中考数学试题(及答案)

中考数学试题(及答案)

一、选择题

1．华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据

0.000000007用科学记数法表示为( )． A ．7710?﹣ B ．8

0.710?﹣

C ．8710?﹣

D ．9710?﹣ 2．下列四个实数中，比1-小的数是（ ）

A ．2-

B ．0

C ．1

D ．2

3．在数轴上，与表示6的点距离最近的整数点所表示的数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．若一元二次方程x 2﹣2kx +k 2＝0的一根为x ＝﹣1，则k 的值为（ ） A ．﹣1

B ．0

C ．1或﹣1

D ．2或0

5．下列图形是轴对称图形的有（ ）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

6．将两个大小完全相同的杯子（如图甲）叠放在一起（如图乙），则图乙中实物的俯视图

是（ ）.

A ．

B ．

C ．

D ．

7．分式方程

()()31112x x x x -=--+的解为（ ）

A ．1x =

B ．2x =

C ．1x =-

D ．无解

8．将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2的度数是（ ）

A ．40°

B ．50°

C ．60°

D ．70°

9．甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%，后又降价10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次性降价30%.则顾客到哪家超市购买这种商品更合算（ ）

A ．甲

B ．乙

C ．丙

D ．一样

10．已知直线//m n ，将一块含30°角的直角三角板ABC 按如图方式放置

（30ABC ∠=?），其中A ，B 两点分别落在直线m ，n 上，若140∠=?，则2∠的度数为（ ）

A ．10?

B ．20?

C ．30°

D ．40?

11．如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 是BD 上两点，BM DN =，连接AM 、

MC 、CN 、NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是( )

A ．12

OM AC =

B ．MB MO =

C ．B

D AC ⊥ D ．AMB CND ∠=∠

12．cos45°的值等于( ) A ．2

B ．1

C ．

3

D ．

22

二、填空题

13．在学习解直角三角形以后，某兴趣小组测量了旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆AB 的影子一部分落在水平地面L 的影长BC 为5米，落在斜坡上的部分影长CD 为4米．测得斜CD 的坡度i ＝1：

．太阳光线与斜坡的夹角∠ADC ＝80°，则旗杆AB 的高度

_____．（精确到0.1米）（参考数据：sin50°＝0.8，tan50°＝1.2，

＝1.732）

14．若a ，b 互为相反数，则22a b ab +=________.

15．若关于x 的一元二次方程kx 2+2(k+1)x+k －1=0有两个实数根，则k 的取值范围是 16．在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点E 是BC 边上的动点，连接AE ，过点E 作AE 的垂线交AB 边于点F ，则AF 的最小值为_______

17．我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，将数据4400000000用科学记数法表示为______．

18．正六边形的边长为8cm ，则它的面积为____cm 2．

19．在学校组织的义务植树活动中，甲、乙两组各四名同学的植树棵数如下，甲组：9，9，11，10；乙组：9，8，9，10；分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数为19的概率______．

20．已知M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线1

2y x

=

上，点N 在直线y=﹣x+3上，设点M 坐标为（a ，b ），则y=﹣abx 2+（a+b ）x 的顶点坐标为 ．

三、解答题

21．（问题背景）

如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝60°，试探究图中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使GD ＝BE ，连结AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是 ． （探索延伸）

如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （学以致用）

如图3，在四边形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ＝6，E 是边AB 上一点，当∠DCE ＝45°，BE ＝2时，则DE 的长为 ．

22．如图，在平面直角坐标系中，直线10y kx =-经过点(12,0)A 和(,5)B a -，双曲线

(0)m

y x x

=

>经过点B ． （1）求直线10y kx =-和双曲线m

y x

=

的函数表达式； （2）点C 从点A 出发，沿过点A 与y 轴平行的直线向下运动，速度为每秒1个单位长度，点C 的运动时间为t （0＜t ＜12），连接BC ，作BD ⊥BC 交x 轴于点D ，连接CD ， ①当点C 在双曲线上时，求t 的值；

②在0＜t ＜6范围内，∠BCD 的大小如果发生变化，求tan ∠BCD 的变化范围；如果不发生变化，求tan ∠BCD 的值； ③当1361

DC =

时，请直接写出t 的值．

23．如图，点D 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 平分BAC ∠，DC AC ⊥，过点B 作⊙O 的切线交AD 的延长线于点E ． (1)求证：直线CD 是⊙O 的切线． (2)求证：CD BE AD DE ?=?．

24．解方程组：22

6,

320.x y x xy y +=??-+=?

25．某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元，调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元 (1)若生产第五档次的蛋糕，该档次蛋糕每件利润为多少元？

(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1024元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】

由科学记数法知90.000000007710-=?； 【详解】

解：90.000000007710-=?； 故选：D ． 【点睛】

本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法10n a ?中a 与n 的意义是解题的关键．

2．A

解析：A 【解析】

试题分析：A ．﹣2＜﹣1，故正确； B ．0＞﹣1，故本选项错误； C ．1＞﹣1，故本选项错误； D ．2＞﹣1，故本选项错误； 故选A ．

考点：有理数大小比较．

3．B

解析：B 【解析】 【分析】

的大小，即可得到结果． 【详解】

46 6.25<

2 2.5∴<<，

的点距离最近的整数点所表示的数是2， 故选：B ． 【点睛】

此题考查了实数与数轴，以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

4．A

解析：A 【解析】 【分析】

把x ＝﹣1代入方程计算即可求出k 的值． 【详解】

解：把x ＝﹣1代入方程得：1+2k +k 2＝0， 解得：k ＝﹣1， 故选：A ． 【点睛】

此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

5．C

解析：C

【解析】

试题分析：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断．

解：图（1）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；

图（2）不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；

图（3）有二条对称轴，是轴对称图形，符合题意；

图（3）有五条对称轴，是轴对称图形，符合题意；

图（3）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意．

故轴对称图形有4个．

故选C．

考点：轴对称图形．

6．C

解析：C

【解析】

从上面看，看到两个圆形，

故选C．

7．D

解析：D

【解析】

分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

详解：去分母得：x2+2x﹣x2﹣x+2=3，解得：x=1，经检验x=1是增根，分式方程无解．

故选D．

点睛：本题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．

8．D

解析：D

【解析】

【分析】

根据折叠的知识和直线平行判定即可解答.

【详解】

解：如图可知折叠后的图案∠ABC=∠EBC ， 又因为矩形对边平行，根据直线平行内错角相等可得 ∠2=∠DBC ，

又因为∠2+∠ABC=180°， 所以∠EBC+∠2=180°，

即∠DBC+∠2=2∠2=180°-∠1=140°. 可求出∠2=70°. 【点睛】

掌握折叠图形的过程中有些角度是对称相等的是解答本题的关键.

9．C

解析：C 【解析】

试题分析：设商品原价为x ，表示出三家超市降价后的价格，然后比较即可得出答案． 解：设商品原价为x ，

甲超市的售价为：x （1﹣20%）（1﹣10%）=0.72x ； 乙超市售价为：x （1﹣15%）2=0.7225x ； 丙超市售价为：x （1﹣30%）=70%x=0.7x ； 故到丙超市合算． 故选C ． 考点：列代数式．

10．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据平行线的性质判断即可得出结论. 【详解】

解：Q 直线//m n ，

21180ABC BAC ∴∠+∠∠+∠=+?，

30ABC =?∠Q ，90BAC ∠=?，140∠=?， 218030904020∴∠=---??=???， 故选：B ． 【点睛】

本题考查的是平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

11．A

解析：A 【解析】 【分析】

由平行四边形的性质可知：OA OC =，OB OD =，再证明OM ON =即可证明四边形

AMCN 是平行四边形．

【详解】

∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA OC =，OB OD =，

∵对角线BD 上的两点M 、N 满足BM DN =， ∴OB BM OD DN -=-，即OM ON =， ∴四边形AMCN 是平行四边形， ∵1

2

OM AC =

， ∴MN AC =，

∴四边形AMCN 是矩形． 故选：A ． 【点睛】

本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

12．D

解析：D 【解析】 【分析】

将特殊角的三角函数值代入求解． 【详解】 解：cos45°= 2

． 故选D ． 【点睛】

本题考查特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．

二、填空题

13．2m 【解析】【分析】延长AD 交BC 的延长线于点E 作DF⊥CE 于点F 解直角三角形求出EFCF 即可解决问题【详解】延长AD 交BC 的延长线于点E 作DF⊥CE 于点F 在△DCF 中∵CD＝4mDF ：CF ＝1：3

解析：2m ． 【解析】 【分析】

延长AD 交BC 的延长线于点E ，作DF ⊥CE 于点F ．解直角三角形求出EF ，CF ，即可解决问题． 【详解】

延长AD 交BC 的延长线于点E ，作DF ⊥CE 于点F ． 在△DCF 中，∵CD ＝4m ，DF ：CF ＝1：

，

∴tan ∠DCF ＝，

∴∠DCF ＝30°，∠CDF ＝60°． ∴DF ＝2（m ），CF ＝2

（m ），

在Rt △DEF 中，因为∠DEF ＝50°， 所以EF ＝

≈1.67（m ）

∴BE ＝EF+FC+CB ＝1.67+2

+5≈10.13（m ），

∴AB ＝BE?tan50°≈12.2（m ），

故答案为12.2m ． 【点睛】

本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

14．0【解析】【分析】先提公因式得ab （a+b ）而a+b=0任何数乘以0结果都为0【详解】解：∵=ab（a+b ）而a+b=0∴原式=0故答案为0【点睛】本题考查了因式分解和有理数的乘法运算注意掌握任何数

解析：0 【解析】 【分析】

先提公因式得ab （a+b ），而a+b=0，任何数乘以0结果都为0． 【详解】

解：∵22a b ab = ab （a+b ），而a+b=0， ∴原式=0. 故答案为0， 【点睛】

本题考查了因式分解和有理数的乘法运算，注意掌握任何数乘以零结果都为零．

15．k≥-13且k≠0【解析】试题解析：∵a=kb=2（k+1）c=k-1∴△=4（k+1）2-4×k×（k-1）=3k+1≥0解得：k≥-13∵原方程是一元二次方程∴k≠0考点：根的判别式

解析：k≥

，且k≠0

试题解析：∵a=k，b=2（k+1），c=k-1，

∴△=4（k+1）2-4×k×（k-1）=3k+1≥0，

解得：k≥-，

∵原方程是一元二次方程，

∴k≠0．

考点：根的判别式．

16．【解析】试题分析：如图设AF的中点为D那么DA=DE=DF所以AF的最小值取决于DE的最小值如图当DE⊥BC时DE最小设DA=DE=m此时DB=m由AB=DA+DB得m+m=10解得m=此时AF=2

解析：15 2

【解析】

试题分析：如图，设AF的中点为D，那么DA=DE=DF.所以AF的最小值取决于DE的最小值.

如图，当DE⊥BC时，DE最小，设DA=DE=m，此时DB=5

3

m，由AB=DA+DB，得m+

5

3

m=10，解

得m=15

4

，此时AF=2m=

15

2

.

故答案为15 2

.

17．4×109【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式其中1≤|a|＜10n为整数确定n的值时要看把原数变成a时小数点移动了多少位n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值＞10时n是正

解析：4×109

【解析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】

4400000000的小数点向左移动9位得到4.4，

所以4400000000用科学记数法可表示为：4.4×109，

故答案为4.4×109．

【点睛】

本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

18．【解析】【分析】【详解】如图所示正六边形ABCD中连接OCOD过O作OE⊥CD；∵此多边形是正六边形∴∠COD=60°；∵OC=OD∴△COD是等边三角形∴OE=CE?tan60°=cm∴S△OCD

解析：3

【解析】

【分析】

【详解】

如图所示，正六边形ABCD中，连接OC、OD，过O作OE⊥CD；

∵此多边形是正六边形，

∴∠COD=60°；

∵OC=OD，

∴△COD是等边三角形，

∴OE=CE?tan60°=8

343

2

?=cm，

∴S△OCD=1

2

CD?OE=

1

2

×8×43=163cm2．

∴S正六边形=6S△OCD=6×163=963cm2．

考点：正多边形和圆

19．【解析】【分析】【详解】画树状图如图：∵共有16种等可能结果两名同学的植树总棵数为19的结果有5种结果∴这两名同学的植树总棵数为19的概率为

解析：

516． 【解析】 【分析】 【详解】

画树状图如图：

∵共有16种等可能结果，两名同学的植树总棵数为19的结果有5种结果， ∴这两名同学的植树总棵数为19的概率为

516

. 20．（±）【解析】【详解】∵MN 两点关于y 轴对称∴M 坐标为（ab ）N 为（-ab ）分别代入相应的函数中得b=①a+3=b②∴ab=（a+b ）2=（a-b ）2+4ab=11a+b=∴y=-x2x ∴顶点坐标为

解析：（±11 ，11

2

）． 【解析】 【详解】

∵M 、N 两点关于y 轴对称，

∴M 坐标为（a ，b ），N 为（-a ，b ），分别代入相应的函数中得，b=1

2a

①，a+3=b ②， ∴ab=

1

2，（a+b ）2=（a-b ）2+4ab=11，a+b=11 ∴y=-1

2

x 211，

∴顶点坐标为（2b a -

=11244ac b a -=112），即（11112

）． 点睛：主要考查了二次函数的性质，函数图象上点的特征和关于坐标轴对称的点的特点．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．

三、解答题

21．【问题背景】：EF ＝BE +FD ；【探索延伸】：结论EF ＝BE +DF 仍然成立，见解析；【学以致用】：5. 【解析】

【分析】

[问题背景]延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE ＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题；

[探索延伸]延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE ＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题；

[学以致用]过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，利用勾股定理求得DE的长．【详解】

[问题背景】解：如图1，

在△ABE和△ADG中，

∵

DG BE

B ADG AB AD

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠EAF＝1

2

∠BAD，

∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

∵

AE AG

EAF GAF AF AF

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF＝FG，

∵FG＝DG+DF＝BE+FD，

∴EF＝BE+FD；

故答案为：EF＝BE+FD．

[探索延伸]解：结论EF＝BE+DF仍然成立；

理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，在△ABE和△ADG中，

∵

DG BE

B ADG AB AD

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠EAF＝1

2

∠BAD，

∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，

∴∠EAF＝∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

∵

AE AG

EAF GAF AF AF

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF＝FG，

∵FG＝DG+DF＝BE+FD，

∴EF＝BE+FD；

[学以致用]如图3，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，

由【探索延伸】和题设知：DE＝DG+BE，

设DG＝x，则AD＝6﹣x，DE＝x+3，

在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2，

∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，

解得x＝2．

∴DE＝2+3＝5．

故答案是：5．

【点睛】

此题是一道把等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定结合求解的综合题．考查学生综合运用数学知识的能力，解决问题的关键是在直角三角形中运用勾股定理列方程求

解．

22．（1）直线的表达式为5106y x =

-，双曲线的表达式为30

y x =-；（2）①52

；②当06t <<时，BCD ∠的大小不发生变化，tan BCD ∠的值为5

6；③t 的值为52

或152．

【解析】 【分析】

（1）由点(12,0)A 利用待定系数法可求出直线的表达式；再由直线的表达式求出点B 的坐

标，然后利用待定系数法即可求出双曲线的表达式；

（2）①先求出点C 的横坐标，再将其代入双曲线的表达式求出点C 的纵坐标，从而即可得出t 的值；

②如图1（见解析），设直线AB 交y 轴于M ，则(0,10)M -，取CD 的中点K ，连接AK 、BK ．利用直角三角形的性质证明A 、D 、B 、C 四点共圆，再根据圆周角定理可得

BCD DAB ∠=∠，从而得出tan tan OM

BCD DAB OA

∠=∠=

，即可解决问题； ③如图2（见解析），过点B 作⊥BM OA 于M ，先求出点D 与点M 重合的临界位置时t 的值，据此分05t <<和512t ≤<两种情况讨论：根据,,A B C 三点坐标求出

,,AM BM AC 的长，再利用三角形相似的判定定理与性质求出DM 的长，最后在

Rt ACD ?中，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】

（1）∵直线10y kx =-经过点(12,0)A 和(,5)B a -

∴将点(12,0)A 代入得12100k -= 解得56

k =

故直线的表达式为5

106

y x =

- 将点(,5)B a -代入直线的表达式得5

1056

a -=- 解得6a =

(6,5)B ∴-

∵双曲线(0)m

y x x

=

>经过点(6,5)B - 56

m

∴

=-，解得30m =- 故双曲线的表达式为30y x

=-

； （2）①//AC y Q 轴，点A 的坐标为(12,0)A ∴点C 的横坐标为12

将其代入双曲线的表达式得305122

y =-=- ∴C 的纵坐标为5

2

-

，即52AC =

由题意得512t AC ?==

，解得5

2

t = 故当点C 在双曲线上时，t 的值为

5

2

； ②当06t <<时，BCD ∠的大小不发生变化，求解过程如下： 若点D 与点A 重合

由题意知，点C 坐标为(12,)t -

由两点距离公式得：2

2

2

(612)(50)61AB =-+--=

2222(126)(5)36(5)BC t t =-+-+=+-+ 22AC t =

由勾股定理得222AB BC AC +=，即2

2

6136(5)t t ++-+= 解得12.2t =

因此，在06t <<范围内，点D 与点A 不重合，且在点A 左侧 如图1，设直线AB 交y 轴于M ，取CD 的中点K ，连接AK 、BK 由（1）知，直线AB 的表达式为5

106

y x =

- 令0x =得10y =-，则(0,10)M -，即10OM =

Q 点K 为CD 的中点，BD BC ⊥

1

2

BK DK CK CD ∴===（直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）

同理可得：1

2

AK DK CK CD ===

BK DK CK AK ∴===

∴A 、D 、B 、C 四点共圆，点K 为圆心

BCD DAB ∴∠=∠（圆周角定理）

105

tan tan 126

OM BCD DAB OA ∴∠=∠===；

③过点B 作⊥BM OA 于M

由题意和②可知，点D 在点A 左侧，与点M 重合是一个临界位置 此时，四边形ACBD 是矩形，则5AC BD ==，即5t = 因此，分以下2种情况讨论：

如图2，当05t <<时，过点C 作CN BM ⊥于N

(6,5(1),2,0),(12,)B A t C --Q

12,6,6,5,OA OM AM OA OM BM AC t ∴===-===

90CBN DBM BDM DBM ∠+∠=∠+∠=?Q CBN BDM ∴∠=∠

又90CNB BMD ∠=∠=?Q

CNB BMD ∴?~?

CN BN

BM DM

∴

= AM BM AC BM DM -∴

=，即655t

DM

-= 5

(5)6

DM t ∴=-

5

6(5)6

AD AM DM t ∴=+=+-

由勾股定理得222AD AC CD +=

即2

22513616(5)(6t t ??+-+=????

解得5

2t =

或152

t =（不符题设，舍去） 当512t ≤<时，同理可得：2

22513616(5)(6t t ??--+=????

解得152

t =

或5

2t =（不符题设，舍去）

综上所述，t 的值为

52

或15

2．

【点睛】

本题考查反比例函数综合题、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、四点共圆、勾股定理等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 23．(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】

（1）连接OD ，由角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD ，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠ADO ，求得∠CAD=∠ADO ，根据平行线的性质得到CD ⊥OD ，于是得到结论；

（2）连接BD ，根据切线的性质得到∠ABE=∠BDE=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】

解：证明：(1)连接OD ， ∵AD 平分BAC ∠， ∴CAD BAD ∠=∠， ∵OA OD =， ∴BAD ADO =∠∠， ∴CAD ADO ∠=∠， ∴AC OD ∥， ∵CD AC ⊥， ∴CD OD ⊥，

∴直线CD 是⊙O 的切线； (2)连接BD ，

∵BE 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径， ∴90ABE BDE ?∠=∠=， ∵CD AC ⊥，

∴90C BDE ?∠=∠=， ∵CAD BAE DBE ∠=∠=∠， ∴ACD BDE ??∽，

∴

CD AD

DE BE

=， ∴CD BE AD DE ?=?．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义．圆周角定理，切线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

24．114,2;

x y =??

=?22

3,

3.x y =??=? 【解析】 【分析】

先对x 2-3xy+2y 2=0分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立①，组成两个二元一次方程组，解之即可． 【详解】

将方程2

2

320x xy y -+= 的左边因式分解，得20x y -=或0x y -=． 原方程组可以化为6,20x y x y +=??

-=?或6,

0.x y x y +=??-=?

解这两个方程组得114,2;x y =??=? 223,

3.x y =??=? 所以原方程组的解是114,2;x y =??=? 22

3,

3.x y =??=? 【点睛】

本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．

25．（1该档次蛋糕每件利润为18元;（2）该烘焙店生产的是四档次的产品． 【解析】 【分析】

（1）依题意可求出产品质量在第五档次的每件的利润．

（2）设烘焙店生产的是第x 档次的产品，根据单件利润×销售数量=总利润，即可得出关

于x的一元二次方程，解之即可得出结论．

【详解】

（1）10＋2×（5－1）＝18（元）．

答：该档次蛋糕每件利润为18元．

（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，

根据题意得：[10＋2（x－1）]×[76－4(x－1）]＝1024，

整理得：x2﹣16x＋48＝0，

解得：x1＝4，x2＝12（不合题意，舍去）．

答：该烘焙店生产的是四档次的产品．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）根据单件利润×销售数量=总利润，列出关于x的一元二次方程．