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五年级奥数:同余数的概念和性质讲解2013

五年级奥数:同余数的概念和性质讲解2013
五年级奥数:同余数的概念和性质讲解2013

五年级奥数:同余数的概念和性质

小学数学五年级《带余数的除法》奥数教材教案

小学五年级奥数教材:带余数的除法 前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外,例如:16÷3=5…1,即16=5×3+1.此时,被除数除以除数出现了余数,我们称之为带余数的除法。 一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r,0≤r<b,使得a=b×q+r。 当r=0时,我们称a能被b整除。 当r≠0时,我们称a不能被b整除,r为a除以b的余数,q为a除以b的不完全商(亦简称为商).用带余除式又可以表示为a÷b=q…r,0≤r<b。 例1 一个两位数去除251,得到的余数是41.求这个两位数。 分析这是一道带余除法题,且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。 解:∵被除数÷除数=商…余数, 即被除数=除数×商+余数, ∴251=除数×商+41, 251-41=除数×商, ∴210=除数×商。 ∵210=2×3×5×7, ∴210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70,其中42和70大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70。 例2 用一个自然数去除另一个整数,商40,余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933,求被除数和除数各是多少? 解:∵被除数=除数×商+余数, 即被除数=除数×40+16。 由题意可知:被除数+除数=933-40-16=877, ∴(除数×40+16)+除数=877, ∴除数×41=877-16, 除数=861÷41, 除数=21, ∴被除数=21×40+16=856。 答:被除数是856,除数是21。 例3 某年的十月里有5个星期六,4个星期日,问这年的10月1日是星期几? 解:十月份共有31天,每周共有7天, ∵31=7×4+3, ∴根据题意可知:有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。 ∴这年的10月1日是星期四。 例4 3月18日是星期日,从3月17日作为第一天开始往回数(即3月16日(第二天),15日(第三天),…)的第1993天是星期几? 解:每周有7天,1993÷7=284(周)…5(天), 从星期日往回数5天是星期二,所以第1993天必是星期二. 例5 一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求适合此条件的最小数。 这是一道古算题.它早在《孙子算经》中记有:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?” 关于这道题的解法,在明朝就流传着一首解题之歌:“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知.”意思是,用除以3的余数乘以70,用除以5的余数

五年级下册数学讲义-奥数思维训练:5余数问题(无答案)全国通用

5、余数问题 知识讲解 一、消去余数 1、出示例1:把蛋糕和面包平均分给敬老院老人。 蛋糕230块面包345个 蛋糕分到最后余2块,面包分到最后还多3个,这些蛋糕和面包最多可以分给多少位老人? 这是一道求除数的问题,设除数a。 已知:230÷a=() (2) 345÷a=() (3) 如果消去余数,就转化为整除问题。 230-2=228,345-3=342。228,342分别能被a整除,a最大是几呢? (228,342)==114,最多可以分给114位老人。 如果这个敬老院的老人在50~60人之间,你能求出正确的人数和每位老人分到的蛋糕块数、面包个数吗? 2、写出除数和余数相同,被除数不同的出发算式。 ()÷5=4...2 ()÷8=() (5) ()÷5=7...2 ()÷8=() (5) ()÷5=12...2 ()÷8=() (5) ()÷12=()...7 ()÷23=() (12) ()÷12=()...7 ()÷23=() (12) (1)说说你的发现。 22÷5=4…2 22-2=5×4 37÷5=7…2 37-2=5×7 62÷5=12…2 62-2=5×12

219÷23=9…12 357-12=23×9 357÷23=15…12 357-12=23×15 被除数和余数的差是除数的倍数。 37-22=5×3 357-219=138 62-22=5×8 138÷23=6 62-37=5×5 如果两个等式除数和余数相同,被除数之间的差是除数的倍数。 (2)你能再举一些这样的例子吗? A:被除数分别是43和75,余数都是3,除数是多少? B:被除数分别是75、51和111,余数相同,除数是多少? 问题A:因为被除数与余数的差是除数的倍数,因此除数必定是(43-3)和(75-3)的公因数。(40,72)=8,其他的因数还有1,2,4。1,2比余数3小,不可能是除数,因此除数是4或8。 问题B:因为被除数之间的差是除数的倍数,因此除数必定是(75-51),(111-51)的公因数。(24,36,60)=12,其他公因数还有2,3,4,6。 75÷2=37…1,51÷2=25…1,111÷2=55…1。如果除数都是2,那么余数是1。 75÷3=25,51÷3=17,111÷3=37。如果都是3,那么余数是0。 75÷4=18…3,51÷4=12…3,111÷4=27…3, 75÷6=12…3,51÷6=8…3,111÷6=18…3。 如果除数都是4或6,那么余数是3。 3、巩固练习: (1)、用一个数去除47,61,75,结果都余5。这个数是几? (2)、用一个数去除193余4,除1087则余7。这个数是几? (3)、69,90,125被一个数n除时,余数相同,试求n的最大值。

五年级奥数.数论. 余数性质及同余定理(B级).学生版

一、 带余除法的定义及性质 1. 定义:一般地,如果a 是整数,b 是整数(b ≠0),若有a ÷b =q ……r ,也就是a =b ×q +r , 0≤r <b ;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里: (1)当0r =时:我们称a 可以被b 整除,q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时:我们称a 不可以被b 整除,q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书,共有a 本,这个a 就可以理解为被除数,现在要求按照b 本一捆打包,那么b 就是除数的角色,经过打包后共打包了c 捆,那么这个c 就是商,最后还剩余d 本,这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数;除数=(被除数-余数)÷商;商=(被除数-余数)÷除数; ⑵ 余数小于除数. 二、 余数定理: 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数,等于a ,b 分别除以c 的余数之和,或这个和除以c 的余数。 例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数,等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 知识框架 余数性质及同余定理

例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23-16=7除以5的余数等于2,两个余数差3-1= 2. 当余数的差不够减时时,补上除数再减。 例如:23,14除以5的余数分别是3和4,23-14=9除以5的余数等于4,两个余数差为3+5-4=4 3.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数。 例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1=3。当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,即2. 乘方:如果a与b除以m的余数相同,那么n a与n b除以m的余数也相同. 一、同余定理 1、定义 整数a和b,除以一个大于1的自然数m所得余数相同,就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余,即a≡b(modm) 2、同余的重要性质及举例。 〈1〉a≡a(modm)(a为任意自然); 〈2〉若a≡b(modm),则b≡a(modm) 〈3〉若a≡b(modm),b≡c(modm)则a≡c(modm); 〈4〉若a≡b(modm),则ac≡bc(modm) 〈5〉若a≡b(modm),c≡d(modm),则ac=bd(modm); 〈6〉若a≡b(modm)则an≡bm(modm) 其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性",性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性,"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性" 注意:一般地同余没有"可除性",但是:如果:ac=bc(modm)且(c,m)=1则a≡b(modm)3、整数分类: 〈1〉用2来将整数分类,分为两类: 1,3,5,7,9,……(奇数); 0,2,4,6,8,……(偶数) 〈2〉用3来将整数分类,分为三类: 0,3,6,9,12,……(被3除余数是0) 1,4,7,10,13,……(被3除余数是1) 2,5,8,11,14,……(被3除余数是2)

五年级下册数学试题-奥数专题练习:带余数除法(无答案)全国通用

带余数除法 年级班姓名得分 一、填空题 1、除107后,余数为2的两位数有_____. 2、27 ( )=( )……3. 上式( )里填入适当的数,使等式成立,共有_____种不同的填法. 3、四位数8□98能同时被17和19整除,那么这个四位数所有质因数的和是 _____. 4、一串数1、2、4、7、11、16、22、29……这串数的组成规律,第2个数比第 1个数多1;第3个数比第2个数多2;第4个数比第3个数多3;依此类推; 那么这串数左起第1992个数除以5的余数是_____. 5、222……22除以13所得的余数是_____. 2000个 6、小明往一个大池里扔石子,第一次扔1个石子,第二次扔2个石子,第三次扔3 个石子,第四次扔4个石子……,他准备扔到大池的石子总数被106除,余数是0止,那么小明应扔_____次. 7、七位数3□□72□□的末两位数字是_____时,不管十万位上和万位上的数字 是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中哪一个,这个七位数都不是101的倍数. 8、有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和是25.这三个余数中最小的一个是_____. 9、在1,2,3,……29,30这30个自然数中,最多能取出_____个数,使取出的这些数中,任意两个不同的数的和都不是7的倍数. 10、用1-9九个数字组成三个三位数,使其中最大的三位数被3除余2,并且还尽 可能地小;次大的三位数被3除余1;最小的三位数能被3整除.那么,最大的三位数是_____.

二、解答题 11、桌面上原有硬纸片5张。从中取出若干张来,并将每张都任意剪成7张较小 的纸片,然后放回桌面,像这样,取出,剪小,放回;再取出,剪小,放回;…… 是否可能在某次放回后,桌上的纸片数刚好是1991? 12、一个自然数被8除余1,所得的商被8除也余1,再把第二次所得的商被8 除后余7,最后得到一个商是a(见短除式<1>);又知这个自然数被17除余4,所得的商被17除余15,最后得到一个商是a的2倍(见短除式<2>).求这个自然数. 8 所求自然数……余1 8 第一次商……余1 8 第二次商……余7 a 短除式<1> 17 所求自然数……余4 17 第一次商……余15 2 a 短除式<2> 13、某班有41名同学,每人手中有10元到50元钱各不相同.他们到书店买书, 已知简装书3元一本,精装书4元一本,要求每人都要把自己手中的钱全部用完,并且尽可能多买几本书,那么最后全班一共买了多少本精装书? 14、某校开运动会,打算发给1991位学生每人一瓶汽水,由于商店规定每7个空 瓶可换一瓶汽水,所以不必买1991瓶汽水,但是最少要买多少瓶汽水?

高斯小学奥数五年级上册含答案_余数的性质与计算

第二十一讲余数的性质与计算 37』桂除的 余数足多少?我知沽玳,余数昂7! ^ 1 这一讲我们来学习余数问题.在整数的除法中,只有能整除和不能整除两种情况. 当不能整除时,就会产生余数. 一般地,如果a是整数,b是整数(b丰0),若有a+ b=q r (也就是a b q r ), 0

当r 0 时,我们称a 能被b 整除; 当r 0 时,我们称a 不能被b 整除,r 为a 除以b 的余数,q 为a 除以b 的商余数问题和整除问题是有密切关系的,因为只要我们去掉余数,就能和整除问题联系在一起了.余数有如下一些重要性质.基本性质:被除数=除数X商(当余数大于0时也可称为不完全商)+余数除数=(被除数-余数)* 商;商=(被除数-余数)十除数. 余数小于除数. 理解这条性质时,要与整除性联系起来,从被除数中减掉余数,那么所得到的差就能够被除数整除了.在一些题目中因为余数的存在,不便于我们计算,去掉余数,回到我们比较熟悉的整除性问题,那么问题就会变得简单了. 例题1.用一个自然数去除另一个整数,商40,余数是16,被除数、除数的和是877,求被 除数和除数各是多少? 「分析」如果设除数为a,被除数可以表示为什么? 练习1. 甲、乙两数的和是2014,甲数除以乙数商99余14,求甲、乙两数. 我们之前学过一些特殊数(如2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125)的整除 特性.这些数的整除特性稍加改造,即可成为求解余数的一类简便算法: 1)一个数除以2或5的余数,等于这个数的个位数字除以2或5的余数; 一个数除以4或25的余数,等于这个数的末两位数除以4或25的余数; 一个数除以8或125的余数,等于这个数的末三位数除以8或125 的余数; 2)一个数除以3或9的余数,等于这个数的各位数字和除以3或9的余数; 一个数除以99(包括11、33)的余数,等于将它两位截断再求和之后的余数;此外,求3和9的余数还可应用乱切的方法. (3)一个数除以11 的余数,等于它的奇位数字和减去偶位数字和除以11的余数,如 果奇位数字和比偶位数字和小,则先加上若干个11 再减即可.

五年级奥数带余数除法

带余数的除法 月日,宋老师带走进美妙的数学花园! 知识集锦 古代数学书《孙子算经》里,最引人瞩目的是“物不知其数”问题的算法。这种算法有很多种有趣的名称,如“秦王暗点兵”、“韩信点兵”等等,人们还编了许多美妙动人的故事。实质上,这些算法正是带余除法的表现形式。 两个整数相除时,不一定都能整除,当不能整除时,就出现了余数。被除数、除数、商和余数之间有下面关系: 被除数=除数×商+余数(0≤余数<除数)。 例题集合 例1 两个数相除的商是15,余数是11,被除数、除数、商与余数的和是309,那么除数是多少? 练习1 两个数相除的商是12,余数是26,被除数、除数、商与余数的和等于454,那么除数是多少? 例2 自然数a除以7余3,自然数b除以7余3,已知a大于b,那么a减b的差除以7,余数是多少?

练习2 已知自然数a除以13余6,自然数b除以13余12。求a加b的和除以13,余数是多少? 例3 一个三位数被37除余1,被36除余19,那么这个三位数是多少? 练习3 一个四位数,它被131除时余112,被132除时余98,求这个四位数。 例4 已知一个布袋中装有小球若干个。如果每次取3个,最后剩1个;如果每次取5个或7个,最后都剩2个。布袋中至少有小球多少个? 练习4 用卡车运货,每次运9袋余1袋,每次运8袋余3袋,每次运7袋余2袋.这批货至少有多少袋?

例5 某班同学买了310个本子,如果分给每个同学的数量相同,结果还剩下37本,且不能继续平分,问这个班有多少同学? 练习5 有一篮苹果不足60个,平均分给5名小朋友,多出一个;若平均分给6名小朋友,最后多出3个;若平均分给7名小朋友,最后却多出2个。问这一篮苹果一共有多 少个? 课堂练习 1、哪些数除以7能使商与余数相同? 2、474除以一个两位数的余数是6,求适合这个条件的所有两位数。

五年级奥数题:带余数除法

带余数除法作业 一、填空题 1.除107后,余数为2的两位数有_____. 2. 27 ( )=( )…… 3. 上式( )里填入适当的数,使等式成立,共有_____种不同的填法. 3. 四位数8□98能同时被17和19整除,那么这个四位数所有质因数的和是_____. 4. 一串数1、2、4、7、11、16、22、29……这串数的组成规律,第2个数比第1个数多1;第3个数比第2个数多2;第4个数比第3个数多3;依此类推;那么这串数左起第1992个数除以5的余数是_____. 5. 222……22除以13所得的余数是_____. 2000个 6. 小明往一个大池里扔石子,第一次扔1个石子,第二次扔2个石子,第三次扔3个石子,第四次扔4个石子……,他准备扔到大池的石子总数被106除,余数是0止,那么小明应扔_____次. 7. 七位数3□□72□□的末两位数字是_____时,不管十万位上和万位上的数字是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中哪一个,这个七位数都不是101的倍数. 8. 有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和是25.这三个余数中最小的一个是_____. 9. 在1,2,3,……29,30这30个自然数中,最多能取出_____个数,使取出的这些数中,任意两个不同的数的和都不是7的倍数. 10. 用1-9九个数字组成三个三位数,使其中最大的三位数被3除余2,并且还尽可能地小;次大的三位数被3除余1;最小的三位数能被3整除.那么,最大的三位数是_____. 二、解答题 11.桌面上原有硬纸片5张。从中取出若干张来,并将每张都任意剪成7张较小的纸片,然后放回桌面,像这样,取出,剪小,放回;再取出,剪小,放

五年级奥数第讲尾数和余数

五年级奥数第讲尾数和 余数 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】

第2讲尾数和余数 一、知识要点 自然数的末位数字称为自然数的尾数;除法中,被除数减去商与除数的差叫作余数。尾数和余数在运算时是有规律可循的,利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。 二、精讲精练 【例题1】(1)9×9×9×……×9(51个9相乘)积的个位数是几? (2)0.3×0.3×0.3×……0.3(204个0.3相乘)×25×25×25×……×25(1001个25)的个位数字是几? 练习1: (1)61×61×61×……×61(2001个61相乘)积的尾数是几? (2)(31×36)×(31×36)×……×(31×36)(共50个)积的尾数是几? (3)0.7×0.7×0.7×……×0.7(2002个0.7)×0.6×0.6×0.6×……×0.6(2002个0.6)积的尾数是多少? 【例题2】3×3×3×……3(2006个3相乘)+4×4×4×……4(2007个4相乘)的尾数是几? 练习2: (1)5×5×5×......5(2000个5相乘)+6×6×6×......6(2001个6相乘)+7×7×7× (7) (2002个7相乘)的尾数是几? (2)52×52×52×……52(33个52相乘)-32×32×32×……32(29个32相乘)的尾数是几? 【例题3】444……4(100个4)÷6,当商是整数时,余数是几? 练习3:当商是整数时,余数各是几? (1)666……6(50个6)÷4(2)888……8(80个8)÷7 (3)444……4(1000个4)÷74(4)111……1(1000个1)÷5 【例题4】有一列数,前两个数是3与4,从第3个数开始,每一个数都是前面两个数的和。这一列数中第2001个数除以4,余数是多少? 练习4: (1)有一串数排成一行,其中第一个数是3,第二个数是10.从第三个数七,每个数恰好是前面两个数的和。在这一串数种,第1991个数被3除,所得的余数是几? (2)一列数1、2、4、7、11、16、22、29、……这一列数的规律是第二个数比第一个数多1;第三个数比第二个数多2;第四个数比第三个数多3,依次类推。这列数左起第1996个数被5除余

小学五年级奥数:数的整除知识点汇总+例题解析

小学五年级奥数:数的整除知识点汇总+例题解析 数的整除 数的整除问题,内容丰富,思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题,也是小学数学竞赛命题的内容之一。 一、基本概念和知识 1.整除——约数和倍数 例如:15÷3=5,63÷7=9 一般地,如a、b、c为整数,b≠0,且a÷b=c,即整数a除以整除b(b不等于0),除得的商c正好是整数而没有余数(或者说余数是0),我们就说,a能被b整除(或者说b能整除a)。记作b|a.否则,称为a不能被b整除,(或b不能整除a),记作ba。 如果整数a能被整数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a 的约数。 例如:在上面算式中,15是3的倍数,3是15的约数;63是7的倍数,7是63的约数。

2.数的整除性质 性质1:如果a、b都能被c整除,那么它们的和与差也能被c整除。 即:如果c|a,c|b,那么c|(a±b)。 例如:如果2|10,2|6,那么2|(10+6), 并且2|(10—6)。 性质2:如果b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a.即:如果bc|a,那么b|a,c|a。 性质3:如果b、c都能整除a,且b和c互质,那么b与c 的积能整除a。 即:如果b|a,c|a,且(b,c)=1,那么bc|a。 例如:如果2|28,7|28,且(2,7)=1, 那么(2×7)|28。 性质4:如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。 即:如果c|b,b|a,那么c|a。 例如:如果3|9,9|27,那么3|27。

3.数的整除特征 ①能被2整除的数的特征:个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义:一方面,个位数字是偶数(包括0)的整数,必能被2整除;另一方面,能被2整除的数,其个位数字只能是偶数(包括0).下面“特征”含义相似。 ②能被5整除的数的特征:个位是0或5。 ③能被3(或9)整除的数的特征:各个数位数字之和能被3(或9)整除。 ④能被4(或25)整除的数的特征:末两位数能被4(或25)整除。 例如:1864=1800+64,因为100是4与25的倍数,所以1800是4与25的倍数.又因为4|64,所以1864能被4整除.但因为2564,所以1864不能被25整除. ⑤能被8(或125)整除的数的特征:末三位数能被8(或125)整除。 例如:29375=29000+375,因为1000是8与125的倍数,所以29000是8与125的倍数.又因为125|375,所以29375能被125整除.但因为8375,所以829375。

五年级奥数__尾数和余数上课讲义

五年级奥数__尾数和 余数

第6讲尾数和余数 一、知识要点 自然数末位的数字称为自然数的尾数;除法中,被除数减去商与除数积的差叫做余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的,利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。 二、精讲精练 【例题1】写出除213后余3的全部两位数 【思路导航】因为213=210+3.把210分解质因数:210=2×3×5×7,所以,符号题目要求的两位数有2×5=10,2×7=14,3×5=15,3×7=21.5×7=35,2×3×5=30,2×3×7=42.一共有7个两位数。 练习1: 1.写出除109后余4的全部两位数。 2.178除以一个两位数后余数是 3.适合条件的两位数有哪些? 3.写出除1290后余3的全部三位数。 【例题2】(1)125×125×125×……×125[100个125]积的尾数是几? (2)(21×26)×(21×26)×……×(21×26)[100个(21×26)]积的尾数是几? 【思路导航】(1)因为个位5乘5,积的个位仍然是5,所以不管多少个125相乘,个位还是5; (2)每个括号里21乘26积的个位是6,我们只要分析100个6相乘,积的尾数是几就行了。因为个位6乘6,积的个位仍然是6,所以不管多少个(21×26)连乘,积的个位还是6。 练习2: 1.21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几? 2.1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几? 3.(12×63)×(12×63)×(12×63)×……×(12×63)[1000个(12×63)]积的尾数是几? 【例题3】(1)4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几? (2)9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几? 【思路导航】(1)我们先列举前几个4的积,看看个位数在怎样变化,1个4个位就是4;4×4的个位是6;4×4×4的个位是4;4×4×4×4的个位是6……由此可见,积的尾数以“4,6”两个数字在不断重复出现。50÷2=25没有余数,说明50个4相乘,积的个位是6。 (2)用上面的方法可以发现,51个9相乘时,积的个位是以“9,1”两个数字不断重复,51÷2=25……1.余数是1.说明51个9本乘积的个位是9。 练习3: 1.24×24×24×…×24[2001个24],积的尾数是多少? 2.1×2×3×…×98×99,积的尾数是多少?

【教师版】小学奥数5-5-2 带余除法(二).专项练习及答案解析

1. 能够根据除法性质调整余数进行解题 2. 能够利用余数性质进行相应估算 3. 学会多位数的除法计算 4. 根据简单操作进行找规律计算 带余除法的定义及性质 1、定义:一般地,如果a 是整数,b 是整数(b ≠0),若有a ÷b =q ……r ,也就是a =b ×q +r , 0≤r <b ;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里: (1)当0r =时:我们称a 可以被b 整除,q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时:我们称a 不可以被b 整除,q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书,共有a 本,这个a 就可以理解为被除数,现在要求按照b 本一捆打包,那么b 就是除数的角色,经过打包后共打包了c 捆,那么这个c 就是商,最后还剩余d 本,这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2、余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数;除数=(被除数-余数)÷商;商=(被除数-余数)÷除数; ⑵ 余数小于除数. 3、解题关键 理解余数性质时,要与整除性联系起来,从被除数中减掉余数,那么所得到的差就能够被除数整除了.在一些题目中因为余数的存在,不便于我们计算,去掉余数,回到我们比较熟悉的整除性问题,那么问题就会变得简单了. 模块一、带余除法的估算问题 例题精讲 知识点拨 教学目标 5-5-2.带余除法(二)

【例 1】修改31743的某一个数字,可以得到823的倍数。问修改后的这个数是几? 【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答 【解析】本题采用试除法。823是质数,所以我们掌握的较小整数的特征不适用,31743÷823=38……469,于是31743除以823可以看成余469也可以看成不足 (823-469=)354,于是改动某位数字使得得到的新数比原来大354或354+823n也是 满足题意的改动.有n=1时,354+823:1177,n=2时,354+823×2=2000,所以当 千位增加2,即改为3时,有修改后的五位数33743为823的倍数. 【答案】33743 【例 2】有48本书分给两组小朋友,已知第二组比第一组多5人.如果把书全部分给第一组,那么每人4本,有剩余;每人5本,书不够.如果把书全分给第二组,那 么每人3本,有剩余;每人4本,书不够.问:第二组有多少人? 【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答 【关键词】小学数学夏令营 【解析】由48412 ÷= ÷=,48412 ÷=知,一组是10或11人.同理可知48316 ÷=,4859.6 知,二组是13、14或15人,因为二组比一组多5人,所以二组只能是15人,一 组10人. 【答案】10 【例 3】一个两位数除以13的商是6,除以11所得的余数是6,求这个两位数. 【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答 【解析】因为一个两位数除以13的商是6,所以这个两位数一定大于13678 ?=,并且小于?+=;又因为这个两位数除以11余6,而78除以11余1,这个两位数13(61)91 为78583 +=. 【答案】83 【例 4】在小于1000的自然数中,分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0) 【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答 【解析】我们知道18,33的最小公倍数为[18,33]=198,所以每198个数一次. 1~198之间只有1,2,3,…,17,198(余0)这18个数除以18及33所得的余数相同, 而999÷198=5……9,所以共有5×18+9=99个这样的数. 【答案】99 【例 5】托玛想了一个正整数,并且求出了它分别除以3、6和9的余数.现知这三余数的和是15.试求该数除以18的余数. 【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答 【关键词】圣彼得堡数学奥林匹克 【解析】除以3、6和9的余数分别不超过2,5,8,所以这三个余数的和永远不超过 ++=,既然它们的和等于15,所以这三个余数分别就是2,5,8.所以该 25815 数加1后能被3,6,9整除,而[3,6,9]18 =,设该数为a,则181 =-,即 a m 18(1)17 =-+(m为非零自然数),所以它除以18的余数只能为17. a m 【答案】17 模块二、多位数的余数问题

五年级奥数__尾数和余数

第6讲尾数和余数 令狐采学 一、知识要点 自然数末位的数字称为自然数的尾数;除法中,被除数减去商与除数积的差叫做余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的,利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。 二、精讲精练 【例题1】写出除213后余3的全部两位数 【思路导航】因为213=210+3.把210分解质因数: 210=2×3×5×7,所以,符号题目要求的两位数有2×5=10,2×7=14,3×5=15,3×7=21.5×7=35,2×3×5=30, 2×3×7=42.一共有7个两位数。 练习1: 1.写出除109后余4的全部两位数。 2.178除以一个两位数后余数是 3.适合条件的两位数有哪些? 3.写出除1290后余3的全部三位数。 【例题2】(1)125×125×125×……×125[100个125]积的尾数是几? (2)(21×26)×(21×26)×……×(21×26)[100个(21×26)]积的尾数是几? 【思路导航】(1)因为个位5乘5,积的个位仍然是5,所以不管多少个125相乘,个位还是5; (2)每个括号里21乘26积的个位是6,我们只要分析100个6相乘,积的尾数是几就行了。因为个位6乘6,积的个位仍然是6,所以不管多少个(21×26)连乘,积的个位还是6。 练习2: 1.21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几? 2.1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几? 3.(12×63)×(12×63)×(12×63)×……× (12×63)[1000个(12×63)]积的尾数是几? 【例题3】(1)4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几? (2)9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几? 【思路导航】(1)我们先列举前几个4的积,看看个位数在怎样变化,1个4个位就是4;4×4的个位是6;4×4×4

五年级奥数.数论.余数性质(C级)

五年级奥数.数论.余数性质(C级) 「例T.7 一个两位数除刖金余籬品求这样的两位数。 【哮点】除法必式的应用【难度】I星【题型】解答 「解折亍本題为余数问姻的M題吐需要学生明白一个重要知鎭畐就是把余救问题-即“不往徐问題” 转化为整除问题.方法为用被除數减击余数,即得到一个除数的借数;或者是用被除数加上一个“除魏与余數的差S也可说得到一个除數的倍數" 本題中315-*2=273>说明273是所求兪数的倍数* 273=3x7x13>所求的两位数的數还要满足 比竝丸,符合条件的有91 【答案】91 I贰冈)在卜-面的空格中填上适当的数* 7 4 Z □ □? 2 0 0 4 7 □ □ □ 【耆点】除法公戎的应用I难度】2星【题型】填空 [关皱词】如年,第2^,走具杯.3年级,决赛丫第10題,12余 【解桁】本題的楝除敷、商和余數巴经給岀,根据除法的计算公瓦:掖徐龜4■除數=商……余敷,建推计算痔到:徐數-(2WM7—13)^742=27… 【答集】27 I例?]命子里放有编号I到10的十平球,小虹先后二次从盒子中共収出九个球,如果从第二次起,每衣取出的球的编号的和都比上一次的两倍还多一,那么剩卜的球的编号为—? I耆点】餘法公式的应用【难度】3星【题型】填空 【关撻词】第盛届、走美杯,四年虬初躺第11罐 【解析】令箔I次取的編号为釧第二次聪的编号为2a+i,第三冼取的编号为:2(2i+l ) +L=4a+3;还剰下的编号为:55*7a^=5L-7a,爭a为百臥俞下的趕9;当a为7时,余下的是£ 【答案】9A<2 I巩间】川个口然数,利为100,分别除囚人杵用去足泌「10个商的和为3D;若用四舍五入法,呦个商的利为34. H)个甦中帔3除余I的右_______________ 个. 【考点】除法公式的应用I难度】3星【题型〕填空 【关犍词】2(X)8年,第天届+走关杯,五年虬和執第洛題 【解析】由题意,“用击足法,10个贯的舸为和;用四舍五入法,KJ个商的粗为34"可知,10介数中除直

小学奥数思维训练-余数通用版

小学奥数思维训练-余数通用版

2014年五年级数学思维训练:余数 1.(4分)72除以一个数,余数是7.商可能是多少? 2.(4分)100和84除以同一个数,得到的余数相同,但余数不为0.这个除数可能是多少?3.(4分)20080808除以9的余数是多少?除以8和25的余数分别是多少?除以11的余数是多少? 4.(4分)4个运动员进行乒乓球比赛,他们的号码分别为101、126、173、193.规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数.请问:比赛盘数最多的运动员打了多少盘? 5.(4分)某工厂有128名工人生产零件,他们每个月工作23天,在工作期间每人每天可以生产300个零件.月底将这些零件按17个一包的规格打包,发现最后一包不够17个.请问:最后一包有多少个零件? 6.(4分)(1)220除以7的余数是多少?(2)1414除以11的余数是多少? 121

7.(4分)8+8×8+…+除以5的余数是 多少? 8.(4分)一个三位数除以21余17,除以20也余17.这个数最小是多少? 9.(4分)有一个数,除以3余数是2,除以4余数是1.问这个数除以12余数是几?10.(4分)100多名小朋友站成一列,从第一人开始依次按1,2,3,…,11的顺序循环报数,最后一名同学报的数是9;如果按1,2,3,…,13的顺序循环报数,那么最后一名同学报的数是11.请问:一共有多少名小朋友? (4分)1111除以一个两位数,余数是66.求11. 这个两位数. 12.(4分)(1)除以4和125的余数分别是多少? (2)除以9和11的余数分别是多少?13.(4分)一年有365天,轮船制造厂每天都可以生产零件1234个,年终将这些零件按19个一包的规格打包,最后一包不够19个.请问:最后一包有多少个零件? 14.(4分)自然数的个位数字是.

五年级奥数讲义余数问题

第四讲 余数问题 知识点: 1、在有余数的除法里,如果被除数和除数都能被同一自然数整除,那么余数也能被这个自然数整除。例如:60÷25=2……10,255,605,,那么一定有105 2、在有余数的除法里,如果除数和余数能被同一自然数整除,那么被除数也能被这个自然数整除。例如: 3、一个自然数被另一个自然数n 除时,余数只能是0,1,2,……(n-1)。例如: 4、如果两个整数被另一自然数n 除时(n 为整数),余数相同,则它们的差必定能被n 整除。例如: 5、如果整数a 和b 除以同一个自然数m ,所得的余数相同,c 和d 除以同一自然数m ,余数也相同,那么a+c ,b+d 除以m 所得的余数也相同。 例如: 一、例题讲解 例1、被除数、除数、商与余数之和是2143,已知商是33,余数是52,求被除数和余数。 例2、一个自然数除以3余1,除以5余3,加上2就能被7整除,这个自然数最小是多少? 例3、自然数a 除以7余3,自然数b 除以7余4,(a+b )除以7余几? 例4、整数1111…111除以6的余数是几? 2012个1

例5、2012个7组成一个2012位数,被13除后余数是多少?商的各位数字之和是多少?例6、1~400的整数中,被3、5、7除都余2的数共有多少个? 二、拓展训练 1、有一个自然数,用它去除63、91、129得到3个余数的和是25,这个自然数是多少? 2、在1~200这200个自然数中,被3或7除都余2的数有多少个? 3、自然数a除以7余3,自然数b除以7余3,已知a大于b,那么a减去b的差除以7,余数是多少? 4、有一个整数,除300、262、205得到相同的余数。这个数多少?

小学五年级奥数尾数与余数练习题(举一反三)

尾数与余数 练习一 1、317除以一个两位数后余数是2,符和条件的两位数有哪些? 2、写出除349后余4的全部两位数。 3、写出除1095后余3的全部三位数。 练习二 1、61×61×61×…×61(2011个61)积的尾数是几? 2、(31×36)×(31×36)×…×(31×36)(50个31×36)积的尾数是几? 3、9×9×9×…×9(91个9)积的个位数是几?

练习三 1、555…555(2001个5)÷13,当商是整数时,余数是几? 2、下列各小题中,当商是整数时,余数各是多少? (1)、666…6(50个6)÷4 (2)、888…8(80个8)÷7 (3)、444…4(1000个4)÷74 (4)、111…1(1000个1)÷5 3、把化成小数,那么小数点后面第100位上的数字是多少? 练习四 1、有一串数排成一行,其中第一个数是3,第二个数是10,从第三个数起,每个数恰好是 前两个数的和。在这一串数中,第1991个数被3除,所得的余数是多少?

2、一列数1,2,4,7,11,16,22,29,…。这一列数的规律是第二个数比第一个数多1;第 三个数比第二个数多2;第四个数比第三个数多3,以次类推,这列数左起第1996个数被5除余数是几? 3.有一串数:5,8,13,21,34,55,89,…。其中,从第三个数起,每个数恰好是前两个数的和。在这串数中,第1000个数被3除后所得的余数是多少? 练习五 1、甲数除以5余3,乙数除以5余2,甲数比乙数大,那么甲、乙两数的和除以5余数是 几?甲、乙两数的差除以5余数是几?甲、乙两数的积除以5余数是几? 2、甲数除以9余7,乙数除以9余6,丙数除以9余5,那么(甲+乙+丙)÷9还有余数 吗? 3、

五年级奥数带余除法(一)教师版

1.五年级奥数带余除法(一)教师版 2.能够利用余数性质进行相应估算 3.学会多位数的除法计算 4.根据简单操作进行找规律计算 带余除法的定义及性质 1、定义:一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),若有a÷b=q……r,也就是a=b×q+r, 0≤r<b;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里: (1)当0 r=时:我们称a可以被b整除,q称为a除以b的商或完全商 (2)当0 r≠时:我们称a不可以被b整除,q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书,共有a本,这个a就可以理解为被除数,现在要求按照b本一捆打包,那么b就是除数的角色,经过打包后共打包了c捆,那么这个c就是商,最后还剩余d本,这个d就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2、余数的性质 ⑴被除数=除数?商+余数;除数=(被除数-余数)÷商;商=(被除数-余数)÷除数; ⑵余数小于除数. 3、解题关键 理解余数性质时,要与整除性联系起来,从被除数中减掉余数,那么所得到的差就能够被除数整除了.在一些题目中因为余数的存在,不便于我们计算,去掉余数,回到我们比较熟悉的整除性问题,那么问题就会变得简单了. 除法公式的应用例题精讲 知识点拨 教学目标 5-5-1.带余除法(一)

【例1】某数被13除,商是9,余数是8,则某数等于。 【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空 【关键词】希望杯,四年级,复赛,第2题,5分 【解析】125 【答案】125 【例2】一个三位数除以36,得余数8,这样的三位数中,最大的是__________。【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空 【关键词】希望杯,四年级,复赛,第3题 【解析】因为最大的三位数为999,999362727 ÷=,所以满足题意的三位数最大为:?+= 36278980 【答案】980 【巩固】计算口÷△,结果是:商为10,余数为▲。如果▲的值是6,那么△的最小值是_____。【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空 【关键词】希望杯,五年级,复赛,第4题,6分 【解析】根据带余除法的性质,余数必须小于除数,则有△的最小值为7。 【答案】7 【例3】除法算式÷ □□=208中,被除数最小等于。 【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空 【关键词】希望杯,4年级,初赛,4题 【解析】本题的商和余数已经知道了,若想被除数最小,则需要除数最小即可,除数最小是+=,所以本题答案为:20×(8+1)+8=188. 819 【答案】188 【例4】71427和19的积被7除,余数是几? 【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空 【关键词】华杯赛,初赛,第14题 【解析】71427被7除,余数是6,19被7除,余数是5,所以71427×19被7除,余数就是6×5被7除所得的余数2。 【答案】2 【例5】1013除以一个两位数,余数是12.求出符合条件的所有的两位数. 【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】解答 【解析】1013121001 =??,那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91,因-=,100171113 为“余数小于除数”,所以舍去11,答案只有13,77,91。 【答案】13,77,91共三个 【巩固】一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数。 【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】解答 【解析】本题为余数问题的基础题型,需要学生明白一个重要知识点,就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数,即得到一个除数的倍数; 或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”,也可以得到一个除数的倍数。 本题中310-37=273,说明273是所求余数的倍数,而273=3×7×13,所求的两位数约数 还要满足比37大,符合条件的有39,91. 【答案】39或者97 【巩固】在下面的空格中填上适当的数。

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