(完整版)高中数学必修五知识点公式总结

必修五数学公式概念

第一章 解三角形

1.1 正弦定理和余弦定理

1.1.1 正弦定理

1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c

A B C

==. 正弦定理推论：①

2sin sin sin a b c

R A B C

===（R 为三角形外接圆的半径） ②2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C === ③sin sin sin ,,sin sin sin a A b B a A

b B

c C c C

===

④::sin :sin :sin a b c A B C = ⑤sin sin sin sin sin sin a b c a b c

A B C A B C

++===

++ 2、解三角形的概念：一般地，我们把三角形的各个角即他们所对的边叫做三角形的元素。任何一个三角形都有六个元素：三条边),,(c b a 和三个内角),,(C B A .在三角形中，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

图 形

关 系 式 解 的 个 数

A

为 锐 角

①sin a b A = ②a b ≥

一 解

sin b A a b <<

两 解

sin a b A <

无 解

A

为钝角或直角

b a >

一 解

b a ≤

无 解

4、任意三角形面积公式为：

2111sin sin sin 2224(

)(

)(

)()2sin sin sin 2

ABC abc

S bc A ac B ab C R r

p p a p b p c a b c R A B C

====

=---=++=V

1.1.2 余弦定理

5、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即

2222cos a b c bc A =+-，222

2cos b a c ca B =+-，2

2

2

2cos c a b ab C =+-.

余弦定理推论：222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac +-=，222

cos 2a b c C ab

+-=

15°

75°

105°

165°

αsin

426- 42

6+ 42

6+ 4

2

6- αcos

42

6+ 42

6- 4

2

6+- 4

2

6+-

αtan

32- 32+ 32-- 32+-

1.2 应用举例

1、方位角：如图1，从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角。

2、方向角：如图2，从指定线到目标方向线所成的小于90°的水平角。（指定方向线是指正北或正南或正西或正东）

3、仰角和俯角：如图3，与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角。

（1）方位角 （2）方向角 （3）仰角和俯角 （4）视角 4、视角：如图4，观察物体的两端，视线张开的角度称为视角。 5、铅直平行：于海平面垂直的平面。

6、坡角与坡比：如图5，坡面与水平面所成的夹角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比叫坡比h i l ??

=

???

. （5）坡角与坡比

第二章 数 列

2.1 数列的概念与简单表示法

1、数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。数列中的每一项和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（也叫首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。所以，数列的一般形式可以写成1a ，2a ，3a ，…，n a ，…，简记为{}n a .

2、数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

3、数列的递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始的任一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）（2≥n ）间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。定义式为121+=-n n a a （1>n ）

4、数列与函数：数列可以看成以正整数集*N （或它的有限子集{}1,2,3,4,n …,）为定义域的函数()n f a n =，当自变量按照从大到小的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。通项公式可以看成函数的解析式。

5、数列的单调性：若数列{}n a 满足：对一切正整数n ，都有1n n a a +>（或1n n a a +<），则称数列{}n a 为递增数列（或递减数列）。

判断方法：①转化为函数，借助函数的单调性，求数列的单调性； ②作差比较法，即作差比较1+n a 与n a 的大小；

2.2 等差数列

1、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d 表示。定义式为d a a n n =--1（2≥n ，∈n *N ）或d a a n n =-+1（∈n *N ）

3、等差中项判定等差数列：任取相邻的三项1-n a ，n a ，1+n a （∈≥n n ,2*

N ），则 1-n a ，n a ，1+n a 成等差数列?112+-+=n n n a a a （2≥n ）?{}n a 是等差数列。

4

56、等差数列的性质：（1）若n ，m ，p ，q ∈*

N ，且q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+； （2）若p n m 2=+，则p n m a a a 2==；

（3）若m ，p ，n 成等差数列，则m a ，p a ，n a 成等差关系； （4）若{}n a 成等差数列?q pn a n +=（公差为p ，首项为q p +）； （5）若{}n c 成等差数列，则{}n a 也成等差数列；

（6）如果{}n a {}n b 都是等差数列，则{}q pa n +，{}m n qb pa +也是等差数列。

2.3 等差数列的前n 项和

1、一般数列n a 与n s 的关系为()()

???≥-==-2111n S S n S a n n n .

2、等差数列前n 项和的公式：()()d n n na a a n S n n 2

1211-+=+=

3、等差数列前n 项和公式的函数特征：（1）由()n d a n d d n n na S n ??? ?

?

-+=-+=2221121，令2d A =

，2

1d a B -=，则{}n a 为等差数列?n n B An S +=2

（B A 、为常数，其中A d 2=，b a a +=1）. 若0≠A ，即0≠d ，则n S 是关于n 的无常数项的二次函数。 若0=A ，即

0=d ，则1na S n =. （2）若{}n a 为等差数列，?

??

???n S n 也是等差数列，公差为2d

（3）若{}n a 为等差数列，?--,,232,k k K k k S S S S S 也成等差数列

（4）若m S n =，n S m =，则()n m S n m +-=+ （5）若n m S S =，则0=+n m S （6）若{}{}n n b a 是均为等差数列，前n 项和分别是n A 与n B ，则有

1

21

2--=m m m m B A b a （7）在等差数列{}n a 中，01>a ，0d ，则n S 存在最小值。

2.4 等比数列

1、等比数列：一般地如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示()0q ≠.定义式：

1

n

n a q a -=，(2n ≥,0n a ≠,0q ≠). 2、等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比数列。 a ，G ，b

成等比数列2G b

G ab G a G

?

=?=?= 两数同号才有等比中项，且有2个互为相反数。 3、通项公式：1

11n n

n a a a q

q q

-==

? 其中首相为1a ，公比为q . 4、等比数列的性质：n m n m a a q -=（n ，m *

∈N ）.

2.5 等比数列的前n 项和

1、等比数列的前n 项和的公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q q

q =??

=-?-=≠?

--?

2、等比数列的前n 项和的函数特征：当1q ≠时，()1111111n n n a q a a

S q q

q q

-=

=

----.记1

1a A q

=

-，即n n S Aq A =-+. 3、等比数列的前n 项和的性质： 在等比数列中：

（1）当k S ，2k k S S -，32k k S S -，…均不为零时，数列成等差数列。公比为qk .

（2）n m

n m n m m n S S q S S q S +=+=+

（3）

m n m

n

a q a -=或m n m n a a q -=?（m 、n *∈N ） （4）若m n p q +=+，则m n p q a a a a ?=? （5）若{}n a 为等差数列，则{}n

a C

为等比数列

（6）若{}n a 为正项等比数列，则{}log C n a 是等差数列 （7）若{}n a 、{}n b 均为等比数列，则{}(){}{}{}0k

n n n n n n n n a a a a a b a b λλλ????≠??

???????

、、、、等

仍是等比数列。公比分别为：1122

1k

q q q q q q q

q 、、

、、、. （8）等比数列{}n a 的增减性：当101a q >??

>?，或1001a q

当10

01

a q >??<

1a q ?

时，{}n a 为递增减数列。

4、由递推公式求数列通向法：

（1）累加法：()1n n a a f n +=+ 变形：()1n n a a f n +-= （2）累乘法：()1n n a a f n +=? 变形：

()1

n n

a f n a += （3）取倒数法：1n

n n pa a qa p

+=

+

（4）构建新数列法：1n n a pa q +=+（其中p ，q 均为常数，()(1)0pq p -≠）

?设()1n n a k p a k ++=+?{}n a k +为等比数列。

第三章 不等式

3.1 不等式关系与不等式

1、不等式定义：用不等号（>、<、≥、≤、≠）表示不等关系的式子叫不等式，记作

()()f x g x >，()()f x g x ≥等。用“>”或“<”连接的不等式叫严格不等式，用不“≥”

或“≤”连接的不等式叫非严格不等式。 2、实数的基本性质

0>-?>b a b a ；0=-?=b a b a ；0<-?

0,000>>+????>>ab b a b a ；0

,000><+??

??

<ab b a 3、不等式的基本性质

（1）对称性：a b b a （2）传递性：c a c b b a >?>>,

（3）可加性：c b c a b a +>+?> 推论1：b c a c b a ->?>+（移向法则）

推论2：

d b c a d c b a +>+??

??

>>（同向不等式的相加法则）

（4）可乘性：

0a b ac bc c >??>?>?；0a b ac bc c >?

?

（5）同向相加：

a b a c b d c d >??+>+?>?；异向可减：a b a d b c d c >?

?->-?

（6）同向可乘：00a b ac bd c d >>??>?>>?；异项可除：00a b a b

d c d c

>>??>?<

（7）乘方法则：0a b >>n n

a b ?>（n ∈N ，1n ≥） （8）可开方性法则：0n

n a b a b >>?>（n ∈N ，2n ≥）

（9）倒数法则：

11

0a b ab a b

>??? 3.2 一元二次不等式及其解法

1、一元二次不等式定义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。使一元二次不等式成立的未知数的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集。 24b ac ?=- 0?> 0?= 0?<

20

ax bx c ++=()0a >的图像

20

ax bx c ++=()0a >的根

两个不相等的实数根

()12x x < 两个相等的实数根

()12x x =

没有实数根

20

ax bx c ++>()0a >的解集

{}12x x x x x <>或

2b x x a ??≠-???

?

R

20

ax bx c ++<()0a >的解集

{}1

2x x

x x <<

? ?

附：韦达定理 在函数2

0ax bx c ++=()0a ≠，则12b x x a +=-，12

c x x a

=.

3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域

1、平面区域：一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式0Ax By C ++>表示直线

0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线，以表示区域不包括

边界。不等式0Ax By C ++≥表示的平面区域包括边界，把边界画成实线。 2、平面区域的判定：一般地，当y kx b >+时，表示y kx b =+的上方区域； 当y kx b <+时，表示y kx b =+的下方区域。

3.3.2 简单的线性规划问题

3、线性规划有关概念：①在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称线性规划问题。②若约束条件是关于变量的一次不等式（方程），则成为线性约束条件。③要求最大（小）值所涉及的关于变量x ，y 的一次解析式叫做线性目标函数。④满足线性约束条件的解（x ，y ）叫做可行解，⑤由所有可行解组成的集合叫做可行域。⑥使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解。

3.4 基本不等式：2

a b

ab +≤

1、主要不等式：设a ，b ∈R ，则2

2

2a b ab +≥（当且仅当a b =时取“=”） 2、基本不等式：设0a >，0b >，则

2

a b

ab +≥（当且仅当a b =时取“=”

） 即两个整数的算术平均数不小于它们的几何平均数。变形：2a b ab +≥.

3、应用：22222ab a b a b ab a b ++≤≤≤+2

22

22a b a b

ab ++???≤≤

???

（a ，b ∈R ） 4、基本不等式的应用

（1）如果和x y +是定值S ，那么当且仅当2

S

x y ==时，积x y 有最大值24S ；

（2）如果积x y 是定值P ，那么当且仅当x y P ==时，和x y +有最小值2P .

应注意以下几点：

①各项或各因式必须为整数；

②各项或各因式的和（或积）必须为常数； ③各项或各因式能够取相等的值.

以上三个条件简称为“一正，二定，三相等”

射影定理：

①2

CD AD BD =?；②2

AC AD AB =?； ③2

CB BD AB =?.