2015年全国高考数学新课标1理数(word版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1.本试题分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至3页，第II 卷
3至5页。
1. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
2. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
（1）设复数z 满足z -+1z 1=i ，则z = （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2
（2）sin20°cos10°－cos160°sin10°=
（A ）－ 23 （B ）23 （C ）－ 21 （D ）2
1 （3）设命题P ：N n ∈?，n 2＞2n ，则?P 为
（A ）?n ∈N ，n 2＞2n （B ）N n ∈?，n 2≤2n
（C ）?n ∈N ，n 2≤2n （D ）N n ∈?，n 2＝2n
（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的
概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
（A ）0.648 （B)0.432 （C)0.36 (D)0.312
(5)已知00(,)M x y 是双曲线2:12
x C y -=上的一点，F 1,F 2是C 的两个焦点，若120MF MF ?<,则y 0取值范围是
（A)33(,)33- (B) 33(,)66- (C) 2222(,)33- (D) 2323(,)33
- (6)《九章算术》是我过古代内容极为丰富的数学名著，书中
有如下问题：“今有委米依内角，下周八尺，高五尺，问：
积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，
米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度长为8尺，
米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已
知一斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3.估算出米约有
A 14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛
（7）设D 为△ABC 所在平面内一点，BC=3CD ，则
（A) 1433AD AB AC =-+ (B) 1433
AD AB AC =-- (C) 4133
AD AB AC =-+ (D ）4133AD AB AC =-- （8）函数()cos()f x x ω?=+的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为
(A ）13,),44
k k k Z ππ-
+∈（ (B) 13,2),44
k k k Z ππ-+∈（2 (C) 13,),44
k k k Z -+∈（ (D) 13,2),44k k k Z -+∈（2
（9）执行右边的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=
（A ）5
（B ）6
（C ）7
（D ）8
10.23()x x y ++的展开式中，52
x y 的系数为
A.10
B.20
C.30
D.60
11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的
正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则r=（）
（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8
12设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中a ＜1,若存在唯一的整数
，使得 ＜0，则a 的取值范围是（）
（A)3[,1)2e - (B) 33[,)24
e - (C) 33[,)24
e (D) 3[,1)2e 13. 若函数为偶函数，则a=_________.
14.一个圆经过椭圆
的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程
为_________.
x-1≥0,
15.若x,y 满足约束条件 x-y ≤0, 则y\x 的最大值为_________.
x+y-4≤0,
16.在平面四边行ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75。， BC=2，则AB 的取值范围是_________.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
S n 为数列{}n a 的前n 项和.已知a n >0,2
n a +2a n =4S n +3. (1)求{}n a 的通项公式：
（2）设1
1n n
n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和， （18）（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD 为菱形，0120ABC ∠=, E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，
BE ABCD ⊥平面,DF ABCD ⊥平面,BE=2DF ，AE EC ⊥
(1)证明：AEC AFC ⊥平面平面
(2)求直线AE 与直线CF
所成角的余弦值。
（19）（本小题满分12分）
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售
量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响。对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i
（i=1，2,,....，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。
表中
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与y=c+d √x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x
的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程：
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z 与x,y 的关系为z=0.2y-x,根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费x 为何什是，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u 1, v 1）, （u 2, v 2）……（u n , v n ），其回归直线v=α+βu 的斜率和截距
的最小二估计分别为
（20）（本小题满分12分）
在直角坐标系xOy 中，曲线与直线交于M ,N 两点。
（Ⅰ）当k=0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程. （Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有
说明理由。
（21）（本小题满分12分） 已知函数21(),()ln .4
f x x ax
g x x =++=- （Ⅰ）当α为何值时，x 轴为曲线y =f (x )的切线；
（Ⅱ）用min(m ，n)表示m,n 中的最小值，设函数()min{(),()}(0),h x f x g x x =>讨论h (x )
零点的个数.
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答。注意：只能做所选定的题目。如
果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框
涂黑。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：计分证明选讲
如图，AB 是O e 的直径，AC 是O e 的切线，BC 交O e 与点E .
（Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是O e 的切线；
（Ⅱ）若3OA CE =，求ACB ∠的大小.
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线1:2,C x =-,圆221:1+2)1,C x y --=（
）（以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求C 1，C 2的极坐标方程；
(Ⅱ)若直线C 3的极坐标方程为=R)4
π
θρ∈（，设C 2与C 3的交点为M ,N ，求2C MN V 的面积。
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
（1）已知函数()12,0.f x x x a a =+-->
（2）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围。