相似原理与量纲分析报告
对《粘性土地基强夯地面变形与应用的模型试验研究》的相似原理与量纲分析
包思远
摘要：实验研究是力学研究方法中的重要组成部分。量纲分析和相似原理是关于如何设计和组织实验，如何选择实验参数，如何处理实验数据等问题的指导性理论。相似原理与量纲分析的主要容为物理方程的量纲齐次性，π定理与量纲分析法，流动相似与相似准则，相似准则的确定，常用的相似准则数、相似原理与模型实验。本文主要分析和学习例文中的相似模型的建立和量纲分析方法，用相似原理和量纲分析方法解决实验中遇到的问题。
关键字模型试验，相似原理，量纲分析
1 模型实验相似原理基础
模型顾名思义是把实际工程中的原型缩小N倍，进行相应的实验，得到相应的规律，来反映原型在现实工程中的状态，起到一个指导作用。
模型试验它的优点在于小巧，轻便，易于安装和拆卸，最重要的原因是它的经济性高能够从少量的实验经费中得到较好的实验规律。回归于模型试验的本质就是相似原理，而相似理论有三个，分别为相似第一、二、三三大定理，其中相似第一定律是:彼此相似的物理现象,单值条件相同,其相似准数的数值也相同;相似第二定律，也称为π定律，即:两个物体相似，无论采用哪种相似判据，某些情况下的相似判据均可写成为无量纲方程。第二相似定理表明现象的物理方程可以转化为相似准数方程。它告诉人们如何处理模型试验的结果，即以相似准数间的关系给定的形式处理试验数据，并将试验结果推广到其它相似现象上去;相似第三定律是相似现象的充要条件。现象相似的充分和必要条件是:现象的单值条件相似,并且由单值条件导出来的相似准数的数值相等。
实际应用时,相似条件都是由无量纲形式的π数来表示的。目前推导原型与模型相似条件的方法主要有方程分析法和量纲分析法。方程分析法是根据支配现象的微分方程来推导相似关系。在使用方程分析法推导相似关系时,首先要列出支配现象的微分方程,然后取项与项之比就可以求出无量纲的二数。这种方法对实验者知识的掌握程度要求较高。而且在计算机
发达的今天,基于数值计算的计算机方法往往比试验方法更有利。量纲分析法比方程分析法对知识的要求要低,但是正确应用量纲分析的前提条件是正确地选择支配现象的物理参数。因为量纲分析法本身无法判断出何种物理参数是支配现象的。
1.1 相似原理中的量纲分析
对模型试验来说，为了正确的把实验结果能够用来建立一般的规律性，就首先要对原型力学现象有一个清楚的认识，在安排实验时，正确的选择无量纲参数非常的重要，无量纲参量的数目应尽可能的少，且选定的参量又要以合适的形式反映其效应。
量纲分析法是用来找出各个物理量间的相关关系，探究许多事先并未知晓的物理规律或者说无法得知明确的数学物理方程的情况，它只需要找出与发生物体现象相关的一些参数就可找出相似条件。
有量纲量和无量纲量。所谓的有量纲量是指某一个数值要依附于一个单位制的量。而无量纲指的则是某个数值与单位制没有关系，比如:长度，时间，力矩等为有量纲量，而长度的比值，能量的比值，以及长度与体积的比值等均可认为是无量纲量。所以无量纲量与有量纲量的概念是相对来说的。
基本量度单位和导出量度单位。它们两个的概念可以这样来解释，即把某些物理量看成基本物理量，而其他各量分别以这些基本量来表示，由此把基本量所有的量度单位称为基本量度单位，把用基本量表示的量度单位称为导出量度单位。在具体的量纲分析中，选取基本量度单位要根据具体情况来定，如在工程中可以取力，长度和时间的单位等。另外，我们在量纲分析中，可以把长度单位的符号写成[L]，质量单位符号写成[M]，时间单位符号写成[T]，而导出量纲，如速度就可表示为L/T，力的量纲就可以是ML/T2。
量纲公式。通过量纲和谐原理，找出两边对应且一致的量纲，并且可以正确的体现规律的方程，也就是说可以正确反映物理规律的方程都能表示为无量纲方程。
1.2 相似条件
在利用相似原理之前，我们需要认清原型与模型是否符合一定的相似条件，而相似条件主要从多各方面来对比考虑，如几何相似，材料相似，荷载相似，初始条件和边界条件相似，质量相似，时间相似等等。所设计出的模型试验只有和现实相似了，结果和规律才能正确的反馈到现实中去。以下分别介绍几何相似和荷载相似:
(1)几何相似，模型和原型中形成一个尺寸比例关系，通过这一比例来确定模型的尺寸，进而可以确定其他的比值，如:面积比，惯性矩比，跨度比，以及在本实验模型中的锤重等。
(2)荷载相似，利用量纲分析得到相似系数来对荷载进行缩放。在本模型试验中只要确定了锤重，落距，就能得到夯击能的缩放比例。
2 相似原理与量纲分析在试验中的应用
例文应用强夯法模型试验，文中指出强夯模型试验的研究比较多，使用的方法也是各不一样，但普遍都存在各自的问题，比如模型箱的尺寸，所选用的参数，土的调制，测量方法等，都或大或小有着问题。如果我们把模型设计的太小，通过相似准则知道，其他的实验装置都必须做的比较精细，即测量时可能由于方法的粗糙，导致实验分析的结果与实际相差较远，也就是说所设计的模型试验不能反映现场规律，实验为不成功。所以探讨模型试验的不足以及它未来的发展趋势是有必要的。
2.1 实验模型的分析
一、探讨模型箱的尺寸
首先，从模型箱的设计尺寸大小来考虑，模型箱需要符合在强夯某一能量作用下最大影响围和最大影响深度，计算出其大致围和深度，即通过大致计算出影响深度，即可设计出模型箱的高度，而通过文献中得到的经验数据，表明夯点间距为锤径的1.5~2.0倍，也就是说模型箱的长宽度至少要为锤径的5倍左右，以此来设计模型试验箱，以避免实验后续过程中，模型箱边界效应的影响，导致实验结果不准确;其次，要考虑到模型箱容土的体积，如果过小会有边界影响，过大又会加大实验量，拖慢实验进度，固考虑实验工作量也是一方面;最后，要综合考虑以上箱尺寸之后，要考虑的就是模型箱的制作材料，不同的材料会有不同程度的变形，对于强夯模型试验，在冲击的作用下当然是把箱体的变形减到最小就是最好的了。
二、探讨强夯模型实验中的相似系数
通过确定基本参数的比例，再由相似原理得到的所选取参数之间的相似关系，即可根据相似关系得到其它参数的比例系数，最后通过把原型缩小到模型的参数值去综合考虑该模型试验是否能够顺利的进行。如何选取基本参数的比例尤为重要，因为它涉及到后面的其他参数因子。原则上，要根据实际工程中的经验数值，挑选些比较容易见到的参数，且比较好控制，这样使得在通过相似关系计算其他因子的比例后根据实际情况方便调整基本参数的比
例。在相似系数要充分合理，要根据实际情况加以控制，如在实际中锤底面积2~4m2，把它换算锤径大约为1.5~2.3m，进而根据模型箱的大小确定锤径之间的比例可缩小20倍，同时也符合模型箱的验算。
三、准确且合理化量纲分析过程
从目前大多数的有关强夯模型试验文献来看，介绍量纲分析过程的比较少，故由此得到的相似关系没有详细的理论依据。在量纲分析给出了详细推理过程中，由于考虑的参数比较有限，得出的实验结果有些不能反映明显的现场规律。量纲分析的过程是一种建立实际情况和模型情况的联系，只有通过正确且有效的量纲分析手段才能更好的从实验结果反映现场的实际情况。
所以在量纲分析之前，要先详细了解在工程作用中的力学特性，在准确选取工程中重要的物理参数，之后才能够合理的进行量纲分析，在分析过程中最好能找出一种最科学的和最能反映现场情况的推导过程，以此来建立量纲方程，当然，如果条件允许，可以从实际操作中进行总结后再得出相应的方程，多次进行，以此来得到最终的量纲分析过程。
2.2 实验概述
根据强夯模型试验的介绍可知，在进行模型试验研究之前，结构模型需要以量纲分析为理论基础，除了满足结构构件的原则和要求外，还应当严格遵循相似原理进行试验设计，即
(1)几何相似:在原型和模型之间的尺寸需要按照设计的计算出的比例进行缩放;
(2)材料相似:原型和模型的材料属性之间需要满足一定的相似关系;
(3)力学相似:在施加力的时候，需要把实际的力按通过设计的缩放比例进行缩减;
在满足以上三个条件的同时，还应该根据相似第二和第三原理，计算得到能够反映从原型到模型模拟过程的一个相似条件，这样才能较为严格的从模型得到的结果反推到实际情况。
根据相似原理三大定理为理论背景进行如下的量纲分析，并得出相应的相似条件: 选取所应考虑的物理量，本模型试验所考虑的施工工艺参数为:夯击能E、夯锤重量w、夯锤直径D，土质参数取干重度γ，并设夯坑深度为S。
(1)用函数简单表示上述参数关系为 F(E,w, D,γ,S)=0
列出各参数基本因次及按公式确定量纲矩阵:
[E]=[FL] [W]=[F] [D]=[L] [γ]=[FL-3] [S]=[L]
(2)根据量纲和谐定理，确定π数。其中取W, D 为基本量纲，总量纲共有5个，其中 基本量纲2个，故独立的π数有3个。即
??
????-=??????1311001101L F
(3)可得3个无量纲π数如下:
WD E =1π，W D γπ32=，D
S =3π 根据相似第二定理可得： ，1=D W E C C C 13=W
D C C C γ，1=D S C C 所以可从上式中看出，只要确定锤重的相似系数C W 和锤径C D ，其他的相似系数也能从式中求出，这样就可以保证模型与原型的相似。
2.3 实验器材设计
模型箱:考虑到夯锤在一定高度的冲击也算比较大，故采用厚度为4cm 左右的建筑模板制成，同时根据早期前人的一些模型实验经验及L.Menard 提出经验公式。大致估算出加固深度，从而设计模型箱的长宽高，以避免在实验设计的最高高度处所产生的振动会因为箱子大小受到很大的边界效应，从而影响实验结果。综合考虑，实验采用边长为尺寸为70cm X 70cm X70cm 的模型箱。
三角支架:该装置主要用于固定夯锤沿竖直方向自由下落，包括主支架、导轨、调平装置和滑轮四部分组成。主支架由三根三角钢焊接而成，具有足够的稳定性和承载能力;导轨用来引导夯锤自由下落，且导轨表面较光滑;调平装置为一三角形平板，每个角下配有一个旋钮，分别用来维持夯锤在下落前处于水平状态，避免下落时夯锤翻转，影响实验结果;滑轮则是用来拴在夯锤的。
夯锤:考虑到实验结果与现场的符合性，本实验中使用的夯锤均根据现场实际情况进行设计。实际中使用的夯锤底面积2~4m 2
(换算直径大约为1.5~2.3m)，夯锤重量为10~25t ，下落的高度为8~25m 。
3 结论
量纲分析法看起来简洁明了，要正确应用却并不容易，关键在第一步。若遗漏了必需的物理量将导致错误结果，而引入无关的物理量将使分析复杂化。要正确选择物理量需掌握必要的基础知识和对研究对象的感性认识，并具有一定的量纲分析经验。
量纲分析的结果主要用于指导实验。相似理论的优越性体现在可以较好地指导模型试验，随着科技进步,国外也逐步将相似理论应用在工程领域,如工程系统相似设计、人机系统相似设计、相似虚拟制造、成组技术和机械系统相似设计等，已经得到很多研究人士的重视并得到较好的应用。随着相似理论指导模型试验理论的系统化、完整化,人们逐渐开始接受并应用这一理论。例文中根据相似理论的指导，在建立模型试验中,建立了模型与原型之间静力学和动力学的相似关系,推导反应现象的物理量的相似准则,通过模型的试验结果反推出原型应具有的特性。
相似原理与量纲分析方法应用领域非常广泛，有待我们以后进一步学习。