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向量的数量积——数量积的投影定义(含数量积综合练习题)

向量的数量积——数量积的投影定义

一、基础知识 1、向量的投影:

(1)有向线段的值:设有一轴l ,AB 是轴上的有向线段,如果实数λ满足AB λ=,且当AB 与轴同向时,0λ>,当AB 与轴反向时,0λ<,则称λ为轴l 上有向线段

AB 的值。

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(2)点在直线上的投影:若点A 在直线l 外,则过A 作'AA l ⊥于'A ,则称'A 为A 在直线l 上的投影;若点A 在直线l 上,则A 在A 在直线l 上的投影'A 与A 重合。所以说,投影往往伴随着垂直。

(3)向量的投影:已知向量,a b ,若a 的起点,A B 在b 所在轴l (与b 同向)上的投影分别为'',A B ,则向量''A B 在轴l 上的值称为a 在b 上的投影,向量''A B 称为a 在

b 上的投影向量。

2、向量的投影与向量夹角的关系:通过作图可以观察到,向量的夹角将决定投影的符号,记θ为向量,a b 的夹角

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(1)θ为锐角:则投影(无论是a 在b 上的投影还是b 在a 上的投影)均为正 (2)θ为直角:则投影为零 (3)θ为钝角:则投影为负

3、投影的计算公式:以a 在b 上的投影λ为例,通过构造直角三角形可以发现 (1)当θ为锐角时,cos b λθ=,因为0λ>,所以cos b λθ=

(2)当θ为锐角时,()cos cos b b λπθθ=-=-,因为0λ<,所以cos b λθ-=-即cos b λθ=

(3)当θ为直角时,0λ=,而cos 0θ=,所以也符合cos b λθ=

综上可得:a 在b 上的投影cos b λθ=,即被投影向量的模乘以两向量的夹角 4、数量积与投影的关系(数量积的几何定义):

向量,a b 数量积公式为cos a b a b θ?=,可变形为()

cos a b a b θ?=?或

()

cos a b b a θ?=?,进而与向量投影找到联系

(1)数量积的投影定义:向量,a b 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影,即a b a b b λ→?=?(记a b λ→为a 在b 上的投影)

(2)投影的计算公式:由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解:

a b a b b

λ→?=

即数量积除以被投影向量的模长

5、数量积投影定义的适用范围:作为数量积的几何定义,通常适用于处理几何图形中的向量问题

(1)图形中出现与所求数量积相关的垂直条件,尤其是垂足确定的情况下(此时便于确定投影),例如:直角三角形,菱形对角线,三角形的外心(外心到三边投影为三边中点)

(2)从模长角度出发,在求数量积的范围中,如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值,则可以考虑利用投影,从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题 二、典型例题:

例1:已知向量,a b 满足3,23a b ==,且()

a a

b ⊥+,则b 在a 方向上的投影为( )

A .3

B .3-.

C .2

-

向量的数量积——数量积的投影定义(含数量积综合练习题)

向量的数量积——数量积的投影定义(含数量积综合练习题)

D 思路:考虑b 在a 上的投影为

a b b

?,所以只需求出a b ?即可。由a a b ⊥+ 可得:

()

2

0a a b a a b ?+=+?=,所以9a b ?=-。进而

223

向量的数量积——数量积的投影定义(含数量积综合练习题)

a b b

?=

=-答案:C

小炼有话说:本题主要应用投影的计算公式,注意在哪个向量投影,便用数量积除以该向量的模长

例2:如图,在ABC 中,4,30AB BC ABC ==∠=,AD 是边BC 上的高,

则AD AC ?的值等于( )

向量的数量积——数量积的投影定义(含数量积综合练习题)

A .0

B .4

C .8

D .4- 思路:由图中垂直可得:AC 在AD 上的投影为AD ,所以

2

AD AC AD ?=,只需求出ABC 的高即可。由已知可得sin 2AD AB ABC =?=,

所以2

4AD AC AD ?== 答案:B

例3:两个半径分别为12,r r 的圆,M N ,公共弦AB 长为3,如图所示,则

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向量的数量积——数量积的投影定义(含数量积综合练习题)

投影为AB 的中点,进而,AM AN 在AB 上的投影能够确定,所以考虑计算AM AB ?和AN AB ?时可利用向量的投影定义。

解:取AB 中点T ,连结,MT NT ,由圆的性质可得:,MT AB NT AB ⊥⊥

21922AM AB AT AB AB ∴?=?=

= 219

22

AN AB AT AB AB ∴?=?== 9AM AB AN AB ∴?+?=

例4:如图,O 为ABC 的外心,4,2,AB AC BAC ==∠为钝角,M 是边BC 的中

点,则AM AO ?的值为( )

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A. 4

B. 5

C. 6

D. 7 思路:外心O 在,AB AC 上的投影恰好为它们的中点,分别设为,P Q ,所以AO 在,AB AC 上的投影为11

,22AP AB AQ AC =

=,而M 恰好为BC 中点,故考虑

()

1

2

A M A

B A C

=+,所以()()

2211111

+522222AM AO AB AC AO AB AO AC AO AB AC ???=

+?=?+?== ???

答案:B

小炼有话说:题目中遇到外心时,要注意外心的性质,即到各边的投影为各边的中点,进而在求数量积时可联想到投影法。

例5:若过点()1,1P 的直线l 与22:4O x y +=相交于,A B 两点,则OA OB ?的取值范围是_______

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思路:本题中因为,OA OB 位置不断变化,所以不易用数量积定义求解,可考虑利用投影,即过B 作直线OA 的垂线,

垂足为D ,通过旋转AB 可发现,当OB OA ⊥时,

0OA OB ?=,AB 位于其他位置时,D 点始终位于OA 的反向延长线上,OA OB OA OD ?=-?,

故0O AO B ?<,故()

m a

x 0O

AO B ?=,下面寻找最小值,即DO

的最大值,可得当B 在OA 上的投影与C 重合时,DA 最大,即为AC ,此时直线

OP 即为直线AB 。所以()

2mi n

4OA OB

OA OD OA OC r ?=-?=-?=-=-。进而

OA OB ?的范围是[]4,0-

答案:[]4,0-

向量的数量积——数量积的投影定义(含数量积综合练习题)

例6:已知1,3OA OB ==,且,OA OB 的夹角为150,点C 是AOB 的外接圆上优弧AB 上的一个动点,则OA OC ?的最大值是________ 思路:题中OA 的模长为定值,考虑OA OC ?即为OA 乘以OC 在OA 上的投影,从而OA OC ?的最大值只需寻找投影的大小,观察图形可得只有当MC 与OA 同向时,投影最大。即()

max

OA OC OA OD ?=?,只需计算OD 的模

长即可

解:当MC 与OA 同向时,OC 在OA 上的投影最大

()

max

OA OC

OA OD ∴?=?

在AOB 中,2

2

2

2cos 7AB OA OB OA OB AOB =+-=

7AB ∴=

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21sin 2

AB R AOB

∴=

=

= 即R =

11

22

OD ON ND OA R ∴=+=+=+

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()

max

1

2

OA OC OA OD ∴?=?=

+

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答案:

1

2

+

向量的数量积——数量积的投影定义(含数量积综合练习题)

例7:如图,菱形ABCD 的边长为2,60,A M ∠=为DC 中点,若N 为菱形内任意一点(含边界),则AM AN ?的最大值为( )

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A. 3

B.

C. 6

D. 9

思路:在所给菱形中AM 方向大小确定,在求数量积时可想到投影定义,即AM 乘以AN 在AM 上的投影,所以AM AN ?的最大值只需要寻找AN 在AM 上的投影的最大值即可,而A 点也确定,所以只需在菱形内部和边界寻找在AM 投影距离A 最远的,结合图像可发现C 的投影距离A 最远,所以()

max

AM AN

AM AC ?=?,再由

,AD DC 表示后进行数量积运算即可

解:

(

)

()()()

max

12AM AN

AM AC AD DM AD DC AD DC AD DC ??

?=?=+?+=+?+ ???

2

213

922

AD DC AD DC =++?=

答案:9 小炼有话说:

(1)从例7也可以看出投影计算数量积的一个妙用,即在求数量积最值时,如果其中一个向量位置确定,那么只需看另一向量在该向量处的投影即可,这种方法往往能够迅速找到取得最值的情况

(2)在找到取到最值的N 点位置后,发现利用投影计算数量积并不方便(投影,

AM 不便于计算),则要灵活利用其他方法把数量积计算出来(寻求基底,建系等)。

正所谓:寻找最值用投影,而计算时却有更多方法供选择。

例8:如图,在等腰直角ABC 中,2AC BC ==,点,M N 分别是,AB BC 的中点,

向量的数量积——数量积的投影定义(含数量积综合练习题)

P 点是ABC 内(包括边界)任一点,则AN MP ?的取值范围是____________ 思路:因为P 点为ABC 内任一点,所以很难用定义表示出AN MP ?,考虑利用投影定义。由AN 长为定值,可得AN MP ?为AN 乘以MP 在AN 上的投影,所以只

需找到投影的范围即可。如图,过M 作AN 的垂线,则M 点的投影为F ,当P 在

B 点时, MP 在AN 上的投影最大且为线段FE 的长,当P 在A 点时, MP 在AN 上的投影最小,为AF -

,分别计算相关模长即可。在图中有条件可得:

1AN CN BN === BE AE ⊥,所以可得:Rt ACN Rt BEN

,则

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5

AN NE NE CN

BN

=?

,所以AE AN NE =+=FM BE ∥,M 为中点

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可得:F 为AE 中点,从而,MB MA 在AN

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AN =即可求得AN MP ?的范围为[]3,3- 答案:[]3,3-

例9:已知M 为直角三角形ABC 的外接圆,OB 是斜边

AC

上的高,且6,AC OB ==,AO OC <,点P 为

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线段OA 的中点,若DE 是M 中绕圆心M 运动的一条直径,则PD PE ?=_________

思路:本题的难点在于DE 是一条运动的直径,所以很难直接用定义求解。考虑到

DE 为直径,所以延长EP 交圆M 于Q ,即可得DQ QE ⊥,

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则PD 在PE 上的投影向量为PQ 。所求

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A

B

PD PE PE PQ ?=-?,而由P E P Q

?联想到相交弦定理,从而P E P Q A P P C

?=?。考虑与已知条件联系求出直径AC 上的各段线段长度。由射影定理可得:2

8AO CO OB ?==,且6AO CO AC +==,所以解得2,4A O O C ==,再由P 为OA 的中点可得1,5

A P P C ==,所以5P E P Q A P P C

?=?=,进而5PD PE PE PQ ?=-?=- 答案:5-

例10:已知C 为线段AB 上一点,P 为直线AB 外一点,I 为PC 上一点,满足

4PA PB -=,10PA PB -=,

PA PC PB PC PA

PB

??=,且

()0A C A P B I B A A C A P λλ?? ?=++> ???

,则

B I B A BA ?的值为( )

A. 2

B. 4

C. 3

D. 5

思路:从条件上判断很难用代数方式求解,所以考虑作图观察几何特点,则

10PA PB AB -==。由

PA PC PB PC PA

PB

??=及所求

BI BA BA

?可想到投影与数量积的

关系,即PC 在,PA PB 上的投影相等,即可得到PC 平分APB ∠。再分析

()0AC AP AC AP BI BA AI AC AP AC AP λλλ???? ? ?=++>?=+ ? ?????

,且A C A P A C A P +为,AC AP 的单位向量,由平行四边形性质可得和向量平分

PAC ∠,而AI 与和向量共线,从而AI 平分PAC ∠,由此可得I 为APB

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的内心,作出内切圆。所求

BI BA BA

?也可视为BI 在BA 上的投影,即BF ,由内

A

切圆性质可得:

PD PE AD AF BF BE

?=?

=??

=?,所以

()()

4

PA PB PD AD BE PE AF BF -=+-+=-=,

且有

10AF BF AB +==,可解得3BI BA BF BA

?==

答案:C

小炼有话说:本题用到向量运算中的两个几何意义,从而将表达式与图形特征联系起来:一个是向量投影的定义;一个是两个模长相等向量(如单位向量)的和平分向量夹角。

三、历年好题精选(数量积三种求法综合)

1、如图:在平行四边形ABCD 中,已知8,5AB AD ==,3,2CP PD AP BP =?=,则AB AD ?的值是 .

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2、已知O 的半径为1,四边形ABCD 为其内接正方形,EF 为O 的一条直径,M 为正方形ABCD 边界上一动点,则ME MF ?的最小值为_________

3、已知点M 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆内(含边界)的一动点,则MA MB ?的取值范围是( )

A. []0,1-

B. []2,1-

C. []3,1-

D.

[]4,1-

4、已知,,P M N 是单位圆上互不相同的三个点,且满足PM PN =,则PM PN ?的最小值为( )

A . 14-

B .12-

C . 3

4

- D . 1-

5、如图,,A B 是半径为1的圆O 上两点,且3

AOB π

∠=

向量的数量积——数量积的投影定义(含数量积综合练习题)

若点C 是圆O 上任意一点,则OA BC ?的取值范围是

__________

6、(2015,福建文)设()()1,2,1,1,a b c a kb ===+,若

b c ⊥,则实数k 的值等于( )

A. 32-

B. 53-

C. 53

D. 32

7、(2015,天津)在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1

,,9BE BC DF DC λλ

== 则AE AF ?的最小值为 ____ 答案:

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2918

8、(2015,山东)已知菱形ABCD 的边长为

,60a A B C ∠=,则BD CD ?=( )

A. 232a -

B. 234a -

C. 234a

D. 232

a

9、(2015,福建)已知1

,,AB AC AB AC t t ⊥==,若P 点是ABC 所在平面内一

点,且4AB AC AP AB

AC

=

+,则PB PC ?的最大值等于( )

A. 13

B. 15

C. 19

D.

21

向量的数量积——数量积的投影定义(含数量积综合练习题)

10、(2016,无锡联考)如图,已知正方形ABCD 的边长为2,点E 为AB 的中点.以A 为圆心,AE 为半径,作弧交AD 于点F .若P 为劣弧EF 上的动点,则PC PD ?的最小值为________

11、(2016,南京金陵中学期中)如图,梯形

ABCD

B

A

中,AB ∥,6,2CD AB AD DC ===,若12AC BD ?=-,则AD BC ?=_______ 12、已知圆O 的直径为BC ,点A 是圆周上异于,B C 的一点,且1AB AC ?=,若点P 是圆O 所在平面内一点,且9

AB AC AP AB

AC

=

+,则PB PC ?的最大值为(

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A. B. 9 C. 76 D. 81 13、如图,在半径为1的扇形AOB 中,60,AOB C ∠=为弧上的动点,AB 与OC 交于点P ,则OP BP ?最小值是__________

14、如图,已知圆()()2

2

:444M x y -+-=,四边形

ABCD

为圆M 的内接正方形,,E F 分别为边,AB AD 的中点,当正方形ABCD 绕M 圆心转动时,ME OF ?的取值范围是( A. ?-? B.[]

8,8- C.

[]

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4,4- ?-?

15、在直角梯形ABCD 中,AB CD ∥,2BAD π

∠=

,且1

12

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AB AD CD ===,M 是AB 的中点,且2BN ND =,则CM AN ?的值为( ) A.

54 B. 54- C. 7

6

D. F C

B M

y

D

76-

16、如图,在平行四边形ABCD 中,2,1,3

AB AD A π

==∠=,点M 在AB 边上,

且1

3

AM AB =,则DM DB ?=( )

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A. -

B.

C. 1-

D. 1

习题答案: 1、答案:22

解析:14AP AD DP AD AB =+=+

,33

44

BP BC CP BC CD AD AB =+=+=-, 所以13()()44AP BP AD AB AD AB ?=+

?-2213

216

AD AD AB AB =-?-, 即13

22564216

AD AB =-

?-?,解得22AD AB ?=. 2、答案:1

2

-

解析:以EF 为坐标轴建系,则()()1,0,1,0E F -,设(),M x y

()()1.,1.ME x y MF x y ∴=---=--

221ME MF x y ∴?=+-,所以ME MF ?的最小值只需找到22x y +的最小值

即正方形边上的点到原点距离的最小值,数形结合可得:()

22min

12

x y +=

()

min

12

ME MF

∴?=-

3、答案:C

解析:考虑如图建立坐标系,可得:()()1,1,1,1A B ---,内切圆方程为:221x y +=,故设()[)cos ,sin ,0,2,01M r r r θθθπ∈≤≤,则

()()1cos ,1sin ,1cos ,1sin MA r r MB r r θθθθ=----=--- ()2

222cos 11sin 2sin MA MB r r r r θθθ?=-++=+

第38讲 向量的数量积——数量积的投影定义(含数量积综合练习题)
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