2021届重庆市第一中学高三上学期期末考试数学(理)试题

2020届重庆市第一中学高三上学期期末考试数学（理）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B =

A ．(-∞，1)

B ．(-2，1)

C ．(-3，-1)

D ．(3，+∞) 2．复数21i i

-在复平面内对应的点为（ ） A ．()1,1--

B ．()1,1-

C ．()1,1-

D ．()1,1 3．已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =( )

A ．?8

B ．?6

C ．6

D ．8

4．圆224690x y x y +--+=的圆心到直线10ax y ++=的距离为2，则a =（ ）

A ．43-

B ．34-

C

D ．2

5．现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，则不同的站法有（ ） A ．12种 B ．24种

C ．36种

D ．48种 6．已知ln3x =，4log 2y =，12z e -=，则（ ）

A ．x y z <<

B ．z x y <<

C ．z y x <<

D ．y z x << 7．《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈.问半月积几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月(按30天计)共织布9匹3丈.问：前半个月(按15天计)共织多少布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，可估算出前半个月一共织的布约有（ ）

A ．195尺

B ．133尺

C ．130尺

D ．135尺

8．设m ，n 是两条不同的直线，α，β两个不同的平面.若m α⊥，n β⊥，则“m n ⊥”

是“αβ⊥”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

9．将函数sin(2)3y x π

=+的图像向右平移14

个周期后，所得图像对应的函数为()f x ，

则函数()f x 的单调递增区间为（ ）

A ．ππππk k k +

+∈Z 7[,]()1212 B ．[,]()63k k k Z ππππ-+∈ C ．5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ D ．[,]()36k k k Z ππ

ππ-+∈ 10．执行如下图所示的程序框图，输出的结果为（ ）

A ．202021-

B ．202022-

C ．202121-

D ．202122-

11．已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过2F 的直线交双曲线的右支于P ，Q 两点，若112PF F F =，且222QF PF =，则该双曲线的离心率为（ ）

A ．53

B ．73

C ．12

D 12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当[]2,0x ∈-时，()22f x x x =+，且当0

x ≥时，满足()()32f x f x =+，若对任意[]0,x x ∈+∞，都有()7144f x ≤

，则0x 的取值范围是（ ）

A ．17,4??+∞??

?? B ．23,4??+∞???? C ．11,2??+∞???? D ．15,2??+∞????

二、填空题

13．若x ，y 满足约束条件x y 102x y 10x 0--≤??-+≥??≥?，则x z y 2=-+的最小值为______． 14．在一次体育课定点投篮测试中，每人最多可投篮5次，若投中两次则通过测试，并停止投篮.已知某同学投篮一次命中的概率是23

，该同学心理素质比较好，每次投中与否互不影响.那么该同学恰好投3次就通过测试的概率是_______________.

15．()62111x x ?

?++ ???

展开式中2x 的系数为________． 16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*123n n n S a n N =-

∈，2020S =_______________.

三、解答题

17．在ABC 中，D 是BC 边上的点，3cos 5BAD ∠=

，cos 5

ADC ∠=-. （1）求sin B 的值；

（2）若22BD DC ==，求AC 的长. 18．某市一中学高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩（满分150分），现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示：

（1）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并据此判断甲乙两位同学的成绩谁更好？

（2）将同学乙的成绩的频率分布直方图补充完整；

（3）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，设选出的2个成绩中含甲的成绩的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望

.

19．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，AC BD O =，

PB AC ⊥，2PA PB AB CD ====，3AC =.

（1）证明：AC ⊥平面PBD ；

（2）点E 是棱PC 上一点，且//OE 平面PAD ，求二面角E AB D --的余弦值.

20．已知点()A ，)

B 是坐标轴上两点，动点P 满足直线PA 与PB 的斜率之积为3m （其中m 为常数，且3m >）.记P 的轨迹为曲线

C .

（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；

（2）过点A 斜率为()0k k >的直线与曲线C 交于点M ，点N 在曲线C 上，且

AM AN ⊥，若3AM AN =，求k 的取值范围.

21．已知函数()2

ln f x x x x x =+-. （1）设()()h x f x ='，（其中()f x '是()f x 的导数），求()h x 的最小值；

（2）设()()x a g x e x af x -=+-，若()g x 有零点，求a 的取值范围.

22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x r y r αα

?=??=+??(0r >，α为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 13πρθ?

?-= ???

，若直线l 与曲线C 相切. （1）求曲线C 的极坐标方程；

（2）在曲线C 上取两点M ，N 与原点O 构成MON △，且满足3MON π

∠=，求

MON △面积的最大值.

23．已知0a >，0b >，且222a b +=. (1)若2214211x x a b

+≥---恒成立，求x 的取值范围；

(2)证明：()55114a b a b ??++≥ ???

.

参考答案

1．A

【分析】

先求出集合A ，再求出交集．

【详解】 由题意得，{}{}23,1A x x x B x x ==<或，则{}1A B x x ?=<．故选A ．

【点睛】

本题考点为集合的运算，为基础题目．

2．B

【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数

21i i

-所对应点的坐标得答案. 【详解】 21i i -2(1)1(1)(1)

i i i i i +==-+-+，对应点为(1,1)-， 故选：B .

【点睛】

本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题. 3．D

【分析】

由已知向量的坐标求出a b +的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．

【详解】

∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-，又()a b b +⊥，

∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝8．

故选D ．

【点睛】

本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．

4．B

【分析】

配方求出圆心坐标，再由点到直线距离公式计算．

【详解】

圆的标准方程是22

(2)(3)4-+-=x y ，圆心为(2,3)，

2=，解得34a =-． 故选：B.

【点睛】

本题考查圆的标准方程，考查点到直线距离公式，属于基础题．

5．B

【分析】

甲、乙相邻捆绑作为一全元素，丙、丁不相邻用插入法．

【详解】

由题意不同站法数为：22222322624A A A =??=．

故选：B.

【点睛】

本题考查排列问题．涉及到相邻与不相邻问题，解题方法是相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法．

6．D

【分析】

x 大于1，12

y =

与z =都小于1，且可比较大小． 【详解】

1241log 212y e -==<=<，ln3ln 1e >=，∴y z x <<． 故选：D.

【点睛】

本题考查幂与对数的大小．幂与对数比较大小时，遵循能化同底的对数或幂化为同底比较，幂有时也化为同指数比较，不能转化的与中间值1或0等比较．

7．B

【分析】

抽象为数列问题，每天的织布数成等差数列，首项15a =，记公差为d ，由30390S =，求出15S ，然后对15S 估算近似值．

【详解】

解：9匹3丈为390尺，每天的织布数成等差数列，首项15a =，记公差为d

3030295303902

S d ?=?+

=，1629d =，151514161571615716155757575561312292930

S ?????=?+?=+>+=+=，15157167513528S ??<+=． 故选：B

【点睛】

本题考查等差数列的应用．解题关键是从实际问题中抽象出数列问题．

8．C

【解析】

【分析】

根据充分条件、必要条件的判定方法进行分析，进而可得结论．

【详解】

由题意得，当,m n αβ⊥⊥，且m n ⊥时，则必有αβ⊥；反之，当αβ⊥，,m n αβ⊥⊥时，则必有m n ⊥，

所以当m α⊥，n β⊥时，则“m n ⊥”是“αβ⊥”的充要条件．

故选C ．

【点睛】

判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ．对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，可借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．

9．B

【解析】

【分析】

由题意知()sin[2()]sin(2)436f x x x πππ=-

+=-，然后利用正弦函数的单调性即可得到单调区间。

【详解】 由题意知22T ππ==，故向右平移14个周期，即向右平移4

π 个单位，所以()sin[2()]sin(2)436

f x x x πππ=-+=-， 令222262k x k πππππ-

≤-≤+ ()k ∈Z ， 所以63k x k πππ

π ()k ∈Z ，故选B 。

【点睛】

本题考查三角函数的平移变换，求正弦型函数的单调区间，属基础题。

10．D

【分析】

模拟程序运行，观察变量值的变化，判断循环条件．确定程序功能．

【详解】

模拟程序运行，程序功能是求数列的和，最后输出结果是： 22020202122222S =++

+=-．

故选：D.

【点睛】 本题考查程序框图，解题时可模拟程序运行，观察变量值的变化，判断循环条件，得出结论．对循环次数较多的程序，可确定程序的功能，从而得出结论．

11．A 【分析】 把1PQF ?中的线段121212,,,,PF PF QF QF F F 根据已知条件和双曲线的定义用

,a c 表示出来，然后通过2121cos cos PF F QF F ∠=-∠建立等式，变形后可求得离心率．

【详解】 解：12PF c =，122PF PF a -=，得222PF c a =-，22244QF PF c a ==-，故142QF c a =-，2121cos cos PF F QF F ∠=-∠，

222222

(22)(2)(2)(44)(2)(42)2(22)22(44)2c a c c c a c c a c a c c a c

-+--+--=---， 222

222

16()44(2)(22)(2)(2)2c a c c a c a c c -+---+-=-， ()()()222248222c a c a c c a -=---+-()()22212222c a c c a -+=-，

223850c ac a -+=，23850e e -+=，53

e =或1e =（舍）． 故选：A.

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于,a c 的等式．本题结合已知条件分析，在1PQF ?中利用2121cos cos PF F QF F ∠=-∠可建立关系式．

12．B

【分析】

由奇函数性质求出[]0,2x ∈时函数解析式，并求出此时函数最大值，然后根据当0x ≥时，函数满足()()32f x f x =+，确定 ()f x 在区间[2,4],[4,6],[6,8]等上的解析式与最值，分析何时开始()7144f x ≤

恒成立，然后再找满足题意的0x ． 【详解】

解：任取[]

0,2x ∈，则[]2,0x -∈-，()()()22f x x x -=-+-，()f x 是奇函数，故()()2202f x x x x =-+≤≤，此时()()max 11f x f ==；当0x ≥时，()()123f x f x +=

，任取[]2,4x ∈则[]20,2x -∈，211()(2)[(2)2(2)]33

f x f x x x =-=--+-，此时max 1()(3)3

f x f ==； 当[4,6]x ∈时，2[2,4],4[0,2]x x -∈-∈，

211111()(2)(4)(4)(4)2(4)33399

f x f x f x f x x x ??=

-=?-=-=--+-??，此时()()max 159

f x f ==； 同理当[]6,8x ∈时，()()()2162627f x x x ??=--+-??，此时()()max 1727f x f ==；

而171914427>>，故存在[]05,6x ∈使得()07144

f x =，此时21()(4)2(4)9f x x x ??=--+-??，令217(4)2(4)9144x x ??--+-=??解得234

x =. 故选：B.

【点睛】

本题考查函数的解析式与函数的最值，考查函数的奇偶性．难点在于根据条件求出2x ≥时的函数解析式，求出相应区间内的最大值．

13．-1

【解析】

【分析】

画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数1z x y 2

=-

+的最小值． 【详解】 画出约束条件102100x y x y x --≤??-+≥??≥?

表示的平面区域如图所示，

由图形知，当目标函数1z x y 2=-+过点A 时取得最小值，由{

x 0x y 10=--=，解得()A 0,1-，代入计算()z 011=+-=-，所以1z x y 2

=-

+的最小值为1-． 故答案为1-．

【点睛】 本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是基础题．

14．827

恰好投3次就通过测试这个事件分解为第三次抽中，前两次一次投中一次不中．由此计算概率．

【详解】

恰好投3次就通过测试，即前两次一次投中一次不中，第三次投中． 由相互独立事件的概率公式，得121228()33327P C =???

=． 故答案为：

827

． 【点睛】

本题考查相互独立事件同时发生的概率．确定事件如何发生是解题关键．

15．30

【分析】

先将问题转化为二项式6(1)x +的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第1r +项，令x 的指数分别等于2，4，求出特定项的系数．

【详解】 由题可得：()62111x x ?

?++ ???

展开式中2x 的系数等于二项式6(1)x +展开式中x 的指数为2和4时的系数之和，

由于二项式6(1)x +的通项公式为16r r r T C x +=，

令2r

，得6(1)x +展开式的2x 的系数为2615C =， 令4r =，得6(1)x +展开式的4x 的系数为4615C =， 所以()62111x x ??++ ???

展开式中2x 的系数151530+=， 故答案为30.

【点睛】

本题考查利用二项式展开式的通项公式解决二项展开式的特定项的问题，考查学生的转化能力，属于基础题．

16．202011443

-?

在2n ≥时，利用1n n n a S S -=-得出数列的递推关系式123n n n

a a -+=，这样我们在求数列和时只要从第一项开始两项并一组，变可以求得偶数项和．而题中求2020S 正好可求。

【详解】

解：当1n =时有11123a a =-得113a =-，当2n ≥时，111123

n n n S a ---=-①，又123n n n S a =-②，②－①得1111233n n n n n a a a --=-+-整理得123

n n n a a -+=；于是2n =得21223a a +=，4n =得43423a a +=，6n =得65623a a +=，…，20182017201823

a a +=，20202019202023

a a +=； 101020202462016201820202202012222221119211133333334319

S ??????=++

++++=?-=- ? ? ?

?????

??-． 故答案为：202011443-?． 【点睛】

本题考查由数列前n 项和n S 与项n a 的关系求通项，考查并项求和，考查等比数列的前n 项和公式．虽然考查知识点较多，但顺着题求解也较容易，属于中档题．

17．（1

）sin =

5B （2）AC =【分析】

（1）已知ADC ∠就量已知ADB ∠，ABD

?中已知两内角的余弦，再求出正弦后由两角和的正弦公式及诱导公式可得sin B ；

（2）在ADB ?中先求出AD ，然后在ADC ?中由余弦定理可得AC ．

【详解】

解：（1）cos cos()cos ADB ADC ADC π∠=-∠=-∠=

()0,ADB π∠∈，sin 5ADB ∴∠=

3cos 5BAD ∠=，(0,)BAD π∠∈，4sin 5

BAD ∴∠=.

sin sin[()]sin()B BAD ADB BAD ADB π∴=-∠+∠=∠+∠，

43sin cos cos sin 55BAD ADB BAD ADB =∠∠+∠∠=+= （2）在ABD △中，由正弦定理得：sin sin AD BD B BAD =∠

245=

，AD ∴=在ADC

中，由余弦定理得

2222cos 51218AC AD DC AD DC ADC =+-??∠=++=

，AC ∴= 【点睛】 本题考查两角和与差的正弦公式，同角间的三角函数关系，考查正弦定理和余弦定理．在三角恒等变形时，研究未知角和已知角的关系很重要，本题第一小题如果用外角和定理，只要用两角差的正弦公式即可求解，可避免用诱导公式．

18．（1）甲的中位数是119，乙的中位数是128，乙的成绩更好 （2）见解析 （3）分布列见解析，数学期望为0.8

【分析】

（1）按大小顺序排好后，第10个数和第11个数的平均数是中位数；

（2）计算频率及频率除以组距后可画出频率分布直方图；

（3）不低于140分的有5个，ξ取值依次为0，1，2，求出概率得分布列，再由期望公式求得期望．

【详解】

解：（1）甲的中位数是119，乙的中位数是128，乙的成绩更好

（2）乙频率分布直方图如下图所示

（3）甲乙不低于140分的成绩共5个，则ξ的取值为0，1，2

23253(0)10C P C ξ===；1123256(1)10C C P C ξ===；2225(121)0

C P C ξ=== 所以ξ的分布列为

()3610120.8101010

E ξ=?

+?+?= 【点睛】 本题考查茎叶图，中位数，考查频率分布直方图，考查随机变量的频率分布直方图，属于中档题．本题还考查了学生的数据处理能力．

19．（1）证明见解析 （2）

3 【分析】

（1）在等腰梯形ABCD 中证明AC BD ⊥后可得线面垂直；

（2）先证PO ⊥平面ABCD ，然后以,,OA OB OP 为坐标轴建立空间直角坐标系．用向量法求二面角．

【详解】

（1）证明：等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，OAB OCD ∽△△，2OA AB OC CD

∴==，又3AC =，2OA OB ∴==

，1OC OD ==，于是222OA OB AB +=，则OA AB ⊥，即AC BD ⊥

又PB AC ⊥且BD PB B =，AC ∴⊥平面PBD

（2）连结PO ，由（1）知AC ⊥平面PBD ，AC PO ∴⊥，2PO ∴== 222PO BO PB =＋，即PO BO ⊥，且BO AC O ?=，故PO ⊥平面ABCD

如图建立O xyz -直角坐标系，平面ABD 的法向量()0,0,1m =

//OE 平面PAD ，OE ?平面PAC ，平面PAC 平面PAD PA =

OE PA ∴，而O 为AC 的三等分点E ∴是PC 三等分点

()2,0,0A ，()0,2,0B ，()1,0,0C -，()0,1,0D -，()0,0,0O

()002P ,,，201,,3E ?-? ???，在ABE △中，()2,2,0AB =-，5,0,12

AE ??=- ???， 设()000,,n x y z =为其法向量，则有0

0AB n AE n ??=??=?，解得()1,1,4n =

设求二面角E AB D --的平面角为θ，则cos

3||||1n m n m θ?====+ 【点睛】

本题考查线面垂直的证明，考查用向量法求二面角．解题关键是建立空间直角坐标系．

20．（1）()22

103

x y y m +=≠，曲线C 表示去掉左右顶点，焦点在x 轴上的椭圆 （2）

3k <<

【分析】 （1）直接设点(),P x y ，由斜率之积列式得轨迹方程，根据参数范围得曲线，注意范围．

（2）AM 的方程为(y k x =，与椭圆方程联立求出M 点坐标，同理可得N 点坐标，由3AM AN =得出,m k 的关系．由3m >可得k 的范围．

【详解】

解（1）设点(),P x y

，PA k =

，PB k =，223PA PB y k k x m m ==--，整理2233my x m =-+即2

233x my m +=，得22

13x y m +=，因直线PA 与PB 的斜率存在，故0y ≠

()22

103

x y y m +=≠为所求轨迹方程； 因为3m >，曲线C 表示去掉左右顶点，焦点在x 轴上的椭圆

（2）AM

的方程为(y k x =+

，联立(22

13x y m y k x ?+=???=?并整理得

(

)22222

3230mk x x m k m +++-=

解得x =

或x =

，22233AM mk mk -=+=++ AN

的方程为(y k x '=

，同理可得2||3AN mk ='

+，把1k k '=-

带入得3AN k ==+因为3AM AN =

，所=因0k >

，23mk =+23933k m k mk +=+整理得23933k k m k -=- 而3m >，则239333k k k ->-，23313

k k k ->-． 2333303k k k k --+>-，3233303k k k k -++<-，3233(1)03

k k k k +-+<-，223(1)3(1)03

k k k k +-+<-，

()()()231330k k k --<＋，210k +>，得()()3330k k --<，

(

2

(3)(0k k k -<

，20k >，得()(30k k -<，解

3k <<.

【点睛】

本题考查直接法求轨迹方程，考查直线与椭圆相交问题．本题在直线与椭圆相交时，直接由直线与椭圆方程联立解方程组得交点坐标，计算弦长．考查了学生的运算求解能力． 21．（1）()min 1ln 2h x =+ （2）1a ≥

【分析】

（1）求导数，得()h x ，对()h x 再求导，由导数单调性得最小值；

（2）由（1）知()0f x >，因此在0a ≤时，()g x 无零点，在0a >时把()g x 函数整理为a 的函数：221()(ln )()(ln )()x a

x a g x e x a x x x x e a x x x x x a e

?-=+-+-=?-+-+=，因2–xln 0x x x +>，101e <<，故()a ?是a 的减函数，再分类讨论01a <<，()(1)a ??>， ()12121ln ln x x e x x x x x e x x x ?--=--++=-+，令(1)()p x ?=，利用导数知识说明函数无零点，1a =有一个零点，1a >时，用零点存在定理说明函数有零点．为此只要证明(1)0g <，2()0a g e >即可．

【详解】

解：（1）()1

21(ln )21f x x n x x x x x

'=+-+?=-，()2ln h x x x =-，定义域为()0,∞+ ()1212x h x x x -'=-

=，102x <<时，()0h x '<，()h x 单减；12

x >时，()0h x '>，()h x 单增 ()min 111ln 1ln 222h x h ??==-=+ ???

． （2）①故当0a ≤时，由（1）知()()1ln 20h x f x '=≥+>，故()2–ln f x x x x x =+单增，当1x ≥时，()()120f x f ≥=>；当01x <<时，ln 0x x <，20x x +>，故()0f x >；而0x a e x -+>，故0a ≤时，()()0x a g x e x af x -=+->，此时()0g x =无解；

221()(ln )()(ln )()x a x a g x e x a x x x x e a x x x x x a e

?-=+-+-=?-+-+=，因2–xln 0x x x +>，101e

<<，故()a ?是a 的减函数 ②当01a <<时，()()12121ln ln x x a e

x x x x x e x x x ??-->=--++=-+， 令()12ln x p x x e x x -=-+，显然()10p =()1–2ln 1x p x e x x -'=++，()10p '=，

11111()2(1)122220x p x e x x x x x x x

-''=-+-+-+=+-?-=，函数()p x '单调递增 又()10p '=，故01x <<时，()0p x '<，()p x 单减；1x >时，()0p x '>，()p x 单增，

故()()min 10p x p ==，()()()10a p x ??>=≥，此时()0g x =无解；

③当1a =时，()()g x p x =，此时()()110g p ==，即()0g x =有零点；

④当1a >时，()()()()1g x a p x ??=<=，令1x =有()()110g p <=，下证存在0x 使得()00g x >，

()()()()2ln –ln 1ln 11ln x a x a x a x g x e x a x x x x e x xa x x x e a x x ----=+-+=+-++=+-+-????

()()ln 011ln 0x a x g x e a x x -->?-+->＋，令()()ln 11ln x a x h x e a x x --=+-+-， 令2a x e =，则()()()2222ln 223211ln 112a a a a e a e a a e a a h e e a e e e a e a ---=+-+-=+-+- ()223223221212a a e a a e a a e

ae a a e ae a a --=+--+=-+-+，而2120a a -+>，只需2320a e

a a e ae --≥ 23222232322200ln ln 3ln 2ln 5a a a e

a a a a e a a a a e ae e ae e ae e a a a e a a

----≥??≥?≥?-≥+?≥+ 记()2–ln 5a p a e a a =-，21()25a p a e a

'=--单增，()()21250p a p e '>=->，故()p a 单增

()()2150p a p e >=->，故存在20a x e =，使得()00g x >，由前()10g <，故()0g x =在()21,a e 有解.

综上所述，当1a ≥时，()0g x =有零点