初中数学二次函数的应用题型分类——动态几何图形问题1( 精选50题 附答案)

初中数学二次函数的应用题型分类——动态几何图形问题1（ 精选50题 附答案） 1．我们规定，以二次函数y =ax 2+bx +c 的二次项系数a 的2倍为一次项系数，一次项系数b 为常数项构造的一次函数y =2ax +b 叫做二次函数y =ax 2+bx +c 的“子函数”，反过来，二次函数y =ax 2+bx +c 叫做一次函数y =2ax +b 的“母函数”．

（1）若一次函数y =2x -4是二次函数y =ax 2+bx +c 的“子函数”，且二次函数经过点（3，0），

求此二次函数的解析式及顶点坐标．

（2）若“子函数”y =x -6的“母函数”的最小值为1，求“母函数”的函数表达式．

（3）已知二次函数y =-x 2-4x +8的“子函数”图象直线l 与x 轴、y 轴交于C 、D 两点，动点P 为二次函数y =-x 2-4x +8对称轴右侧上的动点，求△PCD 的面积的最大值． 2．如图①，在矩形ABCD 中，动点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿AD 向终点D 移动，设移动时间为t(s).连接PC ，以PC 为一边作正方形PCEF ，连接DE 、DF .设PCD ?的面积为y (cm 2). y 与t 之间的函数关系如图②所示.

(1) AB = cm ，AD = cm;

(2) 点P 从点A 到点D 的移动过程中，点E 的路径是_________________ cm.

(3)当t 为何值时，DEF ?的面积最小?并求出这个最小值;

(4) 当t 为何值时，DEF ?为等腰三角形?请直接．．

写出结果。

3．已知开口向下的抛物线y=ax 2+bx+c 可以由y=a (x-m )2向上平移n 个单位长度所得,且抛物线过点B (t ,0)(t>0)和C (0,3),实数a ,m 是一元二次方程8x 2-6x-9=0的两个根,若点P 是抛物线上的一个动点,过点P 作PE ⊥x 轴于点E ,交直线BC 于点D ,连接PC ．

(1)求抛物线的解析式和实数n 的值;

(2)当动点P 在第一象限的抛物线上运动时,过点P 作PF ⊥BC 于点F ,试问△PDF 的周长是否有最大值?如果有,请求出其最大值;如果没有,请说明理由;

(3)当点P 在抛物线上运动时,将△CPD 沿直线CP 翻折,点D 的对应点为点Q ,试问四边形CDPQ 能否成为菱形?如果能,请求出此时点P 的坐标;如果不能,请说明理由.

4．如图，已知抛物线y＝x2﹣ax+a2﹣4a﹣4与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点D（0，8），直线DC平行于x轴，交抛物线于另一点C，动点P以每秒2个单位长度的速度从C点出发，沿直线CD运动，同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿直线AB运动，连接PQ、CB、PB，设点P运动的时间为t秒．

（1）求a的值；

（2）当四边形ODPQ为矩形时，求这个矩形的面积；

（3）当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值．

（4）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？（直接写出答案）

5．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点D从点A出发以1cm/s 的速度运动到点C停止．作DE⊥AC交边AB或BC于点E，以DE为边向右作正方形DEFG．设点D的运动时间为t（s）．

（1）求AC的长．

（2）请用含t的代数式表示线段DE的长．

（3）当点F在边BC上时，求t的值．

（4）设正方形DEFG与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），当重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式．

6．如图1，抛物线y＝ax2+（a+2）x+2（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点

含参数二次函数分类讨论的方法

二次函数求最值参数分类讨论的方法 分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略,它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决问题． 一般地,对于二次函数y=a (x -m )2+n ，x ∈[t ，s ]求最值的问题;解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。 ①表示对称轴在区间［t ，s ］的左侧，②表示对称轴在区间［t ，s ］内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t ，s ］的右侧。然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。 含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论 题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值 例１、求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值。 分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。 解：222()23()3f x x ax x a a =-+=-+- ∴此函数图像开口向上，对称轴x=a ①、当a ＜0时，0距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=0时，min y =3，x=4时，max y =19-8a ②、当0≤a＜2时，a 距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=4时，max y =19-8a ③、当2≤a ＜4时，a 距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=0时，max y =3 ④、当4≤a 时，4距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=4时，min y =19-8a ，x=0时，max y =3 例2、已知函数2()(21)3f x ax a x =+--在区间3 [,2]2 -上最大值为1,求实数a 的值 分析:取a=0,a ≠0，分别化为一次函数与二次函数,根据一次函数、二次函数的性质分类讨论.

初三数学二次函数单元测试题及答案

远航教育初三寒假第一次诊断试题 (测试时间：120分钟，满分：150分) 姓名: 成绩： 一、选择题(每题5分，共50分) 1. sin30°值为( ) A.1／3 B.1／2 C.1 D. 0 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是() A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的 横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是()

9. 已知抛物线和直线 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线 x=-1，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上的点，P 3(x 3，y 3)是直线 上的点，且-1

2021年中考 二次函数题型分类复习总结

二次函数考点分类复习 知识点一：二次函数的定义 考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式。 备注：当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数． 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x 2 －4x+1； ②y=2x 2 ； ③y=2x 2 +4x ； ④y=－3x ； ⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2 +nx+p ； ⑦y =； ⑧y=－5x 。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2 +2t ，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。 3、若函数y=(m 2 +2m －7)x 2 +4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。 课后练习： （1）下列函数中，二次函数的是（ ） A ．y=ax 2+bx+c B 。2 )1()2)(2(---+=x x x y C 。x x y 1 2+ = D 。y=x(x —1) （2）如果函数1)3(2 32++-=+-mx x m y m m 是二次函数，那么m 的值为 知识点二：二次函数的对称轴、顶点、最值 1、二次函数 c bx ax y ++=2，当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；当0

高中数学二次函数分类讨论经典例题

例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围； （2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围 （4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1，求实数a 的值。

解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1(?吗？），即.4 21-++++≥+????? ?????≥+-+<+-<≥≥m m m m m m m m m m f f （3）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，原命题等价于 ???<<0)3(0)1(f f 即? ??<++++<++++0142)3(690142)3(21m m m m 得.421-0)4(0g m 或,0 )4(0???>)(恒成立，求实数a 的取 值范围。 解：（1）0)()(恒成立?.)]([min a x f >又当]1,1[-∈x 时， 5)1()]([min -=-=f x f ，所以).5,(--∞∈a 【评注】“有解”与“恒成立”是很容易搞混的两个概念。一般地，对于“有解”与“恒成立”，有下列常用结论：（1）a x f >)(恒成立?a x f >min )]([；（2）a x f <)(恒成立?a x f )(有解?a x f >max )]([；（4）a x f <)(有解?.)]([min a x f < 分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，首先应搞清二次项系数a 是否为零，如果)(,0x f a ≠的最大值与二次函数系数a 的正负有关，也与对称轴

初中数学二次函数基础测试题附答案

初中数学二次函数基础测试题附答案 一、选择题 1．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1，给出以下结论：①abc ＜0；②3a +c ＝0；③ax 2+bx ≤a +b ；④若M （﹣0.5，y 1）、N （2.5，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＜y 2．其中正确的是（ ） A ．①③④ B ．①②3④ C ．①②③ D ．②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】 解：①由图象可知：a ＜0，c ＞0， 由对称轴可知：2b a -＞0， ∴b ＞0， ∴abc ＜0，故①正确； ②由对称轴可知：2b a -＝1， ∴b ＝﹣2a ， ∵抛物线过点（3，0）， ∴0＝9a+3b+c ， ∴9a ﹣6a+c ＝0， ∴3a+c ＝0，故②正确； ③当x ＝1时，y 取最大值，y 的最大值为a+b+c ， 当x 取全体实数时，ax 2+bx+c≤a+b+c ， 即ax 2+bx≤a+b ，故③正确； ④（﹣0.5，y 1）关于对称轴x ＝1的对称点为（2.5，y 1）： ∴y 1＝y 2，故④错误； 故选：C ． 【点睛】 本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．

2．如图，抛物线2 119 y x = -与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（ ） A ．2 B ． 32 2 C ． 52 D ．3 【答案】A 【解析】 【分析】 根据抛物线解析式即可得出A 点与B 点坐标，结合题意进一步可以得出BC 长为5，利用三角形中位线性质可知OE=1 2 BD ，而BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，据此进一步求解即可. 【详解】 ∵2 119 y x = -， ∴当0y =时，2 1019 x =-， 解得：=3x ±， ∴A 点与B 点坐标分别为：(3-，0)，(3，0)， 即：AO=BO=3， ∴O 点为AB 的中点， 又∵圆心C 坐标为(0，4)， ∴OC=4， ∴BC 长度2205OB C +=， ∵O 点为AB 的中点，E 点为AD 的中点， ∴OE 为△ABD 的中位线， 即：OE= 1 2 BD ， ∵D 点是圆上的动点，

中考复习：二次函数题型分类总结

【二次函数的定义】 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x2－4x+1；②y=2x2；③y=2x2+4x；④y=－3x； ⑤y=－2x－1；⑥y=mx2+nx+p；⑦y =(4,x) ；⑧y=－5x。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则t＝4 秒时，该物体所经过的路程为。 3、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。 4、若函数y=(m－2)x m －2+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为。 6、已知函数y=(m－1)x m2 +1+5x－3是二次函数，求m的值。 【二次函数的对称轴、顶点、最值】 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x－h)2+k，则最值为k； 如果解析式为一般式y=ax2+bx+c，则最值为4ac-b2 4a 1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。 2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝，c＝ . 3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) B. 5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c( ) A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴 C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴 6．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－1 4 的顶点的横坐标是2，则m的值是_ . 7．抛物线y=x2+2x－3的对称轴是。 8．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝。 9．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)x n＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.

(完整版)二次函数综合题分类讨论带答案.doc

二次函数综合题分类讨论 一、直角三角形分类讨论： 1 1、已知点 A(1 ，0),B（ -5,0），在直线y 2 x 2 上存在点C，使得 ABC 为直角三角形， 这样的 C 点你能找到个 2、如图 1，已知抛物线C1：y a x 2 2 5 的顶点为 P，与 x 轴相较于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 的左边），点 B 的横坐标是 1.（ 1）求 P 点坐标及a的值；（ 2）如图 1，抛物线 C2与抛物线 C1关于 x 轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后得到抛物线C3， C,3的顶点为 M ，当点 P、 M 关于点 B 成中心对称时，求C,3的解析式；（ 3）如图 2，点 Q 是 x 轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点 Q 旋转180 后得到抛物线 C,4，抛物线 C,4的顶点为 N，与 x 轴相交于 E、 F 两点（点 E 在点 F 的左边），当以点 P、 N、 F 为顶点的三角形 是直角三角形时，求点Q 的坐标。（2013 汇编 P56+P147）

3、如图，矩形 A’BC’O’是矩形 OABC( 边 OA 在 x 轴正半轴上，边 OC 在 y 轴正半轴上 )绕 B 点逆时针旋转得到的． O’点在 x 轴的正半轴上， B 点的坐标为 (1，3)． (1)如果二次函数 y＝ ax2＋ bx＋c(a≠0)的图象经过 O、O’两点且图象顶点 M 的纵坐标为 —1．求这个二次函数的解析式； ? (2) 在 (1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得POM 为直角三角形 若存在，请求出P 点的坐标和POM 的面积；若不存在，请说明理由； (3)求边 C’O’所在直线的解析式．

初中数学 第26章《二次函数》测试题(B卷)及答案

第26章二次函数检测题 一．选择题（每小题4分，共40分） 1、抛物线y=x 2 -2x+1的对称轴是 ( ) (A)直线x=1 (B)直线x=-1 (C)直线x=2 (D)直线x=-2 2、（2008年武汉市）下列命题： ①若0a b c ++=，则240b ac -≥； ②若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ③若23b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ④若240b ac ->，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. 其中正确的是（ ）． Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ． 只有②③④． 3、对于2)3(22 +-=x y 的图象下列叙述正确的是 （ ） A 、顶点坐标为(－3，2) B 、对称轴为y=3 C 、当3≥x 时y 随x 增大而增大 D 、当3≥x 时y 随x 增大而减小 4、（2008年湖北省仙桃市潜江市江汉油田）如图，抛物线)0(2 >++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为 A. 0 B. －1 C. 1 D. 2 5、函数y =ax 2 (a ≠0)的图象经过点(a ，8)，则a 的值为 （ ） A.±2 B.－2 C.2 D.3 6、自由落体公式h = 2 1 gt 2 (g 为常量)，h 与t 之间的关系是 （ ） A.正比例函数 B.一次函数 C.二次函数 D.以上答案都不对 7、下列结论正确的是 （ ） –1 3 3 1

A.y =ax 2 是二次函数 B.二次函数自变量的取值范围是所有实数 C.二次方程是二次函数的特例 D.二次函数的取值范围是非零实数 8、下列函数关系中，可以看作二次函数c bx ax y ++=2 （0≠a ）模型的是 （ ） A 、在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B.我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系 C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） D.圆的周长与圆的半径之间的关系 9、对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是 （ ） A ．22)1(x m y -= B ．2 2)1(x m y += C ．2 2)1(x m y += D ．2 2)1(x m y -= 10、二次函数y=x 2 图象向右平移3个单位，得到新图象的函数表达式是 （ ） Ａ.y=x 2+3 Ｂ.y=x 2 -3 Ｃ.y=（x+3）2 Ｄ.y=（x-3）2 第Ⅱ卷（非选择题，共80分） 二、填空题（每小题4分，共40分） 11、某工厂第一年的利润是20万元，第三年的利润是y 万元，与平均年增长率x 之间的函数关系式是＿＿＿＿＿＿＿＿。 12、已知二次函数的图像关于直线y=3对称，最大值是0，在y 轴上的截距是－1，这个二次函数解析式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 13、某学校去年对实验器材投资为2万元，预计今明两年的投资总额为y 万元，年平均增长率为 x 。则y 与x 的函数解析式＿＿＿＿＿＿。 14、m 取＿＿＿时，函数)1()(2 2+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数. 15、（2006·浙江）如图1所示，二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0）且与y 轴交于负半轴. 第（1）问：给出四个结论：①a>0；②b>0;③c>0；④a+b+c=0，其中正确的结论的序号是＿＿＿ 第（2）问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0;③a+c=1;④a>1.其中正确的结论的序号是＿＿＿＿. 16、杭州体博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施，若不计维修

二次函数知识点总结题型分类总结

二次函数知识点总结——题型分类总结 一、二次函数的定义 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①142 +-=x x y ； ②2 2x y =； ③x x y 422 +=； ④x y 3-=； ⑤12--=x y ； ⑥p nx mx y ++=2 ； ⑦()x y ,4=； ⑧x y 5-=。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为t t s 252 +=，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 _________ 。 3、若函数( ) 54722 2 ++-+=x x m m y 是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。 4、若函数()1522 ++-=-x x m y m 是关于x 的二次函数，则m 的值为 。 6、已知函数()35112 -+-=+x x m y m 是二次函数，求m 的值。 二、二次函数的对称轴、顶点、最值 记忆：如果解析式为顶点式：()k h x a y +-=2 ，则对称轴为： _ , 最值 为： ； 如果解析式为一般式：c bx ax y ++=2 ，则对称轴为： __ ，最值为： ； 如果解析式为交点式：()()21x x x x a y --=, 则对称轴为： ，最值为： 。 1．抛物线m m x x y -++=2 2 42经过坐标原点，则m 的值为 。 2．抛物线c bx x y ++=2的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线x x y 32+=的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线x ax y 62-=经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) 5．若直线b ax y +=不经过二、四象限，则抛物线c bx ax y ++=2 ( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴 6．已知抛物线()4 1 12- -+=x m x y 的顶点的横坐标是2，则m 的值是 . 7．抛物线322 -+=x x y 的对称轴是 。 8．若二次函数332 -+=mx x y 的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。 9．当n ＝______，m ＝______时，函数()()x n m x n m y n -++=的图象是抛物线，

九年级数学二次函数测试题及答案

二次函数 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线 =x D. 直线 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点) ,(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数 c bx ax y ++=2，且0+-c b a ， 则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是 532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 已知反比例函数x k y = 的图象如右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（ ） x 6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）

D 7.抛物线3 2 2+ - =x x y的对称轴是直线（） A. 2- = x B. 2 = x C. 1- = x D. 1 = x 8.二次函数2 )1 (2+ - =x y的最小值是（） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 9.二次函数c bx ax y+ + =2的图象如图所示，若 c b a M+ + =2 4c b a N+ - =，b a P- =4，则 （） A. 0 > M，0 > N，0 > P B. 0 < M，0 > N，0 > P C. 0 > M，0 < N，0 > P D. 0 < M，0 > N，0 < P 二、填空题： 10.将二次函数3 2 2+ - =x x y配方成 k h x y+ - =2) (的形式，则y=______________________. 11.已知抛物线c bx ax y+ + =2与x轴有两个交点，那么一元二次方程0 2= + +c bx ax的根的情况是______________________. 12.已知抛物线c x ax y+ + =2与x轴交点的横坐标为1 -，则c a+=_________. 13.请你写出函数2)1 (+ =x y与1 2+ =x y具有的一个共同性质：_______________. 14.有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点： 甲：对称轴是直线4 = x； 乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：

二次函数中考复习(题型分类练习)

二次函数题型分析练习 题型一：二次函数对称轴及顶点坐标的应用 1.（2015?兰州）在下列二次函数中，其图象对称轴为x =﹣2的是（ ） A ． y =（x +2）2 B ．y =2x 2﹣2 C ．y =﹣2x 2﹣2 D ．y =2（x ﹣2）2 2.（2014?浙江）已知点A （a ﹣2b ，2﹣4ab ）在抛物线y =x 2+4x +10上，则点A 关于抛物线对称轴的对称 点坐标为（ ） A.（﹣3，7） B.（﹣1，7） C.（﹣4，10） D.（0，10） 3.在同一坐标系中，图像与y=2x 2 的图像关于x 轴对称的函数是（ ） A.212y x = B.212y x =- C.22y x =- D.2y x =- 4.二次函数 无论k 取何值，其图象的顶点都在( ) A.直线 上 B.直线 上 C.x 轴上 D.y 轴上 5.（2012?烟台）已知二次函数y=2（x ﹣3）2 +1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直 线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6.（2014?扬州）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y 轴的直线，若点 P （4，0）在该抛物线上，则4a ﹣2b +c 的值为 ． 7.已知二次函数 ，当 取 ， （ ≠ ）时，函数值相等，则当 取 时，函数值为 （ ） A. B . C. D.c 8.如图所示，已知二次函数 的图象经过（-1,0）和（0,-1）两点，则化简代数式 = . 题型二：平移

二次函数(专题)教学设计

二次函数（专题） ——线段问题 【教学目标】 一、知识技能 1.会用坐标表示线段长度； 2.能解决与抛物线有关的线段问题. 二、数学思考 1.通过用点的坐标表示线段的长度，体现数形结合的思想； 2.体会分类讨论的思想方法. 三、问题解决 1.引导学生归纳出解决与抛物线有关的线段问题的方法； 2.通过小组讨论发现问题，解决问题，体会在解决问题过程中小组合作的重要性. 四、情感态度 在解决问题的过程中，培养学生独立思考、敢于发表自己见解的学习习惯.在合作交流的过程中使学生体验成功的喜悦，增强学好数学的信心. 【教学重点】 1.用坐标表示线段长; 2.解决与抛物线有关的线段问题. 【教学难点】用坐标表示线段长. 【教学方法】探究归纳法、讲练结合法、小组合作法. 【教学准备】多媒体课件、学案等. 【教学过程】 一、知识回顾

1.已知(,) ，(,)A B --5212，则AB = ; 2.已知(,) ，(，-)C D --1512，则CD = . 一 般地，若 ()(),,, A x y B x y 1122，则当 y y =12时，AB x x =-12； 当x x =12时，AB y y =-12. 【设计意图】 在平面直角坐标系中，若已知点的坐标，可以用坐标求线段的长度.通过观察两点与坐标轴的关系，强调平行于x 轴（或在x 轴上）或者y 轴（或在y 轴上）这一重要前提条件.由两道具体问题的计算推广到一般情况，得出结论，体现了数学由特殊到一般的思想. 二、典例精讲 (一)知识准备 例 如图，抛物线y x bx c =- ++2 14 的图象过点(,)A 40,(,)B --44； (1)求抛物线和直线AB 的解析式； 学生在学案上独立完成，老师在大屏幕上展示解题过程，学生对改、订正. 【设计意图】 复习用待定系数法求函数解析式的过程，加强学生对坐标与解析式关系的 理解，加深对直线和抛物线图形的认识,为下一环节做准备.通过课件展示，规 范学生的解题过程. (二)问题解决 (2)若点D 是线段AB 上的一动点(不与、A B 重合)，过点D 作y 轴的平行线，与抛物线交于点E ,与x 轴交于点C ,设点D 的横坐标为.m

人教版初中数学二次函数技巧及练习题

人教版初中数学二次函数技巧及练习题 一、选择题 1．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( ) A ．①② B ．①②③ C ． ①③④ D ． ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a =->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123 b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将23a b =-代入可得40c b ->. 【详解】 ①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a =->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确. ②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确. ③由对称轴123 b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确. 故答案选D. 【点睛】 本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。 2．已知，二次函数y=ax 2+bx+a 2+b （a≠0）的图象为下列图象之一，则a 的值为（ ）

二次函数七大综合专题

二次函数七大综合专题 二次函数与三角形的综合题

函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。 如图，已知抛物线与交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。 （1） 求抛物线的解析式； （2） 设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积； （3） △AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。 （2016?益阳第21题） 如图，顶点为A 的抛物线经过坐标原点O ，与x 轴交于点B ． （1）求抛物线对应的二次函数的表达式； （2）过B 作OA 的平行线交y 轴于点C ，交抛物线于点D ，求证：△OCD ≌△OAB ； （3）在x 轴上找一点P ，使得△PCD 的周长最小，求出P 点的坐标． x y

考点：考查二次函数，三角形的全等、三角形的相似。 解析：（1 ）∵抛物线顶点为A ， 设抛物线对应的二次函数的表达式为2(1y a x =+， 将原点坐标（0，0）代入表达式，得1 3a =-． ∴抛物线对应的二次函数的表达式为：213y x =-+ ． （2）将0y = 代入213y x =-+ 中，得B 点坐标为：， 设直线OA 对应的一次函数的表达式为y kx =， 将A 代入表达式y kx = 中，得k = ， ∴直线OA 对应的一次函数的表达式为y x =． ∵BD ∥AO ，设直线BD 对应的一次函数的表达式为y b =+， 将 B 代入y b = +中，得2b =- ， ∴直线BD 对应的一次函数的表达式为2y x =-． 由2213y x y x ?= -????=-?? 得交点D 的坐标为(3)-， 将0x = 代入2y =-中，得C 点的坐标为(0,2)-， 由勾股定理，得：OA =2=OC ，AB =2=CD , OB OD ==． 在△OAB 与△OCD 中，OA OC AB CD OB OD =?? =??=? ， ∴△OAB ≌△OCD ． （3）点C 关于x 轴的对称点C '的坐标为(0,2)，则C D '与x 轴的交点即为点P ，它使得△PCD 的周长最小． 过点D 作DQ ⊥y ，垂足为Q ，则PO ∥DQ ．∴C PO '?∽C DQ '?． ∴ PO C O DQ C Q '=', 25 = ，∴PO =， ∴ 点P 的坐标为(． 二次函数与平行四边形的综合题 7

二次函数大题分类题型

二次函数中求线段距离之和最小，两种方法：第一种我们平常讲的几种题型最短路径的题型第二种运用点坐标将线段长度之和表示出来，进而转化成二次函数的最值问题 以及二次函数中的最值问题优先考虑的方法就是将所求的用未知数表示出来，最大最小值转化为求二次函数的最大最小值 “造桥选址” 直线∥，在、，上分别求点M、N，使MN⊥，且AM+MN+BN的值最小． 将点A向下平移MN的长度单位得A＇，连A＇B，交于点N，过N作NM⊥于M． 直线上求两点M、N（M在左），使，并使AM+MN+NB的值最小． 在直线l上求一点P，使的值最大． 如图，抛物线y=x2-3x+5 4 与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是 直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E （1）求直线BC的解析式； （2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标

正方形OABC 的边长为4，对角线相交于点P ，抛物线L 经过O 、P 、A 三点，点E 是正方形内的抛物线上的动点． （1）建立适当的平面直角坐标系， ①直接写出O 、P 、A 三点坐标； ②求抛物线L 的解析式； （2）求△OAE 与△OCE 面积之和的最大值． 若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C 1：y 1=-2x 2+4x+2与C 2：y 2=-x 2+mx+n 为“友好抛物线”． （1）求抛物线C 2的解析式． （2）点A 是抛物线C 2上在第一象限的动点，过A 作AQ ⊥x 轴，Q 为垂足，求AQ+OQ 的最大值． （3）设抛物线C 2的顶点为C ，点B 的坐标为（-1，4），问在C 2的对称轴上是否存在点M ，使线段MB 绕点M 逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C 2上？若存在求出点M 的坐标，不存在说明理由．

人教版初中数学二次函数基础测试题附答案

人教版初中数学二次函数基础测试题附答案 一、选择题 1．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①； 0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( ) A ．①② B ．①②③ C ． ①③④ D ． ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a =- >得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以 0a b c -+>；由对称轴1 23 b x a =- =，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将23a b =-代入可得40c b ->. 【详解】 ①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a =- >得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确. ②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确. ③由对称轴1 23 b x a =- =，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将③中230a b +=变形为 23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确. 故答案选D. 【点睛】 本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。 2．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30

二次函数分类讨论

二次函数 【复习目标】 1． 掌握二次函数解析式的求解方法——待定系数法； 2． 能灵活应用二次函数的单调性和对称性解决有关问题； 3． 理解二次函数，二次方程，二次不等式之间相互转换的关键； 4． 掌握二次函数值域求解的三种基本类型：定轴定区间，动轴定区间，定轴动区间； 5． 能熟练应用二次方程的实根分布知识解决二次函数中的参数取值范围问题。 【重点难点】 二次函数值域求解中分类讨论；函数中的“换元”思想及如何控制换元的等价性；数形结合思想在二次方 程实根分布知识中的应用。 【典型例题】 例1（1）设二次函数)(x f 满足)2(-x f ＝)2(--x f ，且图象在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段 长为22，求)(x f 的解析式。 （2）若定义在[]6,6-上的奇函数)(x f 在[]3,0上为一次函数，在[]6,3上为二次函数，且]6,3[∈x 时， )(x f ≤)5(f ＝3，)6(f ＝2，求)(x f 的解析式。 例2（1）已知函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数，则)1(f 的范围是______________ （2）设函数)1(,0)()0()(2+<>++=m f m f a a x x x f 则满足的符号是 . （3）已知函数a x x x x a ax ax x f +=+<>+-=1,),1(12)(21212且若，则)()(21x f x f 与的大小关系 是 。 例3．（1）已知3 1≤a ≤1，若f (x )＝a x 2－2x ＋1在区间[1，3] 上的最大值为M （a ），最小值为N （a ），令g(a )=M （a ）－N （a ）。 ① 求g(a )的解析式 ② 判断g(a )的单调性并求出g(a )的最小值。

2020年初三数学二次函数经典练习全集

1.一跳水运动员从米高台上跳下，他的高度h(单位：米)与所用的时间t(单位：秒)的关系为h=-5(t-2)(t+1),你能帮助该运动员计算一下他跳起来后多长时间达到最大高度？最大高度是多 少米？ 2．篱笆墙长30m ，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m 2 )与长x 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 3.已知二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c ，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a 、b 、c ，并写出函数解析式． 4.求经过A(0，-1)、B(-1，2)，C(1，-2)三点且对称轴平行于y 轴的抛物线的解析式． 5.已知二次函数为x ＝4时有最小值-3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式． 6. 已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)且与x 轴相切． (1)求二次函数的解析式； (2)当x 在什么范围时，y 随x 的增大而增大； (3)当x 在什么范围时，y 随x 的增大而减小． 7.已知122 12 ++-=x x y (1)把它配方成y ＝a(x-h)2 ＋k 形式； (2)写出它的开口方向、顶点M 的坐标、对称轴方程和最值； (3)求出图象与y 轴、x 轴的交点坐标； (4)作出函数图象； (5)x 取什么值时y ＞0，y ＜0； (6)设图象交x 轴于A ，B 两点，求△AMB 面积． 8．在长20cm ，宽15cm 的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm 的正方形，写出余下木 板的面积y(cm 2 )与正方形边长x(cm)之间的函数关系，并注明自变量的取值范围． 9．已知二次函数y=4x 2 ＋5x ＋1，求当y=0时的x 的值． 10．已知二次函数y=x 2 -kx-15，当x=5时，y=0，求k ． 12．已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 中，当x=0时，y=2；当x=1时，y=1；当x=2时，y=-4，试求a 、b 、c 的值． 13.有一个半径为R 的圆的内接等腰梯形，其下底是圆的直径． (1)写出周长y 与腰长x 的函数关系及自变量x 的范围； (2)腰长为何值时周长最大，最大值是多少？ 14.二次函数的图象经过()()()4,2,4,0,0,4--C B A 三点： ① 求这个函数的解析式 ② 求函数图顶点的坐标 ③ 求抛物线与坐标轴的交点围成的三角形的面积。 15．如图，抛物线y=x 2 +bx+c 与x 轴的负半轴相交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴相交于C 点，与双曲线y= x 6 的一个交点是(1，m)，且OA=OC.求抛物线的解析式． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以l 厘米／秒的速度移动；点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以l 厘米，秒的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么 (1)设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式； (2)当△POQ 的面积最大时，将△POQ 沿直线PQ 翻折后得到△PCQ，试判断点C 是否落在直线AB 上，并说明理由； (3)当t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似． 17、水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克. 经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.