定积分的概念(教案)
1.5.3.定积分的概念 一、复习回顾: 1. 回忆前面曲边梯形的面积,汽车行驶的路程等问题的解决方法,解决步骤: 2.上述两个问题的共性是什么? 二、新知探究 1.定积分的概念 注: 说明:(1)定积分()b a f x dx ?是一个 ,即n S 无限趋近的常数S (n →+∞时)记为 ()b a f x dx ?,而不是n S . (2)用定义求定积分的一般方法是: (3)曲边图形面积: 变速运动路程: 变力做功: 例1:利用定积分的定义,计算 dx x ?102 、 dx x ?1 03 的值.
2.定积分的性质 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 性质1 ?b a dx x kf )(= ; 性质2 dx x g x f b a ?±)]()([= 性质3 ??=c a b a dx x f dx x f )()( + 3.定积分的几何意义 从几何上看,如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥, 那么定积分()b a f x dx ?表示由直线 和曲线 所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积,这就是定积分 ()b a f x dx ?的 几何意义。 思考: (1)在[,]a b 上0)(≥x f ,()b a f x dx ?= (2)在[,]a b 上0)(≤x f ,()b a f x dx ?= (3)在[,]a b 上)(x f 变号,()b a f x dx ?=
⑤ 练习: 1、利用定积分的几何意义,判断下列定积分值的正、负号。 (1) dx x ?20sin π (2)dx x ?-212 (3)dx x ?-1 23 2、利用定积分的几何意义,说明下列各式成立 (1) 0sin 22=?-dx x π π , 0sin 20=?dx x π (2)dx x dx x ??=200sin 2sin π π 3、计算下列定积分 (1)dx b a ?1 (2)11x dx -?. (3) 5 0(24)x dx -? (4) dx x ?-1021 (5)120(2)x x dx -? 三、课堂小结: ①定积分的概念及性质②用定义法求简单的定积分③定积分的几何意义
定积分的概念教案
定积分的概念 教学目标: 知识目标:掌握定积分的含义,理解定积分的几何意义。 能力目标: 1、理解定积分概念中归纳思维的运用; 2、掌握例题求解过程中对比思维的运用。 素质目标:提升分析与解决问题的能力 教学重点和难点: 教学重点 :定积分的概念和思想 教学难点:理解定积分的概念,领会定积分的思想 教学方法: 1、直观法:让抽象的数学与具体的生活结合。 2、归纳法:让严整的数学定义与休闲的娱乐生活结合。 3、类比法:让例题求解过程与社会事例结合。 4、总结法:数学学习中培养的能力贯穿生活、社会、科学等各方面。 教学过程: 一、引入新课 我们已经学过规则平面图形的面积:三角形 四边形 梯形 圆等,那么不规则平面图形的面积该怎么求呢? 二、讲解新课 实例1曲边梯形的面积 曲边梯形:若图形的三条边是直线段,其中有两条垂直 于第三条底边,而其第四条边是曲线,这样的图形称为曲边梯形,如左下图所示. 曲边梯形面积的确定步骤: 推 广 为 y O M P Q N B x C A A 曲边梯形面积的确定方法:把该曲边梯形沿着 y 轴方向切割成许多窄窄的长条,把每个长条近似看作一个矩形,用长乘宽求得小矩形面积,加起来就是曲边梯形面积的近似值,分割越细,误差越小,于是当所有的长条宽度趋于零时,这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了.如下图所示: O x y y = f (x )
(1)分割 任取分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 ,把底边[a ,b ]分成n 个小区间 []21,x x ,(),,2,1n i =.小区间长度记为 ); ,,2,1(1n i x x x i i i =-=?- (2) 取近似 在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点i ξ竖起高线)(i f ξ,则得小长条面积 i A ?的近似值为 i i i x f A ?≈?)(ξ (n i ,,2,1 =); (3) 求和 把n 个小矩形面积相加(即阶梯形面积)就得到曲边梯形面积A 的近似值 i n i i n n x f x f x f x f ?=?++?+?∑=)()()()(1 2211ξξξξ ; (4) 取极限 令小区间长度的最大值{}i n i x ?=≤≤1max λ 趋于零,则和式 i n i i x f ?∑=)(1ξ的 极限就是曲边梯形面积A 的精确值,即 i n i i x f A ?=∑=→1 )(lim ξλ 实例2 路程问题 解决变速运动的路程的基本思路: 把整段时间分割成若干小时间段,每小段上速度看作不变,求出各小段的路程的近似值,再相加,便得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值. (1)分割 (2)近似 (3)求和 (4)取极限 路程的精确值 2、归纳总结曲边梯形的面积和变速运动的路程得出定积分的概念。 3、定积分的概念 定义 3.1 设函数)(x f y =在[b a ,]上有定义,任取分点 <<<=321x x x a n n x x <<-1b =,分],[b a 为n 个小区间],[1i i x x -),,2,1(n i =. 记 {}i n i i i i x n i x x x ?==-=?≤≤-11max ),,,2,1(λ , 212101T t t t t t T n n =<<<<<=- 1--=?i i i t t t i i i t v s ?≈?)(τi i n i t v s ?≈∑ =)(1τ0},,,m ax {21→???=n t t t λi n i i t v s ?=∑=→)(lim 1 0τλ
定积分的基本概念
教 学 内 容 方法与手段 定积分的概念 大家好,这节课我们开始学习定积分的概念,主要分 为三个内容: 定积分概念引入 定积分的定义 定积分的几何性质 首先我们来看第一部分 一、定积分概念引入 说起定积分的思想,其萌芽是特别早的,可以追溯至古代,最具有代表人物就是阿基米德(公元前287年—公元前212年),我们比较熟悉的就是他的浮力原理,其实阿基米德还和高斯、牛顿并列为世界三大数学家,是个非常牛的牛人,有兴趣的可以找找这个人的一些资料,当时他就开始思考定积分问题。那么到底定积分问题是什么样子的呢我们先看一个例子。 1曲边梯形的面积问题: 我们知道矩形面积:S ah = 梯形的面积:() 2 a b S h += 曲边梯形的面积:设()y f x =在区间[a,b]上非负连续,由直线x=a,x=b,y=0及曲线()y f x =所围成的面积。 导入 幻灯 幻灯 幻灯 幻灯 详讲 详讲 详讲 幻灯
那么这样的问题怎么求呢 首先,我们考虑用一个矩形去近似计算其面积。a,b 的区间长度代表其宽,b点的函数值代表其高。我们可以得到一个近似的面积值。 好,现在我们将[a,b] 区间分为两个,同样我们用这两个区间的长度代表其宽,两个区间的右端点代表其高,然后计算这两个矩形的面积求和,作为曲边梯形的面积,可以发现,通过切分,其面积更接近曲边梯形的面积。我们就有这样的思考,是不是切分的越多,其面积越近似我们再将其分为四份,我们发现好像面积越来越接近真实面积。下面就是根据这个思想用计算机对其划分过程进行了模拟,通过观察我们可以发现其面积在分割份数特别多的时候已经非常的接近我们的曲边梯形面积了。 事实上我们如果对其切割的份数取极限,让切割的份数趋于无穷,这个极限值就是我们要求的曲边梯形的面积值。 好,下面,我们把曲边梯形的求解过程用数学的方法描述一下。 解决步骤: 大化小:在区间中任意插入个分点 ,用直线将一个曲边梯形分成个小的曲边梯形;详讲总结
定积分与微积分含答案
定积分与微积分基本定理 基础热身 1.已知f (x )为偶函数,且 ??0 6f(x)d x =8,则? ?6-6f(x)d x =( ) A .0 B .4 C .8 D .16 2. 设f(x)=??? x 2,x ∈[0,1], 1 x ,x ∈1,e ] (其中e 为自然对数的底数),则??0 e f(x)d x 的值为( ) B .2 C .1 3.若a =??0 2x 2d x ,b =??0 2x 3d x ,c =??0 2sin x d x ,则a 、b 、c 的大小关 系是( ) A .aA .0 B .1 C .0或1 D .以上均不对 9.如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ,为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ,则力所做的功为( ) A . J B . J C . J D . J 10.设函数y =f(x)的定义域为R +,若对于给定的正数K ,定义函 数f K (x )=????? K ,fx ≤K ,fx ,fx >K , 则当函数f (x )=1x ,K =1时,定积分??214f K (x)d x 的值为________. (x -x 2)d x =________. 12. ∫π 20(sin x +a cos x)d x =2,则实数a =________. 13.由抛物线y 2 =2x 与直线x =12及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为________. 14.(10分)已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx +c 的图象如图K 15-2所示,直线y =0在原点处与函数图象相切,且此切线与函数图象所围 成的区域(阴影)面积为27 4,求f(x)的解析式. 图K 15-2 15.(13分)如图K 15-3所示,已知曲线C 1:y =x 2与曲线C 2:y =-x 2+2ax(a>1)交于点O 、A ,直线x =t (00),
定积分基本公式
定积分基本公式 定积分是高等数学中一个重要的基本概念,在几何、物理、经济学等各个领域中都有广泛的应用.本章将由典型实例引入定积分概念,讨论定积分性质和计算方法,举例说明定积分在实际问题中的具体运用等. 第二节 微积分基本公式 一、变上限的定积分 设函数()f x 在[[,]a b ] 上连续,x ∈[,]a b ,于是积分()d x a f x x ?是一个定数, 这种写法有一个不方便之处,就是 x 既表示积分上限,又表示积分变量.为避免 t ,于是这个积分就写成了 ()d x a f t t ? . x 值,积分()d x a f t t ?就有一个确定的的一个函数,记作 ()Φx =()d x a f t t ? ( a ≤x ≤ b )通常称函数 ()Φx 为变上限积分函数或变上限积分,其几何意义如图所示. 定理1 如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续,则变上限积分 ()Φx =()d x a f t t ?在[,]a b 上可导,且其导数是 d ()()d ()d x a Φx f t t f x x '= =?( a ≤x ≤ b ). 推论 连续函数的原函数一定存在. 且函数()Φx =()d x a f t t ?即为其原函数.
例1 计算()Φx =2 0sin d x t t ?在x =0 ,处的导数. 解 因为2 d sin d d x t t x ?=2sin x ,故 2 (0)sin 00Φ'==; πsin 242Φ'==. 例2 求下列函数的导数: (1) e ln ()d (0)x a t Φx t a t =>? ; 解 这里()Φx 是x 的复合函数,其中中间变量e x u =,所以按复合函数求导 法则,有 d d ln d(e )ln e (d )e d d d e x x u x x a Φt t x x u t x ===?. (2) 2 1()(0) x Φx x θ=>? . 解 21d d d d x Φx x θ=-?2 2()x x ='=2sin 2sin 2x x x x x =- ?=-. 二、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz )公式 定理2 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,又 ()F x 是()f x 的任一个原函数,则有()d ()() b a f x x F b F a =-? . 证 由定理1知,变上限积分 ()()d x a Φx f t t =?也是()f x 的一个原函数,于 是知0()()Φx F x C -=, 0C 为一常数, 即 0 ()d ()x a f t t F x C =+?.
微积分定积分练习题(有答案)
1利用定积分的几何意义计算」''1 - x2dx. 2. 计算定积分"2(x+ 1)dx. J i 3. 定积分"bf(x)dx的大小() ?a A .与f(x)和积分区间[a, b]有关,与E的取法无关 B.与f(x)有关,与区间[a,b]以及&的取法无关 C .与f(x)以及8的取法有关,与区间[a, b]无关 D .与f(x)、区间[a,b]和8的取法都有关 4. 在求由x= a,x= b(a
8. 10 利用定积分的几何意义求 —9 — x — 3 2dx. (1)| 2(x 2+ 2x + 1)dx ; 广n (2) 1 (sinx — cosx)dx ; (3)| J* 2 / 、 1 x — X 2 +_ 1 丿。 1 < X 丿 (4) 0-?cosx + e x )dx. ⑹p (2x + 1)dx ; ⑺ 丿0 1 2x + 一 dx x 广1 ⑺f; x (8) 1x 3dx ; ■ 0 (9) 1e x dx. 11 求 y = — x 2与 y = x — 2围成图形的面积S. 15 A.— 4 17 B.— 4 1 C.—|n 2 2 D . 2ln2 已知"2 f(x)dx = 3,贝U 2 [f(x) + 6]d 1 1 12 .由直线x =2,x =2,曲线y =严x 轴所围图形的面积为 13.已知 f 1— 1(x 3 + ax + 3a — b)dx= 2a + 6 且 f(t) = f (x 3 + ax + 3a — b)dx 为偶函数, 求下列定积分: dx ; 2 1 x 2dx
高等数学第五章定积分及自测题
第五章定积分 一、基本要求: 1.理解定积分的概念、几何意义、物理意义及定积分的性质. 2.理解积分上限的函数,并掌握其求导法则. 3.掌握牛顿——莱布尼兹公式. 4.掌握定积分的换元法和分布积分法. 5.理解反常积分(广义积分)的概念,会计算反常积分,了解反常积分的审敛法. 6.了解定积分的近似计算方法. 二、主要内容
Ⅰ. 定积分概念: 1. 定积分定义:设()f x 在区间[,]a b 上有界,在[,]a b 中任意插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<=.把[,]a b 分成n 个小区间1[,],(1,2, ,)i i x x i n -=,小 区间的长度记为1,(1,2, ,)i i i x x x i n -?=-=,在1[,]i i x x -上任意取一点i ξ,作1 ()n i i i f x ξ=?∑, 若0 1 lim ()n i i i f x λξ→=??∑ 1(max{})i i n x λ≤≤=?存在. 就称该极限为()f x 在[,]a b 上的定积分. 记为 1 ()lim ()n b i i a i f x dx f x λξ→==??∑? 当上述极限存在时,称()f x 在[,]a b 上可积. 2. 若()f x 在[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上可积。 3. 若()f x 在[,]a b 上有界,且只有有限个间断点,则()f x 在[,]a b 上可积. Ⅱ. 定积分的几何意义 定积分 ()b a f x dx ? 在几何上表示:由曲线()y f x =,直线x a =和x b =以及x 轴所围图形面 积的代数和 (x 轴上方的面积取正,x 轴下方的面积取负) Ⅲ. 定积分的性质 1. 补充规定:(1)当a b =时, ()0b a f x dx =? (2)当a b >时, ()()b a a b f x dx f x dx =-?? 2. 性质: (1) [()()]()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx - -+=+? ?? (2) ()(),()b b a a kf x dx k f x dx k =? ?为常数 (3) ()()()b c b a a c f x dx f x dx f x dx =+? ?? (4) b a dx b a =-? (5) 若在[,]a b 上,()0f x ≥,则 ()0,()b a f x dx a b ≥ 推论1:若在[,]a b 上,()()f x g x ≤,则 ()(),()b b a a f x dx g x dx a b ≤ ?.