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《测试技术》(第二版)课后习题答案-贾民平_

测试技术与信号处理

习

题

解

答

授课教师：陈杰来

第一章习题（P29）

解：

（1）瞬变信号－指数衰减振荡信号，其频谱具有连续性和衰减性。（2）准周期信号，因为各简谐成分的频率比为无理数，其频谱仍具有离散

性。

（3）周期信号，因为各简谐成分的频率比为有理数，其频谱具有离散性、

谐波性和收敛性。

解：x(t)=sin2t f 0π的有效值（均方根值）：

/1)4sin 41(21)4sin 41(21)4cos 1(212sin 1)(1000

000

020

000=-=

-==

T f f T T t

f f T T dt t f T dt t f T dt t x T x T T T T rms ππππππ

解：周期三角波的时域数学描述如下：

（1）傅里叶级数的三角函数展开：

，式中由于x(t)是偶函数，t n 0sin ω是奇函数，则t n t x 0sin )(ω也是奇函数，而奇函数在上下限对称区间上的积分等于0。故

=n b 0。

因此，其三角函数展开式如下：

其频谱如下图所示：

T 0/2

-T 0/2

x (t ) t

. . . . . .

????????+≤

≤-≤≤-

+=)

02022)(000

0nT t x T t t T A

A t T t T A A t x 2

1)21(2)(12/0002/2/00000=

-==??-T T T dt t T T dt t x T a ??-==-2/000

/2/00000

cos )21(4cos )(2T T T n dt t n t T T dt t n t x T a ωω?????==== ,6,4,20

,5,3,14

2sin 422222n n n n n π

ππ?-=2

/00

00sin )(2T T n dt

t n t x T b ω∑∞

=+=102

cos 1

21)(n t n n

t x ωπ

∑∞

=++=102

2)2sin(1

421n t n n

πωπ

(n =1, 3, 5, …）

（2）复指数展开式

复指数与三角函数展开式之间的关系如下：

故有

)( 2

1=21212

n 2

2000=-===+=

===n

n n e n m n n n n n a b

arctg C R C I arctg a A b a C a A C φ 0

A (ω)

ω0 3ω0 5ω0 0

ω0 3ω0 5ω0 ? (ω)

π2

94π

2254π

1 2

π C 0 =a 0

C N =(a n -jb n )/2 C -N =(a n +jb n )/2 R e C N =a n /2 I m C N =-b n /2

)

1212

00n n n e n m n n n n n a b

arctg C R C I arctg A b a C a A C -===+=

==φ R e C N =a n /2

?????====

,6,4,20

,5,3,12

2sin 22222

2n n n n n πππ

I m C N =-b n /2 ＝0

单边幅频谱单边相频谱

0 ω

n φ

ω0 3ω0 5ω0 -ω0 -3ω0 -5ω0 0 ω

ω0 3ω0 2

92π

2252π

5ω0 -ω0 -3ω0 2

92π 2

252π -5ω0 22

0 ω

I m C n

ω0 3ω0 5ω0 -ω0 -3ω0 -5ω0 0 ω

R e C n

ω0

3ω0 2

1 2

92π

2252π

5ω0 -ω0 -3ω0 292

π 2

252π

-5ω0 2

虚频谱

双边相频谱

实频谱

双边幅频谱

解：该三角形窗函数是一非周期函数，其时域数学描述如下：

用傅里叶变换求频谱。

T 0/2 -T 0/2

x (t )

??????

?≤

≤-≤≤-

+=2

0210221)(0

T t t T t T t T t x ?

---∞

∞

-==2

/2200)()()(T T ft j ft

j dt

e t x dt e

t x f X ππsin 2sin 2

sin 21]cos 1[1]11[21]

[2122]}

1[]21{[21})]21()2

1[()]

21()2

1{[(21]

)21()21([21)21()21(0200

20220

02202

/22/0

2002

/20

2/202

22/02002/20

2/02002/20

200

0000000000000fT c T fT T fT T f fT T f e e T f e e f

j fT j dt e T dt e

T f j t T d e e t T t T d e

e t T

f j de t T de t T f j dt

e t T dt e t T fT j fT j T ft

j T ft

j T ft j T ft

j T ft

j T ft j T ft

j ππππππππππππππππππππππππππ?=?

=?=-=

+---=--?-=-

++--=+

-++----=++--=++-=

-------------------?

????

解：

方法一，直接根据傅里叶变换定义来求。

X (f )

T 0/2

2 T 0

6 T 0

?(f )

0 2 T 0 4 T 0 6 T 0

2 T 0 4 T 0 6 T 0

4 T 0

方法二，根据傅里叶变换的频移特性来求。单边指数衰减函数：

其傅里叶变换为

???≥><=-0

,000

)(t a e

t t f at

)

(10

)()()(ωωωωωωωω+-=+=

∞

+-?=

?==----∞

-∞

∞-?

a j a j a j a e e dt

e e dt e t

f F t j at t j at t j ω

ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωa j a j a j a j j j a e j j a e j dt e e j dt

e e j

e dt e t e dt e t x X t j j a t j j a t j j a t j j a t j t j t j a t j at t j 2])

(1)(1[2]

)()([2)[2)(2

sin )()(22

000

0)(00)()()(0)(0

000000+-+=-+-++=-++++-=-=-?=?==∞-+-∞++--+-++-∞-+-∞

--∞

-∞

∞

-??

arctg

a F ωωφωω-=+=

)(1)(2

根据频移特性可求得该指数衰减振荡函数的频谱如下：

ω0

ω-)

(ωF 0

)

(ωX 1/a

21 a

21 根据频移特性得下列频谱

ωωωωωωωωωωωωωa j a j a j a j F F j

t t f FT X 2])

(1)(1[21)]

()([21

]sin )([)(22

00000+-+=++--+=+--==ω

)]()([2

00ωωωω++-F F

解：利用频移特性来求，具体思路如下：

当f 0

f 0

A/2

解：

)]

([t w FT ]

[cos 0t FT ω0

0ω0

ω-卷积

(ωW ω

210

)

(ωX 0

ω0

ω-ω

w (t )

-T

1 cos ω0t

]

cos )([0t t w FT ωt

t w t x 0cos )()(ω=

由于窗函数的频谱 )(sin 2)(T c T W ωω=，所以

其频谱图如上图所示。

解：

ππππμ

/2]

2cos 2cos [1

]

)2sin (2sin [1)(10000000

/02/0002/02

000

=+-=-+==???

T T T T T T T t

f t f T dt f dt f T dt

t x T x

2/1)4sin 41(21)4cos 1(212sin 1)(1

)(0

000000

020

2=-=-===

T T T T rms x

t f f T T dt

t f T dt

t x T x ππππψ

])(sin )([sin )]()([2

)(0000T c T c T W W X ωωωωωωωωω++-=++-=

解：

代入上式，则得

＝令＝是余弦函数的周期，式中，θφωω

π+t /2T T

ωτθωτθθπ

τπ

cos A 2

]cos[cos 2A )(220

　＝＋＝

d R x

若x(t)为正弦信号时，)(τx R 结果相同。

3000

)5050sin (3000lim )50sin()60(lim )0(0

2====ψ→→τ

τττ

ττx x R -

ττττττa at a T

a at T T

t a at T T

T x e a

A e e a

A dt

e e A dt

Ae Ae dt

t x t x R -∞

----∞→+--∞→-∞→=-

=?=?=+=?

2)21(lim lim

)()(lim )(20

220

)(??++++=T T

x dt t t T dt

t x t x T R 0

])(cos[)cos(A 1)()(1)(φτωφωττ＝周期代替其整体，故有

对于周期信号可用一个

解：

S ＝S 1S 2S 3=80nc/MP a ×0.005V/nc ×25mm/V=10 mm/ MP a △P=△x/S=30mm/10(mm/ MP a )=3 MP a

解：

S ＝S 1S 2=404×10-4Pc/Pa ×0.226mV/Pc=9.13×10-3mV/Pa

S 2=S/S 1=Pc/Pa

10404mV /Pa 10104-6??= 2.48×108

mV/Pc

解: τ=2s, T=150s, ω=2π/T

300－9965.0×100=200.35℃ 300＋9965.0×100=399.65℃ 故温度变化范围在200.35~399.65℃.

9965

.0)

150/4(11)

(11)(2

=+=

πωτωA

解: τ=15s, T=30/5=6s, ω=2π/T

h 高度处的实际温度t=t 0-h*0.15/30

而在h 高度处温度计所记录的温度t ‘＝A(ω)t ＝A(ω)（t 0-h*0.15/30）由于在3000m 高度温度计所记录的温度为－1℃，所以有

－1= A(ω)（t 0-3000*0.15/30）求得 t 0=－0.75℃

当实际温度为t ＝－1℃时，其真实高度可由下式求得：

t=t 0-h*0.15/30，h=(t 0- t)/0.005=(-0.75+1)/0.005=50m

解： (1)

则 τ≤7.71×10－4 S (2)

?(ω)= -arctg ωτ = -arctg （41071.7250-???π）= －13.62°

0635

.0)

6/215(11)

(11)(2

=?+=

πωτωA %

10)

2100(111)

(111)(1)(2

≤?+-

=+-

=-=?πτωτωωA A %

81.2)

1071.7250(11

(111)(1)(2

≤???+-

=+-

=-=?-πωτωωA A

解：τ

＝0.04 S ，

（1）当f=0.5Hz 时，

（2）当f=1Hz 时，

（3）当f=2Hz 时，

解：τ＝0.0025 S

则 ω＜131.5（弧度/s ）或 f ＜ω/2π＝20.9 Hz

相位差：?(ω)= -arctg ωτ = -arctg (0025.05.131?) = －18.20°

解：f n =800Hz, ξ=0.14, f=400 5.0800/400/===n n f f ωω

)2(111)(111)(1)(τπωτωωf A A +-

=+-

=-=?%

78.0)

04.05.02(11

1)(111)(1)(2

=??+-

=+-

=-=?πωτωωA A %

02.3)

04.012(11

1)(111)(1)(22=??+-

=+-

=-=?πωτωωA A %

65.10)

04.022(11

(111)(1)(22=??+-

=+-

=-=?πωτωωA A %

0025.0(111)

(111)(1)(2

≤+-

=+-

=-=?ωωτωωA A ()

57.105.015.014.0212)(22

-=-??-=--=arctg arctg

n n ωωωωξω?()[]

()[]

()

.15.014.045.011

411

)()(2

2=??+-=

+-==n n

H A ωωξωωωω

解：由得

)(47.2)1094.4(5100321格变化格数 ±=?±??=?-C S S

解：

由S u =U 0/a , S q =Q/a 得：S u / S q =U 0/Q= c

a C C +1

C a R a C c R i C i

000δεεδδA

C C S ==??=

)

(1094.4)(1094.43.0/)101(41085.813152

62122

00PF F A C ----?±=?±=?±?????-=?-

=?πδδεεc

a C C Q C Q U +=

4－9

4－10

解： (1）半桥单臂

2mv

2102000241

2000v 22102241

26060＝时，＝当＝时，＝当－－????=????=

u u μεεμμεε （2）半桥双臂 4mv

2102000221

2000v 4210222

26060＝时，＝当＝时，＝当－－????=????=

u u μεεμμεε

)(12

/)(5.04

/000000V u R R u ，S

V u R R u S i 双

i 单==?=

==?=

半桥双臂是半桥单臂灵敏度的两倍。

解：均不能提高灵敏度，因为半桥双臂灵敏度i u R R u S 2

)/(0=?=，与供桥电压成正比，与桥臂上应变片数无关。

i o u S u R R u ε2

200=?=

i o u S u R R u ε4

400=?=

解：

得全桥输出电压：

，由已知：t E u t B t A t 10000sin 100cos 10cos )(0=+=ε

t B t A SE t t SE u S u R R

u y 10000sin )100cos 10cos (10000sin )(00+==?=

　＝εε

得电桥输入和输出信号的傅里叶变换：

)]

2100

()2100([2)]210()210([2)]()([2

)]()([2)(02020101π

δπδπδπδδδδδε-+++-++=-+++-++=

f f B f f A f f f f B

f f f f A f

0电桥输出信号的频谱，可以看成是)(t ε的频谱移动到±f 0处。

电桥输入与输出信号的频谱图如下图所示。

本量题也可用三角函数的积化和差公式来计算：

SEA/4

SEB/4

-(ω0+10) -ω0

-(ω0+100) -(ω0-10)

-(ω0-100) －SEB/4

－SEA/4

ω0+100

ω0-10

ω0-100 ω0+10 ω0

ω0=10000

ImU y (ω)

A/2

B/2

100

－100 －10 10 Re ε(ω)

)]

()([22sin 000f f f f j

t f --+?δδπ)]()()()([2

2sin )(000f f f X f f f X j

t f t x -*-+*?δδπ )

(*)()()(f Y f X t y t x ?根据　

]

)10010000sin()10010000[sin(2

1])1010000sin()1010000[sin(21100cos 10000sin 10cos 10000sin 10000sin )100cos 10cos (10000sin )(10000sin 100cos 10cos )(000t t SEB t t SEA t

t SEB t t SEA t t B t A SE t

t SE u S u R

R u t

E u t B t A t y ++-+++-=+=+==?==+= ＝得全桥输出电压：

，由已知：εεε[注：β

αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαsin cos cos sin )sin(,sin sin cos cos )cos()]

cos()[cos(2

1cos cos )],sin()[sin(21cos sin ±±±++-=++-=＝＝

解：调幅波中所包含的各分量的频率及幅值大小：

]

)3(2cos )3(2[cos 10])(2cos )(2[cos 152cos 1002cos 6cos 202cos 2cos 302cos 1002cos )6cos 202cos 30100()(11111111t f f t f f t f f t f f t f t f t f t f f t f t

f t f t f t x c c c c c c c c c a -+++-+++=++=++=πππππππππππππ

调制信号与调幅波的频谱分别如下图所示。

-10.5

-10 -11.5

-9.5

-8.5

f (kHz) 5 5 7.5

7.5 50

9.5

10 8.5

10.5

11.5

5 5 7.5 7.5 50

ReU y (f)

100

f (kHz)

1.5

－1.5

－0.5 0.5

10 15

10 ReX(f)