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2005年卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题

2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题

（2005年4月10日上午9：30－11：30）

答题时注意：1.用圆珠笔或钢笔作答.

2.解答书写时不要超过装订线.

3.草稿纸不上交.

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得零分）

1.如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB ＝8，AD ＝6. 将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为（） A.2 B.4 C.6 D.8

2.若223894613M x xy y x y =-+-++（x ，y 是实数），则M 的值一定是（） A.正数 B.负数 C.零 D.整数

3.已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A 1，B 1，C 1分别是点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点. 若点B 在△A 1 B 1 C 1的外接圆上，则∠ABC 等于（） A.30° B.45° C.60° D.90°

4.设22

21114834441004A ??

=?+++

?---?

，则与A 最接近的正整数是（）

A.18

B.20

C.24

D.25

5.设a ，b 是正整数，且满足5659a b ≤+≤，0.90.91a

<，则22b a -等于（） A.171 B.177 C.180 D.182

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6.在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针（O 为两针的旋转中心）. 若现在时间恰好是12点整，则经过＿＿＿＿秒钟后，△OAB 的面积第一次达到最大.

7.在直角坐标系中，抛物线2

y x mx m =+-

（m ＞0）与x 轴交于A ，B 两点. 若A ，B 两点到原点的距离分别为OA ，OB ，且满足

1123

OB OA -=，则m 的值等于＿＿＿＿. 8.有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按A ，2，3，…，J ，Q ，K

的顺序排列. 某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠在一起，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层，……如此下去，

直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是＿＿＿＿＿.

9.已知D ，E 分别是△ABC 的边BC ，CA 上的点，且BD ＝4，DC ＝1，AE ＝5，EC ＝2. 连结AD 和BE ，它们相交于点P. 过点P 分别作PQ ∥CA ，PR ∥CB ，它们分别与边AB 交于点Q ，R ，则△PQR 的面积与△ABC 的的面积之比为＿＿＿＿. 10.已知1x ，2x ，…，40x 都是正整数，且124058x x x ++

+=. 若2221240x x x +++的

最大值为A ，最小值为B ，则A ＋B 的值等于＿＿＿＿. 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11.8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人（不包括司机）. 其中一辆小汽车在距离火车站10km 的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有28分钟. 这时惟一可利用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60km/h ，人步行的平均速度是5km/h.. 试设计一种方案，通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站.

12.如图，半径不等的两圆相交于A ，B 两点，线段CD 经过点A ，且分别交两圆于C ，D 两点. 连结BC ，BD ，设P ，Q ，K 分别是BC ，BD ，CD 的中点，M ，N 分别是弧BC 和弧BD 的中点. 求证：（1）

BP NQ

PM QB

=；（2）△KPM ∽△NQK

13.已知p ，q 都是质数，且使得关于x 的二次方程()2

81050x p q x pq --+=至少有一个正整数根，求所有的质数对（p ，q ）.

14.从1，2，…，205共205个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数中的任意三个数a ，b ，c （a ＜b ＜c ＝，都有ab c ≠.

参考答案：1. A 2. A 3. C 4. D 5. B 6. 15

7. 2 8. 方块6 9. 400

1089

10. 494 N

K Q P