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定积分详解

定积分的概念(教学内容)

授课题目定积分的概念 课时数1课时 教学目标理解定积分的基本思想和概念的形成过程,掌握解决积分学问题的“四步曲”。 重点与难点重点:定积分的基本思想方法,定积分的概念形成过程。难点:定积分概念的理解。 学情分析我所教授的学生从知识结构上来说属于好坏差别很大,有的接受新知识很快,有的很慢,有的根本听不懂,基 于这些特点,结合教学内容,我以板书教学为主,多媒 体教学为辅,把概念较强的课本知识直观化、形象化, 引导学生探索性学习。 教材分析本次课是学生学习完导数和不定积分这两个概念后的学习,定积分概念的建立为微积分基本定理的引出做了铺 垫,起到了承上启下的作用。而且定积分概念的引入体 现着微积分“无限分割、无穷累加”“以直代曲、以不变 代变”的基本思想。所以无论从内容还是数学思想方面, 本次课在教材中都处于重要的地位。 教学方法根据对学生的学情分析,本次课主要采用案例教学法,问题驱动教学法,讲与练互相结合,以教师的引导和讲 解为主,同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的 积极性。

教学手段 传统教学与多媒体资源相结合。 课程资源 同济大学《高等数学》(第七版)上册 教学内容与过程 一、定积分问题举例 1、曲边梯形的面积 设)(x f y =在区间],[b a 上非负连续。由)(,0,,x f y y b x a x ====所围成的图形称为曲边梯形(见下图),求其面积A ,具体计算步骤如下: (1)分割:在区间],[b a 中任意插入1-n 个分点 b x x x x x a n n =<<<<<=-1210Λ 把],[b a 分成n 个小区间 ],[,],,[],,[12110n n x x x x x x -Λ 它们的长度依次为:n x x x ???,,,21Λ (2)近似代替:区间],[1i i x x -对应的第i 个小曲边梯形面积,)(i i i x f A ?≈?ξ ]).,[(1i i i x x -∈?ξ (3)求和:曲边梯形面积∑∑==?≈?=n i i i n i i x f A A 1 1 )(ξ (4)取极限:曲边梯形面积,)(lim 10∑=→?=n i i i x f A ξλ其中 }.,,m ax {1n x x ??=Λλ 2、变速直线运动路程 设物体做直线运动,已知速度)(t v v =是时间间隔],[21T T 上的非负连续函数,计算这段时间内物体经过的路程s ,具体计算步骤与上相似 x a b y o 1x i x 1-i x i ξ

1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版

定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为

S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积

§1.5.3定积分的概念教案

1.5.3定积分的概念 教学目标 能用定积分的定义求简单的定积分; 理解掌握定积分的几何意义; 重点 定积分的概念、定积分法求简单的定积分、 定积分的几何意义 难点 定积分的概念、定积分的几何意义 复习: 1. 回忆前面曲边图形面积,变速运动的路程,变力做功等问题的解决方法,解决步骤 2.对这四个步骤再以分析、理解、归纳,找出共同点. 新课讲授 1.定积分的概念 一般地,设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<= 将区间[,]a b 等分成n 个小区间,每个小区间长度为x ?(b a x n -?=), 在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ,作和式: 1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-= ?= ∑ ∑ 如果x ?无限接近于0(亦即n →+∞)时,上述和式n S 无限趋近于常数 S ,那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为: ()b a S f x dx = ? 其中()f x 成为被积函数,x 叫做积分变量,[,]a b 为积分区间,b 积分上限,a 积分下限。 说明:(1)定积分()b a f x dx ?是一个常数,即n S 无限趋近的常数S

(n →+∞时)称为()b a f x dx ? ,而不是n S . (2)用定义求定积分的一般方法是: ①分割:n 等分区间[],a b ;②近似代替:取点[]1,i i i x x ξ-∈; ③求和:1()n i i b a f n ξ=-∑ ; ④取极限:() 1 ()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞ =-=∑ ? (3)曲边图形面积:()b a S f x dx =?;变速运动路程2 1 ()t t S v t dt =?; 变力做功 ()b a W F r dr = ? 2.定积分的几何意义 如果在区间[,]a b 上函数连 续且恒有 ()0 f x ≥,那么定积分 ()b a f x dx ? 表示由直线,x a x b ==(a b ≠),0y =和曲线() y f x = 所围成的 曲边梯形的面积。 例1.计算定积分2 1 (1)x dx +? 分析:所求定积分即为如图阴影部分面积,面积为5 2 。 即:2 1 5(1)2 x dx += ? 思考:若改为计算定积分 22 (1)x dx -+? 呢? 改变了积分上、下限,被积函数在 [2,2]-上出现了负值如何解决呢? (后面解决的问题) 练习 计算下列定积分 1.50(24)x dx -? 解:5 0(24)945x dx -=-=? 2.1 1x dx -? 解:11 111111122 x dx -= ??+ ??=?

定积分及微积分基本定理练习题及答案

1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A .a2,c =??02sinxdx =- cosx|02=1-cos2∈(1,2), ∴c

高中数学之定积分与微积分基本定理含答案

专题06 定积分与微积分基本定理 1.由曲线,直线轴所围成的图形的面积为() A.B.4C.D.6 【答案】A 【解析】 联立方程得到两曲线的交点(4,2), 因此曲线y,直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为: S. 故选:A. 2.设f(x)=|x﹣1|,则=() A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】A 【解析】 画出函数的图像如下图所示,根据定积分的几何意义可知,定积分等于阴影部分的面积,故定积分为 ,故选A.

3.曲线与直线围成的封闭图形的面积是() A.B.C.D. 【答案】D 【解析】 令,则,所以曲线围成的封闭图形面积为 ,故选D 4.为函数图象上一点,当直线与函数的图象围成区域的面积等于时,的值为 A.B.C.1D. 【答案】C 【解析】 直线与函数的图象围成区域的面积S dx =

∴ 故选:C 5.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为( ) A.B.1C.D. 【答案】B 【解析】 题目所求封闭图形的面积为定积分,故选B. 6.如图,矩形中曲线的方程分别是,在矩形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为( ) A.B.C.D. 【答案】A 【解析】 依题意的阴影部分的面积,根据用几何概型概率计算公式有所求概率为,故选A. 7.() A.B.-1C.D. 【答案】C 【解析】 解:

. 故选:C. 8.,则T的值为 A.B.C.D.1 【答案】A 【解析】 由题意得表示单位圆面积的四分之一,且圆的面积为π, ∴, ∴. 故选A. 9.下列计算错误 ..的是() A.B. C.D. 【答案】C 【解析】 在A中,, 在B中,根据定积分的几何意义,, 在C中,, 根据定积分的运算法则与几何意义,易知,故选C.

高等数学(上册)教案22定积分的概念与性质

高等数学(上册)教案22定积分的概念与性 质 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第5章 定积分及其应用 定积分的概念与性质 【教学目的】: 1. 理解曲边梯形的面积求法的思维方法; 2. 理解定积分的概念及其性质; 3. 掌握定积分的几何意义 ; 【教学重点】: 1. 定积分的概念及其性质; 【教学难点】: 1. 曲边梯形面积求法的思维方法; 【教学时数】:2学时 【教学过程】: 案例研究 引例5.1.1 曲边梯形的面积问题 所谓曲边梯形是指由连续曲线)(x f y =(设0)(≥x f ),直线a x =,b x =和 0=y (即x 轴)所围成的此类型的平面图形(如图5-1所示).下面来求该曲边 梯形的面积. 分析 由于“矩形面积=底?高”,而曲边梯形在底边上各点处的高()f x 在区间 [,]a b 上是变动的,故它的面积不能按矩形面积公式计算. 另一方面,由于曲线()y f x =在[,]a b 上是连续变化的,所以当点x 在区间 [,]a b 上某处变化很小时,相应的()f x 也就变化不大.于是,考虑用一组平行于 y 轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形,当分割得较细,每个小曲边图5-1 图5-2

梯形很窄时,其高()f x 的变化就很小.这样,可以在每个小曲边梯形上作一个 与它同底、以底上某点函数值为高的小矩形,用小矩形的面积近似代替小曲边 梯形的面积,进而用所有小曲边梯形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积 (如图5-2所示).显然,分割越细,近似程度越高,当无限细分时,所有小矩 形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值. 根据以上分析,可按以下四步计算曲边梯形的面积A . (1)分割 在闭区间],[b a 上任意插入1n -个分点, 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=, 将闭区间[,]a b 分成n 个小区间 ],[,],,[,],[],,[112110n n i i x x x x x x x x -- , 它们的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-, 过每一个分点作平行于y 轴的直线,把曲边梯形分成n 个小曲边梯形; (2)取近似 在每个小区间1[,]i i x x -(1,2,...,)i n =上任取一点 1()i i i i x x ξξ-≤≤,以小区间1i i i x x x -?=-为底,()i f ξ为高作小矩形,用小矩形的 面积()i i f x ξ?近似代替相应的小曲边梯形的面积A ?,即 ()(1,2,...,)i i A f x i n ξ?=?=, (3)求和 把这样得到的n 个小矩形的面积加起来,得和式∑=?n i i i x f 1)(ξ, 将其作为曲边梯形面积的近似值,即 11()n n i i i i i A A f x ξ===?≈?∑∑; (4)取极限 当分点个数n 无限增加,且小区间长度的最大值λ (max{}i x λ=?)趋于零时,上述和式的极限值就是曲边梯形面积的精确值, 即 01lim ()n i i i A f x λξ→==?∑. 5.1.1 定积分的定义 定义1 设函数()y f x =在闭区间[,]a b 上有界,在闭区间[,]a b 中任意插 入1n -个分点 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=, 将区间[,]a b 分成n 个小区间 011211[,],[,],...,[,],...,[,]i i n n x x x x x x x x --, 各小区间的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-, 在每个小区间上任取一点)(1i i i i x x ≤≤-ξξ,作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ?的 乘积),,2,1()(n i x f i i =?ξ,并作和∑=?n i i i x f 1)(ξ,记 }max {i x ?=λ, ),,2,1(n i =, 当n 无限增大且0→λ时,若上述和式的极限存在,则称函数()y f x =在区

《定积分的概念》教学反思

《定积分的概念》教学反思 渭南市吝店中学曹茹军 本节课是高二新授课,是选修2-2第四章第一节的内容:《定积分的概念》课程内容安排为一课时。 此内容要求学生在充分认识导数的基础上,通过运用积分手段解决曲边梯形的面积问题,从而借助于几何直观体会定积分的基本思想,了解定积分的概念,能用定积分法求简单的定积分.理解掌握定积分的几何意义和性质;认识到数学知识的实用价值。 新课标要求我们在教学过程中要着重培养学生的探究、发现、创新等方面的能力。学习的全过程需要学生的参与,学生是学习的主体和中心。围绕这个宗旨,我在课堂内容的编排上作了一定的思考。在内容编排上,我基本遵循由易到难的过程,从最基本的,学生所熟知的前课知识开始引入,由浅入深的引导学生加以足够地探究,使学生的发现变得自然而水到渠成。同时对于学生可能的探究结果留有足够的空间,充分肯定学生的创新发现,对于学生考虑不到的地方加以补充、引导、完善,并留出一定课后思考得余地。在问题设置上,尽量让学生能通过自己的努力探索独立完成,通过独立思考展示与合作探究展示相结合,让其承担起引导思考与解释的重任。 我想,一堂好的示范课,不应该只是一次简单的表演与展示,如果在上课之前反复编排到一词一句,会让学生疲惫,听课老师觉得虚假而没有了讨论与交流的兴致,这其实也是对听课老师的一种不尊重的表现。因此我按照正常的教学进度,以便学生在课堂上有充分的暴露与发现的机会,当然这样一来对于老师的临场应变要求会更高,我想这也应该是一个合格教师的基本素养吧。 当然这节课还有一些不足之处,由于没有在课前提前向学生透漏问题,想要在课堂上反应学生的真实水平,因此学生回答问题时不够全面,导致学生回答的次数较多且有些同学比较拖沓,出现了上课前松后紧的遗憾。我觉得这样的课堂模式导学案的设置是很重要的,在今后的教学中我会不断的完善自己的教学技能,提高自己的业务水平。 最后为了上好这堂课,背后凝聚了我们全组老师集体的智慧与力量,大家在一起共同研究与探讨,出了许多好的主意,在此一并表示感谢。

第五章_第一节_不定积分的概念、性质.

经济数学——微积分 4 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义 基本积分表 不定积分的性质 小结思考题 经济数学——积分 二—原函数与不定积分的概念 定义如果在区I 刖内,可导函数尸(X)的 导函数为/(X ),即 We/,都有F\x) = f(x) 或 dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx 在区间 /内原函数?(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx 是 cos 兀的原函数. (inx) =— (X >0) X In X 是1在区间((),+oo)内的原函数. X 第一节 五、

定理原函数存在定理: 如果函数八X)在区间内连续, 那么在区 间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) = f(x). 简言之:连续函数一定有原函数. 问题:(1)原函数是否唯一? (2)若不唯一它们之间有什么联系? 1 f 例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx (C为任意常数) 经济数学一微积分 关于原函数的说明: (1) (2) 证 说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或 经济数学一微积分

经济数学——微积分 不定积分(indefinite integral )的定义: 在区间/内,函数/(兀)的带有任意 常数项的原函数称为/(兀)在区I 可内的 不定积分,记为f/(xMr ? 经济数学——微积分 6 =X% /. fx^dx =—— 十 C. J 」 6 例2求f --------- dr. J 1 + X- / J 解?/ (arctanx)= ,, I ‘ 1 + 疋 心& =皿2 被积函数 『积分号 积分变量 寒积表达式 F(x)

定积分的概念教案知识讲解

定积分的概念教案

人教A版必修一教材 教材内容分析微积分的出现和发展,极大的推动了数学的发展,同时也推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。本节课是定积分概念的第一节课,教材借助求曲边梯形的面积和物理中变速直线运动的路程,通过直观具体的实例引入到定积分的学习中,为定积分概念构建认知基础,为理解定积分概念及几何意义起到了铺垫作用,同时也为今后进一步学习微积分打下基础。 学生情况分析 本节课的教学对象是本校实验班学生,学生思维比较活跃,理解能力、运算能力和学习交流能力较强。学生前面已经学习了导数,并利用导数研究函数的单调性、极值及生活中的优化问题等,渗透了微分思想。从学生的思维特点看,比较容易把刘徽的“割圆术”与本节课知识联系到一起,能够初步了解到“以直代曲”和“无限逼近”的重要数学思想,但是在具体的“以直代曲”过程中,如何选择适当的直边图形来代替曲边梯形会有一些困难。在对“极限”和“无限逼近”的理解,即理解为什么将直边图形面积和取极限正好是曲边梯形面积的精确值及在对定积分定义的归纳中符号的理解上也会有一些困难。 教学目标 1.从物理问题情境中了解定积分概念的实际背景,初步掌握求曲边梯形的面积的方法和步骤:分割、近似代替、求和、取极限; 2.经历求曲变梯形面积的过程,借助几何直观体会“以直代曲”和“逼近”的思想,学习归纳、类比的推理方式,体验从特殊到一般、从具体到抽象、化归与转化的数学思想; 3.认同“有限与无限的对立统一”的辩证观点,感受数学的简单、简洁之美. 教学重点直观体会定积分的基本思想方法:“以直代曲”、“无限逼近”的思想; 初步掌握求曲边梯形面积的方法步骤——“四步曲”(即:分割、近似代替、求和、取 极限) 教学难点对“以直代曲”、“逼近” 思想的形成过程的理解. 教学方式教师适时引导和学生自主探究发现相结合. 辅助工具投影展台,几何画板. 教学过程 引入新课问题:汽车以速度v做匀速直线运动时,经过时间t所行驶的路程为 S vt =.如果汽车作变速直线运动,在时刻t的速度为()2 v t t=(单 位:km/h),那么它在0≤t≤1(单位:h)这段时间内行驶的路程S (单位:km)是多少? 创设情境,引入 这节课所要研究的 问题. 类比探究,形成方法如图,阴影部分类似于一个梯形,但有一边是曲线() y f x =的一 段,我们把由直线,(),0 x a x b a b y ==≠=和曲线() y f x =所围 成的图形称为曲边梯形. 如何计算这个曲边梯形的面积? (1)温故知新,铺垫思想 问题1:我们在以前的学习经历中有没有用直边 图形的面积计算曲边图形面积这样的例子? 问题2:在割圆术中为什么用正多边形的面积计算圆的面积?为什么 要逐次加倍正多边形的边数? (2)类比迁移,分组探究 问题3:能不能类比割圆术的思想和操作方法把曲边梯形的面积问题 转化为直边图形的面积问题? 学生活动:学生进行分组讨论、探究。 (3)汇报比较,形成方法 学生需要用原有的 知识与经验去同化 或顺应当前要学习 的新知识,所以问 题1引导学生回忆 割圆术的作法,通 过问题2引导学生 思考割圆术中的思 想方法----“以直代 曲”,和“无限逼 近”。 通过问题3激 发学生探索的愿 望,明确解决问题 的方向。

定积分的基本概念

定积分的基本概念 摘要:定积分的概念,原理,思想方法。 关键词:分割,求和,取极限。 通过了一个学期的学习,我们的专业课数学分分析从开始接触时的一窍不通到现在的马马虎虎。使我迷茫的学习慢慢的清晰起来,其中给我学以致用的就是定积分了。可以用来做很多方面的问题。下面来和大家分享一下我学习定积分的感悟。 定积分的概念 1)定积分概念的引入 2)“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立 3)定积分的数学定义 重点:定积分的数学定义 难点:“分割、近似求和、取极限”变量数学思想的建立 定积分概念的引入 在熟悉定积分的概念的同时我们应该明确定积分的基础思想。 在灵活运动定积分可以求曲边梯形的面积和变力所做的功,下面来分别的求它们的面积。我们可以从中比较一下,以给我们带来启发。 1曲边梯形的面积 中学里我们已经学会了正方形,三角形,梯形等面积的计算,这些图形有一个共同的特征:每条边都是直线段。但我们生活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计算呢?我们通常用一些小矩形面积的和来近似它。

近似看成多边形面积来计算。现在我们来计算一下溢流坝上部断面面积。 我们分别取n=10, 50, 100用计算机把它的图像画出来,并计算出面积的近似值: 1.当n=10时,用10个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时,则S10 0.7510。(见下图)

2.当n=50时,用50个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时,则S50≈0.6766。 3.当n=100时,用100个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时,则S100≈0.6717。 由此可知,分割越细,越接近面积准确值,而这个和求极限也是同出一则。把它这样简化来理解也就不再那么的难了。 再看一个变力做功的问题。 设质点m受力F(x)的作用,沿直线由A点运动到B点,求力 F(x)的做的功。 F虽然是变力,但在很短一段时间内△x,F的变化不大,可近似看着是常

定积分及微积分基本定理练习题及答案

定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·山东日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A .a2,c =??0 2sinxdx =-cosx|02 =1-cos2∈(1,2), ∴c

定积分的概念(教案)

1.5.3.定积分的概念 一、复习回顾: 1. 回忆前面曲边梯形的面积,汽车行驶的路程等问题的解决方法,解决步骤: 2.上述两个问题的共性是什么? 二、新知探究 1.定积分的概念 注: 说明:(1)定积分()b a f x dx ?是一个 ,即n S 无限趋近的常数S (n →+∞时)记为 ()b a f x dx ?,而不是n S . (2)用定义求定积分的一般方法是: (3)曲边图形面积: 变速运动路程: 变力做功: 例1:利用定积分的定义,计算 dx x ?102 、 dx x ?1 03 的值.

2.定积分的性质 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 性质1 ?b a dx x kf )(= ; 性质2 dx x g x f b a ?±)]()([= 性质3 ??=c a b a dx x f dx x f )()( + 3.定积分的几何意义 从几何上看,如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥, 那么定积分()b a f x dx ?表示由直线 和曲线 所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积,这就是定积分 ()b a f x dx ?的 几何意义。 思考: (1)在[,]a b 上0)(≥x f ,()b a f x dx ?= (2)在[,]a b 上0)(≤x f ,()b a f x dx ?= (3)在[,]a b 上)(x f 变号,()b a f x dx ?=

⑤ 练习: 1、利用定积分的几何意义,判断下列定积分值的正、负号。 (1) dx x ?20sin π (2)dx x ?-212 (3)dx x ?-1 23 2、利用定积分的几何意义,说明下列各式成立 (1) 0sin 22=?-dx x π π , 0sin 20=?dx x π (2)dx x dx x ??=200sin 2sin π π 3、计算下列定积分 (1)dx b a ?1 (2)11x dx -?. (3) 5 0(24)x dx -? (4) dx x ?-1021 (5)120(2)x x dx -? 三、课堂小结: ①定积分的概念及性质②用定义法求简单的定积分③定积分的几何意义

定积分的概念教案

定积分的概念 教学目标: 知识目标:掌握定积分的含义,理解定积分的几何意义。 能力目标: 1、理解定积分概念中归纳思维的运用; 2、掌握例题求解过程中对比思维的运用。 素质目标:提升分析与解决问题的能力 教学重点和难点: 教学重点 :定积分的概念和思想 教学难点:理解定积分的概念,领会定积分的思想 教学方法: 1、直观法:让抽象的数学与具体的生活结合。 2、归纳法:让严整的数学定义与休闲的娱乐生活结合。 3、类比法:让例题求解过程与社会事例结合。 4、总结法:数学学习中培养的能力贯穿生活、社会、科学等各方面。 教学过程: 一、引入新课 我们已经学过规则平面图形的面积:三角形 四边形 梯形 圆等,那么不规则平面图形的面积该怎么求呢? 二、讲解新课 实例1曲边梯形的面积 曲边梯形:若图形的三条边是直线段,其中有两条垂直 于第三条底边,而其第四条边是曲线,这样的图形称为曲边梯形,如左下图所示. 曲边梯形面积的确定步骤: 推 广 为 y O M P Q N B x C A A 曲边梯形面积的确定方法:把该曲边梯形沿着 y 轴方向切割成许多窄窄的长条,把每个长条近似看作一个矩形,用长乘宽求得小矩形面积,加起来就是曲边梯形面积的近似值,分割越细,误差越小,于是当所有的长条宽度趋于零时,这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了.如下图所示: O x y y = f (x )

(1)分割 任取分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 ,把底边[a ,b ]分成n 个小区间 []21,x x ,(),,2,1n i =.小区间长度记为 ); ,,2,1(1n i x x x i i i =-=?- (2) 取近似 在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点i ξ竖起高线)(i f ξ,则得小长条面积 i A ?的近似值为 i i i x f A ?≈?)(ξ (n i ,,2,1 =); (3) 求和 把n 个小矩形面积相加(即阶梯形面积)就得到曲边梯形面积A 的近似值 i n i i n n x f x f x f x f ?=?++?+?∑=)()()()(1 2211ξξξξ ; (4) 取极限 令小区间长度的最大值{}i n i x ?=≤≤1max λ 趋于零,则和式 i n i i x f ?∑=)(1ξ的 极限就是曲边梯形面积A 的精确值,即 i n i i x f A ?=∑=→1 )(lim ξλ 实例2 路程问题 解决变速运动的路程的基本思路: 把整段时间分割成若干小时间段,每小段上速度看作不变,求出各小段的路程的近似值,再相加,便得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值. (1)分割 (2)近似 (3)求和 (4)取极限 路程的精确值 2、归纳总结曲边梯形的面积和变速运动的路程得出定积分的概念。 3、定积分的概念 定义 3.1 设函数)(x f y =在[b a ,]上有定义,任取分点 <<<=321x x x a n n x x <<-1b =,分],[b a 为n 个小区间],[1i i x x -),,2,1(n i =. 记 {}i n i i i i x n i x x x ?==-=?≤≤-11max ),,,2,1(λ , 212101T t t t t t T n n =<<<<<=- 1--=?i i i t t t i i i t v s ?≈?)(τi i n i t v s ?≈∑ =)(1τ0},,,m ax {21→???=n t t t λi n i i t v s ?=∑=→)(lim 1 0τλ

定积分的基本概念

教 学 内 容 方法与手段 定积分的概念 大家好,这节课我们开始学习定积分的概念,主要分 为三个内容: 定积分概念引入 定积分的定义 定积分的几何性质 首先我们来看第一部分 一、定积分概念引入 说起定积分的思想,其萌芽是特别早的,可以追溯至古代,最具有代表人物就是阿基米德(公元前287年—公元前212年),我们比较熟悉的就是他的浮力原理,其实阿基米德还和高斯、牛顿并列为世界三大数学家,是个非常牛的牛人,有兴趣的可以找找这个人的一些资料,当时他就开始思考定积分问题。那么到底定积分问题是什么样子的呢我们先看一个例子。 1曲边梯形的面积问题: 我们知道矩形面积:S ah = 梯形的面积:() 2 a b S h += 曲边梯形的面积:设()y f x =在区间[a,b]上非负连续,由直线x=a,x=b,y=0及曲线()y f x =所围成的面积。 导入 幻灯 幻灯 幻灯 幻灯 详讲 详讲 详讲 幻灯

那么这样的问题怎么求呢 首先,我们考虑用一个矩形去近似计算其面积。a,b 的区间长度代表其宽,b点的函数值代表其高。我们可以得到一个近似的面积值。 好,现在我们将[a,b] 区间分为两个,同样我们用这两个区间的长度代表其宽,两个区间的右端点代表其高,然后计算这两个矩形的面积求和,作为曲边梯形的面积,可以发现,通过切分,其面积更接近曲边梯形的面积。我们就有这样的思考,是不是切分的越多,其面积越近似我们再将其分为四份,我们发现好像面积越来越接近真实面积。下面就是根据这个思想用计算机对其划分过程进行了模拟,通过观察我们可以发现其面积在分割份数特别多的时候已经非常的接近我们的曲边梯形面积了。 事实上我们如果对其切割的份数取极限,让切割的份数趋于无穷,这个极限值就是我们要求的曲边梯形的面积值。 好,下面,我们把曲边梯形的求解过程用数学的方法描述一下。 解决步骤: 大化小:在区间中任意插入个分点 ,用直线将一个曲边梯形分成个小的曲边梯形;详讲总结

定积分与微积分含答案

定积分与微积分基本定理 基础热身 1.已知f (x )为偶函数,且 ??0 6f(x)d x =8,则? ?6-6f(x)d x =( ) A .0 B .4 C .8 D .16 2. 设f(x)=??? x 2,x ∈[0,1], 1 x ,x ∈1,e ] (其中e 为自然对数的底数),则??0 e f(x)d x 的值为( ) B .2 C .1 3.若a =??0 2x 2d x ,b =??0 2x 3d x ,c =??0 2sin x d x ,则a 、b 、c 的大小关 系是( ) A .a

A .0 B .1 C .0或1 D .以上均不对 9.如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ,为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ,则力所做的功为( ) A . J B . J C . J D . J 10.设函数y =f(x)的定义域为R +,若对于给定的正数K ,定义函 数f K (x )=????? K ,fx ≤K ,fx ,fx >K , 则当函数f (x )=1x ,K =1时,定积分??214f K (x)d x 的值为________. (x -x 2)d x =________. 12. ∫π 20(sin x +a cos x)d x =2,则实数a =________. 13.由抛物线y 2 =2x 与直线x =12及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为________. 14.(10分)已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx +c 的图象如图K 15-2所示,直线y =0在原点处与函数图象相切,且此切线与函数图象所围 成的区域(阴影)面积为27 4,求f(x)的解析式. 图K 15-2 15.(13分)如图K 15-3所示,已知曲线C 1:y =x 2与曲线C 2:y =-x 2+2ax(a>1)交于点O 、A ,直线x =t (00),

定积分基本公式

定积分基本公式 定积分是高等数学中一个重要的基本概念,在几何、物理、经济学等各个领域中都有广泛的应用.本章将由典型实例引入定积分概念,讨论定积分性质和计算方法,举例说明定积分在实际问题中的具体运用等. 第二节 微积分基本公式 一、变上限的定积分 设函数()f x 在[[,]a b ] 上连续,x ∈[,]a b ,于是积分()d x a f x x ?是一个定数, 这种写法有一个不方便之处,就是 x 既表示积分上限,又表示积分变量.为避免 t ,于是这个积分就写成了 ()d x a f t t ? . x 值,积分()d x a f t t ?就有一个确定的的一个函数,记作 ()Φx =()d x a f t t ? ( a ≤x ≤ b )通常称函数 ()Φx 为变上限积分函数或变上限积分,其几何意义如图所示. 定理1 如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续,则变上限积分 ()Φx =()d x a f t t ?在[,]a b 上可导,且其导数是 d ()()d ()d x a Φx f t t f x x '= =?( a ≤x ≤ b ). 推论 连续函数的原函数一定存在. 且函数()Φx =()d x a f t t ?即为其原函数.

例1 计算()Φx =2 0sin d x t t ?在x =0 ,处的导数. 解 因为2 d sin d d x t t x ?=2sin x ,故 2 (0)sin 00Φ'==; πsin 242Φ'==. 例2 求下列函数的导数: (1) e ln ()d (0)x a t Φx t a t =>? ; 解 这里()Φx 是x 的复合函数,其中中间变量e x u =,所以按复合函数求导 法则,有 d d ln d(e )ln e (d )e d d d e x x u x x a Φt t x x u t x ===?. (2) 2 1()(0) x Φx x θ=>? . 解 21d d d d x Φx x θ=-?2 2()x x ='=2sin 2sin 2x x x x x =- ?=-. 二、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz )公式 定理2 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,又 ()F x 是()f x 的任一个原函数,则有()d ()() b a f x x F b F a =-? . 证 由定理1知,变上限积分 ()()d x a Φx f t t =?也是()f x 的一个原函数,于 是知0()()Φx F x C -=, 0C 为一常数, 即 0 ()d ()x a f t t F x C =+?.

微积分定积分练习题(有答案)

1利用定积分的几何意义计算」''1 - x2dx. 2. 计算定积分"2(x+ 1)dx. J i 3. 定积分"bf(x)dx的大小() ?a A .与f(x)和积分区间[a, b]有关,与E的取法无关 B.与f(x)有关,与区间[a,b]以及&的取法无关 C .与f(x)以及8的取法有关,与区间[a, b]无关 D .与f(x)、区间[a,b]和8的取法都有关 4. 在求由x= a,x= b(a

8. 10 利用定积分的几何意义求 —9 — x — 3 2dx. (1)| 2(x 2+ 2x + 1)dx ; 广n (2) 1 (sinx — cosx)dx ; (3)| J* 2 / 、 1 x — X 2 +_ 1 丿。 1 < X 丿 (4) 0-?cosx + e x )dx. ⑹p (2x + 1)dx ; ⑺ 丿0 1 2x + 一 dx x 广1 ⑺f; x (8) 1x 3dx ; ■ 0 (9) 1e x dx. 11 求 y = — x 2与 y = x — 2围成图形的面积S. 15 A.— 4 17 B.— 4 1 C.—|n 2 2 D . 2ln2 已知"2 f(x)dx = 3,贝U 2 [f(x) + 6]d 1 1 12 .由直线x =2,x =2,曲线y =严x 轴所围图形的面积为 13.已知 f 1— 1(x 3 + ax + 3a — b)dx= 2a + 6 且 f(t) = f (x 3 + ax + 3a — b)dx 为偶函数, 求下列定积分: dx ; 2 1 x 2dx

高等数学第五章定积分及自测题

第五章定积分 一、基本要求: 1.理解定积分的概念、几何意义、物理意义及定积分的性质. 2.理解积分上限的函数,并掌握其求导法则. 3.掌握牛顿——莱布尼兹公式. 4.掌握定积分的换元法和分布积分法. 5.理解反常积分(广义积分)的概念,会计算反常积分,了解反常积分的审敛法. 6.了解定积分的近似计算方法. 二、主要内容

Ⅰ. 定积分概念: 1. 定积分定义:设()f x 在区间[,]a b 上有界,在[,]a b 中任意插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<=.把[,]a b 分成n 个小区间1[,],(1,2, ,)i i x x i n -=,小 区间的长度记为1,(1,2, ,)i i i x x x i n -?=-=,在1[,]i i x x -上任意取一点i ξ,作1 ()n i i i f x ξ=?∑, 若0 1 lim ()n i i i f x λξ→=??∑ 1(max{})i i n x λ≤≤=?存在. 就称该极限为()f x 在[,]a b 上的定积分. 记为 1 ()lim ()n b i i a i f x dx f x λξ→==??∑? 当上述极限存在时,称()f x 在[,]a b 上可积. 2. 若()f x 在[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上可积。 3. 若()f x 在[,]a b 上有界,且只有有限个间断点,则()f x 在[,]a b 上可积. Ⅱ. 定积分的几何意义 定积分 ()b a f x dx ? 在几何上表示:由曲线()y f x =,直线x a =和x b =以及x 轴所围图形面 积的代数和 (x 轴上方的面积取正,x 轴下方的面积取负) Ⅲ. 定积分的性质 1. 补充规定:(1)当a b =时, ()0b a f x dx =? (2)当a b >时, ()()b a a b f x dx f x dx =-?? 2. 性质: (1) [()()]()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx - -+=+? ?? (2) ()(),()b b a a kf x dx k f x dx k =? ?为常数 (3) ()()()b c b a a c f x dx f x dx f x dx =+? ?? (4) b a dx b a =-? (5) 若在[,]a b 上,()0f x ≥,则 ()0,()b a f x dx a b ≥

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