九年级数学图形折叠问题学案
图形折叠问题
专题导读
图形折叠问题，是一个非常好的题型，历年来深受中考数学出题者的青睐．近年来很多城市的中考都在积极探索有关图形折叠题目的思考与研究．在所有折叠图形的题目中，最受欢迎的还是矩形的折叠，因为这种图形的性质特别好，便于折叠，折叠时也产生了很多很好的性质，所以也便于出题人寻找出题的点．因此矩形折叠的题目最多，考的也最多．还有对正方形的折叠、菱形、平行四边形、三角形等，甚至现在连圆形也开始折叠．产生了很多不错的题目．
图形折叠问题只所以这么受追捧，是因为这些图形在折叠过程中，会产生很不错的性质，值得研究，出题人利用研究这些性质也可以进而考查学生的一些对知识的掌握程度，动手能力，采用运动变化的观点分析和解决问题的能力．鉴于此，我们有理由相信今后的中考数学试卷中还会产生很多有关图形折叠的问题．
中考要求
山东省中考考试说明要求掌握轴对称图形的性质．
学会在运动变化中寻求不变的图形性质．
培养学生运用运动变化的观点分析和解决问题．
专题集训
考向1矩形的折叠
典例1、(2019 山东省泰安市)如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是．
对应训练
1. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是________．
2. (2019 山东省枣庄市)用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝度．
考向2正方形的折叠
典例2、(2019 山东省青岛市)如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE 上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为cm．
对应训练
3. (2019 天津市)如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE＝5，则GE的长为．
考向3三角形的折叠
典例3、(2019 山东省淄博市)如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．
如图1，当
1
2
CD AC
=时，
1
3
tan
4
α=；如图2，当
1
3
CD AC
=时，
2
5
tan
12
α=；
如图3，当
1
4
CD AC
=时，
3
7
tan
24
α=；
??
依此类推，当
1
(
1
CD AC n
n
=
+
为正整数）时，tan
n
α=．
考向4平行四边形的折叠
A B
C D
E F B C A
D F
E D'C'G 典例4、 (2019 江苏省徐州市)如图，将平行四边形纸片ABCD 沿一条直线折叠，使点A 与点C 重合，点D 落在点G 处，折痕为E
F ．求证：
（1）ECB FCG ∠=∠；（2）EBC FGC ???．
考向5 圆形的折叠
典例5、 (2019 山东省泰安市)如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，
恰好经过圆心
O ，若⊙O 的半径为3，则的长为（ ）
对应训练 4. (2019 宁夏回族自治区)如图，AB 是⊙O 的弦，OC AB ⊥，垂足为点C ，将劣弧⌒
AB 沿弦AB 折叠交于OC 的中点D ，若210AB =，则⊙O 的半径为 ．
能力提升 1、将长方形ABCD 的纸片，沿EF 折成如图所示；已知∠EFG=55o，则∠FGE= 。
2、如图，矩形ABCD 沿BE 折叠，使点C 落在AD 边上的F 点处，如果∠ABF=60o，则∠CBE 等于
（ ）。
(A)15o (B)30o (C )45o (D)60o
3、如图所示，AB=4，AD=3，点E在CD上（不含端点C，D）的任一点，把△EBC沿BE折叠，当点C落在矩形ABCD
的对角线上时，求CE的长？
4、如图，在直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，2），过点A的直线l⊥线段AB，P是直线l上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP翻折180°，使点C落在点D处，且以点A，D，P为顶点的三角形与△ABP相似，求所有满足此条件的点P的坐标？