13.3.2 等边三角形第2课时 含30°角的直角三角形的性质

第2课时含30°角的直角三角形的性质

【知识与技能】

1.熟练掌握含30°角的直角三角形的性质.

2.会利用性质解题.

【过程与方法】

通过直尺量取得到直观结论，然后加以证明。

【情感态度】

本节课使学生经历了“实验——猜想——证明”的过程，使同学们初步体验了自然科学的一般研究方法，提高了学生研究和学习的兴趣.

【教学重点】

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

【教学难点】

巧妙运用性质解题.

一、情境导入，初步认识

用两个全等的含30°角的直角三角尺，试着把它们拼在一起，看能否拼成一个等边三角形，然后以小组为单位一起讨论可从中发现什么结论，并予以证明.

老师指导拼图，得出结论，并一起证明结论.

（1）在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.

（2）在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为30°.

【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.

二、思考探究，获取新知

例1在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC=60°,∠BAC的平分线AM的长为15cm，求BC的长.

【分析】要求BC的长，可分别求出BM和CM的长.利用等腰三角形的判定得出

BM=AM，利用含30°角的直角三角形的性质得CM=1

2

AM,将所求线段转化为已知线段进

行求解.

解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°,

∠BAC=60°,

∴∠B=30°.

∵AM平分∠BAC,

∴∠CAM=∠BAM=30°.

∴∠B=∠BAM,∴AM=BM=15cm.

∴在Rt△ACM中，∠CAM=30°.

∵CM=1

2

AM=7.5cm.

∴BC=CM+BM=7.5+15=22.5cm.

【教学说明】

在直接求一条线段不易求的情况下，可以将其转化为求易求的两条线段的和或差进行计算.

例2 在Rt△ABD中，∠ADB=90°,∠A=60°,作DC∥AB,且∠DBC=∠BDC,DC与BC交于点C，已知CD=4cm.

（1）求∠CBD的度数；

（2）求AB的长.

【分析】(1)根据直角三角形的两个锐角互余，可知∠DBA的度数，再由DC∥AB及等腰三角形的性质即可计算∠CBD的度数；（2）可作等腰三角形CBD 底边上的高，延长交AB于点E.根据等腰三角形“三线合一”，可以得出CE平分BD且平分∠DCB,由此可知△BCE是等边三角形，所以BE=4,则DE=BE=4.再证明△ADE是等边三角形即可.

解：（1）在Rt△ADB中，∵∠A=60°,∠ADB=90°,

∴∠ABD=30°.

又∵AB∥CD,∴∠CDB=∠ABD=30°.

∴∠CBD=∠CDB=30°.

（2）过点C作CM⊥BD于点M，交AB于点E，连接DE,则DE=EB, ∴∠EDB=∠EBD=30°.

∵∠CDM=30°,∠CMD=90°,

∴CM=1

2

CD=2.

又∵∠EBM=∠CBM=30°,BM=BM,

∠EMB=∠CMB=90°,

∴△CBM≌△EBM(ASA),

∴EM=CM=2.

∴DE=2EM=4.

∵∠DEA=∠EDB+∠EBD=60°,

∠A=60°,

∴AD=DE=4.

又∵∠ADB=90°,∠ABD=30°,

∴AB=2AD=8.

【教学说明】

直角三角形30°角的性质常与直角三角形的两个锐角互余同时运用，此性质是求线段长度和证明线段间倍分问题的重要依据.

例3 如图所示，在△ABC中，AB=AC,D为BC边上的点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分

别为E、F，∠BAC=120°.求证：DE+DF=1

2 BC.

【分析】∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.又DE⊥AB,DF⊥AC,可以构造两个含30°角的直角三角形.

【证明】∵AB=AC,∠BAC=120°,

∴∠B=∠C=1

2

(180°-120°)=30°.

又∵DE⊥AB,DF⊥AC,

∴∠BED=∠CFD=90°.

在Rt△BDE中，∵∠B=30°,

∴DE=1

2 BD.

同理，在Rt△CDF中，DF=1

2 CD.

∴DE+DF=1

2

BD+

1

2

CD=

1

2

(BD+CD)=

1

2

BC.

例4 如图所示，在四边形ABCD中，AD=4,BC=1,∠A=30°,∠

ADC=120°,试求CD的长.

【分析】由于CD不是特殊三角形的边长，所以无法利用已知条件直接求出，延长AD、BC，将题中已知条件集中在两个特殊的三角形中.

解：延长AD、BC交于点E,

在Rt△ABE中，∠E=180°-90°-30°=60°,

又∵∠CDE=180°-120°=60°,

∴∠DCE=60°.

∴△CED是等边三角形.

设CD=x,则BE=1+x,AE=4+x,

在Rt△ABE中，∵∠A=30°,

∴AE=2BE.

即4+x=2(1+x),解得x=2,即CD的长为2.

三、运用新知，深化理解

1.若三角形的三个内角的比为1∶2∶3,则它的最短边与最长边的比为（）.

A.1∶3

B.1∶2

C.2∶3

D.1∶4

2.如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60°,那么这个三角形是____.

【答案】1.B 2.等边三角形

四、师生互动，课堂小结

特殊直角三角形，运用性质先判断，30°所对的直角边，长度恰为斜边一半.

1.布置作业：从教材“习题13.3”中选取.

2.完成练习册中本课时的练习.

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历观察、实验、归纳等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法，同时升华学生的情感、态度和价值观.

初中数学 含30度角的直角三角形的性质教案

课题 14．3．2．2等边三角形(第2课时) 刘莹 教学任务分析

教学过程设计

AB=4，则BC= ，∠BCD= ， BD= 2、如图1，∠ABC=30°，AC ⊥BC ，AB=4cm ， （1） 求AC 的长， （2） 如图2，若D 是AB 中点， 连结DC ，求DC 的长 （3） 如图3，若D 是AB 中点， DE ⊥BC ，求DE 的长 如图1 如图2 4、如图是屋架设计图的一部分， 点D 是斜梁AB A 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ， AB=7．4 m ，∠A=30°，立柱BC 、DE 要多长？ 追问：（1）若D 变成AB 上使CD ⊥AB 于D 的点，其它条件不变，如图a ，你能分解出 30°角的直角三角形吗？求出那些线段的长？ （2）如图a ，BD 与AB 有何数量关系，此结论与AB 的长度有关吗？（课后讨论） 课堂练习：1、填空： ∵Rt △ACB 中，∠C=90°，∠ C ．（1）、（3） D ．（2）、（4） 学生仔细读题，分析其中的数量关系 教师提示：要准确选择直角三角形 请个别学生板演详细过程，强调解题格式要规范 如图3 分析：观察图形可以发现在Rt △AED 与Rt △ACB 中，由于∠A=30°，所以DE=1/2AD ，BC=1/2AB ，又由D 是AB 的中点，所以DE=1/4AB ． 解：∵DE ⊥AC ，BC ⊥AC ，∠A=30°， ∴ BC=1/2AB ，DE=1/2AD ， ∴BC=1/2×7．4=3．7(m)． 又∵AD=1/2AB ， ∴DE=1/2AD=1/2×3．7=1．85(m)． 答：立柱BC 的长是3．7 m ，DE 的长是1．85 m ． 图a 直角三角形是正确解题的关键 课堂练习 反馈调控 综合应用，巩固提高 课本例题 涉及的线 段、角较多，学生不 易找到解 题的突破 口，因此设 计该分层 推进的补充题，为解答以下例 题做好铺垫 帮助学生进一步认 识直角三 角形的性质 因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系， 鼓励学生 积极参与数学活动，A B C A B E C D C A D B A B E C D B A E C D

直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半的教学稿

直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半的教学稿 凤台四中 邓丽春 活动1:变式练习 深化性质 1、已知如图（3），在Rt △ABC 中，因为∠A=30°，则下列结论正确的为： A 、12BC AC = B 、12A C AB = C 、12 BC AB = B B 图（3） 图（4） 2、已知如图（4），△ABC ，∠C=90°，∠A=30°，DE ⊥AC 于点E ，FG ⊥AB 于点G ，请你根据直角三角形的性质写出不同线段间的数量关系。 学生活动：学生独立自主完成练习，小组展示，师生质疑矫正。 教师活动：教师重点关注学生能否找准30°角所对的直角边，能否根据性质写出线段间的关系。 活动2、应用提高、拓展创新 1、如图（5）是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB =7.4 m ，∠A =30°，立柱BC 、DE 需要多长？

E D C B A D C A B 图（5） 图（6） 2、已知：如图（6），△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°．求证：BD=14 AB ． 师生活动： 学生根据所学知识自行探索，教师引导学生在探索的过程中发现解决问题的关键：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半． 设计意图：目的在于想让学生抽象出隐含在实际问题中的数学问题，体现具体——抽象——具体的过程，感受“数学来源于实践，而又反过来服务于实践”，提高学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识和解决问题的能力。 小结：本节课你学到了什么？你认为最重要的是什么？ 作业： 必做题： 1、已知：如图（7），在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高．

含30度的直角三角形性质教案

含30°角的直角三角形的性质教案 一、教材内容分析 直角三角形是在学习了等腰三角形、等边三角形后又一种特殊的三角形，它除了具备有 一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质，反映了直角三角形中角与角、边与角之间的关系，主要作用是解决直角三角形中的有关计算问题。课标中的要求是探索并掌握直角三 角形的性质。 二、教学目标（知识，技能，情感态度、价值观） 1、知识与技能： （1）了解直角三角形的表示法。(2)掌握直角三角形的三个性质定理，能利用直角三角形的性质定理进行有关的计算和证明 2、过程与方法：经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充。 3、情感态度与价值观:通过“探索——发现——猜想——证明”的过程体验数学活动中的探索与创新，感受数学的严谨性，激发学生的好奇心和求知欲，培养学习的自信心。 三、学生特征分析 本节课的教学对象是八年级学生，学生已经学过了三角形的性质、全等的判定以及等腰三角形等边三角形的性质及判定等知识，有一定的证明基础。他们的形象思维活跃，而且具备了通过观察得出简单的结论，通过互相讨论完善对知识的理解的能力，但对添加辅助线这种构图能力相对比较薄弱。 四、教学策略选择与设计 由度量30°所对直角边和斜边的长度和折纸的方法激发学生的学习热情，也为定理的证明做了铺垫。在教学过程中要让学生认真审题找准30°的直角三角形。实战演练巩固所学知识提高学生对定理的认识。 五、教学环境及资源准备 刻度尺、等边三角形纸片 六、教学过程 一、温故知新 1．等边三角形的判断方法： ①等边三角形； ②等边三角形； ③等边三角形。 二、合作交流、解读探究 活动1(量一量). 自己动一动手 用刻度尺测量含30°角的直角三角形的斜边和30°角所对的直角边，比较它们之间的数量关系,你有什么发现？ 活动2（拼一拼）.小组合作 将两个含有30°的三角板如图摆放在一起，你能借助这个图形得到Rt△ABC的直角边BC(30°角所对的)与斜边AB之间的数量关系吗?并证明

含30度角直角三角形教学设计

含30°角的直角三角形的性质 一、教学目标： 知识与技能：掌握30°角的直角三角形的性质与应用。 过程与方法：通过探究30°角的直角三角形的性质，增强学生对特殊直角三角形的 认识，培养分析问题、解决问题的能力。 情感态度与价值观：通过学习30°角的直角三角形性质，了解等边三角形与30°角互相转化的事实，培养学生用发展变化的思想看问题的价值观。 二、教学重点、难点 重点：含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明。 难点：含30°角的直角三角形的性质定理的探索与证明。 三、教具、学具准备 两个全等的含30°角的直角三角尺。 教学过程： 一、创设情景，导入新课 问题1：用两个全等的含30°角的直角三角尺，（1）你能拼一个怎样的三角形？谁赶来试一试？（2）能拼出一个等边三角形吗？说说理由。请把你的发现和大家交流一下，好吗？ （让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同事引导学生意识到，通过实际操作 探索出来的结论，还需要给予证明） 生一：（1）两种拼法：如图①、② ①② 师：你能拼出两种拼法，真不简单，你的进步可真大！ 生二：（2）用两个全等的含30°角的三角尺，能拼出一个等边三角形，如上图② 理由一：图②中 ∵△AB D≌△ACD ,∴ AB=AC,又∵RT△ABD中，∠BAD=30° ∴∠ABD=60°, ∴△ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形） 理由二：图②中 ∵∠B=∠C=60, ∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60° ∴∠B=∠C=∠BAC=60°, △ABC是等边三角形。 理由三：用刻度尺测量△ABC的三条边相等，即△ABC是等边三角形。

含30度角的直角三角形培优(经典)

含300的角的直角三角形 [教学目标] 掌握有一个角为30°的直角三角形的性质并能初步运用该性质，解决有关几何问题 一、性质的探究 请同学们将两个含有板有30°的三角尺如图摆放在一起你能借助这个图形,找到Rt △ABC 的直角边BC 与斜边AB 之间的数量关系吗? 二、应用举例 例1、已知：如，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°． 求证：BD=1 4 AB ． 例2、等腰三角形的底角为15°，腰长为20，求腰上的高． 例题3、如图，在ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，?=∠30BAC ,CD 为斜边AB 上的中线. 求证：AB CD 2 1= 三、练习 1、如图，ABC ?是等边三角形，BC AD ⊥，AB DE ⊥，若8=AB cm ，则BD 的长为 cm ，BE 的长为 cm . 2、如图，在ABC Rt ?中，?=∠90C ，?=∠60CAB ，AD 平分CAB ∠， AB DE ⊥于点E ，且cm DE 3=. 求BC 的长 A B C D D C B

3、如下图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA,若PC=4，求PD的长。 4、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC?于点D， ?求证：?BC=3AD. 四、课后延伸 1、△ABC中，点D为AC的中点，∠DBC=90°，.∠ABC=120°. 证明：AB=2BC D C A B

能力提升练习 1、在等边ΔABC 中，AE=CD ，BGAD ，求证：BP=2PG 。 2、 ABC ?中，ο120A AC AB =∠=，，AB 的中垂线交AB 于D ，交CA 延长线于E ，求证：BC 2 1 DE = 。 3、△ABC 中，∠BCA=90°，∠BAC=30°.△ABE 与△ACD 都是等边三角形。点F 为BE 的中点，DF 交AC 于M. 证明;(1)FM=MD (2）AM=MC

含30度角的直角三角形培优

A C B 例题：如图，在ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，?=∠30BAC 求证：AB BC 2 1 = 变式：如图，在ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，AB BC 2 1 = 求证：?=∠30BAC 例1、已知：如，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°． 求证：BD=1 4 AB ． 例2、等腰三角形的底角为15°，腰长为20，求腰上的高． D C A B D C A B

O B A C D A B C D 练习 1、如图，ABC ?是等边三角形，BC AD ⊥，AB DE ⊥，若8=AB cm ，则BD 的长为 cm ，BE 的长为 cm . 2、如图，在ABC Rt ?中，?=∠90C ，?=∠60CAB ，AD 平分CAB ∠，AB DE ⊥于点E ，且cm DE 3=. 求BC 的长 3、如下图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA,若PC=4，求PD 的长。 4、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC?于点D ， ?求证：?BC=3AD. 5、△ABC 中，点D 为AC 的中点，∠DBC=90°，.∠ABC=120°. 证明：AB=2BC(4-5法形内形外构造中位线或中点倍长）

能力提升 1、在等边ΔABC 中，AE=CD ，BG ⊥AD ，求证：BP=2PG 。 变式：如图，点D 是等边△ABC 边AB 上的一点，AB=3AD ，DE ⊥BC 于点E ，AE 、CD 相交于点F ． （1）求证：△ACD ≌△BAE ； （2）请你过点C 作CG ⊥AE ，垂足为点G ，探究CF 与FG 之间的数量关系，并证明． 2、 ABC ?中， 120A AC AB =∠=，，AB 的中垂线交AB 于D ，交CA 延长线 于E ，求证：BC 2 1 DE = 。 3、△ABC 中，∠BCA=90°，∠BAC=30°.△ABE 与△ACD 都是等边三角形。点F 为BE 的中点，DF 交AC 于M. 证明;(1)FM=MD (2）AM=MC

含30度角的直角三角形的性质教案

含30度角的直角三角形的教学及反思 教学目标（一）教学知识点 1．探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质． 2．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用． （二）能力训练要求 1．经历“探索──发现──猜想──证明”的过程，?引导学生体会合情推理与演绎推 理的相互依赖和相互补充的辩证关系． 2．培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力． （三）情感与价值观要求 教学重点 1.鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲． 2．体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性． 含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明． 教学难点 1．含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明． 2．引导学生全面、周到地思考问题． 教学方法：探索发现法． 教具准备两个全等的含30°角的三角尺； 教学过程 一、提出问题，创设情境 我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质．大家可能已猜到，我让大家准备好的含30°角的直角三角形，?它有什么不同于一般的直角三角 形的性质呢？ 问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？?能拼出一个等 边三角形吗？说说你的理由． 由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？ 二、导入新课 （让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明） 用含30°角的直角三角尺能摆出了如下两个三角形，你能说出这两个图形特征吗？ 同学们从不同的角度说明了自己拼成的图（1）是等边三角形．由此你能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？ 我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？请根据图形写出已知、求证和证明过程。 已知： 求证： 证明： 这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系，下面我们就来看两个例题． 1．右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多长？ 2．等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．

含30度角的直角三角形

年级：八年级学科：数学课题：含30度角的直角三角形课型：新授课备课时间：10月10日主备人：审核人： 学习目标： ①经历猜测、验证的过程，理解含30°锐角直角三角形的性质． ②学会应用含30°锐角直角三角形的性质解决线段之间倍半关系的问题．教学流程导航台知识链接 自主探究环节 将两个含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找出Rt△ABC的直角边BD与斜边AB之间的数量关系吗? 由题意可判别△ABC是等边三角形，且AD为边BC上的高，可得BD＝CD＝12AB．即：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 设问：你能用所学的知识验证以上结论吗? 学生有困难，可设计以下填空 题帮助探寻思路： 1．如图1，△ABC是等边三角 形，AD⊥BC于D， 则∠BAD＝_____°，BD＝ _____BC＝ ____AB． 2．如图2，△ABC中， 若AC⊥BC，∠A＝30°，则∠ B＝_____°，延长BC到D使 BD＝AB，连结AD，则△ABD 是_____三角形，BC＝_____BD 1、等边三角形 有什么性质？ 2、如何判定一 个三角形是等 边三角形?

＝_____AB。 总结以上两小题可得以上结 论． 巩固达标： 如图6是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A＝30°，立柱BC、DE要多长? 学生仔细读题，分析其中的数量关系． 解：因为DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°， 由含30°锐角直角三角形的性质可得，教师提示要准确选择直角三角形． 请个别学生板演详细过程，强调解题格式要规范。 让学生认识到仔细审题是关键，找准直角三角形是应用含30°锐角直角三角形的性质的前提．

含30度角的直角三角形的性质

图1 含030角的直角三角形的性质 教学目标：⒈经历猜测、验证的过程，理解含030锐角直角三角形的性质。⒉学会应用含030锐角直角三角形的性质解决线段之间倍半关系的问题。 教学重点：含030角的直角三角形的性质的发现与应用 教学难点：⒈含030角的直角三角形性质的探索与证明； ⒉引导学生全面、周到地思考问题。 教学方法：探索发现法 教学工具：两个全等的含030角的三角尺；圆规 教学过程：一、回顾与思考 1．等边三角形有哪些性质？如何判定一个三角形是等边三角 形？ 2．问题情境：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房 沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得钭坡与水平面所成的角的度数是 30°,为使出水口的高度为35m ,那么需要准备多长的水管? 这个问题实际上可以归结为:在△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,BC=35m ，求AB (如图1)。这个问题解决的关键是寻找: 之间的关系。 二、自主探究：[活动1] ⒈我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么数量关系？ 今天，我们先来看一个特殊的直角三角形，看它的边具有什么性质

⒉用你的30°角的直角三角尺，把斜边和30°角所对的直角边量一量，你有什么发现？ [活动2] ⒈请同学们准备好两个全等的含030角的直角三角形，把相等的边拼在一起组成平面图形，有几种拼法？ ⒉探究：在这些图形中，轴对称图形有 个，其中三角形有 个，各是一个怎样的三角形？说说你的理由。 [活动3]我们仅凭实际操作得出的结论还需证明吗? ⒈在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所角所对的直角边等于斜边的一半。其条件和结论分别是什么？如何用数学符号来表达？如何证明？ 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°∠BAC=30° 求证：BC=1/2AB 证明：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°。 延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD(如下图) ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD=90°． ∵AC=AC ， ∴△ABC ≌△ADC(SAS)． ∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)． ∴△ABD 是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角

含30度角的直角三角形培优(经典)

含３00的角的直角三角形 [教学目标] 掌握有一个角为30°的直角三角形的性质并能初步运用该性质,解决有关几何问题 一、性质的探究 请同学们将两个含有板有3０°的三角尺如图摆放在一起你能借助这个图形，找到Rt △ABC 的直角边B Ｃ与斜边A Ｂ之间的数量关系吗? 二、应用举例 例1、已知:如，△ＡB Ｃ中，∠ACB=90°,C Ｄ是高，∠A=30°． 求证:ＢD= 14ＡB. 例２、等腰三角形的底角为1５°，腰长为20,求腰上的高． 例题3、如图，在ABC Rt ?中，?=∠90ACB ,?=∠30BAC ,CD 为斜边AB 上的中线. 求证:AB CD 2 1= 三、练习 1、如图，ABC ?是等边三角形,BC AD ⊥,AB DE ⊥，若8=AB cm ,则BD 的长为 cm ,BE 的长为 cm ． 2、如图,在ABC Rt ?中，?=∠90C ,?=∠60CAB ,AD 平分CAB ∠,AB DE ⊥于点E ,且cm DE 3=. 求BC 的长 A B C D D C B

３、如下图所示,∠AOP=∠ＢOＰ=15°，PC∥OＡ,若ＰC=4,求PD的长。 4、如图，△ABＣ中,AB=ＡＣ，∠ＢAC＝１20°，ＡD⊥AC交BC?于点D, ?求证:?BC＝３AＤ． 四、课后延伸 1、△ＡBＣ中，点D为AC的中点,∠DBC＝9０°,.∠AＢC=120°． 证明:AＢ=2BＣ D C A B

能力提升练习 1、在等边ΔABC 中,AE=CD,ＢG ＡD,求证：BP=２ＰＧ。 2、 ABC ?中， 120A AC AB =∠=，,A Ｂ的中垂线交AB 于D,交C Ａ延长线于E ，求证：BC 21DE =。 3、△A ＢC 中，∠ＢＣA=90°，∠BAC ＝3０°.△ABE 与△ACD 都是等边三角形。点F 为BE 的中点,D Ｆ交ＡC 于M. 证明;(1)FM=MD (2)ＡM=MC

直角三角形30度角性质

直角三角形30度角性质 教学目标： 知识与技能： 1．理解掌握有一个角为30°的直角三角形的性质。 2．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用． 过程与方法： 1．经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，培养学生观察、分析、归纳问题的能力。 2．通过运用性质解决有关的问题，提高运用知识和技能解决问题的能力，发展应用意识. 情感态度价值观： 1．引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲．2.在运用数学知识解答问题的活动中，鼓励学生积极参与数学活动，体验数学活动中的探索与创新，感受数学的严谨性． 重点：含30°角的直角三角形的性质的发现与应用． 难点：含30°角的直角三角形性质的探索与证明． 教学过程: 一.温故互查 我们学过了直角三角形的哪些性质?(4号同学抢答,同桌互查) (设计意图:复习巩固上节所学知识) 二.创设情境,导入新课. 在直角三角形中,如果有一个锐角是30度,这个直角三角形的边会有

什么特殊性质? (提出问题,创设情境) 下面我们通过操作来探究 请大家做一个含30度角的直角三角形,把这个直角三角形沿60度角的平分线折叠,再把斜边对折,你有什么发现? (设计意图:让学生通过动手操作,初步感知) 三.操作探究,提出猜想 1、请同学们准备好两个全等的含30°角的直角三角形，把相等的边拼在一起组成平面图形，能否拼成等边三角形？为什么? (设计意图:让学生经历折叠三角形和拼摆三角形的活动，发现结论。) 学生动手拼图，互相交流，把拼出的图贴到黑板上，学生观察摆出的三角形． 图1 同学们从不同的角度说明拼成的图(1)是等边三角形． 学生口述，教师简单板书 （若学生不能单独回答可以先与同伴交流结论成立的理由，教师可提示：求得∠B=∠C=∠BAC=60°或证∠ABD=60°，有一个角是6O°的等腰三角形是等边三角形．） 在等边△ABC中，AB BC（填“＞”、“＜”或“=”）在Rt△ABD 中， =30°，30°所对的直角边是，BC= AB（为什么）这样我们就得到了在直角三角形中,有一个角是30度,这个三角

含30°角的直角三角形

含30°角直角三角形 1．如图，△ABC中，∠ACB为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于D，若BD＝3，求AB的长． 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，∠BCD＝∠A＝30°，BC＝4cm，求AD的长． 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E． (1)求证：DE＝CE． (2)若CE＝2，求BC的长． 4．如图，在△ABC中已知∠B：∠A：∠C＝1：2：3，AB＝10m． (1)求证：△ABC为直角三角形． (2)求AB边上的中线长． 5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，求AC的长．

6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB交BC于点E，BE＝4，求AC的长． 7．如图是屋架设计图的一部分，其中∠A＝30°，点D是斜梁AB的中点，BC、DE垂直于横梁AC，AB＝8cm，则立柱BC，DE要多长？ 8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E． (1)求证：AE＝2CE； (2)连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由． 9．已知：如图示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝2∠C，BD是∠ABC的平分线．求证：CD＝2AD． 10．如图，四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，求CD 的长．

11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，DC＝3，求BD的长． 12．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：CD＝2AD． 13．如图所示，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，DC＝8，求△ABC的面积． 14．已知，如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E．若AE＝2，求BE的长． 15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC 于点D，若CD＝3，求BD的长． 16．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，边AC的垂直平分线分别交AC、BC于E、D两点．试写出线段BD和DC的数量关系，并给出证明．

含30度角的直角三角形的性质教案

含30 度角的直角三角形的教学及反思教学目标（一）教学知识点 1?探索——发现——猜想一一证明直角三角形中有一个角为30°的性质. 2．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用． （二）能力训练要求 1?经历“探索一一发现一一猜想一一证明”的过程，?引导学生体会合情推理与演绎推 理的相互依赖和相互补充的辩证关系. 2?培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力. （三）情感与价值观要求教学重点 1.鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲. 2 ?体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性. 含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明. 教学难点 1?含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明. 2?引导学生全面、周到地思考问题. 教学方法：探索发现法. 教具准备两个全等的含30°角的三角尺； 教学过程 一、提出问题，创设情境 我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质.大 家可能已猜到，我让大家准备好的含30°角的直角三角形，?它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？ 问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？?能拼出一 个等边三角形吗？说说你的理由. 由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？ 二、导入新课 （让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明） 用含30°角的直角三角尺能摆出了如下两个三角形，你能说出这两个图形特征吗？ 同学们从不同的角度说明了自己拼成的图（1）是等边三角形.由此你能得出在直角三角 形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？ 我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？请根据图形写出已知、求证和证明过程。 已知：求证：证明：这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系，下面我们就来看两个例题. 1?右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC DE垂直于横梁AC, AB=, / A=30°，立柱BD DE要多长？ 2?等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高. 已知：如图，在△ ABC中，AB=AC=2a / ABC* ACB=15 , CD是腰AB上的高. 求：CD的长. 三、展示平台 （一）基础部分 Rt △ ABC中，/ C=90°, / B=2/ A, / B和/ A各是多少度？边AB与BC?之间有什么关系？ （二）拓展提高 1.已知：如图，△ ABC中，/ ACB=90 , CD是高，/ A=30°.

30度角所对直角边专练

二30度所对的直角边性质一 1.将两个含30°角的三角尺按如图所示摆放在一起，观察并回答下面的问题： （1）判断△ABD的形状，依据是什么？（2）BC与CD大小有什么关系关系？为什么？（3）BC与AB大小有什么关系？为什么？你能归纳含30°角的直角三角形性质吗？ 含30°角的直角三角形的边角性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 事实上，：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它对的角等于30含30°角的直角三角形是半个等边三角形，除了具有上述边角的特殊关系外，它的三个角度数分别为30°、60°、90°所以它是一个特殊的直角三角形. ?中，∠BAC=120°，AB=AC， 【例题】如图，在ABC AD⊥AC交BC于D，求证：BC=3AD. 三、课堂训练 1．三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，它的最短边长4cm，则它的最长边为______cm. 2．等腰三角形的顶角为120°，腰长为6，则底边上的高线长为_______. 3．等腰三角形的顶角为150°，腰长为6，则其面积为_______. 4．一个三角形的两个内角分别为30°、75°，最长边为8cm，则这个三角形的面积为______. ?中，∠C=90°，∠B=15°，AC=10，AB的垂直平分线交BC于D，则DB=_______. 5．在Rt ABC ?中，BD是AC边上的中线，DB⊥BC于B，且∠ABC＝120°，求证：6．如图，在ABC AB=2BC. ?中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD是斜边上的高，CE是中线，若AB=8，7．如图，ABC 求DE长. 拓展思维： 如图所示，一艘轮船以15海里/时的速度由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，两小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上，已知在小岛周围18

含30度角的直角三角形培优

含300 的角的直角三角形 [教学目标] 掌握有一个角为30°的直角三角形的性质并能初步运用该性质，解决有关几何问题 [重难点] 1.有一个角为30°的直角三角形的性质的推导 2.有一个角为30°的直角三角形的性质的推导及运用 一、性质的探究 请同学们将两个含有板有30°的三角尺如图摆放在一起你能借助这个图形,找到Rt △ABC 的直角边BC 与斜边AB 之间的数量关系吗? [归纳总结]：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言叙述：在ABC Rt ?中 ∵?=∠30BAC ∴AC BC 21= 二、应用举例 例1、已知：如，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°． 求证：BD=14 AB ． 例2、等腰三角形的底角为15°，腰长为20，求腰上的高． 例题3、如图，在ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，?=∠30BAC ,CD 为斜边AB 上的中线. 求证：AB CD 2 1= 三、练习 A B C D D C B

1、如图，ABC ?是等边三角形，BC AD⊥，AB DE⊥，若8 = AB cm，则BD的长为cm，BE的长为cm. 2、如图，在ABC Rt?中，? = ∠90 C，? = ∠60 CAB，AD平分CAB ∠，AB DE⊥于点E， 且cm DE3 =. 求BC的长 3、如下图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA,若PC=4，求PD的长。 4、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC?于点D， ?求证：?BC=3AD. 四、课后延伸 1、△ABC中，点D为AC的中点，∠DBC=90°，.∠ABC=120°. 证明：AB=2BC(4-5法形内形外构造中位线或中点倍长） D C A B

人教版初二数学上册含30度角的直角三角形性质

13. 3.3 等边三角形 第2课时含30。角的直角三角形的性质教学设计

变式二 如图13-3-，在厶ABC 中，/ BAC =120°，AB =AC ，AD 丄 AC 交 BC 于点 D ， 求证：BC = 3AD. 【拓展提升】 g B 仃 A 图 13 - 3- 如图13-3—所示，一艘轮船以15海里/时的 速度由南向北航行，在A 处测得小岛P 在北偏 西15°方向上，两小时后，轮船在 B 处测得 小岛P 在北偏西30°方向上，已知在小岛周 围18海里内有暗礁，若轮船继续向前航行有 无触礁的危险？ 教师引导学生作岀辅助线：过点 P 作直线AB 的垂线?学生画图计算. 学生先独立思考，再相互交流. ［解析］观察图形可以发现在 Rt A AED 与Rt △ 1 ACB 中，由于/ A = 30°，所以 DE = 2 AD , 1 BC = 2AB ，又由D 是AB 的中点，所以 DE = 1/4AB. 解：T DE 丄 AC ，BC 丄 AC ，/ A = 30°， 11 1 …BC = 2 AB ， DE = ?AD ，?: BC = ? X 7.4 = 3.7(m). 1 又T AD = 2AB ， 1 1 二 DE = 2AD = 2X 3.7 = 1.85(m). 答：立柱BC 的长是3.7 m ，DE 的长是1.85 m. 变式一 如图 13-3-，△ ABC 中，/ACB = 90°，/ A = 30°，CD 是斜边上的高，C E 是 中线，若AB = 8,求DE 的长. 考查学生对含30 °角的直角三角形性 质的掌 握，学生通过画图、计算，培 养学生的动手能 力、画图能力及分析 问题、解决问题的能力. 图 13- 3-