非线性振动理论中的非线性模态对应原理探讨
收稿日期:2002208210
基金项目:中国工程物理研究院重大预研基金资助项目(2000Z0307)
作者简介:赵荣国(1974-),男,博士生.
文章编号:025822724(2002)S 20020206
非线性振动理论中的非线性模态对应原理探讨
赵荣国1,2,
徐友钜1,陈忠富2(1.中国工程物理研究院结构力学研究所,四川绵阳621900;2.中国工程物理研究院研究生部,四川绵阳
621900)摘 要:提出了非线性振动理论中的非线性模态对应原理,并给出了该原理的证明。非线性模态对应原理指出:无论非线性振动系统具有相似模态还是具有非相似模态,n 个自由度的非线性振动系统至少具有n 个非线性模态,且这n 个非线性模态形式上对应于该非线性振动系统对应的线性振动系统的n 个线性模态。算例表明该原理能够用于寻求非线性振动系统中形式上与相应线性系统的线性模态相对应的非线性模态。
关键词:非线性振动理论;模态分析;非线性模态;线性模态
中图分类号:O322 文献标识码:A
Nonlinear Mode Correspondence Principle in Nonlinear Vibration Theory
ZHA O Rong 2guo 1,2,X U You 2j u 1,CH EN Zhong 2f u 2
(1.Institute of Structural Mechanics ,China Academy of Engineering Physics ,Mianyang ,621900China ; 2.Graduate School ,China Academy of Engineering Physics ,Mianyang 621900,China )
Abstract :In this paper ,the nonlinear mode correspondence principle in nonlinear vibration theory is proposed and proved.The principle suggests that a nonlinear vibration system with n 2degrees of freedom has no less than n 2nonlinear modes that correspond to n 2linear modes of the corresponding linear vibration system ,no matter the nonlinear vibration system possesses either similar normal modes or dissimilar ones.The calculation example shows that the proposed principle can be applied to seeking the nonlinear modes that are corresponding to the linear mode of the corresponding linear system of the nonlinear one.
K ey w ords :theory of nonlinear oscillation ;modal analysis ;nonlinear modes ;linear modes
非线性模态的研究始于20世纪50年代末期,它从一开始就与工程应用的需要密切相关。非线性模态最早的研究应从Kauderier [1]的工作算起。而非线性模态的概念是Rosenberg [2～5]在对离散、无阻尼、保守非线性系统的自由振动进行研究时引入的,他认为非线性模态是一种运动,并根据这种运动在系统构形空间中是对应通过平衡位置处的直线段还是曲线段,将非线性模态分为相似模态和非相似模态。非线性模态的分岔,主要指模态数目的变化及一种模态向另一种模态的转化,还包括全局分岔和混沌。Vakakis [6～8]与K ing [9]对一类两自由度质量弹簧非线性保守系统相似模态数目的变化、不同类型模态间的转化、分岔解的局部稳定分析以及低能与高能情况下的全局动力学进行了系统的研究。非线性模态最重要的特点是系统的模态数目可以超过自由度数,因而,模态数目的变化是30多年来人们研究最多的一种非线性模态分岔。刘练生等[10]运用Rosenberg 非线性模态理论得到了非线性保守系统、非线性自治系统和非线性非自治系统的模态包含原理,但他们的研究中没有指出“非线性系统中包含的线性模态”和“相
第37卷 增刊2002年11月 西 南 交 通 大 学 学 报J OURNAL OF SOU THWEST J IAO TON G UN IV ERSIT Y
Vol.37 Suppl.Nov.2002
应线性系统的线性模态”的区别。此前,刘练生等[11]曾运用摄动法给出了一个非线性模态稳定性判据,利用该判据可发现“非线性系统中包含的线性模态”可能是不稳定的,这说明有必要将“非线性系统中包含的线性模态”和“相应线性系统的线性模态”加以区分。模态数目的变化是非线性模态分岔研究的重点,对于非线性系统,其模态数不会小于它的自由度数。文中在文献[1～11]的基础上,得到了具有相似模态的非线性振动系统的非线性模态对应原理,并将其推广至具有非相似模态的非线性振动系统。1 非线性模态对应原理
设非线性振动系统的动力学方程的一般形式为
¨x +
5V 5x =0(1)式中势能函数V 为
V =V (x )x ∈R n (2)
式中x 为广义坐标,且V (-x )=V (x ),V ∶R n →R 为非线性映射。
在齐次系统中,势能V (x )为齐次的,其次数k ≥2。在这种情况下,Rand [12]已证明了系统具有的相似模态的最少个数。Rand [13]还研究了V (-x )≠V (x )的情况。
令f (x )=5V /5x ,则式(1)可化为
¨x +f (x )=0x ∈R n (3)
式中:x 为n 维向量,原点选在静平衡位置;f ∶R n →R n 为c r 类非线性映射。
根据Rosenbery [2～5]的定义,非线性保守系统的非线性模态是一种运动,所有质点都以同一周期运动,并在同一时刻通过平衡位置和达到位移最大值,质点x 的位移可表示为
x =φ(ξ
)ξ∈R (4)式中:ξ为非线性系统的主坐标;φ∶R →R n 为单胞映射,且满足
φ(0)=0(5)
当φ为非线性映射时,对应非线性系统的非相似模态;当φ为线性映射时,对应非线性系统的相似模态。相似模态的关系式可表示为
x =c ξc ∈R
n (6)对于非相似模态,式(4)中至少有一个x i (i =1,2,…,n )是非线性函数。
大部分文献只研究了相似模态,如Anand [14],Vito [15],Y en [16]和Month 等[17]的工作。他们的研究表明:相似模态的轨道取决于势能中的参数,而与能量无关,因此给势能的摄动可能导致相似模态的出现或消失。Johnson 和Rand [18]指出非相似模态的周期和模态数与能量有关。一般来说,非线性模态数不存在
上限。由式(1)中的V (x )=V (‖x ‖)知,V (x )为‖x ‖的凸函数,它有不可数无数个模态。然而,对于
非线性振动系统,非线性模态数的下限是存在的。一般来说,n 个自由度的非线性系统至少有n 个非线性模态。刘练生等[10]将Rosenberg 相似模态理论推广到非线性自治系统和非线性非自治系统,证明了Rosenberg 相似模态理论对于非线性自治系统和非线性非自治系统仍然适用,并给出了非线性保守系统模态包含原理、非线性自治系统模态包含原理和非线性非自治系统模态包含原理。将上述结论加以综合与推广,可得到如下的非线性模态对应原理:无论非线性振动系统具有相似模态还是具有非相似模态,n 个自由度的非线性振动系统至少具有n 个非线性模态,且这n 个非线性模态形式上对应于该非线性振动系统对应的线性振动系统的n 个线性模态。
2 非线性模态对应原理的证明
考虑一般形式的弱非线性动力学方程
¨x +f (x , x ,t )=0x ∈R n t ∈R (7)
f ∶R 2n +1→R n 为c r 类非线性映射,可展成x , x 的有限项Taylor 级数和t 的Taylor 级数
12增刊赵荣国等:非线性振动理论中的非线性模态对应原理探讨
f (x , x ,t )=∑N p =11p !(x T 5x + x T 5x )p f (0,0;t )
(8)
f (x , x ,t )=
∑∞r =0t r r !5r
5t r f (x , x ;0)(9)称系统
¨x +f (x , x ;0)=0
(10)为系统(7)对应的自治系统。假设系统(7)具有形如
x =g (c )ξ
(11)的非线性模态关系式,将模态关系式(11)代入系统(7),得
g (c )¨ξ+f (g (c )ξ,g (c ) ξ;t )=0
(12)由式(8)、式(9)和式(12)可导出如下关系式
∑N p =1∑p k =0∑∞r =0ξp -k ξk t r (p -k )!k !r !g (c )T (5x )p -k g (c )T (5x )k 5r 5t r f (0,0;0)=g (c )∑N p =1∑p k =0∑∞r =0λpkr ξp -k ξk t
r (13)
比较等式两端ξ, ξ和t 及其乘积的同次幂系数,得到模态方程组
1(p -k )!kk r !g (c )T (55x )p -k g (c )T (55 x )k 5r 5t r
f (0,0;0)=λpkr
g (c )p =1,2,…,N k =0,1,…,p r =0,1,2,…
(14)其一组实数解便给出系统(7)的一个模态。如果求得系统(7)的m 个模态,设G N N 为由这m 个模态所构成的非相似模态集合,即
G N N ={g 1,g 2,…,g n }m ≥n
(15)显然,当g (c )=c 时,式(14)化为
1(p -k )!k !r !(c T 55x )p -k (c T 55 x )k 5r 5t r
f (0,0;0)=λpkr c p =1,2,…,N k =0,1,…,p r =0,1,2,…
(16)
若求得了系统的一个模态,将该模态代回系统(7),可将系统解耦,得到如下主振动方程¨ξ+
∑N p =1∑p k =0∑∞
r =0λpkr ξp -k ξk t r =0(17)
如果求得了系统(7)的m 个模态,便可得到系统的m 个主振动解。由式(16)可见,令式中的r =0,便可得到系统(7)对应的自治系统的模态方程组,令式中的r =k =0,便可得对应的保守系统的模态方程组,而当r =k =0,p =1时,即为系统对应的线性模态方程组。设C L ,C N C ,C NS 和C N N 分别为系统(7)所对应的线性系统的模态集合,非线性保守系统的模态集合,非线性自治系统的模态集合,非线性非自治系统的模态集合,则
C N N ={c 1,c 2,…,c m }m ≥n
(18)C N N ΒC N N ΒC NS ΒC N C ΒC L (19)
为叙述方便,本文中仍采用数学符号“Β”。至此,非线性振动理论中的非线性模态对应原理得到证明。3 非线性模态稳定性判定
上面证明了非线性模态对应原理。该原理指出:非线性系统的非线性模态集合中的线性模态形式上对应线性系统的线性模态。但同时应该指出,这种模态之间的对应关系只是形式上的对应关系,主要表现在2个方面:线性模态可表示节点位移,而与之对应的非线性模态一般不能表示节点位移;线性模态是稳定的,而与之对应的非线性模态可能是不稳定的。刘练生等[10]在用模态分析法寻求非线性振动系统的解时曾给出3个“模态包含原理”,原理中“非线性系统中包含的线性模态”的提法值得商榷。基于上述原因,
笔者更趋向于吴志强和陈予恕[19]“非线性系统中包含的非耦合模态”的提法。刘练生等[11]曾运用摄动法
给出了一个非线性模态稳定性判据,利用该判据对“非线性系统中包含的非耦合模态”的稳定性进行判定,
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第37卷
会发现这些“非耦合模态”可能是不稳定的。
考虑N 自由度非线性振动系统
¨x +f (x , x ,t )=0
(20)设该非线性系统具有如下的模态关系式
x =φ(ξ)(21)
运用归一法,令x 1=ξ(22)
x =[x 1φ2(x 1)…φN (x 1)]T (23)
若已知系统(20)的一个模态,给N 维位形空间中的主振型如下形式的摄动x i =φi (x 1)+αi αi ν1 i =2,3,…,N (24)可得变分方程组
¨α+
∑N
j =255x j f i (x 1,<2(x 1),…, ∑N j =2 5x j f i (x 1,<2(x 1),…, ¨α∑N j =255x j f i (x 1,c 2x 1,…,c N x 1; x 1,c 2 x 1,…,c N x 1;t )αj + ∑N j =25 x j f i (x 1,c 2x 1,…,c N x 1; x 1,c 2 x 1,…,c N x 1;t ) αj =0i =2,3,…,N (26) 非线性系统(20)的非线性模态稳定的充分必要条件是式(25)或式(26)的所有解都有界。 4 计算实例 考虑两自由度对称非线性弹簧质量系统,如图1所示,其非线性动力学方程为 m ¨x 1+8kx 1-kx 2+7k εx 31+k ε(x 1-x 2)3=0m ¨x 2-kx 1+8kx 2-k ε(x 1-x 2)3+7k εx 32=0(27) 图1 两自由度非线性弹簧质量系示意图 式中ε=O (1)。若该非线性系统具有相似模态关系式(6),根据式(16),导出系统的模态方程组为 [7c 31+(c 1-c 2)3]εk m =λc 1[7c 32-(c 1-c 2)3]εk m =λc 2 (28) 运用归一法,令模态c[c 1c 2]T 中的c 1=1,代入模态方程组(28)求得系统的4个非线性模态为 c (1)=11 c (2)=1-0.20871c (3)=1-1c (4)=1-4.79129(29)将(29)中的依次代入方程组(28)中的第一式,求得系统的非线性特征值 λ(1)=7εk m λ(2)=8.76590εk m λ(3)=15εk m λ(4)=201.23431εk m (30) 由式(17)得系统的主振动方程 ¨ξ+λ(s )ξ3s =0s =1,2,3,4(31) 32增刊赵荣国等:非线性振动理论中的非线性模态对应原理探讨 根据谐波平衡法,可得系统的主振动解和固有频率分别为 x(s)=c(s)a s cosωs t s=1,2,3,4(32) ω s = 3 4 λ(s)a s s=1,2,3,4(33) 由式(18)得系统(27)的非线性模态集合为 C N C={c(1),c(2),c(3),c(4)}(34)系统(27)相应的线性系统具有两个线性模态,即 c(1)L=1 1 c(2)L= 1 -1 (35) 写成线性模态集合的形式,即 C L={c(1)L,c(2)L}=c(1),c(3)(36)比较式(34)和式(36)可知 C N C=C L(37)即非线性保守系统的非线性模态中形式上包含相应线性系统的线性模态。 给主振动轨道以小扰动(此处不考虑式(27)中的线性项),根据式(26)得变分方程 m¨ α(s)+3[kε(1-c(s)2)2+7kε(c(s)2)2](x(s)1)2α(s)=0s=1,2,3,4(38)上式可近似化为Mathieu方程 d2α(s) d z2s +(δs+ηs cos z s)α(s)=0 s=1,2,3,4(39)式中:δ1=η1=0.5;δ2=η2=0.10070;δ3=η3=0.36667;δ4=η4=0.48261。当s=1,2,4时,式(40)的解收敛;当s=3时,式(39)的解不收敛,所以系统的第一、第二和第四阶非线性模态稳定,而第三阶非线性模态不稳定。同时可以看出,线性模态集合C L中的2个线性模态c(1)L和c(2)L是稳定的,而对于非线性模态集合C N C中与它们对应的非线性模态c(1)和c(3),c(1)是稳定的,c(3)是不稳定的。 下面讨论弹簧刚度系数以及动力学方程阶次对系统非线性模态形式(指实模态和复模态2种模态形式)和模态数的影响。表1显示了弹簧刚度和方程阶次对系统非线性模态的影响情况。情形1:当弹簧刚度系数分别为7k,k,7k,阶次为3时,系统有4个实模态,如式(29)所示;情形2:当弹簧刚度系数分别为2k,k,2k,阶次为3时,系统有2个实模态和2个复模态,即 c(1)=1 1 c(2)= 1 -1 c(3)= 1 -1i c(4)= 1 1i (40) 情形3:当弹簧刚度系数分别为7k,k,7k,阶次为5时,系统有2个实模态和4个复模态,即 c(1)=1 1 c(2)= 1 -0.27678+0.38686i c(3)= 1 -0.27678-0.38686i c(4)=1 -1 c(5)= 1 -1.22322+1.70974i c(6)= 1 -1.22322-1.70974i (41) 由此可知,多自由度非线性系统的刚度矩阵K和硬弹簧指数p(动力学方程的阶次)对系统非线性模态形式都有着直接的影响。对于具有相似模态且关于静平衡点对称的非线性系统,其非线性模态数是由硬弹簧指数p决定的,即当p=2k+1(k=1,2,…)时,系统的非线性模态数为2(k+1)(k=1,2,…);对于具有非相似模态的非线性系统,其非线性模态数则由系统的模态方程组中的最高阶次确定。 5 结束语 文中在Rosenberg和刘练生等工作的基础上,提出了非线性振动理论中的非线性模态对应原理,并给出了关于非线性模态对应原理的证明。理论和算例均表明非线性振动理论中确实存在非线性模态和线性模态之间的对应关系,从而运用该原理能够寻求非线性振动系统中形式上与相应线性系统的线性模态相对应的非线性模态。非线性模态理论的研究应该包括非线性模态分析和非线性模态的综合2个方面,而42西 南 交 通 大 学 学 报第37卷 已有的研究大部分集中于非线性模态分析,有关非线性模态综合研究方面的工作不多,如何将非线性模态理论应用于工程实际是亟待解决的问题。在求解非线性模态方程组时有可能得到复模态,复模态中包含振幅和相角2个信息,而相角提供的非线性模态各模态分量之间存在超前或滞后这一信息,这是否与前述“同步运动假设”相矛盾,这也是值得深究的一个问题。 参考文献: [1] K auderer H.Nichtlinear mechanik[M ].Berlin :S pringer ,1958:102100. [2] Rosenberg R M.Normal modes of non 2linear dual 2mode systems[J ].J.Appl.Mech.,1960;27(2):2632268.[3] Rosenberg R M.On normal vibration of a general class of non 2linear dual 2mode systems[J ].J.Appl.Mech.,1961;28(2):2752283.[4] Rosenberg R M.The normal modes of nonlinear n 2degree 2of 2freedom systems[J ].J.Appl.Mech.,1962;29(1):7214.[5] Rosenberg R M.On nonlinear vibrations of systems with many degrees of freedom [J ].Advances in Applied Mechanics ,1966;9:1552242.[6] Vakakis A F ,Rand R H.Normal modes and global dynamics of a two degree of freedom nonlinear system -I ,low energies [J ].Int.J.Nonlinear Mech.,1992;27(5):8612874.[7] Vakakis A F ,Rand ,R H.Normal modes and global dynamics of a two degree of freedom nonlinear system -II ,high energies[J ].Int.J.Nonlinear Mech.,1992;27(5):8752888.[8] Vakakis A F.Nonsimilar normal mode oscillations in a strongly nonlinear discrete systems[J ].J.S ound and Vibration ,1992;158(2):3412361.[9] K ing M E ,Vakakis A F.An Energy 2based formulation for computing nonlinear normal modes in undamped continuous systems[J ].Transactions of the ASME Journal of Vibration and Acoustics ,1994;11(6):3322340.[10] 刘练生,黄克累.一种用于非线性振动系统的模态分析方法[J ].力学学报,1988;20(1):41248.[11] 刘练生,霍拳忠,黄克累.非线性振动系统主振型的一种求解方法及稳定性判定[J ].应用数学和力学,1987;8(6):5052512.[12] Rand R H.Nonlinear normal modes in two degree 2of 2freedom systems[J ].J.Appl.Mech.,1971;38(2):561.[13] Rand R H.A direct method for nonlinear normal modes[J ].Int.J.Nonlinear Mech.,1974;9(5):3632368.[14] Anand G V.Natural mode of a coupled nonlinear systems[J ].Int.J.Nonlinear Mech.,1972;7(1):81291.[15] Vito R.Similar normal mode vibration in certain conservative systems with two degree of freedom[J ].Int.J.Nonlinear Mech.,1972;7(5):4732487.[16] Y en D.On the normal modes of nonlinear dual 2mass systems.Int.J.Nonlinear Mech.,1974;9(1):45253.[17] Month L A ,Rand R H.The stability of bifurcating periodic solutions in two 2degree 2of 2freedom nonlinear system[J ].J.Appl.Mech.,1977;44(4):7822783.[18] Johnson T L ,Rand R H.On the existence and bifurcation if minimal normal modes.Int.J.Nonlinear Mech.,1979;14(1):1212.[19]吴志强,陈予恕,毕勤胜.非线性模态的分类与新的求解方法[J ].力学学报,1996;28(3):2982307. 52增刊赵荣国等:非线性振动理论中的非线性模态对应原理探讨 目录 1.两端铰支偏置转子的瞬态涡动分析 (1) 1.1转子动力学模型三维立体示意图：（UG） (3) 1.2转子动力学模型二维平面示意图：（CAD） (4) 1.3导出两端弹性支承刚性薄单盘偏置转子的瞬态涡动微分方程： (5) 1.3.1偏置转子在平动坐标系中的动量矩 (5) 1.3.2在平动坐标系中外力矩的表达 (7) 1.3.3在平动坐标系中定点转动微分方程 (7) 1.4形心稳态自由涡动时的频率方程，画出涡动角速度与自转角速度的关系曲线图： . 8 1.4.1同步涡动的临界转速： (9) 1.4.2稳态自由涡动角速度与自转角速度的关系： (9) 1.4.3涡动角速度与自转角速度的关系曲线如下： (10) 1.5mathematic源代码 (11) 2. 威尔逊-- 法求解等加速时的瞬态涡动幅频特性 (12) 2.1 分析 (12) 2.2 MATLAB编程求解 (16) 两端铰支偏置转子的瞬态涡动分析 已知：设有两端铰支偏置单盘转子，两端的滚动轴承简化为铰支座，弹性轴跨长57,l cm =直径 1.5,d cm =弹性模量62622.110/20.5810/E Kg cm N cm =?=?，材料密度337.810/Kg cm ρ-=?。固定在离支承1/4处的圆盘厚2cm =，直径16D cm =，若不计重力影响与系统阻尼，圆盘的转动惯量近似按薄圆盘计算。?为自转角位移，取222 5.7/35.814/rad s rad s ?π=?=。假设无质量偏心，不计重力影响，外力矩的作用是保证转子作等加速转动。 求： ①画出转子动力学模型三维立体示意图，导出两端铰支承刚性薄单盘偏置转子的瞬态涡动微分方程； ②应用Mathematic 软件求解该转子形心稳态自由涡动时的频率方程，画出涡动角速度与自转角速度的关系曲线图； ③应用Wilson θ-数值方法求解等加速度时的瞬态涡动的幅频特性，并画出涡动振幅与自转角速度的幅频关系曲线图和瞬态涡动响应时间历程曲线。 非线性振动的研究包括理论分析方法和数值分析方法。其中理论分析方法有是沿着两个方向发展，第一是定性方法，第二是定量方法，也称为解析法。 定性方法是对方程解的存在性、唯一性、周期性和稳定性等的研究；定量方法是对方程解的具体表达形式、数量大小和解的数目等的研究。数值方法目前已广泛用于计算非线性振动系统，是一种求解非线性方程的有效方法。 本文在查询相关文献的基础上，对非线性振动理论的分析方法最新研究成果做简要概括和分析比较。 1、平均法 平均法是求解非线性振动最常见和最实用的近似方法之一。其基本思想是设待解微分方程与派生方程具有相同形式的解，只是振幅和相位随时间缓慢变化。将振幅和相位的导数用一个周期的平均值替代，得到平均化方程，求解平均化方程，得到振幅和相位的表达式，从而求解出原方程的近似解析解。 1.1利用平均法分析多自由度非线性振动 平均法主要是用在单自由度非线性振动的分析中，是一种求近似解的方法，虽然精度较低，但可避免繁琐的中间运算，具有便于应用的突出优点。将其推广的到多自由度系统，导出了平均化方程，由此能够得到多自由度非线性振动的幅频特性。 1.2用改进平均法求解自由衰减振动 用平均法求解自由衰减振动方程时，无论是线性阻尼还是平方阻尼， 在阻尼常量很小的情况下，平均法解均有较高的精度。但随阻尼常量的增加，阻尼对振动周期的影响已不能忽略，此时平均法解的结果与实际振动情况有了明显的偏离，需要改进。改进平均法是将待解微分方程的圆频率与派生方程圆频率的差异函数表示为阻尼系数的多项式。 2、FFT多谐波平衡法分析非线性系统 非线性动力系统的响应可能含有几个主导频率，且有可能与激振频率不成倍数关系。现有的单一谐波法和多谐波法仅限于系统响应主导频率为激振频率的非线性系统，因此在某些情况下使用单一谐波法或多谐波法研究非线性系统动力学特性是不可靠的，而基于快速傅立叶变换（FFT）和主导频率的 FFT 多谐波平衡法能够依据所有的主导频率构筑多谐波平衡方程，因此其解析解精确度高，并能广泛适用于单倍周期、多倍周期、与初始条件有关的多解性及拟周期响应等典型的非线性特征响应。 3、等效小参数法求解强非线性系统 等效小参量法是将谐波平衡法和扰动法相结合用于求高阶非线性系 统近似解的一种比较有效的方法，这种方法不仅适用于弱非线性系统，而且适用于强非线性系统，其近似解能较好地反映系统特性。在求解弱非线性系统时，扰动法和等效小参量法均具有较高的精确度，但对于强非线性系统，等效小参量法表现出较明显的优势。 参考文献： 【1】王海期.非线性振动.高等教育出版社.1992 准滑动模态控制 2.8.1准滑动模态控制 在滑动模态控制系统中，如果控制结构的切换具有理想的开关特性，则能在切换面上形成理想的滑动模态，这是一种光滑的运动，渐进趋近于原点。但在实际工程中，由于存在时间上的延迟和空间上的滞后等原因，使得滑动模态呈抖振形式，在光滑的滑动上叠加了抖振。理想的滑动模态是不存在的，现实中的滑动模态控制均伴随有抖振，抖振问题是影响滑动模态看控制广泛应用的主要障碍。 所谓准滑动模态，是指系统的运动轨迹被限制在理想滑动模态的某一?领域内的模态。从相轨迹方面来说，具有理想滑动模态的控制是使一定范围内的状态点均被吸引至切换面。而准滑动模态控制则是使一定范围内的状态点均被吸引至切换面的某一?领域内，通常称此?领域为滑动模态切换面的边界层。 在边界层内，准滑动模态不要求满足滑动模态的存在条件，因此准滑动模态不要求在切换面上进行控制结构的切换。它可以在边界层上进行结构变换的控制系统，也可以根本不进行结构变换的连续状态反馈控制系统。准滑动模态控制在实现上的这种差别，使它从根本上避免或削弱了抖振，从而在实际中得到了广泛的应用。 在连续系统中，常用的准滑动模态控制有以下两种方法： （1） 用饱和函数()sat s 代替理想滑动模态中的符号函数sgn()s 。 1 ()1s sat s ks s s >??? =≤???-<-? ? 1k = ? （2.46） 其中?称为“边界层”。饱和函数()sat s 如图2-26所示，饱和函数的本质为：在边界层外，采用切换控制；在边界之内，采用线性化反馈控制。 （2） 将继电特性连续化，用连续函数()s θ取代sgn()s 。 ()s s s θδ = + （2.47） 式中δ是很小的正常数。 2.8.2 仿真实例 对象为二阶传递函数： 振动与冲击 第!"卷第#期$%&’()*%+,-.’)/-%()(012%34,567!"(57#!88 ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! #非对称转子9轴承9基础系统的非线性振动" 沈松:郑兆昌!应怀樵" （:7北京大学力学与工程科学系，北京:88;<:；!7清华大学工程力学系，北京:888;#； "7东方振动和噪声技术研究所，北京:888;=） 摘要对柔性轴两端支承在滑动轴承上的转子，考虑非对称圆盘的陀螺力矩和弹性基础的振动，使用圆短轴承的非稳态非线性油膜力模型，建立了:8自由度的转子9轴承9基础系统运动方程，并通过数值方法计算系统稳态响应，分析了系统的非线性振动形式以及弹性基础的振幅调制对转子振动的影响。 关键词：转子系统，非线性振动，分叉，基础 中图分类号：/2:""7"，%"!!文献标识码：) 8引言 在工程旋转机械中，研究转子系统稳定性的一个重要方面就是由滑动轴承非线性油膜力的作用而产生的各种非线性振动，目前已有大量文献对此进行了多方面的研究，文［:］研究了柔性轴支承的对称转子非线性特性，文［!］使用了非稳态油膜模型描述滑动轴承的非线性油膜力，文［"］研究了非稳态油膜力下柔性轴支承的非对称陀螺转子模型，文［#］则建立了包括基础的简化的"自由度转子系统。 虽然转子系统的非线性振动常常由于滑动轴承的油膜力引起，但近年来许多理论和试验表明［=］，为更好地反映转子系统动力特性，应当考虑基础的影响。基础部分的振动将与转子9轴承部分的振动相互影响，根据文［"］的结果，转子9轴承部分的振动除旋转频率成分外，当出现油膜涡动时还会有半频或大约半频的成分，该半频可能同基础的固有频率比较接近，因此转子9轴承9基础系统中除旋转频率和半频外，不仅可能出现一阶临界转速频率，还可能出现基础的固有频率，这两种由于共振出现的频率都会对系统的稳定性造成不良影响。 为此本文在柔性轴非对称转子系统的基础上，又考虑弹性基础在垂直方向上的振动对整个转子系统的作用，使用文［!］的非稳态油膜力模型，建立了:8个自由度的非对称转子9非稳态油膜轴承9基础系统运动方程，并通过(>?@ABC9!积分和(>?D5E9’AFGH I5E法相结合的数值方法，计算转子在不同转速参数的瞬态响应，反映了弹性基础的共振形式。 :转子9轴承9基础系统模型 通常建立的转子轴承系统，两端的轴承座是不运动的。现在假设轴承座是固定在一个大质量的刚体基础上，基础与地面为弹性连接，个有一定的位移和转动，形成一个转子9轴承9基础系统。由于工程实际中基础位移在水平方向远小于垂直方向，因此本文仅考虑基础垂直方向的振动。 图:表示的是转子9轴承9基础系统在%JK（垂直面）和%LK（水平面）平面上的投影，).为柔性轴， 图:转子9轴承9基础系统力学模型示意 圆盘位于轴的%点，由于%点不处于).的中点，而具有陀螺力矩作用。30为基础，轴与基础通过在)、.两点的滑动轴承油膜力相互作用，基础在垂直方向J 上考虑位移和转动，将其视作平面内的刚体运动，假设具有位移和转角，在水平方向L上的位移和转动一般较J方向小得多而忽略。这样的转子9轴承9基础系统就成为一个:8自由度系统。 "国家重点基础研究项目（(57M:NN;8!8":O）和国家自然科学基金项目（(57:NN 非线性振动 期 末 作 业 任课老师： 姓名： 学号： 专业： 课程：非线性振动 非线性振动的理论研究方法 非线性振动是指恢复力与位移不成正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。尽管线性振动理论早已相当完善，在工程上也已取得广泛和卓有成效的应用，但在实际问题中，总有一些用线性理论无法解释的现象。一般说，线性模型只适用于小运动范围，超出这一范围，按线性问题处理就不仅在量上会引起较大误差，而且有时还会出现质上的差异，这就促使人们研究非线性振动。 通过理论分析对非线性振动进行研究是目前最有效最基本最直接的方式。理论研究分析最主要的任务是通过理论的研究分析来揭示各类非线性系统振动的基本理论和主要特点。非线性振动理论研究分析的最重要的数学工具就是微分方程。学者们在微分方程发展过程中发现用初等函数表达方程解的可能性极为有限之后，出现了三个比较重要的方向。其一是引入新的函数作为解的表达，并研究这些函数的性质和数值解。非线性振动中有个别的问题就可以用这种方法来求解方程，例如摆的大幅振动解用椭圆函数表达。然而这方面的例子是极为有限的。这就说明只有极少数非线性微分方程能够求出方程的解，所以通常必须用近似的求解方法求出非线性微分方程的近似解，这就需要用到求解非线性微分方程的两个最基本的方法，这就是定性方法和定量方法。定性理论不通过解的表达式来研究分析解的性质，比如利用几何法作出微分方程所定义的积分曲线，运用稳定性理论引入另外的函数中，通过它们去研究解的性质。把常微分方程定性理论与非线性振动联系起来主要应归功于前苏联的Andronov等建立起来的学派。这些学者们把定性理论用来解决电学和力学中出现的大量非线性振动问题。定性理论在发展的过程中，一方面在理论上形成了许多讨论奇点、周期解、极限环的定理、判据等，一方面形成了一些实用的作图方法，例如等倾线法、Lienard法、点映射等。 求解非线性微分方程近似解的方法中定量分析的方法包括数值解法以及解析法。定量分析方法中的解析法是最基本的分析研究方法，使用解析法来进行研究分析最主要的任务是通过理论的研究分析来揭示各类非线性系统振动的基本理论和主要特点。使用解析方法法求解非线性微分方程近似解的方法有：频闪法、平均法、小参数法、多尺度法、渐近法、谐波平衡法等研究分析方法。下面简单叙述一下几种分析非线性振动的方法： 第31卷第2期 Vol.31 No.2 工 程 力 学 2014年 2 月 Feb. 2014 ENGINEERING MECHANICS 190 ——————————————— 收稿日期：2012-08-24；修改日期：2013-01-29 通讯作者：曹 晖(1969―)，男，四川内江市人，教授，博士，博导，从事结构抗震及结构健康监测研究(E-mail: caohui@https://www.wendangku.net/doc/1a8662155.html,). 作者简介：郑 星(1986―)，男，湖北荆州市人，硕士生，从事结构健康监测研究(E-mail: zhengx_cqu@https://www.wendangku.net/doc/1a8662155.html,)； 华建民(1974―)，男，河南商丘市人，副教授，博士，从事结构工程及施工技术研究(E-mail: hjm191@https://www.wendangku.net/doc/1a8662155.html,)； 文章编号：1000-4750(2014)02-0190-05 基于非线性振动特性的预应力混凝土梁损伤识别 曹 晖1,2，郑 星1，华建民1,2，胡芝茂1 (1. 重庆大学土木工程学院，重庆 400045；2. 山地城镇建设与新技术教育部重点实验室(重庆大学)，重庆 400045) 摘 要：对2根后张有粘结预应力混凝土简支梁分别进行单调加载和二级等幅值疲劳加载试验，在各级加载后对试验梁进行动测得到自由振动加速度信号，对加速度信号进行盲源分离并进行Hilbert 变换，得到各损伤状态下梁的频率-振幅曲线簇，分析其非线性振动特性随损伤状态的变化规律。结合裂缝开展情况和钢绞线的应力变化，探讨梁的非线性振动特性的变化与其损伤之间的关系。结果表明非线性振动特性适合于预应力混凝土梁的损伤 检测。 关键词：预应力混凝土梁；损伤检测；非线性动力特性；盲源分离；Hilbert 变换 中图分类号：TU311 文献标志码：A doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2012.08.0611 DAMAGE DETECTION OF PRESTRESSED CONCRETE BEAMS BASED ON NONLINEAR DYNAMIC CHARACTERISTICS CAO Hui 1,2 , ZHENG Xing 1 , HUA Jian-min 1,2 , HU Zhi-mao 1 (1. College of Civil Engineering, Chongqing University, Chongqing 400045, China; 2. Key Laboratory of New Technology for Construction of Cities in Mountain Area (Chongqing University), Ministry of Education, Chongqing 400045, China) Abstract: Two post-tensioning tests for bond prestressed concrete beams were used to carry out a static test and a two-stage fatigue test respectively. Under each damage level, the beams were excited by a hammer and their acceleration signals of free vibration were recorded. Then the signals were processed by the blind source separation algorithm and Hilbert transform to obtain frequency-amplitude curves, from which the change of nonlinear dynamic characteristics of the beams with the damage level was analyzed. The strain of the prestressing strand and cracking of the beams under each damage level were utilized to investigate the relation between the change of the nonlinear dynamic characteristics and the damage of the beams. The results prove that the nonlinear dynamic characteristics can be used to detect the damage of prestressed concrete beams. Key words: prestressed concrete beam; damage detection; nonlinear dynamic characteristics; blind source separation; Hilbert transform 预应力混凝土结构在使用期间，由于荷载、疲劳、腐蚀、老化及其它环境条件等众多不利因素的影响，将不可避免地产生损伤积累，导致混凝土开裂、预应力损失，甚至破坏等事故。因此，在役预应力混凝土构件的工作性能评价，是当前结构健康 监测的一个重要方面。 当混凝土构件出现裂缝后，会产生呼吸裂缝效应[1]。所谓呼吸裂缝，即裂缝在振动中时张时合。振幅小的时候，裂缝闭合，此时结构刚度较大；振幅大的时候，裂缝张开，此时结构刚度变小。随着 收稿日期:20030710 基金项目:航空科学基金项目(02C53019)资助 作者简介:刘晓宁(1976-),男(汉),山东, 博士研究生 刘晓宁 文章编号:100328728(2004)1021191203 三自由度齿轮传动系统的非线性振动分析 刘晓宁,王三民,沈允文 (西北工业大学,西安 710072) 摘 要:在建立三自由度齿轮间隙非线性动力学模型的基础上,利用增量谐波平衡法获得了受到参数激励和外部谐波激励的三自由度齿轮传动系统模型的周期响应,包括稳定和不稳定的周期轨道,并利用Floquet 理论研究其稳定性、分岔类型,对系统的参数变化进行分析,研究了系统通向混沌的倍周期分岔道路和拟周期分岔道路,绘制了系统周期解分岔图。关 键 词:齿轮转子轴承传动系统;增量谐波平衡法;Floquet 理论中图分类号:TH13 文献标识码:A N onlinear Vibrations of 32DOF G eared R otor 2B earing System LI U X iao 2ning ,W ANG San 2min ,SHE N Y un 2wen (N orthwestern P olytechnical University ,X i ′an 710072) Abstract :The incremental harm onic balance (IH B )method is used to obtain periodic m otions of a 32DOF non 2linear m odel of a geared rotor system subjected to parametric and external harm onic excitations.The stability of the periodic m otions is investigated by the Floquet theory ,the bifurcation behavior is traced.Parametric studies are performed to understand the effect of system parameters such as excitation frequency on the nonlinear dy 2namic behaviors. K ey w ords :G eared rotor bearing system ;Incremental harm onic balance (IH B )method ;Floquet theory 齿轮传动是应用最为广泛的一种机械传动形式。在齿轮传动系统中,由于齿侧间隙、支承间隙、时变刚度等因素的存在,导致系统产生强非线性振动,这种振动往往表现为系统的分叉、混沌振动现象,会对机械传动系统的工作性能和可靠性产生很大影响。因此,齿轮传动非线性系统的非线性振动研究引起了广泛的关注[2～5]。 从齿轮传动系统间隙非线性动力学研究来说,大部分的研究都是借助数值方法探讨系统分叉、混沌等现象的存在。增量谐波平衡法(IH B )作为求解非线性微分方程周期解的解析方法,具有精度高,适用于求解周期激励问题的特点,尤为重要的是能够求解出混沌吸引子内部的不稳定周期轨道,这也恰恰是实现混沌控制的目标稳定轨道。 本文综合利用增量谐波平衡法和数值方法研究三自由度齿轮传动系统的动态特性,考察系统参数对动态性能的影响,并结合应用Floquet 理论探讨了通向混沌的倍周期和拟周期分叉道路。 1 三自由度齿轮转子轴承系统的间隙非线性模型及方程 图1 三自由度非线性齿轮传动系统模型 如图1所示的三自由度非线性齿轮传动系统模型,齿轮部分包括齿轮惯量I g 1和I g 2,齿轮质量m g 1和m g 2,基圆直径d g 1和d g 2。齿轮啮合由非线性位移函数f h 和时变刚度 k h (t - ),线性粘性阻尼c h 描述。轴承和支撑轴的模型则由 等效的阻尼元件和非线性刚度元件表述。阻尼元件具有线 第23卷 第10期 机械科学与技术 V ol.23 N o.10 2004年 10月 MECH ANIC A L SCIE NCE AND TECH NO LOGY October 2004 一维非线性振动的数值求解 高雁军1吴少平2 (1．湖北民族学院物理系，恩施，445000；2．华中师范大学物理系，武汉，430079) 摘要利用四阶龙格－库塔方法数值求解了一维阻尼振动方程，所得到的结果与用解析方法得到的结果完全一致，验证了四阶龙格－库塔方法的可靠性和精度。在此基础上，数值求解了在物理中有广泛应用的几个非线性方程，说明了非线性效应对于振动的影响。 关键词振动；非线性；龙格－库塔方法 振动是一种很常见的物理现象。在线性振动理论中，研究的是系统在平衡位置附近的微小振动，它的特点之一是描述物质运动状态的物理量在某一数值附近作周期性的变化。振动的例子有很多，比如，钟摆的摆动，活塞的往复运动，固体中原子的振动，交流电路中的电流在某一电流值附近作周期性的变化等，所以振动问题具有很重要、很广泛的应用。在普通物理中讲的振动都是线性的，对于这种振动，从物理上说，非线性效应还不明显，从数学上说，振动方程中 的非线性项被忽略掉了，因而振动方程求解起来也比较容易。但严格地说，物质世界没有真正的线性振动，它只是非线性振动的近似。如果某一物理量对平衡位置有较大偏离，在处理这类振动问题时，就必须考虑非线性项的作用，从而会产生新的物理现象，因此非线性振动有重要的理论和实际意义。不过，除了少数可以精确求解的非线性方程外，对于非线性问题，在数学上要得到解析解，也只能采取一些近似的、特别的方法(如摄动法、平均法、多尺度法、KMB法等)，还缺乏一种普遍的、行之有效的解析方法。随着计算机技术的飞速发展和人们对数值计算方法的深入研究，数值方法作为一种重要的手段日益受到人们的重视，数值计算也被应用到非线性振动的研究中来。 对于常微分方程的初值问题，数值方法的基本思想就是离散化，即将求解区域分成各离散点，然后直接求出各离散点上的、满足精度要求的未知函数的近似值。求解常微分方程的初值问题的数值方法有：欧拉方法、龙格－库塔法、阿达姆斯法等，其中四阶龙格－库塔法具有计算稳定、精度高的特点。本文中，采用四阶龙格－库塔方法求解了一维阻尼振动方程和在物理中有广泛应用的几个非线性方程，说明了非线性效应对于振动的影响。 1．四阶龙格－库塔公式 A.1 传递距阵法分析程序 %main_critical.m %该程序使用Riccati传递距阵法计算转子系统的临界转速及振型 %本函数中均采用国际单位制 % 第一步：设置初始条件（调用函数shaft_parameters） %初始值设置包括：轴段数N，搜索次数M %输入轴段参数：内径d,外径D，轴段长度l，支撑刚度K，单元质量mm，极转动惯量Jpp[N,M,d,D,l,K,mm,Jpp]=shaft_parameters; % 第二步：计算单元的5个特征值（调用函数shaft_pra_cal） %单元的5个特征值： %m_k：:质量 %Jp_k：极转动惯量 %Jd_k：直径转动惯量 %EI：弹性模量与截面对中性轴的惯性矩的乘积 %rr：剪切影响系数 [m_k,Jp_k,EI,rr]=shaft_pra_cal(N,D,d,l,Jpp,mm); % 第三步：计算剩余量（调用函数surplus_calculate）,并绘制剩余量图 %剩余量：D1 for i=1:1:M ptx(i)=0; pty(i)=0; end for ii=1:1:M wi=ii/1*2+50; [D1,SS,Sn]=surplus_calculate(N,wi,K,m_k,Jp_k,JD_k,l,EI,rr); D1; pty(ii)=D1; ptx(ii)=w1 end ylabel(‘剩余量’)； plot(ptx,pty) xlabel(‘角速度red/s’); grid on % 第四步：用二分法求固有频率及振型图 %固有频率：Critical_speed wi=50; for i=1:1:4 order=i [D1,SS,Sn]=surplus_calculate(N,wi,k,m_k,Jp_k,Jd_k,l,EI,rr); Step=1; D2=D1; kkk=1; while kkk<5000 利用状态空间法对一类非线性振动系统的 数值方法研究 王建平1,2 刘宏昭2 原大宁2 苏志霄3 (1同济大学机械学院 上海,200092)(2西安理工大学机仪学院 西安,710048) (3国电电力建设研究所 北京,100055) 摘 要 提出了一类非线性振动系统的隐式解,导出了相应的数值计算方法,并对该数值方法的收敛性、误差和稳定性进行了研究。与传统的非线性振动系统的数值求解方法如:Ho ubo lt法、Wilson-θ法、New mar k-β法以及考虑高阶余项的连续线性化模型及其T ay lo r变换法相比,该方法具有更高的求解精度和效率。将该数值方法应用到结晶器四偏心式振动机构这样复杂的弹性机构非线性振动系统的研究中,取得了良好的效果,说明该方法具有一定的工程实用价值。 关键词:非线性振动;数值方法;隐式解;状态空间法 中图分类号:T H113.5;O322 目前,对于线性振动系统的理论研究已经发展得相当完善,但是对于非线性振动系统,特别是强非线性系统和非线性高阶系统,解的形式究竟有几种,至今还没有完全搞清楚[1]。然而对于部分弱非线性振动系统,目前已经发展了多种有效的近似解法,如Lindstedt-Poincaré(L-P)法、平均法、多尺度法、KBM法(三级数法)、谐波平衡法等[2]。对于一般的强非线性系统,近年来国内外学者在这一方面也开展了一系列理论研究工作,取得了不少成果。如S E Jones用参数变换法研究了大参数Duffing方程的自由振动问题[3];T D Burto n等提出了一种改进的多尺度法,分析了大参数强非线性系统的自由振动和强迫振动[4];S Brav o Yuste提出一种带有Jaco bi 椭圆函数的谐波平衡法[5]。但是无论是弱非线性问题,还是强非线性问题,所有的近似解法都有各自的特点,都是针对某一类特定的振动问题提出的近似解法。由于求解非线性方程本身的复杂性,目前还没有一种适应各种不同类型方程的通用解析法,仅有极少数非线性振动方程可以求得其精确解[1]。 因此,对于非线性系统的研究通常是首先利用数值计算方法得到系统的数值解,再采用点映射、胞映射等方法进行全局分析[6]。目前常用的数值方法有Houbo lt法、Wilso n-θ法和New mark-β法等,这些方法首先是将非线性微分方程化为对每一时间步长Δt内的线性方程(或称为线性化方程),然后按中心差分法等递推算法及各种修正形式计算非线性方程的数值解[2]。由于基于系统线性化的各种算法本身存在着一定的模型误差,即忽略线性化后高阶余项带来的误差,而中心差分法等各种算法及其修正形式只能提高线性化方程的计算精度,不能从根本上改进或修正这类模型误差[6]。另外,针对局部非线性动力系统的分块Ho ubolt法、分块Wilso n-θ和分块New mark-U法及其周期解方法也存在着同样的问题[8,9]。本文从非线性振动系统的物理空间出发,导出了一类非线性振动系统改进的状态空间模型,基于此模型提出了该类非线性振动系统的隐式解析解,给出了相应的数值计算格式,并对数值计算方法的收敛性、误差和稳定性进行了分析。与现有的非线性振动系统数值计算方法如:Houbo lt法、Wilson-θ法和New mark-U法相比,本文提出的数值计算方法具有更高的计算精度和效率。 1 非线性振动方程状态空间模型 对于自然界广泛存在的非线性振动问题,可以用下面的二阶非线性方程进行描述 第17卷第2期2004年6月 振 动 工 程 学 报 Jo urnal o f Vibra tion Engineering V ol.17No.2 Jun.2004 国家自然科学基金资助项目(编号:50075068)、陕西省教育厅科研基金资助项目(编号:O O JK181)、中国博士后基金资助项目(编号:200303321) 收稿日期:2002-06-24;修改稿收到日期:2003-11-27 DOI:10.16385/https://www.wendangku.net/doc/1a8662155.html, k i.i ssn.1004-4523.2004.02.023 doi ：10．3969／j．issn．1673－3142．2010．01．001 悬架非线性振动研究综述 周继磊，任传波 （山东理工大学交通与车辆工程学院,山东淄博255049） 摘要：现代的悬架系统的非线性是无处不在的，悬架减振器、弹簧、轮胎等都存在着明显的非线性特点，因此使用精确的非线性模型进行理论方面的研究变得很有意义，对此许多学者对非线性悬架进行了大量的理论和实验研究。本文主要阐述了当前国内外悬架非线性振动的理论研究概况和实验成果，提出了研究中所存在的一些问题和今后的发展方向，对悬架非线性振动研究具有重要意义。关键词：非线性振动;悬架系统;非线性模型;研究进展中图分类号：U463.33 文献标识码：A 文章编号：1673－3142（2010）01－0003－04 Summary of Nonlinear Dynamics Systems of Vehicle Suspension ZHOU Ji-lei ,REN C huan-bo （School of Traffic and Vehicle Engineering ，Shandong University of Technology ，Zibo 255049，China ） Abstrac t ：The nonlinearity of modern suspension system is widespread．There is a clear non－linear characteristics in suspension shock absorber ，springs ，tires and so on．So it becomes very significant to use more precise theoretical nonlinear model for designing a reasonable control strategy．Many scholars have carried out a large number of theoretical and experimental research for non－linear suspension．The current theoretical and experimental research of non－linear suspension vibration at home and abroad are mainly described ，and some problems as well as the future direction of development which are to be of great significance for the Study on Nonlinear Vibration of the suspension are put forward． Keywords ：non－linear dynamics ；suspension systems ；non－linear models ；summarizations 收稿日期：2009－09－08 作者简介：周继磊，男（1982-），研究生，专业：工程力学，研究方向：车辆动力学。 农业装备与车辆工程 AGRICULTURAL EQUIPMENT &VEHICLE ENGINEERING 2010年第1期（总第222期） No．12010（Totally 222） 1引言 当前汽车工业对悬架系统的机理研究在线性 分析方面已十分成熟,其结构得到不断改进,性能及控制技术也得到了提高,但在非线性研究方面还很贫乏[1] 。实际上悬架具有很强的非线性特性，如压缩阻尼小于伸张阻尼的减振器、具有干摩擦效应的变刚度钢板弹簧悬架等，这些部件的非线性特性恰恰改善了汽车的振动特性，对悬架系统的线性分析已不能精确反映实际工作情况。另外，随着悬架控制技术的发展，高性能的控制器设计是建立在对悬架系统精确的振动分析基础上的。所以，针对悬架系统，研究更符合实际的非线性模型，并分析其非线性特性对平顺性、安全性和操作舒适性的影响，不仅对悬架动力学理论发展具有重要作用，而且对悬架系统的设计与控制规划等 都具有使用价值。 2汽车悬架的力学模型 在研究汽车悬架非线性振动特性时，根据研 究情况需建立汽车悬架的力学模型。常用的汽车悬架模型有三种，即1/4车悬架模型、1/2车悬架模型和整车悬架模型。 【设计与研究】 0 非线性振动概述 人类对非线性振动现象的观察可以追溯到1673年Huygens对摆的研究.他注意到两类非线性现象:摆的大幅振动不具有等时性,以及轻微不同步摆钟存在频率拖带。1749年Euler研究的压杆失稳涉及平衡点的分岔,也是非线性系统的典型特征。除Helmholtz和Rayleigh对频率拖带的研究外,对非线性振动的系统研究是在19世纪后期为解决天体力学问题而开始的,到本世纪20年代又受无线电技术的刺激,在定性理论和解析解法方面都有大量成果.到70年代后期,与工程应用日渐普及的同时,非线性振动理论发展成为以混沌问题为核心的非线性动力学,成为新的交叉科学即非线性科学的重要组成部分。通常认为线性振动系统的参数均为常值.由于参数周期变化而激起的振动即参数振动虽为线性振动,但在研究方法上更接近非线性振动。1831年Faraday首先观察到参数振动现象,充液容器铅垂振动时液体自由表面波动的周期为容器振动周期的两倍。1859年Melde和1883年Rayleigh分别进行了实验研究。1868年Mathieu在研究椭圆薄膜振动时涉及以余弦函数为系数的常微分方程。1877年以偶周期函数为系数的方程出现在Hill对月球运动的研究中,他用幂级数展开方法证明了月球近地点运动的周期性。1883年Floquet建立了系数为同周期函数的高阶线性微分方程周期解的存在性及其他性质的完整理论。1885年Poincaré证明了Hill所用展开方法的收敛性。 非线性振动的研究使得人们对振动机制有了新的认识。除自由振动、受迫振动和参数振动以外,还有一类广泛存在的振动,即自激振动。1925年Cartan父子研究了无线电技术中出现的一类二阶非线性微分方程的周期解.1926年vanderPol 建立一类描述三极电子管振荡的方程,称为vanderPol方程,他用图解法证明孤立闭轨线的存在,又用慢变系数法得到闭轨线的近似方程.1928年Lienard证明以Cartan方程和vanderPol方程为特例的一类方程存在闭轨线,1929年Андронов阐明了vanderPol的自激振动对应于Poincaré研究过的极限环.自激振动也在其他工程系统中出现,例如,1932年DenHar-tog用自激振动解释输电线的舞动,1933年Baker的工作表明干摩擦会诱发自激振动。 非线性振动的研究也促使人们认识一种新的运动形式,即混沌振动。1945年Cartwright和Little-wood对受迫vanderPol振子及Levinson对一类更简化的模型分析表明,存在一类奇异的解,两个不同稳态解可有任意长时间相同的瞬态过程,这表明运动具有不可预测性.60年代上田和林千博等在寻找Duffing方程谐波解时,得到一种混乱貌似随机且对初值非常敏感的解,但他们的工作直到1973年才发表[1]。 振动是物理学技术科学中广泛存在的物理现象。如建筑物和机器的振动。无线电技术和光学中的电磁振动，控制系统和跟踪系统的自激振动，声波振动，同步加速器中的束流振动和其结构共振，火箭发动机燃烧时所引起的振动，化学反应中的复杂振动等等。这些表面看起来极不相同的现象，都可以通过振动方程统一到振动理论中来。振动是机械运动的一种形式，在技术领域中，经常出现周期振动。 因振动是机械运动的一种形式，所以其运动规律) (t x决定于作用在系统上各种力的性质，即为下列方程所决定 m= +'' x +' f )1.0( )(t kx x c非线性振动汇总讲解
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