大学物理力学答案2
第二章基本知识小结
⒈基本概念 22)(dt
r d dt v d a dt r
d v t r r
===
=
)()()(t a t v t r ??
（向右箭头表示求导运算，向左箭头表示积分运算，积分运算需初始条件：
000,,v v r r t t ===）
⒉直角坐标系 ,,???222z y x r k z j y i
x r ++=++= r
与x,y,z 轴夹角的余弦分别为
r z r y r x /,/,/.
v v v v v k v j v i v v z
y x z y x ,,???222++=++=与x,y,z 轴夹角的余弦分别为 v v v v v v z y x /,/,/.
a a a a a k a j a i a a z
y x z y x ,,???222++=++=与x,y,z 轴夹角的余弦分别为 ./,/,/a a a a a a z y x
2
2
2222,,,,dt
z d dt dv a dt y d dt dv a dt x d dt dv a dt
dz v dt dy v dt dx v z z y
y x x z y x =========
),,(),,(),,(z y x z y x a a a v v v z y x ??
⒊自然坐标系 ||,,?);
(ττττ
v v dt
ds v v v s r r ====
ρτττττ2222
2,,,??v a dt s d dt dv a a a a n a a a n n n =
==+=+=
)()()(t a t v t s ττ??
⒋极坐标系 22,??,?θ
θθv v v v r v v r
r r r r +=+==
dt
d r
v dt dr v r θ
θ==
, ⒌相对运动 对于两个相对平动的参考系
',0't t r r r =+=
（时空变换）
0'v v v
+= （速度变换）
0'a a a
+= （加速度变换）
若两个参考系相对做匀速直线运动，则为伽利略变换，在图示情况下，则有：
z
z y y x x z z y y x x a a a a a a v v v v V v v t t z z y y Vt x x =====-====-=',','',','',',','
y y'
V
o x o' x' z z'
2.1.1质点运动学方程为：j i t r ?5?)23(++= ⑴
j t i t r ?)14(?)32(-+-= ⑵,求质点轨迹并用图表示.
解：⑴,5,23=+=y t x 轨迹方程为5=y 的直线.
⑵14,32-=-=t y t x ，消去参数t 得轨迹方程0534=-+y x
2.1.2 质点运动学方程为k
j e i e r t t
?2??22++=-
.⑴求质点轨迹；⑵求自t= -1到t=1质点的位移。
解：⑴由运动学方程可知：1,2,,22====-xy z e y e x t t
，所以，质点是在z=2平面内
的第一像限的一条双曲线上运动。
⑵j e e i e e
r r r ?)(?)()1()1(2222
---+-=--=?
j i ?2537.7?2537.7+-=。所以，位移大小：
?
==??=?
==??=?=-=??==+-=?+?=?900arccos |
|arccos z 45)22
arccos(||arccos y 135)2
2
arccos(||arccos
x ,22537.72537.7)2537.7()()(||2222r z
r y r x y x r
γβα轴夹角与轴夹角与轴夹角与
2.1.3质点运动学方程为j t i t r ?)32(?42++= . ⑴求质点轨迹；⑵求质点自t=0至t=1的位
移.
解：⑴32,42
+==t y t x ，消去参数t 得：2
)3(-=y x
⑵j i j j i
r r r ?2?4?3?5?4)0()1(+=-+=-=?
2.2.1雷达站于某瞬时测得飞机位置为?==7.33,410011θm R 0.75s 后测得?==
3.29,424022θm R ，R 1,R 2均在铅直面内，求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向（α角）
解：t
R t R R v v ??=?-=≈
1
2，在图示的矢量三角形中，应用余弦定理，可求得：
m
R R R R R 58.3494.4cos 42004100242404100)cos(22221212
221=???-+=--+=?θθ s m t R v v /8.46575.0/58.349/≈=??=≈
据正弦定理：)180sin(/)sin(/1221αθθθ--?=-?R R
x
x
R θ
θ 1 R 1
R 2 ΔR
θ 1
θ 2 α
?
=∴?≈--?≈?=?-=--?89.34,41.111180,931.058.349/4.4sin 4240/)sin()180sin(12121ααθθθαθR R
2.2.2 一圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为y=x 2/200(长度：毫米)。第一次观察到圆柱体在x=249mm 处，经过时间2ms 后，圆柱体移到x=234mm 处。求圆柱体瞬时速度的近似值。
解：由于Δt 很小，所以，t
r
v v ??=≈
，
其中，15249234,??,212-=-=-=??+?=?=?x x x j y i
x r ms t 2.36200/)249234(200/)(222
12
212-=-=-=-=?x x y y y
j i j t y i t x v ?1.18?5.7?)/(?)/(--=??+??≈∴ 。其大小 ms mm v /6.19)1.18()5.7(||22=+-=
；与x 轴夹角
?-=-=-==5.112)38265.0arccos(6
.195.7arccos arccos
v v x α
2.2.3一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏者17m ；另一人在广州听同一演奏的转播，广
州离北京2320km ，收听者离收音机2m ，问谁先听到声音？声速为340m/s ，电磁波传播的速率为3.0×108m/s.
解：声音传播情况如图所示，
北京人听到演奏声音所需时间：
s t 05.0340/171==
广州人听到演奏声音所需时间：
s t 0136.03402100.31023208
32≈+??=
2.2.5火车进入弯道时减速，最初列车向正北以90km/h 速率行驶，3min 后以70km/h 速率向北偏西30°方向行驶，求列车的平均加速度。
解：t v
t v v a ??=
?-= 12 对矢量三角形应用余弦定理： s
m h km v v v v v /69.12/69.4537090709030cos 22
2212221==?-+=?-+=?
2/07.060
369.12s m t v a =?=??=
，由正弦定理：??=
30sin sin 2v
v α ?≈≈?=??=50,766.069.45/5.070/30sin sin 2ααv v
2.2.6 ⑴k t j t R i
t R r ?2?sin ?cos ++=
，R 为正常数，求t=0,π/2时的速度和加速度。⑵k t j t i t r ?6?5.4?332+-= ，求t=0,1时的速度和加速度（写出正交分解式）。
解：⑴k j t R i
t R dt r d v ?2?cos ?sin /++-==
x
1
2
17m 2320km,3×108m/s 340m/s 2m
α v 2 30° v 1=90km/h
v 2
=70km/h
Δv
西
北
j
R a k i R v i R a k j R v j t R i t R dt v d a t t t t ?|,?2?|,?|,?2?|.?sin ?cos /2/2/00-=+-=-=+=∴--======ππ ⑵
k
t j dt v d a k t j t i dt r d v ?36?9/,?18?9?3/2+-==+-== ； k
j a k j i v j a i v t t t t ?36?9|,?18?9?3|,?9|,?3|1100+-=+-=-======
2.3.1图中a 、b 和c 表示质点沿直线运动三种不同情况下的x-t 图像，试说明每种运动的特点（即速度，计时起点时质点的位置坐标，质点位于坐标原点的时刻）
解：质点直线运动的速度
dt dx v /=，
在x-t 图像中为曲线斜率。由于三种图像都是直线，因此三种运动都是匀速直线运动，设直线与x 轴正向夹角为α，则速度t x tg v ??==/α
对于a 种运动：
s tg t m x s m tg v x t 55.113020|,20|,/312000=?==-=?===
对于b 种运动：
s tg t m x ms tg v x t 32.1730/10|,10|,3/330001-≈?-===?===-
对于c 种运动：
m tg x s t ms tg v t x 254525|,25|,145001-=?-===?===-
2.3.2质点直线运动的运动学方程为x=acost,a 为正常数，求质点速度和加速度，并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等）
解：t a dt dv a t a dt dx v t a x x x x cos /,sin /,cos -==-=== 显然，质点随时间按余弦规律作周期性运动，运动范围：
a a a a v a a x a x x ≤≤-≤≤-≤≤-,,
2.3.3跳伞运动员的速度为qt
qt
e
e v --+-=11β，v 铅直向下，β,q 为正常量，求其加速度，讨论时间足够长时（即t →∞）速度、加速度的变化趋势。
解：
2
2
)1(2)1()
)(1()1()11(qt qt qt qt qtt qt qt qt
qt e qe e qe e qe e e
e dt d dt dv a ---------+=+---+=+-==βββ
因为v>0，a >0，所以，跳伞员做加速直线运动，但当t →∞时，v →β，a →0，说明经过
较长时间后，跳伞员将做匀速直线运动。
2.3.4 直线运行的高速列车在电子计算机控制下减速进
站。列车原运行速率为v 0
=180km/h ，其速率变化规律如图所示。求列车行至x=1.5km 时的加速度。
解：.sin /),5/cos(5050x v dx dv x v v π
ππ-==
dv dx dv
v a =?=
x v ππ2
2
01sin -=，将v 0=180km/h,x=1.5km 代入 222101
/75.0/9676108sin 18014.3s m h km a -=-=????-=
2.3.5在水平桌面上放置A 、B 两物体，用一根不可伸长
v(km/h) v=v 0cos πx/5 x(km)
1.5
v 0
t(s)
A
B
a A 0.5g 0
x
的绳索按图示的装置把它们连接起来，C 点与桌面固定，已知物体A 的加速度a A =0.5g ，求物体B 的加速度。
解：设整个绳长为L ，取图示坐标o-x ，则3x A +(-4x B ) = L
对时间求两次导数，3a A =4a B ，所以a B = 3a A /4=3×0.5g/4 = 3g/8
2.3.6质点沿直线的运动学方程为x=10t+3t 2. ⑴将坐标原点沿o-x 正方向移动2m ，运动学方程如何？初速度有无变化？⑵将计时起点前移1s ，运动学方程如何？初始坐标和初速度发生怎样的变化？加速度变不变？
解：x=10t+3t 2，v=dx/dt=10+6t ，a =dv/dt=6，t=0时，x=0,v=10
⑴将坐标原点向x 轴正向移动2m ，即令x'=x-2，x=x'+2，则运动学方程为：x'=10t+3t 2-2，∵v'=dx'/dt=10+6t ，∴v'=v
⑵将计时起点前移1s ，即令t'=t+1，t=t'-1，则运动学方程变为：x = 10(t'-1) + 3(t'-1)2 = 10t' – 10 + 3t'2 - 6t' + 3 = 4t' + 3t'2 – 7
v'=dx/dt'=4+6t'，t'=0时，x= -7，v'=4，加速度a 不变。
2.4.1质点从坐标原点出发时开始计时，沿x 轴运动，其加速度a x = 2t (cms -2)，求在下列两种情况下质点的运动学方程，出发后6s 时质点的位置、在此期间所走过的位移及路程。⑴初速度v 0=0；⑵初速度v 0的大小为9cm/s ，方向与加速度方向相反。
解：2
00
,2,
20
t v v tdt dv tdt dt a dv x t
v v x x x x
+====??
33
100
20
00
2
0,,)(t t v x dt t dt v dx dt t v dt v dx t
t x
x +=+=+==??? ⑴cm x t x t v v x 726)6(;,
023
1
3312
0=?====时， cm x S m x x x 7272)0()6(===-=??路程
⑵t t x t v v x 9,
993
312
0-=-=-=时，
cm x x x 18)0()6(=-=?
令v x =0，由速度表达式可求出对应时刻t=3，由于3秒前质点沿x 轴反向运动，3秒后质
点沿x 轴正向运动，所以路程：
cm x x x x x x S 543618)393(218)
3(2)6(|)3()6(||)0()3(|3
3
1=+=?-?-=-=-+-=
2.4.2质点直线运动瞬时速度的变化规律为：v x = -3 sint ，求t 1=3至t 2=5时间内的位移。 解：??-=-==5
3
sin 3,
sin 35
3
tdt dx tdt dt v dx x x x
m x x x 82.3)3cos 5(cos 335=-=-=?
2.4.3 一质点作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为
a x = -A ω2cos ωt.在t=0时，v x =0,x=A ，其中A,ω均为正常数。求此质点的运动学方程。
解
：
t
A dv t A dt dv a x x x ωωωωcos ,cos /22-=-==，
??
?-=-=t
v t x t td A tdt A dv x
2
)
(cos cos ωωωωω
t
A x t A t A A x t td A tdt A dx tdt
A dx dt dx t A v t t
t
x A
x ωωωωωωωωωωωcos ),
1(cos |cos )
(sin sin sin ,/sin 00
=-==--=-=-==-=???
2.4.4飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动，刚着陆时，t=0时速度为v 0，且坐标x=0，假设其加速度为 a x = - bv x 2，b=常量，求飞机速度和坐标随时间的变化规律。
解：bt v dt b dv v dt bv dt a dv x
x
v v x
t
v v x x x x x -=--=-==--?
?0
|,,10
2
2
bt
v v v v bt v bt v bt v v x x
x
v 0000001,1,1
1
,11+=++=
-=- )
1ln(1
,
1)
1(11,10000000000bt v b
x bt v bt v d b bt v dt v dx bt v dt v dt v dx t t
x x +=++=+=+==???
2.4.5在195m 长的坡道上，一人骑自行车以18km/h 的速度和-20cm/s 2的加速度上坡，另一自行车同时以5.4km/h 的初速度和0.2m/s 2的加速度下坡，问：⑴经多长时间两人相遇？⑵两人相遇时各走过多长的路程？
解：以上坡者出发点为原点沿其前进方向建立坐标o-x ，用脚标1表示上坡者，用脚标2表示下坡者。
两人的加速度实际上是相同的：2
21/2.0s m a a -==
s
m h km v v s m h km v v x x x x t /5.1/4.5,/5/18195,00202101202101-=-==========时，初始条件：
根据匀变速直线运动公式：
22221
2022
21
211011.05.11951951.05t
t t a t v x t t t a t v x --=++=-=+= ⑴令x 1=x 2，可求得相遇时间：5t=195-1.5t, t=195/6.5=30s
⑵对于上坡者，在相遇期间做的不一定是单方向直线运动，据上坡者的速度表达式：v 1=5-0.2t ，令v 1=0，求得对应时刻t=25s ，所以，上坡者在25s 前是在上坡，但25s 后却再下坡。因此，上坡者在30s 内走过的路程：
m
x x x x x x S 65)301.0305()251.0255(2)30()25(2|)25()30(||)0()25(|2
2
1111111=?-?-?-?=-=-+-=
对于下坡者，因为做单方向直线运动，所以30s 内走过的路程：
m x x x x S 13560195)30()0(|)0()30(|22222=-=-=-=
2.4.6站台上送行的人，在火车开动时站在第一节车厢的最前面，火车开动后经过Δt=24s ，火车第一节车厢的末尾从此人的前面通过，问第七节车厢驶过他面前需要多长时间?火车做匀加速运动。
解：设每节车厢长为L ，以地为参考系，以人所在
点为原点建立图示坐标o-x ，以第一节车厢的前端点为
研究对象，t=0时，前端点的坐标x=0，速度v=0，据匀
加速运动公式：
2
21at x =，令x=L ，求得：2
224
2)(2L t L a =?=
，∴2
224/Lt x = 令x=6L ，可求得第6节车厢尾端通过人时所需时间t 6：
624,246,24/662222==?==t t t Lt L
令x=7L ，可求得第7节车厢尾端通过人时所需时间t 7：
x
0 a 1
2 1
0 x
724,247,24/772222==?==t t t Lt L
因此，第7节车厢通过人所需时间：
s t t t 71.4)67(2467=-=-=?
2.4.7 在同一铅直线上相隔h 的两点以同样速率v 0上抛二石子，但在高处的石子早t 0秒被抛出，求此二石子何时何处相遇？
解：以地为参考系，建立图示坐标o-y 。据题意，设t=0时，上面石子坐标y 1=h ,速度v 1=v 0；t=t 0时，下面石子坐标y 2=0，v 2=v 0
解法1：根据匀变速直线运动的规律，可知
]41[212
)
()(,)
()(2
02
22
00002021
002210212
0210022
2101gt gt h g v h y t g v gt h
t t t g t t v gt t v h y y t t g t t v y gt
t v h y --+=++=
---=-+=---=-+=相遇时石子坐标得，代入⑴或⑵中，可求求得相遇时间有令⑵
⑴
解法2：可根据速度、加速度的导数定义和初始条件，通过积分得到⑴、⑵，然后求解。
2.4.8电梯以1.0m/s 的匀速率下降，小孩在电梯中跳离地板0.50m 高，问当小孩再次落到地板上时，电梯下降了多长距离？
解：以电梯为参考系，小孩相对电梯做竖直上抛运动，他从起跳到再次落到地板所需时间，是他从最高处自由下落到地板所需时间的2倍。由自由落体运动公式：22
1gt h =，可求
得从最高出落到地板所需时间：s h g t 32.05.0/8.92/2≈?==
，所以小孩做竖直上抛
所需时间为0.64s ，在此时间内电梯对地下落距离：
L = 1.0×0.64 = 0.64 m
2.5.1质点在o-xy 平面内运动,其加速度为j t i t a ?sin ?cos --= ，位置和速度的初始条件为：t=0时，i r j v ?
,?== ，求质点的运动学方程并画出轨迹。
解：
j
t i t j t i t i r tdt j tdt i r d dt j t i t dt v r d j
t i t j t i t j v tdt
j tdt i v d dt j t i t dt a v d t
t r i
t
t v j
?sin ?cos ?sin ?)1(cos ?cos ?sin ?,)?cos ?sin (?cos ?sin ?)1(cos ?sin ?sin ?cos ?,)?sin ?cos (0
0?0
?+=+-+=+-=+-==+-=-+-=--=--==??????
1
sin ,cos 2
2
=+==∴y x t y t x
2.5.2 在同一竖直面内的同一水平线上A 、B 两点分别以30o、60o为发射角同时抛出两球，欲使两小球相遇时都在自己的轨道的最高点，求A 、B 两点间的距离。已知小球在A 点的发射速度v A =9.8米/秒。
解：以A 点为原点建立图示坐标系，取发射时刻为计时起点，两点间距离为S ，初始条件如图所示。
据斜抛规律有：
⑷
⑶
⑵⑴
gt
v v gt v v S t v x t
v x BO By AO Ay BO B AO A -?=-?=+?=?=60sin 30sin 60cos 30cos
满足题中条件，在最高点相遇，必有v Ay =v By =0,x A =x B
x
y
m
ctg g
v
S t v v S v v g v t AO BO AO AO BO AO 83.2)605.030(cos 2,)60cos 30cos (60sin /30sin ,/30sin ,0,2
=?-?=?-?==??=?==⑹代入⑺中得：把⑸⑺
⑵，得令⑴⑹⑸⑷令⑶
2.5.3迫击炮的发射角为60°发射速率150m/s ，炮弹击中倾角为30°的山坡上的目标，发射点正在山脚，求弹着点到发射点的距离OA.
解：以发射点为原点，建立图示坐标o-x ，斜抛物体的轨迹方程为（见
教材）：
22
20cos 2x v g
xtg y α
α-
= 本题，α=60°，v 0=150m/s ，A 点坐标x A ,y A 应满足轨迹方程，所以： 2
2
2
22
02360cos 260A A A A A x v g x x v g tg x y -
=?
-
?= ①
另外，根据图中几何关系，可知：OA OA x A 2
330cos =
?=
OA OA y A 2130sin =?=，代入①中，有：
m g v OA OA v g
OA OA 15318.93150232,2322
02
2
2321
≈??==-= 2.5.4轰炸机沿与铅直方向成53°俯冲时，在763m 的高度投放炸弹，炸弹在离开飞机5.0s
时击中目标，不计空气阻力：⑴轰炸机的速率是多少？⑵炸弹在飞行中通过的水平距离是多少？⑶炸弹击中目标前一瞬间的速度沿水平和铅直方向的分量是多少？
解：以投放点为原点，建立图示坐标o-xy,设炸弹初速度（即轰炸
机速度）为v 0. 由于炸弹在飞行过程中的加速度j g a ?= ，所以炸弹在x 方向做匀速直线运动，在y 方向做竖直下抛运动，有
④
③
②①2
2
1
000053cos 53sin 53cos 53sin gt
t v y t
v x gt v v v v y x +?=?=+?=?=
⑴令t=5.0s ，y=763m ，由④可求得轰炸机的速率：
s m t gt y v /86.2125
6081.058.95.076353cos 5.02
20≈???-=?-=
⑵将v 0代入①中，可求得炸弹击中目标时速度的水平分量：
s m v x /17053sin 86.212=?=
令t=5，由②可求得炸弹击中目标时速度的竖直分量：
s m v y /1.17758.953cos 86.212=?+?=
2.5.5雷达监测员正在监视一越来越近的抛射体，在某一时刻，他给出这样的信息：⑴抛射体达到最大高度且正以速率v 沿水平方向运动；⑵观测员到抛射体的直线距离是l ；⑶观测员观测抛体的视线与水平方向成θ角。问：⑴抛射体命中点到观测者的距离D 等于多少？⑵何种情况下抛体飞越观察员的头顶以后才命中目标？何种情况下抛体在未达到观察员以前就命中目标？
解：以抛体所达最大高度处为计时起点和坐标原点，建立
图示坐标o-xy ，抛体以速度v 做平抛运动. 设命中时间为t 1，由自由落体公式： g l t gt l /sin 2,sin 1211θθ=
= 命中点x 坐标为：g l v vt x /sin 211θ==
，由图中几何
x
x
y o θ
v
l 命中
点
观测者
x 1
x 2
关系，观测者的x 坐标：θcos 2l x =。所以，观测者与命中点间的距离：
|/sin 2cos |||12g l v l x x D θθ-=-=
当x 1 θθθsin 2cos ,cos /sin 2l g l v l g l v <<时，则抛体在未达到观察员前 即命中目标。 当x 1>x 2，即 θ θ sin 2cos l g l v >时，则抛体在飞越观察员后才命中目标。 2.6.1列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶，在我们所讨论的时间范围内，其运动学方程为S=80t-t 2（m,s ），t=0时，列车在图中O 点，此圆弧形轨道的半径r=1500m ，求列车驶过O 点以后前进至1200m 处的速率及加速度。 解：S=80t-t 2 ① v=dS/dt=80-2t ② 令S=1200，由①可求得对应时间： s s t t t 20,60,01200802==+-求得 将t=60代入②中，v=-40，不合题意，舍去；将t=20代入②中，v=40m/s ，此即列车前进到1200m 处的速率。 ? ≈-===+-=+====-==152)2 067.1(/267.2067.1)2(/067.11500/40/,/2/2222 2 2222arctg a a arctg v a s m a a a s m r v a s m dt dv a n n n τττα所成夹角：与 2.6.2 火车以200米/小时的速度驶入圆形轨道，其半径为300米。司机一进入圆弧形轨道 立即减速，减速度为2g 。求火车在何处的加速度最大？最大加速度是多少？ 解：沿火车运动的圆形轨道建立弧坐标o-s ，t=0时，s =0,v=v 0=200km/h=55.56m/s 。据题意a τ= -2g ，v=v 0+a τt=v 0 -2g t ，a n =v 2/R=(v 0 –2gt)2/R 。∴a=(a τ2+a n 2)1/2=[4g 2+(v 0 –2gt)4/R 2]1/2，显然，t=0时，a 最大， 224 02max /1.22/4s m R v g a =+= 2.6.3斗车在位于铅直平面内上下起伏的轨道上运动，当斗车达到图中所示位置时，轨道曲率半径为150m ，斗车速率为50km/h ，切向加速度a τ=0.4g ，求斗车的加速度。 解：2 /92.38.94.04.0s m g a =?==τ 2 23600 10 502 286.1150/)(/3 -?===ms v a n ρ n n a a a n ?286.1?92.3??+=+=ττ τ 2 222 2 /126.4286.192.3s m a a a n =+=+=τ 加速度a 与切向单位矢量τ ?夹角： ?===16.18286.1arctg arctg a n τθ 2.8.1 飞机在某高度的水平面上飞行，机身的方向是自东北向西南，与正西夹15o角，风以100km/h 的速率自西南向东北方向吹来，与正南夹45o角，结果飞机向正西方向运动，求飞机相对于风 的速度及相对于地面的速度。 解： 风地 机风机地v v v +=，由矢量图可知， B 120m C B v u L v ω1 u α ω2 A A 第一次渡河矢量图 第二次渡河矢量图 北 东 45° 15° v 风地 v 机地 v 机风 ? =?=?15sin 135sin 30sin 风地机风机地v v v ，其中，v 风地=100km/h=27.78m/s ，∴可求得： s m v v s m v v /67.5315sin 30sin ,/89.7515sin 135sin ≈? ? =≈??= 风地机地风地机风 2.8.3 一卡车在平直路面上以恒速度30米/秒行驶，在此车上射出一个抛体，要求在车前 进60米时，抛体仍落回到车上原抛出点，问抛体射出时相对于卡车的初速度的大小和方向，空气阻力不计。 解：以卡车为参考系，设抛体初速为v 0，由于要落回原抛出点，故方向只能竖直向上，即抛体相对车只能作竖直上抛运动。 取向上方向为正，抛体相对车任意时刻速度 v = v 0 - g t ⑴ 由题意，抛体落回原地所需时间 t = 60/30 = 2(s)，落到车上时的速度 v = - v 0 ，把数值代入⑴中，可求得 v 0 = 9.8 m/s . 2.8.4 河的两岸互相平行，一船由A 点朝与岸垂直的方向匀速驶去，经10min 到达对岸C 点。若船从A 点出发仍按第一次渡河速率不变但垂直地到达彼岸的B 点，需要12.5min 。已知 BC=120m. 求：⑴河宽L ；⑵第二次渡河时船的速度u ；⑶水流速度v. 解：以船为运动质点，水为动系，岸为静系，由相对运动公式 v u v u v v v v v v +====+=ωω 则上式可改写为：令，在这里，船岸船水水岸水岸船水船岸,, 由第一次渡河矢量图可知：v=BC/t 1=120/600=0.2m/s, ⑴ u = L / t 1 ⑵, L = u t 1 ⑶. 由第二次渡河矢量图可知： ω2 = L / t 2 ⑷， cos α= ω2/ u ⑸, v = u sin α ⑹. 把⑵、⑷代入⑸，求得 cos α=t 1/t 2=600/750=4/5, sin α=(1-cos 2α)1/2=3/5 ⑺ 把⑴、⑺代入⑹，求得 u = 0.2×5/3 = 1/3 (m/s). 再把u 的数值代入⑶，求得L = 600/3 = 200(m). 答：河宽200米，水流速度0.2米/秒；第二次渡河时，船对水的速度是1/3米，与河岸垂直方向所成角度α=arccos(4/5)=36o52’. 2.8.5圆形公路与沿半径方向的东西向公路相交如图，某瞬时汽车甲向东以20km/h 的速率行驶，汽车乙在θ=30°的位置向东北方向以速率20km/h 行驶，求此瞬时甲车相对乙车的速度。 解：由相对运动公式：2121v v v +=， 2112v v v -=，显然矢量三角形为等边三角形，所以，v 12=20km/h ， 方向向东偏南60° 期末练习一 一、选择题 、关于库仑定律，下列说法正确的是（ ） ．库仑定律适用于点电荷，点电荷其实就是体积很小的球体； ．根据2021π4r q q F ε=，当两电荷间的距离趋于零时，电场力将趋向无穷大； ．若点电荷1q 的电荷量大于2q 的电荷量，则1q 对2q 的电场力大于2q 对1q 的电场力； ．库仑定律和万有引力定律的表达式相似，都是平方反比律。 、点电荷Q 被曲面S 所包围，从无穷远处引入另一点电荷q 至曲面外一点，如图，则引入前后（ ） ．曲面S 的电场强度通量不变，曲面上各点场强不变； ．曲面S 的电场强度通量变化，曲面上各点场强不变； ．曲面S 的电场强度通量变化，曲面上各点场强变化； ．曲面S 的电场强度通量不变，曲面上各点场强变化； 、如图所示，真空中有一电量为 Q 的点电荷，在与它相距为r 的A 点处有一检验电荷 q ，现使检验电荷 q 从A 点沿半圆弧轨道运动到B 点，则电场力做功为（ ） ．0； ．r r Qq 2π420?ε； ．r r Qq ππ420?ε； ．2ππ42 20r r Qq ?ε。 、已知厚度为d 的无限大带电导体板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为σ，如图所示。则板外两侧电场强度的大小为（ ） ．02εσ=E ； ．0 2εσ=E ； ．0 εσ= E ； ．0=E 。 、将平行板电容器的两极板接上电源，以维持其间电压不变，用相对介电常数为r ε的均匀电介质填满板间，则下列说法正确的是（ ） ．极板间电场强度增大为原来的r ε倍； ．极板上的电量不变； ．电容增大为原来的r ε倍； ．以上说法均不正确。 、两个截面不同的铜杆串联在一起，两端加上电压为U ，设通过细杆和粗杆的电流、电流密度大小、杆内的电场强度大小分别为1I 、1j 、1E 与2I 、2j 、2E ，则（ ） ．21I I =、21j j >、21E E >； ．21I I =、21j j <、21E E <； ．21I I <、21j j >、21E E > ； ．21I I <、21j j <、21E E < 。 、如图所示，A A '、B B '为两个正交的圆形线圈，A A '的半径为R ，通电流为I ，B B '的半径为R 2，通电流为I 2，两线圈的公共中心O 点的磁感应强度大小为（ ） ．R I B 20μ=； ．R I B 0μ=； ．R I B 220μ= ； ．0=B 。 、如图所示，M 、N 为水平面内两根平行金属导轨，ab 与cd 为垂直于导轨并可在其上自由滑动的两根直裸导线，外磁场垂直于水平面向上，当外力使ab 向右平移时，cd 将（ ）。．不动； ．转动； ．向左移动； ．向右移动。 、E 和W E 分别表示静电场和感生电场的电场强度，下列关系式中正确的是（ ） ．0d =??L l E 、0d =??L W l E ； ．0d ≠??L l E 、0d ≠??L W l E ； ．0d =??L l E 、0d ≠??L W l E ； ．0d ≠??L l E 、0d =??L W l E 。 一 填空题（共32分） 1.（本题3分）（0043） 沿水平方向的外力F 将物体A 压在竖直墙上，由于物体与墙之间 有摩擦力，此时物体保持静止，并设其所受静摩擦力为f 0，若外力增 至2F ，则此时物体所受静摩擦力为_______． 2．(本题3分)(0127) 质量为的小块物体，置于一光 滑水平桌面上．有一绳一端连接此物，另一 端穿过桌面中心的小孔(如图所示)．该物… 体原以3rad ／s 的角速度在距孔的圆周 上转动．今将绳从小孔缓慢往下拉，使该物 体之转动半径减为．则物体的角速度ω =______ 3。(本题3分)(5058) · 处于平衡状态下温度为T 的理想气体，23 kT 的物理意义是____ ___________________________.(k 为玻尔兹曼常量). 4. (本题4分)（4032） 图示曲线为处于同一温度T 时氦（原子量 4）、氖(原子量20)和氩(原子量40)三种气 体分子的速率分布曲线。其中 曲线(a)，是________气分子的速率分布 曲线； 曲线(c)是_________气分子的速率分布 曲线； 5．(本题35分)(4147) 同一种理想气体的定压摩尔热容C p 大于定体摩尔热容C v ，其原因是 __________________________。 6.(本题35分)(4128) 可逆卡诺热机可以逆向运转．逆向循环时，从低温热源吸热，向高温热源放热， 而且吸的热量和放出的热量等于它正循环时向低温热源放出的热量和从高温热源 吸的热量．设高温热源的温度为T l =450K ；低温热源的温度为T 2=300K ，卡诺热 机逆向循环时从低温热源吸热Q 2=400J ，则该卡诺热机逆向循环一次外界必须 作功W=_____________________________. 7．(本题3分)(1105) ． 半径为R 1和R 2的两个同轴金属圆筒，其间充满着相对介电常量为εr 的均匀 介质。设两筒上单位长度带有的电荷分别为+λ脚-λ，则介质中离轴线的距离为r 处的电位移矢量的大小D=_____，电场强度的大小E=_________. 8．(本题3分)(25lO) 如图所示，一段长度为l 的直导线MN ，水平放置在 载电流为I 的竖直长导线旁与竖直导线共面,并从静止 图示位置自由下落，则t 秒末导线两端的电势差 一、选择题：（每题3分） 1、某质点作直线运动的运动学方程为x ＝3t -5t 3 + 6 (SI)，则该质点作 (A) 匀加速直线运动，加速度沿x 轴正方向． (B) 匀加速直线运动，加速度沿x 轴负方向． (C) 变加速直线运动，加速度沿x 轴正方向． (D) 变加速直线运动，加速度沿x 轴负方向． ［ ］ 2、一质点沿x 轴作直线运动，其v -t 曲 线如图所示，如t =0时，质点位于坐标原点，则t =4.5 s 时，质点在x 轴上的位置为 (A) 5m ． (B) 2m ． (C) 0． (D) -2 m ． (E) -5 m. ［ b ］ 3、图中p 是一圆的竖直直径pc 的上端点，一质点从p 开始分 别沿不同的弦无摩擦下滑时，到达各弦的下端所用的时间相比 较是 (A) 到a 用的时间最短． (B) 到b 用的时间最短． (C) 到c 用的时间最短． (D) 所用时间都一样． ［ d ］ 4、 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度=v 2 m/s ，瞬时加速度2/2s m a -=， 则一秒钟后质点的速度 (A) 等于零． (B) 等于-2 m/s ． (C) 等于2 m/s ． (D) 不能确定． ［ d ］ 5、 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为 j bt i at r 22+=（其中 a 、 b 为常量）, 则该质点作 (A) 匀速直线运动． (B) 变速直线运动． (C) 抛物线运动． (D)一般曲线运动． ［ ］ 6、一运动质点在某瞬时位于矢径()y x r , 的端点处, 其速度大小为 (A) t r d d (B) t r d d (C) t r d d (D) 22d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x [ ] 7、 质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每T 秒转一圈．在2T 时间间隔中， 其平均速度大小与平均速率大小分别为 (A) 2πR /T , 2πR/T ． (B) 0 , 2πR /T (C) 0 , 0． (D) 2πR /T , 0. ［ ］ -12 O a p 1 大学物理期末考试试卷 一、填空题（每空2分，共20分） 1.两列简谐波发生干涉的条件是 ， ， 。 2．做功只与始末位置有关的力称为 。 3．角动量守恒的条件是物体所受的 等于零。 4．两个同振动方向、同频率、振幅均为A 的简谐振动合成后振幅仍为A ，则两简谐振动的相位差为 。 5．波动方程 ??? ?? -=c x t A y ωcos 当x=常数时的物理意义是 。 6．气体分子的最可几速率的物理意义 是 。 7．三个容器中装有同种理想气体，分子数密度相同，方均根速率之比为 4:2:1)(:)(:)(2 /122/122/12=C B A v v v ，则压强之比=C B A P P P :: 。 8．两个相同的刚性容器，一个盛有氧气，一个盛氦气（均视为刚性分子理想气体）。开 始他们的压强和温度都相同，现将3J 的热量传给氦气，使之升高一定的温度。若使氧气也升 高同样的温度，则应向氧气传递的热量为 J 。 二、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 一个质点作圆周运动时，则有（ ） A. 切向加速度一定改变，法向加速度也改变。 B. 切向加速度可能不变，法向加速度一定改变。 C. 切向加速度可能不变，法向加速度改变。 D. 切向加速度一定改变，法向加速度不变。 2. 一个物体沿固定圆弧光滑轨道由静止下滑，在下滑过程中( ) A. 它的加速度方向永远指出圆心,其速率保持不变. B. 它受到的轨道的作用力的大小不断增加. C. 它受到的合外力的大小变化,方向永远指向圆心. D. 它受到的合外力的大小不变,其速率不断增加. 3. 一质量为m,长度为L 的匀质细杆对过杆中点且垂直的轴的转动惯量为( ) A. 2 21mL B. 23 1mL C. 241mL D. 2121mL 4.物体A 的质量是B 的2倍且静止,物体B 以一定的动能E 与A 碰撞后粘在一块并以共 同的速度运动, 碰撞后两物体的总动能为( ) A. E B. E/2 C. E/3 D. 2E/3 5.一质量为0.02kg 的弹簧振子, 振幅为0.12m, 周期为2s,此振动系统的机械能为 ( ) A. 0.00014J 6. 有两个倾角不同、高度相同、质量一样的斜面放在光滑的水平面上，斜面是光滑的，有两个一样的物块分别从这两个斜面的顶点由静止开始下滑，则（ ） A ．物块到达斜面底端时的动量相等。 B ．物块到达斜面底端时的动能相等。 C ．物块和斜面组成的系统，机械能不守恒。 D ．物块和斜面组成的系统水平方向上动量守恒。 7. 假设卫星环绕地球作椭圆运动，则在运动过程中，卫星对地球中心的（ ） A ．角动量守恒，动能守恒。 B ．角动量守恒，机械能守恒。 C ．角动量不守恒，机械能守恒。 D ．角动量不守恒，动量也不守恒。 8.把理想气体的状态方程写成=T PV 恒量时，下列说法中正确的是 ( ) A. 对一定质量的某种气体，在不同状态下，此恒量不等， B. 对摩尔数相同的不同气体，此恒量相等， C. 对不同质量的同种气体，此恒量相等， D. 以上说法都不对。 第一章 质点运动学 一、运动的描述（量）---位矢、位移、速度、加速度，切向加速度、法向加速度、轨迹 1、质点沿X 轴方向运动，其运动方程为x=2t 2+4t-3(SI)，则质点任意时刻的速度表达式为v t =____________,加速度表达式a t =____________，前两秒的位移大小为____________，路程为____________。 2、质点的运动方程为x=2t,y=1o-2t 2（SI ）,则质点的轨迹方程为____________，t=2s 时，质点位置=r ____________，速度v =____________。 3、质点作半径为R 的圆周运动，其运动方程为S=2t 2,(切向、法向的单位矢量分别为0τ 和0n )，则 t 时刻质点速率 v=____________，速度v =____________， 切向加速度大小τa =____________，法向加速度大小n a =____________， 总加速度a =____________。 4、下列表述中正确的是：（ ） A ：在曲线运动中，质点的加速度一定不为零； B ：速度为零时，加速度一定为零； C ：质点的加速度为恒矢量时，其运动轨迹运动为直线； D ：质点在X 轴上运动，若加速度a<0，则质点一定做减速运动。 5、 质点作直线运动的运动学方程为x ＝3t -5t 3 + 6 (SI)，则该质点作（ ） A ：匀加速直线运动，加速度沿x 轴正方向． B ：匀加速直线运动，加速度沿x 轴负方向． C ：变加速直线运动，加速度沿x 轴正方向． D ：变加速直线运动，加速度沿x 轴负方向． 6、一质点沿x 轴作直线运动，其v -t 曲线如图所示，如t =0时，质点位于坐标原 点，则t =4.5 s 时，质点在x 轴上的位置为 （ ） (A) 5m ． (B) 2m ． (C) 0． (D) -2 m ． (E) -5 m. 7、在x 轴上作变加速直线运动的质点，已知其初速度为0v ，初始位置为x 0，加速度Ct a =（其中C 为常量），则其速度与时间的关系为=v __________，运动学方程为=x ____________． 8、一质点在XOY 平面内运动，其运动方程为j t i t r )210(42-+=,质点的位置矢量与速度矢量恰好垂直的时刻为__________。 9、质点作半径为m R 5.0=的圆周运动，其角坐标与时间的关系为：()SI t t 33+=θ，t=2 s 时，则质点的角坐标为__________、角速度为__________和角加速度为__________。 10、质点作曲线运动的方程为)(4,22 SI t y t x -==，则其轨迹方程为__________ t 时刻质点的切向加速度=τa __ ____，法向加速度a n =__ ____ 。 11、一船以速率30km/h 向正东直线行驶，另一小艇在其前方以速率40km/h 向正北方向直线行驶，则在船上观察到小艇的速率为__________、方向为__________。 - 一、填空题（运动学） 1、一质点在平面内运动, 其1c r = ，2/c dt dv =；1c 、2c 为大于零的常数，则该质点作 运动。 2．一质点沿半径为0.1=R m 的圆周作逆时针方向的圆周运动，质点在0～t 这段 时间内所经过的路程为4 2 2t t S ππ+ = ，式中S 以m 计，t 以s 计，则在t 时刻质点的角速度为 ， 角加速度为 。 3．一质点沿直线运动，其坐标x 与时间t 有如下关系：x=A e -β t （ A. β皆为常数）。则任意时刻t 质点的加速度a = 。 4．质点沿x 轴作直线运动，其加速度t a 4=m/s 2，在0=t 时刻，00=v ，100=x m ，则该质点的运动方程为=x 。 5、一质点从静止出发绕半径R 的圆周作匀变速圆周运动，角加速度为β，则该质点走完半周所经历的时间为______________。 6．一质点沿半径为0.1=R m 的圆周作逆时针方向的圆周运动，质点在0～t 这段时间内所经过的路程为2t t s ππ+=式中S 以m 计，t 以s 计，则t=2s 时，质点的法向加速度大小n a = 2/s m ，切向加速度大小τa = 2/s m 。 7. 一质点沿半径为0.10 m 的圆周运动，其角位移θ 可用下式表示3 2t +=θ (SI)． (1) 当 2s =t 时，切向加速度t a = ______________； (2) 当的切向加速度大小恰为法向加速度 大小的一半时，θ= ______________。 （rad s m 33.3,/2.12） 8．一质点由坐标原点出发，从静止开始沿直线运动，其加速度a 与时间t 有如下关系：a=2+ t ，则任意时刻t 质点的位置为=x 。 (动力学) 1、一质量为kg m 2=的质点在力()()N t F x 32+=作用下由静止开始运动，若此力作用在质点上的时间为s 2，则该力在这s 2内冲量的大小=I ；质点在第 s 2末的速度大小为 。 ?西南交大物理系_2014_02 《大学物理AI 》作业 No.07电势 班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______ 一、判断题：（用“T ”和“F ”表示） [ F ] 1．静电场中电场场强大的地方，电势就高。 解：电场强度为电势梯度的负值。场强大，只能说明电势在这区域的空间变化率大，不能说其电势高。 [ T ] 2．静电场中某点的电势能等于将电荷由该点移到势能零点电场力所做的功。 解：已经电势能的定义。 [ F ] 3．静电场中某点电势的数值等于单位试验电荷置于该点时具有的电势能。 解：应该是：静电场中某点电势的数值等于单位试验正电荷置于该点时具有的电势能。 [ T ] 4．静电场中某点电势值的正负取决于电势零点的选取。 解：电势的定义。 [ F ] 5．电场强度为零的空间点电势一定为零。 解：电场强度为电势梯度的负值。场强为0，只能说明电势在这区域的空间变化率为0，即是等势区。 二、选择题： 1．在点电荷 + q 的电场中，若取图中 P 点处为电势零点， 则 M 点的电势为 [ D ] (A) a q 041 πε (B) a q 081πε (C) a q -041πε (D) a q -081πε 解：根据电势的定义有:a q a a q r r q r E U a a P M M 00220821144d d πεπεπε--=??? ??--== ?=??ρ ρ 2．如图所示，两个同心的均匀带电球面，内球面半径为 R 1、带电荷 Q 1，外球面半径为 R 2、带有电荷 Q 2。设无穷远处为电势零点，则在两个球面之间、距离球心为 r 处的 P 点的电势 U 为： [ C ] (A) r Q Q 2 1041+πε (B) 练习一 质点运动的描述 一. 选择题 1. 以下四种运动，加速度保持不变的运动是（ ） (A) 单摆的运动； (B) 圆周运动； (C) 抛体运动； (D) 匀速率曲线运动. 2. 质点在y 轴上运动，运动方程为y =4t 2-2t 3，则质点返回原点时的速度和加速度分别为: （ ） (A) 8m/s, 16m/s 2. (B) -8m/s, -16m/s 2. (C) -8m/s, 16m/s 2. (D) 8m/s, -16m/s 2. 3. 物体通过两个连续相等位移的平均速度分别为v 1=10m/s ，v 2=15m/s ，若物体作直线运动，则在整个过程中物体的平均速度为（ ） (A) 12 m/s . (B) 11.75 m/s . (C) 12.5 m/s . (D) 13.75 m/s . 4. 质点沿X 轴作直线运动,其v - t 图象为一曲线,如图1.1,则以下说法正确的是（ ） (A) 0～t 3时间内质点的位移用v - t 曲线与t 轴所围面积绝对值之和表示, 路程用v - t 曲线与t 轴所围面积的代数和表示； (B) 0～t 3时间内质点的路程用v - t 曲线与t 轴所围面积绝对值之和表示, 位移用v - t 曲线与t 轴所围面积的代数和表示； (C) 0～t 3时间内质点的加速度大于零； (D) t 1时刻质点的加速度不等于零. 5. 质点沿XOY 平面作曲线运动,其运动方程为:x =2t , y =19-2t 2. 则质点位置矢量与速度矢量恰好垂直的时刻为（ ） (A) 0秒和3.16秒. (B) 1.78秒. (C) 1.78秒和3秒. (D) 0秒和3秒. 二. 填空题 1. 一小球沿斜面向上运动,其运动方程为s =5+4t -t 2 (SI),则小球运动到最高点的时刻为 t = 秒. 2. 一质点沿X 轴运动, v =1+3t 2 (SI), 若t =0时,质点位于原点. 则质点的加速度a = (SI)；质点的运动方程为x = (SI). 3. 一质点的运动方程为r=A cos ω t i+B sin ω t j , 其中A , B ,ω为常量.则质点的加速度矢量 为 图1.1 部分力学和电磁学练习题（供参考） 一、选择题 1. 一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间， 圆盘的角速度ω (A) 增大． (B) 不变． (C) 减小． (D) 不能确定． ［ C ］ 2. 将一个试验电荷q 0 (正电荷)放在带有负电荷的大导体附近P 点处(如图)，测得它所受的力为F ．若考虑到电荷q 0不是足够小，则 (A) F / q 0比P 点处原先的场强数值大． (B) F / q 0比P 点处原先的场强数值小． (C) F / q 0等于P 点处原先场强的数值． (D) F / q 0与P 点处原先场强的数值哪个大无法确定． ［ A ］ 3. 如图所示，一个电荷为q 的点电荷位于立方体的A 角上，则通过侧面abcd 的电场强度通量等于： (A) 06εq ． (B) 0 12εq ． (C) 024εq ． (D) 0 48εq ． ［ C ］ 4. 两块面积均为S 的金属平板A 和B 彼此平行放置，板间距离为d (d 远小于板 的线度)，设A 板带有电荷q 1，B 板带有电荷q 2，则AB 两板间的电势差U AB 为 (A) d S q q 0212ε+． (B) d S q q 02 14ε+． (C) d S q q 021 2ε-． (D) d S q q 02 14ε-． ［ C ］ 5. 图中实线为某电场中的电场线，虚线表示等势（位）面，由图可看出： (A) E A ＞E B ＞E C ，U A ＞U B ＞U C ． (B) E A ＜E B ＜E C ，U A ＜U B ＜U C ． (C) E A ＞E B ＞E C ，U A ＜U B ＜U C ． (D) E A ＜E B ＜E C ，U A ＞U B ＞U C ． ［ D ］ 6. 均匀磁场的磁感强度B ? 垂直于半径为r 的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为 (A) 2πr 2B ． (B) πr 2B ． (C) 0． (D) 无法确定的量． ［ B ］ 7. 如图，两根直导线ab 和cd 沿半径方向被接到一个截面处处相等的铁环上， 稳恒电流I 从a 端流入而从d 端流出，则磁感强度B ? 沿图中闭合路径L 的积 分??L l B ? ?d 等于 (A) I 0μ． (B) I 03 1 μ． (C) 4/0I μ． (D) 3/20I μ． ［ D ］ O M m m － P 0 A b c q d A S q 1q 2 C B A I I a b c d 120° 答案在试题后面显示 模拟试题 注意事项： 1.本试卷共三大题，满分100分，考试时间120分钟，闭卷； 2.考前请将密封线内各项信息填写清楚； 3.所有答案直接做在试卷上,做在草稿纸上无效； 4．考试结束，试卷、草稿纸一并交回。 一、选择题 1、一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为，瞬时速率为，某一时间内的平均速度为，平均速率为，它们之间的关系必定有：（） （A）（B） （C）（D） 2、如图所示，假设物体沿着竖直面上圆弧形轨道下滑，轨道是光滑的，在从A至C的下滑过程中，下面 哪个说法是正确的？（） (A) 它的加速度大小不变，方向永远指向圆心． (B) 它的速率均匀增加． (C) 它的合外力大小变化，方向永远指向圆心． (D) 它的合外力大小不变． (E) 轨道支持力的大小不断增加． 3、如图所示，一个小球先后两次从P点由静止开始，分别沿着光滑的固定斜面l1和圆弧面l2下滑．则小 球滑到两面的底端Q时的（） (A) 动量相同，动能也相同．(B) 动量相同，动能不同． (C) 动量不同，动能也不同．(D) 动量不同，动能相同． 4、置于水平光滑桌面上质量分别为m1和m2的物体A和B之间夹有一轻弹簧．首先用双手挤压A和B 使弹簧处于压缩状态，然后撤掉外力，则在A和B被弹开的过程中( ) (A) 系统的动量守恒，机械能不守恒．(B) 系统的动量守恒，机械能守恒．(C) 系统的动量不守恒，机械能守恒．(D) 系统的动量与机械能都不守恒． 5、一质量为m的小球A，在距离地面某一高度处以速度水平抛出，触地后反跳．在抛出t秒后小球A 跳回原高度，速度仍沿水平方向，速度大小也与抛出时相同，如图．则小球A与地面碰撞过程中，地面给它的冲量的方向为________________，冲量的大小为____________________． 第三章 刚体力学 一、刚体运动学（定轴转动）---角位移、角速度、角加速度、线量与角量的关系 1、刚体做定轴转动，下列表述错误的是：【 】 A ；各质元具有相同的角速度； B ：各质元具有相同的角加速度； C ：各质元具有相同的线速度； D ：各质元具有相同的角位移。 2、半径为0.2m 的飞轮，从静止开始以20rad/s 2的角加速度做定轴转动，则t=2s 时，飞轮边缘上一点的切向加速度τa =____________，法向加速度n a =____________，飞轮转过的角位移为_________________。 3、刚体任何复杂的运动均可分解为_______________和 ______________两种运动形式。 二、转动惯量 1、刚体的转动惯量与______________ 和___________________有关。 2、长度为L ，质量为M 的均匀木棒，饶其一端A 点转动时的转动惯量J A =_____________，绕其中心O 点转动时的转动惯量J O =_____________________。 3、半径为R 、质量为M 的均匀圆盘绕其中心轴（垂直于盘面）转动的转动惯量J=___________。 4、两个匀质圆盘A 和B 的密度分别是A ρ和B ρ，若B A ρρ>，但两圆盘的质量和厚度相同，如两盘对通过盘心垂直于盘面轴的转动惯量各为A J 和B J 则：【 】 （A ）B A J J >； （B ）B A J J < （C ）B A J J = （D ）不能确定 三、刚体动力学----转动定理、动能定理、角动量定理、角动量守恒 1、一长为L 的轻质细杆，两端分别固定质量为m 和2m 的小球，此系统在竖直平面内可绕过中点O 且与杆垂直的水平光滑固定轴(O 轴)转 动．开始时杆与水平成60°角，处于静止状态．无初转速地释放以后， 杆球这一刚体系统绕O 轴转动．系统绕O 轴的转动惯量J ＝ ___________．释放后，当杆转到水平位置时，刚体受到的合外力矩M =____ __；角加速度β= ____ __． 2、一个能绕固定轴转动的轮子，除受到轴承的恒定摩擦力矩M r 外，还受到恒定外力矩M 的作用．若M ＝20 N ·m ，轮子对固定轴的转动惯量为J ＝15 kg ·m 2．在t ＝10 s 内，轮子的角速度由ω ＝0增大到ω＝10 rad/s ，则M r ＝_______． 3、【 】银河系有一可视为物的天体，由于引力凝聚，体积不断收缩。设它经过一万年体积收缩了1%，而质量保持不变。则它的自转周期将______；其转动动能将______ （A ）减小，增大； (B)不变，增大； (C) 增大，减小； (D) 减小，减小 4、【 】一子弹水平射入一竖直悬挂的木棒后一同上摆。在上摆的过程中，一子弹和木棒为系统（不包括地球），则总角动量、总动量及总机械能是否守恒？结论是： （A ）三者均不守恒； （B ）三者均守恒； A. 8m/s,16m/s2. B. -8m/s, -16m/s2. C. -8m/s, 16m/s2. D. 8m/s, -16m/s2. 7、若某质点的运动方程是r=(t2+t+2)i+(6t2+5t+11)j,则其运动方式和受力状况应为[ ]. A.匀速直线运动,质点所受合力为零 B.匀变速直线运动,质点所受合力是变力 C.匀变速直线运动,质点所受合力是恒力 D.变速曲线运动,质点所受合力是变力 8、以下四种运动，加速度矢量保持不变的运动是 [ ]. A. 单摆的运动； B. 圆周运动； C. 抛体运动； D. 匀速率曲线运动. 9、质点沿XOY平面作曲线运动,其运动方程为:x=2t, y=19-2t2. 则质点位置矢量与速度矢量恰好垂直的时刻为[ ] A. 0秒和3.16秒. B. 1.78秒. C. 1.78秒和3秒. D. 0秒和3秒. 10、一物体做斜抛运动（略去空气阻力），在由抛出到落地的过程中，[ ]。 A.物体的加速度是不断变化的 B.物体在最高处的速率为零 C.物体在任一点处的切向加速度均不为零 D.物体在最高点处的法向加速度最大 11、如图所示,两个质量分别为m A,m B的物体叠合在一起,在水平面上沿x轴正向做匀减速直线运动,加速度大小为a,,A与B之间的静摩擦因数为μ,则A作用于B的静摩擦力大小和方向分别应为[ ] A. μm B g,沿x轴反向; B. μm B g,沿x轴正向; C. m B a,沿x轴正向; D. m B a,沿x轴反向. 12、在下列叙述中那种说法是正确的[ ] A.在同一直线上，大小相等，方向相反的一对力必定是作用力与反作用力； B.一物体受两个力的作用，其合力必定比这两个力中的任一个为大； C.如果质点所受合外力的方向与质点运动方向成某一角度，则质点一定作曲线运动； D.物体的质量越大，它的重力和重力加速度也必定越大。 大学物理力学复习题答案 一、单选题（在本题的每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号，填入题干的括号内） 1．下列运动中，加速度a 保持不变的是 ( D ) A ．单摆的摆动 B ．匀速率圆周运动 C ．行星的椭圆轨道运动 D ．抛体运动。 2．某质点作直线运动的运动学方程为x ＝3t -5t 3 + 6 (SI)，则该质点作 ( D ) A ．匀加速直线运动，加速度沿x 轴正方向 B ．匀加速直线运动，加速度沿x 轴负方向 C ．变加速直线运动，加速度沿x 轴正方向 D ．变加速直线运动，加速度沿x 轴负方向 3． 某物体作一维运动， 其运动规律为 dv kv t dt =-2， 式中k 为常数. 当t =0时， 初速为v 0，则该物体速度与时间的关系为 ( D ) A ．v kt v =+2012 B ．kt v v =-+2011 2 C ．kt v v =-+201112 D ．kt v v =+20 1112 4．质点作半径为R 的变速圆周运动时的加速度大小为(v 表示任一时刻质点的速率) ( C ) A ．dv dt B ．v R 2 C ．dv v dt R -??????+?? ? ? ???????? 1242 D ． dv v dt R +2 t a t dt dx v 301532 -=-== 5、质点作曲线运动，r 表示位置矢量，v 表示速度，a 表示加速度，s 表示路程，t a 表示 切向加速度，对下列表达式：(1) a dt dv =；(2) v dt dr =；(3) v dt ds =；(4) t a dt v d = ，下列判断正确的是 ( D ) A 、只有(1)(4)是对的； B 、只有(2)(4)是对的； C 、只有(2)是对的； D 、只有(3)是对的。 6．质点作圆周运动，如果知道其法向加速度越来越小，则质点的运动速度 ( A ) A 、 越来越小； B 、 越来越大； C 、 大小不变； D 、不能确定。 7、一质点在做圆周运动时，则有 ( C ) A 、切向加速度一定改变，法向加速度也改变； B 、切向加速度可能不变，法向加速度一定改变； C 、切向加速度可能不变，法向加速度不变； D 、切向加速度一定改变，法向加速度不变。 8．一质点在外力作用下运动时，下列说法哪个正确 ( D ) A ．质点的动量改变时，质点的动能也一定改变 B ．质点的动能不变时，质点的动量也一定不变 C ．外力的功为零，外力的冲量也一定为零 D ．外力的冲量为零，外力的功也一定为零 9、一段路面水平的公路,拐弯处轨道半径为R ,汽车轮胎与路面间的摩擦因数为μ,要使汽 车不至于发生侧向打滑,汽车在该处的行使速率 ( C ) A ．不得小于gR μ B ．必须等于gR μ C ．不得大于gR μ D ．还应由气体的质量m 决定 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1、（本题3分） 质量为m ＝0.5 kg 的质点，在Oxy 坐标平面内运动，其运动方程为 x ＝5t ，y =0.5t 2（SI ），从t =2 s 到t =4 s 这段时间内，外力对质点作的功为 (A) 1.5 J ． (B) 3 J ． (C) 4.5 J ． (D) -1.5 J ． ［ ］ 2、（本题3分） 速率分布函数f (v )的物理意义为： (A) 具有速率v 的分子占总分子数的百分比． (B) 速率分布在v 附近的单位速率间隔中的分子数占总分子数的百分比． (C) 具有速率v 的分子数． (D) 速率分布在v 附近的单位速率间隔中的分子数． ［ ］ 3、（本题3分） 一绝热容器被隔板分成两半，一半是真空，另一半是理想气体．若把隔板抽出，气体将进行自由膨胀，达到平衡后 (A) 温度不变，熵增加． (B) 温度升高，熵增加． (C) 温度降低，熵增加． (D) 温度不变，熵不变． ［ ］ 4、（本题3分） 根据热力学第二定律可知： (A) 功可以全部转换为热，但热不能全部转换为功． (B) 热可以从高温物体传到低温物体，但不能从低温物体传到高温物体． (C) 不可逆过程就是不能向相反方向进行的过程． (D) 一切宏观的自发过程都是不可逆的． ［ ］ 5、（本题3分） 一平面余弦波在t = 0时刻的波形曲线如图所示，则O 点的振动初相位? 为： (A) 0． (B) π2 1． (C) π ． (D) π23（或π-2 1）． [ ］ 6、（本题3分） 一平面简谐波在弹性媒质中传播，在某一瞬时，媒质中某质元正处于平衡位置，此时它的能量是 (A) 动能为零，势能最大．(B) 动能为零，势能为零． (C) 动能最大，势能最大．(D) 动能最大，势能为零．［］ 7、（本题3分） 一机车汽笛频率为750 Hz，机车以时速90公里远离静止的观察者．观察者听到的声音的频率是（设空气中声速为340 m/s） (A) 810 Hz．(B) 699 Hz． (C) 805 Hz．(D) 695 Hz．［］ 8、（本题3分） 在双缝干涉实验中，入射光的波长为λ，用玻璃片遮住双缝中的一个缝，若玻璃片中光程比相同厚度的空气的光程大2.5 λ，则屏上原来的明纹处 (A) 仍为明条纹．(B) 变为暗条纹． (C) 既非明纹也非暗纹．(D) 无法确定是明纹，还是暗纹．［］ 9、（本题3分） 斯特角i0，则在界面2的反射光 (A) 是自然光． (B) 是线偏振光且光矢量的振动方向垂直于入射面． (C) 是线偏振光且光矢量的振动方向平行于入射面． (D) 是部分偏振光．［］ 10、（本题3分） 一束光是自然光和线偏振光的混合光，让它垂直通过一偏振片．若以此入射光束为轴旋转偏振片，测得透射光强度最大值是最小值的5倍，那么入射光束中自然光与线偏振光的光强比值为 (A) 1 / 2．(B) 1 / 3． (C) 1 / 4．(D) 1 / 5．［］ 大学物理期中考试试题 班级_________________ 姓名_____________ 学号______________ 一．填空题： 1．设质点作平面曲线运动，运动方程为j t i t r 22+=，则质点在任意t 时刻的速度矢量 =)(t V ______________________；切向加速度a t =___________；法向加速度a n =______________。 2．设某机器上的飞轮的转动惯量为63.6kg·m 2，转动的角速度为314s -1，在制动力矩的作用下，飞轮经过20秒匀减速地停止转动，则飞轮角加速度是____________,制动力矩__________。 3．质量为m 1=16kg 的实心圆柱体，半径r=15cm ，可以绕其固定水平轴转动，如图，阻力忽略不计。一条轻柔绳绕在圆柱上，其另一端系一个质量为m 2=8.0kg 的物体，绳的张力T___________。 4．质量为10kg 的质点，在外力作用下，做曲线运动，该质点的速度为 )(1642 SI k i t v +=，则在t =1s 到t =2s 时间内，合外力对质点所做的功为____________________。 5．在光滑的水平面上有一木杆，其质量m 1=1.0kg ，长 =40cm ，可绕过其中点并与之 垂直的轴转动。一质量为m 2=10g 的子弹，以v=200m / s 的速度射入杆端，其方向与杆及轴正交。若子弹陷入杆中，所得到的角速度 是________ 。 6．如一质量20kg 的小孩，站在半径为3m 、转动惯量为450kg·m 2的静止水平转台边缘上。此转台可绕通 过转台中心的铅直轴转动，转台与轴间的摩擦不计。如果小孩相对转台以1m / s 的速率沿转台的边缘行走，转台的角速率为__________. 7．一质量为m 的地球卫星，沿半径为3R E 的圆轨道运动，R E 为地球的半径。已知地球的质量为M E 。则：(1)卫星的动能是_____；(2)卫星的引力势能是_____；(3)卫星的机械能等于_____。 8．在光滑的水平面上，一根长L=2m 的绳子，一端固定于O 点，另一端系一质量m=0.5kg 的物体。开始时，物体位于位置A ，OA 间距离d=0.5m ，绳子处于松弛状态。现在使物体以初速度V A = 4m ·s -1垂直于OA 向右滑动，如图所示。设以后的运动中物体到位置B ，此时物体速度的方向与绳垂直。则物体速度的大小V B =__________________。 9．一沿x 方向的力，作用在一质量为3㎏的质点上，质点的运动方程为x=3t －4t 2 ＋t 3 (SI)，则力在最初4秒内的冲量值为______________。 二．计算题： 1．一长为l1 质量为M 的匀质细杆，可绕水平光滑轴O 在竖直平面内转动，如图所 示。细杆由水平位置静止释放，试求： （1） 杆达到竖直位置的角速度； （2） 杆转至竖直位置时，恰有一质量为m 的泥巴水平打在杆的端点并粘住，且 系统立即静止，则该泥巴与该杆碰撞前的速度v0=？。 2. 质量为m 的子弹以速度v 0水平射入沙土中,设子弹所受阻力与速度成正比,比例系数为k ,忽略子弹的重力,求: (1) 子弹射入沙土后,速度随时间变化的函数关系式； (2) 子弹射入沙土的最大深度. O v 0= 大学物里作业分析（5）（2007/04/24） 5.4 求下列刚体对定轴的转动惯量 (1) 一细圆环，半径为R ，质量为m 但非均匀分布，轴过环心且与环面垂直； (2) 一匀质空心圆盘，内径为R 1，外径为R 2，质量为m ，轴过环中心且与环面垂直； (3) 一匀质半圆面，半径为R ，质量为m ，轴过圆心且与圆面垂直。 解:(1) 取质元dm ，质元对轴的转动惯量dJ =R 2 dm 园环转动惯量为各质元转动惯量之和 m R dm R dm R dJ J 222=?=?=?= (2) 园盘的质量面密度为) (2122 R R m - = πσ 若是实心大园盘，转动惯量为 4 2 22222222R 2 1R R 21R m 21J πσπσ=??== 挖去的空心部分小园盘的转动惯量为 4121212 2112 12121R R R R m J πσπσ=??== 空心园盘转动惯量为 )(2 1)() (21)(2122214 142212 2414212R R m R R R R m R R J J J +=--=-=-=πππσ (3) 若为完整的园盘，转动惯量为 220221 mR R m J =??= 半园盘转动惯量为整个园盘的一半，即 202 1 21mR J J == 注：只有个别同学做错了！ 5.5如图5-31所示，一边长为l 的正方形，四个顶点各有一质量为m 的质点，可绕过一顶点且与正方形垂直的水平轴O 在铅垂面内自由转动，求如图状态(正方形有两个边沿着水平方向有两个边沿着铅垂方向)时正方形的角加速度。 O 题5.5图 图5-31 解：正方形的转动惯量 2224)2(2ml l m ml J =+?= 正方形受到的重力矩 mgl m 2= 由转动定律 M =J 得到转动角加速度 l g ml mgl J M 2422=== α 注：此题做得很好！ 5.6如图5-32所示，一长度为l ，质量为m 的匀质细杆可绕距其一端l /3的水平轴自由 大学物理第二章质点动 力学习题答案 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 习题二 2-1质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系；(2)子弹射入沙土的最大深度。 [解]设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力f =-kv (1)由牛顿第二定律t v m ma f d d == 即t v m kv d d ==- 所以t m k v v d d -= 对等式两边积分??-=t v v t m k v v 0 d d 0 得t m k v v -=0ln 因此t m k e v v -=0 (2)由牛顿第二定律x v mv t x x v m t v m ma f d d d d d d d d ==== 即x v mv kv d d =- 所以v x m k d d =- 对上式两边积分??=- 000d d v s v x m k 得到0v s m k -=- 即k mv s 0= 2-2质量为m 的小球，在水中受到的浮力为F ，当它从静止开始沉降时，受到水 的粘滞阻力为f ＝kv (k 为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为 [证明]任意时刻t 小球的受力如图所示，取向下为y 轴的正方向，开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得 即t v m ma kv F mg d d ==-- 整理得 m t kv F mg v d d =-- 对上式两边积分? ? =--t v m t kv F mg v 00 d d 得m kt F mg kv F mg -=---ln 即??? ? ??--= -m kt e k F mg v 1 2-3跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kv F =。求跳伞员的运动速率v 随时间t 变化的规律和极限速率T v 。 [解]设运动员在任一时刻的速率为v ，极限速率为T v ，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。 此时2 T kv mg = 即k mg v = T 有牛顿第二定律t v m kv mg d d 2=- 整理得 m t kv mg v d d 2=-大学物理2最新试题
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