高等数学试卷：答案_高等数学(A)期中
03～09级高等数学（A ）（上册）试卷答案
2003级高等数学（A ）（上）期中试卷
一、单项选择题（每小题4分，共12分） 1.B 2.A 3.D
二、填空题（每小题4分，共24分） 1.
5
2
2.0=x ,第一类（跳跃）间断点
3.(1)23
432(5(1))2(1)(1)(1)(1) (01)234!-+-+-+-+-+-< cos()--x x y e xy dx x xy e 5.(1)!--n 6.222sin 2(cos )2sec '-+xf x x x 三、（每小题7分，共28分） 1.e 2.lim 0→+∞ =x 3. 21 2 ()2 4(1) '= +-y e π ππ 4.设222sin , 1=-=-dy d y t dx dx . 四、（8分）求证时当 0 >x ，x x x sin 6 3 <-. (用函数的单调性来证明) 五、（6分）是一个相关变化率的问题， 2 144 /==t ds m s dt π。 六、（8分） 2>-a 时，有两个相异的实根；2=-a 时，有一个实根；2<-a 时，没有实根。 七、（6分）设3 ()()=F x x f x ，对()F x 在区间[0,1]上用罗尔定理即可得证。 八、（8分） 所求点为( , )22 P a 。 2004级高等数学（A ）（上）期中试卷 一. 填空题(每小题4分,共20分) 1. 3=n 2. 2=-a 3. () 10(0)90=f 4.1 (1,)2-- 5. () ()()() ()2 11, 01211--+<<+-x x x θθ 二. 选择题(每小题4分,共16分) 1.C 2.D 3.C 4.D 三. 计算题(每小题7分,共3 5分) 1. 0111lim cot sin 6→???-= ???x x x x 2. ()12 sin 201sin 3e 1lim ln 12→??????-+=?? ?++?????? x x x x x x x e 3. ()21e d 2cos e +++=-x y x y x dy x y y x 4. 2222322 d 1 d 13 d 2(1)d 4(1)+= =-++y y t x t t x t t . 5. 1 ,1,12 = ==a b c （注意：分段点的导数一定要用导数的定义来求） 四.(8分) 用函数的单调性来证明。 五.(8分)所求的切点为16256( ,)39，切线方程为32256 39 =- y x 。 六.(7分) 用单调有界原理来证明数列极限的存在性，然后求得lim 2→∞ =n n x . 七.(6分) 提示：对()x f 以及3 ()=g x x 用Cauchy 中值定理，然后再对()f x 在[]b a ,上用 拉格朗日中值定理。 2005级高等数学（A ）（上）期中试卷 一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1．22lim sin 21x x x x →∞=+ 2． 34k = 3．d x y dx ππ==- 4．2232(1)(1)((1))2 +-+-+-e e e x x o x 5．1,1a b ==-。 二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分） 6.C 7.C 8.C 9.B 三．计算题（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 10． 1 2 11。3ln 2 12．1 13。1() 11(1)!2!()(12)+++-=+-n n n n n n n f x x x 14．222 22 d 2cos()d 22cos() x y e x x y y x xy y x y ++-=-+。 四．（本题共4道题，满分29分） 15．（本题满分6分）（相关变化率问题）半径增加的速率是 1 (/)2cm s π 。 16．（本题满分7分）用单调性来证。（提示：设12 ()e 1e x x F x x -=--，则 112 2 '()e (e 1)2x x x F x -+=--，考虑1 2()e 12 x x g x +=--的符号即可）。 17．（本题满分8分） 所求点为() 2P ，弦PQ 的最短长度为 18．（本题满分8分）提示：（1）令()()=-F x f x x ，用罗尔定理即可得证。 (2) 利用(1)的结论，对()f x 在区间(,)(,)a c c b 、分别用拉格朗日中值定理即可得证。 2006级高等数学（A ）（上）期中试卷 一. 填空题（前四题每题4分，第5题8分，满分24分） 1．0,1==x x ；第一类（跳跃）间断点，第二类（无穷）间断点 2．1,1a b ==- 3．2() d d 1() f x y x f x '= + 4．3,2a b ==- 5．（1）sgn y x = （2）y x = （3）3y x =（4）201 sin lim ln(1) x x x x →+ 二.单项选择题（每题4分，满分12分） 1．C 2．B 3．D 。 三.计算题（每题7分，满分35分） 1． 13 2. 6 e - 3． 1d 2 d 3 t y x == ，212d 4 d 27 t y x == 4. () (10)923()332030e x y x x x =++ 5. 4360x y -+= 四.（8分）用单调有界原理，数列}{n x 单调递增， 有上界1故收敛， 且lim n n x →∞ = 五.（8分）用单调性证明。 六. (7分) 提示：对3 ()(1)()F x x f x =-用罗尔定理。 七．(6分) （1）令arctan 1()1n x g x x n = -+，(0,)x ∈+∞，01 lim ()101 n x g x n + →=->+， 1 lim ()01 n x g x n →+∞ =- <+，故120x x ?<<<+∞，使得12()0,()0n n g x g x ><， ()n g x 在区间12[,]x x 上连续，()n g x 在12(,)x x 内至少存在一个零点。 22arctan 1()n x x x g x x -+'=，记()22222()arctan ,()011x x h x x h x x x '=-=-<++， (0,)x ∈+∞，()(0)0,0h x h x <=>，即()0,0n g x x '<>，()n g x 在(0,)+∞内严格单调 递减，()n g x 在(0,)+∞内至多存在一个零点。()n g x 在(0,)+∞内存在唯一零点，即()n f x 在 (0,)+∞内存在唯一零点，记为(0,)n x ∈+∞。 （2）由于 11arctan arctan 1121n n n n x x x n n x ++=<=++，而arctan x x 严格单调递减，故 1n n x x +<，所以 1(1)arctan (1)2 n n x x n π +≤< +，得lim n n x →∞ =+∞， 11 (2)arctan lim lim 1(1)arctan n n n n n n x n x x n x ++→∞→∞+==+ 。 2007级高等数学（A ）（上）期中试卷 一.填空题（每小题4分，满分24分） 1 ．3,k a == 2． 1,1a b ==- 3．234412222()-+-++x x x x o x 4．21e sin 2arctan 23 x x x C π -- +++ 5．11(,)42 6．2(1,)e ，24-e 二.单项选择题（每题4分，满分12分） 7．D 8．B 9．C 三.计算题（每小题8分，满分32分） 10． 1 11. 22 d (65)(1) d y t t x t ++= 12．(10) 102109()2()sin 225(21)cos 2245sin 2f x x x x x x x =-++?++?. 13.1,1a b =-=-,切线方程为2=-y x . 四(14).（8分）5320,02()2,2,2x f x x x x ≤ ==??>?? ，在[0,2),(2,)+∞上连续，间断点2=x 为第一类 的跳跃间断点。 五(15).（8分）用导数的定义证明，()21f x x '=+. 六(16). (8分) 略。 七(17)．(8分) 略。 一.填空题（每个空格4分，本题满分32分） 1．12- 2．1 ,48 k α== 3． 2 d x y π = =dx 4． (0)2y '= 5．221 (1)(1)((1))2x x o x -+ -+- 6．82 ,55 a b == 二.单项选择题（每小题4分，本题满分12分） 7．D 8．B 9． C 三.计算题（本题满分27分） 10．（7分） 4x →= 11. （6分） 2ln sin lim 2ln cos x x x x x →+∞+=+ 12．（7分）22226(1)2d y t t dx t ++=+，21 2 4t d y dx == 13. （7分）2222222222 24sin ()['()]4cos ()''()2cos ()'()d y x f x f x x f x f x f x f x dx =-++ 四(14).（7分）13 ,22 a b = =（注意：分段点的导数要用导数的定义来求）. 五(15).（7分）3,0(),0sin x x f x x x x ?≥? =? ，故0x =为第一类的跳跃间断点； (1,2,)x k k π==--为第二类间断点。 六(16). (9分) 利用11 ()ln 12 x f x x x -= -+得单调性证明右边不等式； 利用()ln g x x = 得单调性证明左边不等式。 七(17)．(6分) 令()()'()F x b x f x α =-，利用罗尔定理证明。 一.填空题（每个空格4分，本题满分24分） 1．11,28a b = = 2．12 11x dy e dx e =-=+ 3． '(0)12y π =+ 4． (2,1)- 5．33 11()3! x x o x +++ 6． 3 二.单项选择题（每小题4分，本题满分12分） 7．D 8．B 9． C 三.计算题（本题满分36分） 10． e 11. 18 12． 3t dy dx ==20 2 113 t d y dx == ， 13. ()121312()2cos(2)2cos(2)2(1)cos(2)222 n n n n n n n f x x x nx x n n x πππ-----=+ +++-+ 四(14).（8分）0=x 为第一类的跳跃间断点；1 2ln 3 = x 为第二类的无穷间断点。 五(15).（8分）略。 六(16). (6分) 略。 七(17)．(6分)证明： [0,1],(0)(1)0,0∈==>f C f f M ，0(0,1)∴?∈x 使得 0()=f x M ，则由费马引理知0'()0=f x 。 又 (0)0=< M x s t f n ηη， 因为在区间[0,]η以及[,1]η上满足拉格朗日定理的条件，故12(0,),(,1)?∈∈ξηξη使得： 1()(0) '()-= =f f M f n ηξη η，2()(1)'()1(1) -==--f f M f n ηξηη，这两式取倒数再相减即得证。