬心法求v B 先找到速度瞬心C v B = ωr 3 3 2 （3）利用加速度公式求a B n BA t BA A B a a a a ρρρρ++= ωAB = v A /AC = rω/3r = ω/3

a BA n = ABωAB 2= 3rω2/9 a B = 2 rω2/9 （4）再取滚子为研究对象，求ωB 和αB ωB = v B /R = ωr R 33 2 αB = dωB /dt =1/R ·dv B /dt = a B /R = 2 rω2/9R 3. 图示的四连杆机构中，O 1A =r , AB =O 2B =3r ,曲柄以等角速度ω1绕O 1轴转动。在图示位置时，O 1A ⊥AB ,∠O 2BA =60°。求此瞬时杆O 2B 的角速度ω2和角加速度2α。解（1）先计算杆O 2B 的角速度杆O 1A 和O 2B 作定轴转动，连杆AB 作平面运动。过A 、B 两点作A v ρ、B v ρ 的垂线，其交点C 就是连杆AB 的瞬心。根据瞬心法或者速度投影法可以求得 ο30cos B A v v = 于是 ωr v v A B 3 230 cos = =ο

理论力学运动学知识点总结

运动学重要知识点一、刚体的简单运动知识点总结 1.刚体运动的最简单形式为平行移动和绕定轴转动。 2.刚体平行移动。 ·刚体内任一直线段在运动过程中，始终与它的最初位置平行，此种运动称为刚体平行移动，或平移。 ·刚体作平移时，刚体内各点的轨迹形状完全相同，各点的轨迹可能是直线，也可能是曲线。 ·刚体作平移时，在同一瞬时刚体内各点的速度和加速度大小、方向都相同。 3.刚体绕定轴转动。 ?刚体运动时，其中有两点保持不动，此运动称为刚体绕定轴转动，或转动。 ?刚体的转动方程φ=f(t)表示刚体的位置随时间的变化规律。 ?角速度ω表示刚体转动快慢程度和转向，是代数量，。角速度也可以用矢量表示，。 ?角加速度表示角速度对时间的变化率，是代数量，，当α与ω同号时，刚体作匀加速转动；当α与ω异号时，刚体作匀减速转动。角加速度也可以用矢量表示，。 ?绕定轴转动刚体上点的速度、加速度与角速度、角加速度的关系：。速度、加速度的代数值为。 ?传动比。

一、点的运动合成知识点总结 1.点的绝对运动为点的牵连运动和相对运动的合成结果。 ?绝对运动：动点相对于定参考系的运动； ?相对运动：动点相对于动参考系的运动； ? 牵连运动：动参考系相对于定参考系的运动。 2.点的速度合成定理。 ?绝对速度：动点相对于定参考系运动的速度； ?相对速度：动点相对于动参考系运动的速度； ?牵连速度：动参考系上与动点相重合的那一点相对于定参考系运动的速度。 3.点的加速度合成定理。 ?绝对加速度：动点相对于定参考系运动的加速度； ?相对加速度：动点相对于动参考系运动的加速度； ?牵连加速度：动参考系上与动点相重合的那一点相对于定参考系运动的加速度； ?科氏加速度：牵连运动为转动时，牵连运动和相对运动相互影响而出现的一项附加的加速度。 ?当动参考系作平移或= 0 ，或与平行时， = 0 。该部分知识点常见问题有

理论力学-点的合成运动

第六章点的合成运动一、是非题 1、不论牵连运动的何种运动，点的速度合成定理v a=v e+v r皆成立。（） 2、在点的合成运动中，动点的绝对加速度总是等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。（） 3、当牵连运动为平动时，相对加速度等于相对速度对时间的一阶导数。（） 4、用合成运动的方法分析点的运动时，若牵连角速度ωe≠0，相对速度υr≠0，则一定有不为零的科氏加速度。（） 5、若将动坐标取在作定轴转动的刚体上，则刚体内沿平行于转动轴的直线运动的动点，其加速度一定等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。（） 6、刚体作定轴转动，动点M在刚体内沿平行于转动轴的直线运动，若取刚体为动坐标系，则任一瞬时动点的牵连加速度都是相等的。（） 7、当牵连运动定轴转动时一定有科氏加速度。（） 8、如果考虑地球自转，则在地球上的任何地方运动的物体（视为质点），都有科氏加速度。（）二、选择题 1、长L的直杆OA，以角速度ω绕O轴转动，杆的A端铰接一个半径为r的圆盘，圆盘相对于直杆以角速度ωr，绕A轴转动。今以圆盘边缘上的一点M为动点，OA为动坐标，当AM 垂直OA时，点M的相对速度为。 ①υr=Lωr，方向沿AM； ②υr=r（ωr－ω），方向垂直AM，指向左下方； ③υr=r（L2+r2）1/2ωr，方向垂直OM，指向右下方； ④υr=rωr，方向垂直AM，指向在左下方。 2、直角三角形板ABC，一边长L，以匀角速度ω绕B轴转动，点M以S=Lt的规律自A向C运动，当t=1秒时，点M的相对加速度的大小α r= ；牵连加速度的大小αe = ；科氏加速度的大小αk = 。方向均需在图中画出。 ①Lω2； ②0； ③3Lω2；

理论力学运动学基础 (1)

第五章运动学基础一、是非题 1．已知直角坐标描述的点的运动方程为X=f1（t），y=f2（t），z=f3（t），则任一瞬时点的速度、加速度即可确定。（）2．一动点如果在某瞬时的法向加速度等于零，而其切向加速度不等于零，尚不能决定该点是作直线运动还是作曲线运动。（）3．切向加速度只表示速度方向的变化率，而与速度的大小无关。（）4．由于加速度a永远位于轨迹上动点处的密切面内，故a在副法线上的投影恒等于零。（）5．在自然坐标系中，如果速度υ=常数，则加速度α=0。（）6．在刚体运动过程中，若其上有一条直线始终平行于它的初始位置，这种刚体的运动就是平动。（）7．刚体平动时，若刚体上任一点的运动已知，则其它各点的运动随之确定。（）8．若刚体内各点均作圆周运动，则此刚体的运动必是定轴转动。（）9．定轴转动刚体上点的速度可以用矢积表示为v=w×r，其中w是刚体的角速度矢量，r是从定轴上任一点引出的矢径。（） 10、在任意初始条件下，刚体不受力的作用、则应保持静止或作等速直线平动。（）二、选择题 1、已知某点的运动方程为S=a+bt2（S以米计,t以秒计，a、b为常数），则点的轨迹。 ①是直线；②是曲线；③不能确定。 2、一动点作平面曲线运动，若其速率不变，则其速度矢量与加速度矢量。 ①平行；②垂直；③夹角随时间变化。 3、刚体作定轴转动时，切向加速度为，法向加速度为。 ①r×ε②ε×r ③ω×v④v×ω 4、杆OA绕固定轴O转动，某瞬时杆端A点的加速度 α分别如图（a）、（b）、（c）所示。则该瞬时的角速度为零，的角加速度为零。 ①图（a）系统；②图（b）系统；③图（c）系统。

理论力学(机械工业出版社)第五章点的运动学习题解答解析

习题 5-1 如图5-13所示，偏心轮半径为R ，绕轴O 转动，转角t ω?=（ω为常量），偏心距e OC =，偏心轮带动顶杆AB 沿铅垂直线作往复运动。试求顶杆的运动方程和速度。图5-13 )(cos )sin(222t e R t e y ωω-+ = ) (cos 2)2sin()[cos(2 2 2 t e R t e t e y v ωωωω-+== 5-2 梯子的一端A 放在水平地面上，另一端B 靠在竖直的墙上，如图5-14所示。梯子保持在竖直平面内沿墙滑下。已知点A 的速度为常值v 0，M 为梯子上的一点，设MA = l ， MB = h 。试求当梯子与墙的夹角为θ时，试点M 速度和加速度的大小。图5-14 A M x h l h h x += =θsin θcos l y M = 0cos v h l h x h l h h x A M +=+== θθ 得 θ θ cos )(0h l v += θθθθθt a n ) (c o s )(s i n s i n 0 0h l lv h l v l l y M +-=+?-=-= 0=M x θ θθθθ322 002 020cos )(cos )(sec )(sec )(h l lv h l v h l lv h l lv y M +- =+?+-=+-=

θ 3220 cos )(h l lv a M += 5-3 已知杆OA 与铅直线夹角6/πt =?（以 rad 计， t 以s 计），小环M 套在杆OA 、CD 上，如图5-15所示。铰O 至水平杆CD 的距离h =400 mm 。试求t = 1 s 时，小环M 的速度和加速度。图5-15 ?tan h x M = ??? 22sec 6 π 400sec ?== h x M ???????s i n s e c 9 π200s i n s e c 6π3π400)s i n s e c 2(6π400323 3=??=??= M x 当s 1=t 时6 π=? mm/s 3.2799π 800346π400)6π(sec 6π4002==?== M v 223232mm/s 8.168327π80021)32(9π200)6πsin()6π(sec 9π200==??=??=M a 5-4 点M 以匀速u 在直管OA 内运动，直管OA 又按t ω?=规律绕O 转动，如图5-16所示。当t = 0时，M 在点O 处，试求在任一瞬时点M 的速度和加速度的大小。图5-16 )cos(t ut x ω= )sin(t ut y ω= )sin()cos(t t u t u x ωωω-= )cos()sin(t t u t u y ωωω+=

理论力学运动学部分

一、判断题： 1. 在自然坐标系中，如果速度v = 常数，则加速度a = 0。（） 2、在分析点的合成运动时，动点的绝对速度一定不能恒等于零。( ) 3、对于平动刚体，任一瞬时，各点速度大小相等而方向可以不同。( ) 4、在刚体运动过程中，若刚体内任一平面始终与某固定平面平行，则这种运动就是刚体的平面运动。( ) 5、加速度 d d v t 的大小为d d v t 。（） 6、点的法向加速度与速度大小的改变率无关。 ( ) 7、速度瞬心的速度为零，加速度也为零。（） 8、火车在北半球上自东向西行驶，两条铁轨的磨损程度是相同的。( ) 9、平动刚体上各点运动状态完全相同。( ) 10、某瞬时动点的加速度等于零，则其速度可能为零。( ) 11、不论点作什么运动，点的位移始终是一个矢量。( ) 12、某动点如果在某瞬时法向加速度为零，而切向加速度不为零，则该点一定做直线运动。（） 13、在研究点的合成运动时，所选动点必须相对地球有运动（） 14、已知自然法描述的点的运动方程为S=f(t)，则任意瞬时点的速度、加速度即可确定。（） 15、科氏加速度的大小等于相对速度与牵连角速度之大小的乘积的两倍。（） 16、作平面运动的平面图形可以同时存在两个或两个以上的速度瞬时中心。( ) 17、在自然坐标系中，如果速度v = 常数，则加速度0a 。（） 18、在有摩擦的情况下，全约束力与法向约束力之间的夹角称为摩擦角。（） 19、在分析点的合成运动时，动点的绝对速度一定不能恒等于零。( ) 20、若动系的牵连运动为定轴转动，则肯定存在哥氏加速度C a 。( ) 21、在直角坐标系中，如果一点的速度v 在三个坐标上的投影均为常数，其加速度a 必然为零。（） 22、刚体平行移动时，其上各点的轨迹一定是相互平行的直线。二.填空题 1.点M 沿螺旋线自外向内运动，如图所示。它走过的弧长与时间的一次方成正比。试分析它的加速度越来越__________(填大或小) 2．图所示平板绕AB 轴以匀角速度ω定轴转动，动点运动方程