中学数学实验教材
中学数学实验教材
摘要：由算术到代数是第一个重大转折.关键在于...全套教材共分六册,第一册是代数,在...除在代数课中加强理论和论证因素以外,在...(三)教学结构应当是完整性与发展性的...
关键词：代数,性
类别：专题技术
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《中学数学实验教材》
网络转载
《中学数学实验教材》的编写、实验与研究
为了进一步改革中学数学教育，教育部委托北京师大牵头，会同数学所、人教社、北京师院、景山学校等单位参照美国加州大学伯克利分校项武义教授的设想从1978年11月开始编写并实验研究另一套中学数学教材——《中学数学实验教材》（以下简称《实验教材》），这套教材不在编写、实验与研究之中，现在仅对教材的内容结构、实验情况作一概述。
一、教材的指导思想和体系结构
《实验教材》的指导思想是：“精简实用，返朴归真，顺理成章，深入浅出。”
“精简实用，返朴归真”是选取内容的原则。“精简实用”是个基本的指导思想，它恰当地表现了理论和实际的正确关系。由实际到理论，就是由繁到简，把实际中多样的事物、现象经过分析、综合，归纳出简单而又具有普遍性的道理。而只有精而简的理论才能用来“以简驭繁”。所以“精简实用”在科学上的意义就是要求真正具有普遍性、简明扼要的理论。要做到精简，必须抓住重点。教材中，普遍实用的基础部分，那些有普遍意义的通性、通法就是重点。数学是量科学。基础数学的对象是数、空间、函数，相应的是代数、几何、分析三个学科。这三者是各成体系但又密切联系的。中学数学课应当是这三科的恰当配合的整体，中学数学课要从这三科中精选内容。代数的重要内容有四个：①数系：有理数系、实数系、复数系，在中学阶段重点的是实数系。最普遍有用的是数系的运算律（“数系通性”）。代数方法就是有效运用运算律谋求问题的统一解决；②解代数方程；解低次方程主要用运算律，配方法，消去注。解高次方程主要是运用实数系的完备性，采用函数观点去解，要用到中间值定理、史斗姆定理；③多项式运算：主要是多项式的加、减、乘和单元多项式除法，综合除法，余式定理，辗转相除法；④待定系数法；通过它把其它的问题化为解代数方程的问题。
几何的重要内容是教导学生研习演绎法，要点在于让学生逐步体会空间基本性质的本质与用法。例如等腰三角形定理的本质在于平面的轴对称，而它的基本用法则是讨论直线形的边角关系时，能够把边等转换为角等，角等转换为边等。平行四边形定理是欧氏平面具有平移的具体表现；相似三角形定理是相似形基本定理，而相似变换是欧氏平面上常用的特性；而勾股定理则是把角边关系数量化的基础。所以这三大定理可以说是欧氏平面几何的三大支柱。它们也就是把空间结构全面代数化的理论基础。用向量把几何学全面代数化，讲向量几何，解析几何及其原理，这些就是几何课的重点。
分析的重要内容除函数、极限、连续等分析学的基本概念之外，变率是要紧的概念，分析中最基本的方法是逼近法。
明确这些主要内容之后，选材就能做到精简，教学也也便于抓住重点。当然有些重要的困难的概念和方法的学习要有一个过程。不能一次完成。如函数概念、
逼近法，这套教材采取提前渗透、逐步深化、精确化的处理措施，遵循认识规律，逐步解决。
“返朴归真”就是着重于教学生以基础数学的本质而不拘泥于抽象的形式。任何理论，它的本质要比它的形式更有活力，也更平易近人。比如初等代数最基本的思想、最重要的本质就是有那么一些非常简单的数的运算律，例如交换律、结合律、分配律等。这种运算律是普遍的、简单的，但是它也就是整个代数学的根本所在，所以这个原理是本质，把这个本质形式化了，也就是多项式的运算和理论。传统的代数教学从多项式的形式理论开始，学生不解其义，感到枯燥。《实验教材》反璞归真，先讲代数学的基本原理就是灵活运用运算律，用以解决一次方程的实际问题，学生自然地觉得应该有一个多项式理论，然后再讲多项式，这样学生易于理解多项式的来源来本质。这就是一个“反璞归真“的实际例子。这种例子很多，《实验教材》力图在很多地方体现这个想法。
“顺理成章，深入浅出“是处理教材的原则。从历史发展程序和认识的规律出发，自然地处理教材，力求顺理成章、深入浅出，注意提前渗透后面的重要概念和思想，为后面的学习预先作准备，使学生易于接受。同时分析、综合、推理三咱方法，使学生真正掌握数学的精神实质和思想方法，培养学生的思考能力。数学的历史发展经历过若干重要转折。学生的认识过程和数学的历史发燕尾服过程有一致性，教材和教学也要着力采取措施引导学生合乎规律地实现那些重大转折，使学生的数学学习由一个高度发展到另一个新的高度，这套教材突出了四个转折。
由算术到代数是第一个重大转折。关键在于灵活运用运算律。整个代数学的基本主题就是以通性求通解。从算术进化到代数，关键性的突破点就是发现了如何运用数系通性去解简单的代数议程这个原理。多项式的产生则是后来进一步把上述解方程的原理加以形式化的结果。实现这个转折，重要的是要向学生讲清代数的基本精神是灵活运用运算律谋求问题的统一解法。由实验几何到论证几何是第二个重大转折。要对空间的基本概念与基本性质加以系统的观察分析与实验，建立“空间通性”的一个明确体系，达到“探源、奠基与启蒙”三个教学目的，然后引进集合语并借助集合和描述集合的特征性质之间的关联来说明性质之间的逻辑关系，即以集合作工具，讲清一些基本逻辑关系、推理格式再转入欧几里得推理几何、第三个转折是从定性几何到定量几何，即从综合几何到解析几何。要对几何问题谋求统一解法，出路在代数化。用代数工具去研究几何问题是数学史上一个创造性的成功，但是更有效、更自然的做法是把几何全面地代数化，使几何从定性研究发展到定量研究，首先要把一个基本的代数化，位移是基本的几何量，它包括距离和方向两个要素，把这两点加以抽象，就得到向量的概念然后运用欧氏空间的特有的平移、相似与勾股定理等基本性质引进向量的加法、倍积与内积这三种向量运算、这样就把空间的结构转化为向量和向量运算这种代数体系。因而空间的基本性质也就转化成向量运算的运算律。例如平行四边形定理的代数形式就是倍积的分配律，广义勾股定理则可以转化成为内积的分配律，总之，几何学中的一套空间通性就可以转换成向量的加法、倍积和内积所满足的一套简单、好用的运算律，换句话说，向量的运算律也就是代数化的几何公理，这样就把空间的研讨彻底地推进到有效能算的水平，实现定性几何到定量几何的转
折，向量是这个转折的枢纽，要着力讲好。代数与几何结合，产生了解析几何。解析几何也在微积分与代数、几何间建立了桥梁，所以解析几何是整个基础数学的关键。第四个转折是从常量到数学到变量数学。常量数学是研究变量数学的基础，但是常量数学本身，还不足以解决日常生活中遇到的各种变量问题，换句话说，常用的也是最有用的数学其实是变量数学，所以把中学的数学教育提高到包括初等微积分的水平，实在有其实用上的必要性。当然，由于师资和学生条件不够，全国普遍在中学开设微积分课可能有困难，但是在条件具备的重点中学开设却是可能的。从常量数学到变量数学，在概念和在方法论方面都有相当大幅度的飞跃，需要早作准备。初中二年级已有三角函数的初步概念，初三正式研究各种函数，到高一、高二的代数与解析几何课中，就逐步地讨论到连续性、实数、切线等概念。数列、逼近的思想也早有渗透，到高三进一步突出逼近法研究极限、连续、微分、积分等变量数学问题。《实验教材》在微积分的讲法上的一个主要特点，就是着重于讲逼近法，以它作为贯穿全局的基本方法。逼近与极限是密切相关的两个概念。但是观点不同，概念的层次也不同。例如，先有一个数，再
}，这是逼近的观点；反之，若先有给定去求它的比较简单的近似值的数列{
n
的一个数列{
}，然后再来看一看，是否恰好有一个数，被上述数列所无限n
逼近，这就是极限观点。在分析学的研究中，在下定义或讨论存在性是我们所采取的是极限观点，而通常在解决问题或运用唯一性的场合，我们所采用的是逼近观点。大体上来说，在微积分的基本定义中我们用极限来得到简化；而在实际计算中我们用逼近来达到以简驭繁的目的。所以逼近要比极限来得初等常用，这也就是在讲微积分是突出逼近法的好处。
这样，上述这种课程设计，既遵循历史发展的规律，又突出了几个转折关头，缩短了认识过程，有利于学生掌握数学思想发展的脉络，提高数学教学的思想性。
根据这些指导思想，这套教材基本上采取代数、几何、分析分科，初中、高螺旋上升的安排体系，教学可按初一下，初二代数、几何双科并进，初三学函数，高一、高二代数（包括概率）、几何双科并进，高三学微积分的程序来安排。
全套教材共分六册，第一册是代数，在总结小学所学自然数、小数、分数的基础上，明确提出运算律把数系扩充到有理数和实数，充分运用运算律解一元一次、二次方程、多元一次方程组。然后进一步系统化，引进多项式运算、学习综合除法、辗转相除，到余式定下、因式定理，然后学分式、根式，最后突出总结换元、配方、待定系数法等几个代数的通法。第二册是身体。由直观几何形象分析归纳出几何基本概念和基本性质，通过集合术语、简易逻辑转入欧氏推理几何，处理直线形、圆、基本轨迹与作图、三角比与解三角方程等基本内容，第三册是函数。代数与几何结合引入坐标，研究一次、二次多项式函数、三解函数、指数、对数，并系统学习一元一次、二次、高次不等式和解不等式。第四册是高中代数。把数系扩充到复数，进一步加强多项式论、议程式论，讲多元一次议程组理论（线性代数初步），多项式的基础理论，余式定理，可除性质和史斗姆定理，最后学排列组合，二项式定理，概率初步。第五册是高中几何。先讲立体几何初步，主要讲空间元素的位置关系，柱、锥、台、球等几何体的概念、性质与度量。然后引进向量，用向量处理平面和立体几何问题，再引进坐标处理直线、圆、圆锥曲线，坐标交换与二次曲线讨论，极坐标参数方程，最后用向量、坐标处理空间直线、
平面与球（包括向量外积）。第六册是微积分初步。突出逼近法，讲实数完备性、函数、极限、连续、变率与微分，求和与积分。
二、从实验中得到的启示
《实验教材》从1979年秋开始实验，首批实验班已经由初一学到了高三，实验规模逐年有所扩大。从首批的9个实验班422名学生扩大到现在的21个省（市）的53所学校，116个班，6000余名学生。
从初中三册教材的实验情况看，这三册书在师生条件较好的重点中学是可用的。教材的指导思想、基本结构和体系是合理的，它有利于“加强基础，培养能力，发展智力”，实验效果是良好的，学生的分析问题、思考问题、解决问题的能力，特别是代数中的推理论证能力较过去有所提高，计算的熟练程度稍差，但概念、算理方面的错误率较低，试验班的考试成绩，包括升学考试的成绩不低于普通班。
从各地实验研究组和试教老师们的经验体会中得到很多启示，进一步深化了指导思想，提高了认识，进一步明确了以下三个带根本性的理论性问题。
（一）教学结构应当是学科知识结构和认识结构的统一。
教学结构不是学科知识结构的复制品，而应当是知识结构和认识结构的统一，它既要符合学科体系又要符合认识程序，这正是建立教学结构的困难所在。学科体系是在知识积累的基础上，用逻辑方法建立起来，往往会掩盖知识的背景和来龙去脉，颠倒认识的程序，所以学科的知识结构不能代替教学结构，教学结构的建立还必须考虑认识结构，必须把二者合理地统一起来，如何才能做到学科的知识结构和认识结构的合理统一？《实验教材》作了一些尝试，如前所述，《实验教材》突出了四个转折。
五年的实验已经过了前三个转折。从第一、二批两遍实验情况看，前两个转折是成功的效果良好。
采用突出“数系通性”（数系的运算性质）以实现从算术到代数的过渡的方法是合理的，可行的，有好处的，因为如前所述，代数的基本精神就是灵活运用算律去谋求问题的统一解法。有理数运算关键在于弄懂算理，理解数的运算过程的实质；解方程的基本原理是灵活运用“数系通性”和等式性质；多项式的运算性质是“数系通性”的进一步统化和发展，抓住“数系通性”，就抓住了从算术到代数过渡的枢纽。从实验中看到了这样做的许多好处：这样做能比较自然地和小学学习内容衔，不是一开始就由相反意义的量引入负数，而是在对小学学过的自然数、零、分数进行复习的基础上，归纳出运算律，再引入负数，灵活运用算律，通过应用题的算术解法和代数解法的对比，自觉地掌握代数解法。这是“反璞归真”，自然过渡。这样做有利于培养学生的能力，使学生得以重视基本概念、基本原理的理解和运用，使学生灵活运用“通性”解决问题，改变套公式的思维习惯；使学生用“通性”作根据进行运算，养成“言必有据”的习惯，渗透论证因素，训练学生思维的严密性；在运用“数系通性”进行数与式的运算时不是靠
机械计算而是告弄懂算理来掌握算法，从而提高了思维素质，缩短了熟练过程，这样做虽然有一定的难度，但学生兴趣甚浓，克服困难反倒成了调动学生积极性的诱因。
经过“集合与简易逻辑”实现从实验几何到论证几何的过渡也是可行的，可取的。在欧几里得之前已经积累了大量的几何知识，欧几里得的功劳主要是对这些几何知识作了逻辑上的整理，选定公理，把定理排列起来加以逻辑的证明，把几何变成一个精彩的严密的体系，把几何，以致把整个数学推进到新的阶段，由非论证推进到论证数学，起了划时代的作用。学生的学习也要经过这一个转折。历来学生感到学习几何开头难，在这个转折时期学生开始分化，一部分转过头来跟上去了，一部分转不过来就掉下队来。学生感到几何开头难，主要难在不习惯数学（几何）语言，不会表述；不熟悉图形，不善于从复合图形中看出基本图形；不习惯方法：实验归纳方法，逻辑证明方法。《实验教材》针对这个转折的主要困难，除在代数课中加强理论和论证因素以外，在几何课中采取了两个措施：设“实验几何”和设“集合与简易逻辑”两章，以便顺利地实验从实验几何到论证几何的过渡，实验几何在解决几何入门难的问题上起了良好的作用。学生从经验与趣味中走入论证，非常自然、谐调，确实起到了“启蒙、探源、奠基”的作用。实验几何与“几何绪论课”和“直观几何”都不相同，它不仅仅是一个开场白，又不在内容上求全，在学习论证几何时没有什么重复之感。它的主要特色是：①对原始概念的描述比较朴实确切，如把点说成是位置的抽象，线是通路的抽象……等，一开始就使学生认识几何概念源出客观事物的形象，可以消除学生对几何的“玄妙”感觉，同时对学生进行语言表述的训练，使学习习惯于几何几何语言。②引导学生观察出一些基本性质，而且还渗透了一些推证通法，如从线段相等直到图形全等，始终抓住“叠合法”，用朴素的反证法思想推证“两相交直线确定一交点”，用演绎法推证“对顶角相等”……等等，在习题里也重视说理。这样，对论证几何确实起到了“起飞跑道”的作用。
“集合与简易逻辑”在转折中也起了良好作用。学习了集合的知识有利于学生对图形性质的理解与掌握，有利于学生对有关要领的理解与掌握；学习了必要性、充分性、充要条件，有助于学生对有关判定定理、性质定理的理解与掌握；学习了这一章，还为以后学习轨迹带来了不少方便；学习了这一章的内容，有利于培养学生的逻辑思维能力，从而有利于提高分析问题和解决问题的能力。华东师大二附中初二实验班一学生谈本章学习收获时说：学了“集合与简易逻辑”对改进数学学习方法起了积极的促进作用。知道了“定义”里的条件是充分必要的，就懂得了从定义出发的证明；“集合与简易逻辑”不但对理解和运用数学概念有很大的帮助，而且在论证几何的思路分析方面，也起了重要的铺垫作用，从结论出发找充分条件，从已知条件出发找必要条件，从而缩短已知条件与结论的距离。这样还找不到论题的途径时，还可以改证原命题的等价命题；“集合与简易逻辑”在学习其它学科的时候，也发挥了独特的作用。
为了定量地说明集合、逻辑和论证之间的相关性，实验组孙瑞清同志对实验数据作了相关分析，得到下表：
=0.01 =0.1 =0.1 =0.05
表中变量X
1表示“集合“，X
2
表示“简易逻辑”，X
31
为“三角形”，X
32
为“四
边形”X
33为“相似形”，X
3
为X
31
，X
32
，X
33
的均值。
从表上可以看出，“集合”对“逻辑”有很大的作用（见①），而“逻辑”对论证也是显
相关的（见②）。
（二）数学结构应当是知识教学与能力训练的统一。
历来，教材主要是传授知识的范本，而能力仅仅是在使学生获得这些知识的过程中自然形成。这样设计的教学结构对传授知识是有利的，但对培养能力的要求不明确，措施不系统，不便作为培养能力的依据，能否使我们的教材突破这一模式，使学生在系统获得知识的同时，也能比较系统地提高能力？在教学结构上恰当地处理好知识教学和能力训练的关系，将是一件很有意义的事。《实验教材》在这一方面作了一点尝试，从实验效果来看，有两点是应该肯定的。第一点要强调让学生掌握完整的、系统的、理论性的知识体系；第二点要突出基本数学思想与数学方法的教学。
《实验教材》比较注意让学生掌握完整的、系统的、理论性的知识体系。学生不掌握完整的、系统的、理论性的知识体系，而只了解一些支离破碎的知识片断，当然不能期望他获得真正的数学能力。所以理论性的知识体系的掌握是形成数学能力的前提。《实验教材》结构比较清晰，脉络清楚，系统性、理论性强，不支离破碎，如代数教材，从体系上看，它表现了以原理为基础，以方法为工具的结构，它以数与式的概念、原理（通性）为经，以数与式的运算方法（通法）为纬；从层次看，它基本上按“数一方程一式一方程一函数”的层次逐步演讲，教材显得顺理成章，层次分明，环环相扣，其中多项式理论、方程、函数、不等式，每一块知识都比较系统、完整、理论处理也比较彻底，说理清楚，这样可以避免
混乱，不致糊涂，有利于学生学习。传统的教学强调低年级儿童主要是进行具体的、形象的思维，与此相联系的是只强调感性认识，整形中强调直观，致使学生的认识长期停留在表面的、孤立的、零碎的感性认识阶段，很难形成抽象概念。实验证明，不能低估儿童的抽象思维能力，只要在教学中适当引导，他们的抽象思维能力就能发展起来，掌握系统的理论知识，儿童具有很大潜力，实验还证明，加强理论性很有好处，因为强调说理使学生不但知其然，而且知其所以然，克服简单重复、硬性模仿、机械套用公式的的坏习惯；强调说理，对培养低年级学生抽象思维和推理论证能力大有好处，让学生掌握了理论结构、知识体系并能应用它去解决问题才能算真正掌握了这部分知识，感性认识有待于上升到理性认识。只是把有理数计算法则、解方程的步骤记住会用，不能算真正懂得了有理数和方程，只有明确了计算法则的依据，即算理和解方程的基本原理，才能真正理解法则和步骤，才算真正掌握了有理数和方程。
这里还有一个如何巩固知识、培养能力的问题，要让学生解放思想、锻炼思维、开阔视野、广中求深，在循环中巩固，要以新带旧、恰当掌握练习量。传统的教学对巩固性原则理解得有些片面，认为巩固知识、技能、技巧的最重要的方法就是重复，因此多次单调复习旧课和做机械的练习，形成动型和条件反向。尤如训练运动员。一个动作重复做千百次，才会“熟能生巧”。因此用“大运动量，题海战术”。总之，指导思想是重技巧，轻思维。通过我们的实验，在数学教学中，对这种指导思想基本上是否定的。因为数学训练中更重要的是思维训练，而不是技巧训练。不通过思维的那种条件反射只能是某种类似于速算的绝技。而我们需要培养的是思想活跃、思维敏捷、视野开阔的人，而不是会某种绝技的机器。我们从实验体会到，教学要不断以各方面内容丰富的知识来充实学生的头脑，从知识的广度来求得知识的深度。比如一元一次方程和多元一次方程组同时出一，学生考虑问题时灵活，解题方法多样，可以避免死记硬套公式。又如学了待定系数法，余式定理等，分解因式，多项式求值，求根等路子就广了，方法就多了。有理数运算学习中，学了“数系通性”，弄清了算理，虽然习题量减少了（如《实验教材》“有理数系”一章的例、习题占通用教材本章例、习题的55%），但计算能力仍然达到了要求，学生要获得巩固的知识，单靠简单重复是难以达到目的的。因为所传授的知识只是零散的、没有形成广泛的知识体系，虽然多次重复，仍然不易巩固，必须从增加感性经验，认识现象的本质联系和解决实际任务这三个主要方面安排学生的活动，才有利于知识的理解及其运算，方程，待定系数法等知识能以比较巩固地掌握和灵活地运用，就是因为《实验教材》作了以新带旧，经常应用，循环巩固的安排。
《实验教材》还突出基本数学思想与数学方法的教学。这也是把知识教学与能力训练统一起来的重要一环。“知识是一种过程，而不是一种结果。”只是把知识作为一种结果灌给学生，学生脑子里只堆积一些死知识，是难以转化为能力的，只有把知识看作一个过程。弄清它的来龙去脉，掌握思想脉络，学生的数学才能才会发展起来。成功的教学不仅教会学生知识，而且要教会学生学习，即不仅要学生“学会”，而且要学生“会学”，会独立、主动去获取已有知识，会创造性地探索新的知识。要学生“会学”数学，就必须让学生掌握基本数学思想和方法，会“数学地”提出问题，思考问题，解决问题，基本的数学思想和数学方法是“人人能懂，到处有用”的大道理，学生掌握了数学思想和方法就等于掌握了“万能”
钥匙。所以，在教材和教学中突出基本数学思想和数学方法，是解决知识教学和能力训练统一的有效措施。
《实验教材》一开始就有用符号（字母）表示数的基本思想和方法，从用字母表示数到字母表示未定元，表示待定系数，到换元、设辅助元，再到有f(x)表示式表示函数，到变量代换等字母的使用与变换是一套基本的代数方法。
列方程、解方程的方法是解决已知量与未知量之间的等量关系的一类基本代数方法。从列方程解应用问题开始，以后的待定系数法，根和系数关系的研究，甚至解不等式，函数定义域的确定，极值的求法等等都可以作为这一套方法的推广。
分离系数法、辗转相除、余式定理等内容，《实验教材》都作为通法而十分强调。
集合的思考方法，在几何和代数中都十分重视，在初一代数中渗透了建立代数结构的初步思想。比如强调了数集合多项式集合关于加法、乘法的封闭性等。在几何教学中突出了轨迹和交轨法作图等内容，在这些内容的处理了都注意集合论基本思想的灌输，经常训练学生从考虑具体的数学对象到考虑对象的集合，进而考虑分类等一系列问题。
逻辑的方法。从初中代数第一册开始就渗透了论证的因素，要求根据“数系通性”说明一些运算法则，出现过朴素的反证法思想，到第二册较系统地介绍了简单逻辑知识，掌握了推理格式，明确了充分条件，必要条件，充要条件的概念和四种命题的关系。然后在论证几何中自觉地加以运用，这对学生逻辑思维能力的提高大有好处。
函数的思考方法。考虑运动变化、相依关系、对应，由研究状态过渡到研究过程。函数的概念从一年开始就有渗透，初中二年级已有三角函数的初步概念，初三正式研究各种函数，使学生的思想由表态发展到动态，掌握图象分析与解析分析相结合的方法。
分解和组合的方法。代数中的数字拆补，式子的拆补项，配方、配公式等基本方法，几何中的图形的割补，分离和组合等思想方法也是常用的数学方法，在教学中有意识地加以训练。
此外，对数学问题的分析和综合、转化、推广、限定（一般化、特殊化）、递推、存在性、唯一性、类比、不完全归纳法、数学归纳法、处理不等关系时加强与减弱等基本的数学思想方法都分别得到强调。
（三）教学结构应当是完整性与发展性的统一
教学结构如前所述，应当是完整体系，不能支离破碎，但是它又不应当是一个封闭系统，而应当是发展性的系统，就是说应当具有若干和大学课程和实际应用的联系点、结合部、或者说应当留下若干窥探高等数学和数学应用领域的“窗口”，使学生学完后不致思想僵化、而能开阔视野，活跃思想，获得进一步学习和探索
的门径。传统数学教学以避免引起学生思想混乱为由，对与高等数学联系的更深刻的问题尽量回避，使学生误认为中学数学是完美无缺的，因而堵塞了学生的思路。
《实验教材》注意在不脱离学生的实际可能和不增加学生的负担的情况下把学生引到通向高等数学或数学应用的“窗口”，并且“捅破窗户纸”，让学生开阔眼界，给学有余力的学生提供进一步研讨的方向和问题。如解方程时，点明不过是灵活运用数系通性和等式性质，合并同类项是用的分配律，这里已经渗透了代数结构的思想。函数教学中，概念逐步深化、精确化，研究方法逐步接近高等数学。如一次函数用了函数增量讲清一次函数灵敏的特征性质，用同样的思想和方法研究高次的多项式函数的增减性、极值问题，而且引出了形式导数的概念和术语，为以后学习导数作了准备，出现了分段的函数，因而加深了学生对函数的理解。不等式解法增加了分区间讨论，这就和高次不等式的解法一致起来了，加了二元不等式组的图象等等。不增加学生什么负担，但却给学生开辟了一片新的领域，线性代数是《实验教材》高中代数课程中贯穿全局的主干，因为线性代数是整个数学中最简单也是最基本的基础理论，不论是在代数学、在几何学或在分析学的研讨中线性代数不但是它们的基础和起点，而且还是沟通中学数学的这三大分支的交汇点。再者线性代数也是最好用，应用最广泛的一门数学。所以《实验教材》的高中课程中，最重要的中心课题是让学生掌握线性代数的基础理论和它在代数、几何、分析中的初步应用。线性代数在计算上的基础理论是行列式及有关理论；线性代数在概念上的基础理论就是向量与向量空间，它本质上是代数体系，和数与数系相当类似，它有很明显的几何背景，高中几何详细分析了解析几何的基础，提示了这个几何背景，讲了向量和向量几何，这就为学生掌握几何代数化，到大学学习线性代数奠定了基础，这就在学生面前展示了一个广阔的数学和数学应用的领域。从这里给了我们一个启示：教学结构应当恰当地把完整性和发展性统一起来，着眼于开阔学生的视野，启发他们的创造性思维，开发他们的智力，培养他们的能力，而不仅是以一些现成的结果去充塞学生的头脑，养成学生死记硬背、思想僵化的坏毛病。
最新浅谈构造法在中学数学解题中的应用上课讲义
浅谈构造法在中学数学解题中的应用 富源六中范文波 [摘要]：现代数学素质教育要求大力提高学生的数学素养，这不仅要使学生掌握数学知识，而且要使学生掌握渗透于数学知识中的数学思想方法，使他们能用数学知识和方法解决实际问题。构造法作为一种数学方法，不同于一般的逻辑方法，它是一步一步寻求必要条件，直至推导出结论，它属于非常规思维。其本质特征是“构造”，用构造法解题，无一定之规，表现出思维的试探性、不规则性和创造性。本文主要通过大量的例题说明构造法是广泛存在于解题过程中的，而且对于解某些问题是非常有用的. [关键词]：构造法；创造性；构造；几何变换 1 前言 解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。在这种情况下,经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。构造法就是这样的手段之一. 构造的数学思想提炼于数学各分支的研究方法之中，它融直观性、简单性、统一性、抽象性、相似性于一体，显示出简化与精密、直观与抽象的高度统一. 什么是构造法又怎样去构造呢？构造法是运用数学的基本思想经过认真的观察，深入的思考、分析，迁移联想，正确思维，巧妙地、合理地构造出某些元素、某种模式，使问题转化为新元素的问题，或转化为新元素之间的一种新的组织形式，从而使问题得以解决，这种方法称之为“构造法”. 构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体的问题的特点而采取相应的解决办法，其基本的方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法.在解题过程中，若按习惯定势思维去探求解题途径比较困难时，我们可以根据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己思维范围，运用构造法来解题也是培养我们创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高我们的解题能力也有所帮助. 构造法包含的内容很多，在解题中的应用也千变万化，无一定规律可言,它需要更多的分析、类比、归纳、判断，同时能激发人们的直觉思维和发散思维.
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最全的的初中数学公式大全 1过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理(ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角) 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
初中数学解题方法大全
初中数学解题方法大全 数学解题方法 一、选择题： 对于选择题，关键是速度与正确率，所占的时间不能太长，否则会影响后面的解题。提高速度与正确率，方法至关重要。方法用得恰当，事半功倍，希望大家灵活运用。做选择题的主要方法有：直接法、特值法、代入法（或者叫验证法）、排除法、数形结合法、极限法、估值法等。 （一）直接法： 有些选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的．这类题型可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法．这种解法最常用，解答中也要注意结合选项特点灵活做题，注意题目的隐含条件，争取少算．这样既节约了时间，又提高了命中率。例：方程的解为（） A B C D 解：直接计算，同时除以300，再算的x=750。 （二）特值法： 用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等。特值法一般和排除法结合运用，达到少计算的目的，从而提高速度。 例：如图，在直角坐标系中，直线l对应的函数表达式是（） 解：看图得，斜率k>0,排除CD，再在AB中选，取特值x=0,则 y=-1,结果选A。 （三）代人法： 通过对试题的观察、分析、确定，将各选择支逐个代入题干中，进行验证、或适当选取特殊值进行检验、或采取其他验证手段，以判断选择支正误的方法．例3．（20XX年安徽）若对任意x∈R,不等式（A）<－1（B）||≤1（C）||<1（D）≥1 解： 化为化为，显然恒成立，由此排除答案A、 D
中学数学论文参考文献范例
https://www.wendangku.net/doc/1715742533.html, 中学数学论文参考文献 一、中学数学论文期刊参考文献 [1].福建数学工作者中学数学教研论文的计量分析——基于20082012年中国知网和维普资讯网的数据. 《数学教育学报》.被北京大学《中文核心期刊要目总览》收录PKU.2014年5期.许如意.陈清华. [2].新课标体系下高师数学分析教学与中学数学衔接的探索. 《教育探索》.被北京大学《中文核心期刊要目总览》收录PKU.被南京大学《核心期刊目录》收录CSSCI.2008年9期.胡洪萍.马巧云. [3].高观点下的中学数学——拉格朗日中值定理在中学数学中的应用. 《数学教学通讯》.2013年33期.王一棋. [4].“中学数学优秀生的智力倾向与学习特征”研究报告. 《教育学术月刊》.被北京大学《中文核心期刊要目总览》收录PKU.2013年5期.冯全民. [5].中学数学创新课堂教学模式的探究. 《科学导报》.2016年2期.马鑫. [6].中学数学网络课程制作探究. 《中国教育学刊》.被北京大学《中文核心期刊要目总览》收录PKU.被南京大学《核心期刊目录》收录CSSCI.2007年9期.郭利周. [7].浅谈大学数学与中学数学的衔接问题. 《新教育时代电子杂志（教师版）》.2015年19期.王烂漫. [8].浅谈中学数学有效学习. 《都市家教（下半月）》.2015年1期.吴李红. [9].《数学分析》教学与中学数学衔接困难的成因分析及解决建议. 《赤峰学院学报（自然科学版）》.2015年20期.龚小兵. [10].微积分在中学数学中的应用. 《中学课程辅导（教学研究）》.2015年25期.胡燕华. 二、中学数学论文参考文献学位论文类
初中数学重要公式总结
乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②(a±b)2＝a2±2ab＋b2．③(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3．④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．一、公式：设有n个数x1，x2，…，x n，那么： ①平均数为： 12 ...... n x x x x n； ②极差： 用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差=最大值-最小值； ③方差： 数据1x、2x……, n x的方差为2s，则 2 s= 222 12 1 ..... n x x x x x x n 标准差：方差的算术平方根. 数据1x、2x……, n x的标准差s，则 s= 222 ..... x x x x x x 一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。 设∠A是Rt△ABC的任一锐角，则∠A的正弦：sinA＝，∠A的余弦：cosA ＝，∠A的正切：tanA＝．并且sin2A＋cos2A＝1． 0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0．∠A越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小 余角公式：sin(90o－A)＝cosA，cos(90o－A)＝sinA． 特殊角的三角函数值：sin30o＝cos60o＝，sin45o＝cos45o＝，
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