高精度不可见内回转曲面在线自适应测量_吕晓明

高精度不可见内回转曲面在线自适应测量

*

吕晓明　赵转萍　杨桂珍　郑叔芳　(南京航空航天大学机电工程学院　南京　210016)

李保歧　唐世达　郭　旭　赵运天　(沈阳黎明发动机制造公司　沈阳　110043)

摘要　本文介绍一种测量精度为±2微米的高精度计算机辅助二维在线测量系统的测量原理和方法。分析了系统精度,用双频激光干涉仪测量系统组成部分的误差,并通过软件方法进行补偿。用最小二乘原理对燕尾榫槽轮廓度加工误差进行误差分离和测量信息反馈,M inimax 方法对轮廓度加工误差进行最优计算。关键词　精密测量　榫槽　轮廓度　在线　坐标

The High -Precision Adaptive Measurement of Invisible Surface of Online Ro -tary Workpiece

Lu Xiaom ing Zhao Zhuanping Yang Guizhen Zhen Shufang

(N anj ing University of A er onautics &A stronautics ,N an j ing 210016)

Li Baoqi T ang Shida Guo Xu Zhao Yuntian

(Shengy ang L iming A ir engine M anuf actur ing Corp or ation ,Sheny ang 110043)

Abstract T his paper presents the measurement principle and t he method of a comput er aided t wo-dimensional online measuring system w it h a high measuring accuracy of ±2L m .T he system accuracy is analyzed ,and t he syst ematic error is measured by 5528A Laser M easurment Syst em and calibrat ed by soft ware.We isolat e t he manufact uring error of mortise by least square crit ier and the measured informat ion is f eedback t o manipulat or.Finally ,t he manufact uring error of mort ise has been computed opt imally t hrough the M inimax critier .Key words Precise measurement T enon slot Cont our degree Online Coordinates

*本文于1999年1月收到。

1　引 言

在新一代航空发动机研制中,为了保证线轮廓度加工误差小于7微米,需研制高精度不可见回转曲面在线自适应测量系统,其目的意义和主要技术关键如下:

(1)不可见内表面

鼓筒周向燕尾榫槽主要用于安装涡轮叶片,轮廓度误差直接影响航空发动机性能,榫槽沿鼓筒圆周方向分布,其轴截面形状尺寸如图2所示,其特点是内大外小,呈燕尾状,榫宽一般在3～9mm 之间变化,因此

加工和测量都十分困难。目前主要采用左右样板刀分

左右面逐次进行加工,其轮廓形状精度取决于样板刀的形状精度,但左右样板刀之间在轴向和垂向的相对位置误差以及样板刀基准边和鼓筒轴线的垂直度误差直接影响到榫槽线轮廓度加工精度,以前由于没有高精度的在线测量手段,很难保证加工精度和效率。

(2)无废品生产

榫槽加工是鼓筒生产的后道工序,一旦出现废品不仅将造成数十万元的经济损失,而且影响航空发动机研制周期。

(3)高精度在线测量

为了保证榫槽加工精度和效率,要求测量不确定度(±3R )为±2L m ,由于测量在加工机床上进行,和三坐标测量机相比测量环境较差,如温度变化较大,一般

为20±5℃。

第21卷第4期 仪　器　仪　表　学　报 2000年8月

2　系统结构及测量原理

如图1所示,燕尾榫槽测量系统采用坐标测量原理。鼓筒装夹在车床上,测量系统安装在车床刀架对面,加工时样板刀从和鼓筒轴线垂直的方向伸进鼓筒榫槽进行加工,测量时测头从相反方向的另一面伸进鼓筒榫槽进行测量。系统的基本组成部分为:

(1)导轨

在基座和X 滑板间装有X 导轨,X 滑板和Y 滑板间固定Y 导轨,X 和Y 导轨相互垂直,并可使固定在Y 滑板上的测头相对安装在车床上的被测工件在X 和Y 两个坐标轴方向移动。X 和Y 滑板由计算机控制步进电机经滚珠丝杠进行驱动。计算机每发一个脉冲,测头相对工件移动4微米。

(2)测长装置

两组测长装置均采用高精度光栅,用以测量测头坐标原点相对机器坐标系OXY 的相对位置。选择的光栅尺的膨胀系数和金属很接近,光栅栅距10微米,采用软件100细分,分辨率达到0.1微米,测量精度0.5微米。光栅的输出信号一方面用数显显示,同时经RS232

串口送入计算机。

图1　测量原理示意图

(3)基准量块

用于测头校验和系统自检,更换探针后,探针上两个触头中心的位置可通过在基准量块上用左右触头依次测量四个点,经计算得到。

(4)计算机测控系统

主要包括PC 总线工控机、14位A /D 转换器、开关量输入输出接口等。整个测量过程在计算机控制下自动进行。测量程序的生成采用图形交互式和示教再

现两种方式。

图2　测头工作原理

3　二维智能测头

目前国内外可水平使用的高精度两维测微式测头还较少,本文研制的测头精度为0.5微米,其结构示意图见图2。X 和Y 方向均采用柔性铰链作为导向元件,柔性铰链的特点是无间隙、无机械摩擦、导向精度高,位移分辨率可达0.01微米。当测针的球形部分碰触工件表面后,测针相对于测头坐标系O p P x P y 的位移量由分辨率为0.01微米的高精度电感传感器转换为电压信号,该信号经14位高速A /D 转换器转换为数字信号后送入计算机。

测头在计算机控制下沿着X 或Y 方向碰触工件表面。计算机在测头运动情况下对测头的位移信号进行自适应滤波,去除信号中的振动部分,进而对测头相对工件的运动进行自适应控制,当触针偏离平衡位置100微米时,发出信号使电机停止转动。计算机采集测头的位移信号并计算出探针相对于测头坐标原点的坐标值(PX ,PY )。

4　测量精度分析及系统误差补偿

测量的主要误差源来自系统的三个关键组成部件:导轨、测头和光栅。我们假设测量系统作刚体运动,有6个自由度,即3个转动度和3个平动自由度。当测

头沿着X 或Y 轴移动时,除光栅和测头在该方向的测量误差外,导轨在其余5个自由度也有微量线位移和角位移,X 和Y 向的测量误差分别为:

$x =$x(x)+$x(y)-y 5x y-Y p ($C (x )+$C (y))

-Z px $B (x )+$u

$y =$y (y )+$y (x )-X p ($C

(x )+$C (y ))-Z py $B (y)+$T

(1)

上式中:

$u 、$T 分别为测头在X 、Y 轴方向的误差$x (x )、$y (y )分别为X 、Y 轴光栅的误差$y (x )、$z(x )为沿X 轴运动时在Y 、Z 方向的移

400

仪　器　仪　表　学　报 第21卷　

动误差

$x(y)、$z(y)为沿Y轴运动时在X、Z方向的移动误差

$A(x)、$B(x)、$C(x)、$A(y)、$B(y)、$C(y)分别为沿X、Y轴运动时绕X、Y、Z轴转动误差

X p为触头中心和Y光栅在X方向的距离

Y p为触头中心和X光栅在Y方向的距离

Z px、Z py分别为触头中心和X、Y光栅在Z方向的距离

5xy为X、Y轴间的垂直度误差

由(1)式可见,测量的主要误差源来自系统的三个关键组成部件:导轨、测头和光栅。其中导轨的转动误差对测量的影响还和X p、Y p Z px、Z py成正比,结构设计时

应尽量减小Y

p 、Z

px

、Z

py

和X

p,但由于测量时,测头必须

伸出至被测工件,故Y

p

最大可达500mm,当$C(x)为1角度秒时,测量误差即为2.5L m。系统误差修正可提高测量精度,但是,并非所有系统误差修正均可提高精度。设被修正的误差$为:

$=$s+$rl(2)

式中$

s 为系统误差,$

rl

为随机误差,设被修正误

差$的测量系统误差为$t。随机误差为$r2。则系统误差的测量值为:

$d s=$s+$r2+$t(3)因此测量值作为修正量对误差$进行修正,修正后的误差为:

$c=$-$d s=$r l-$t-$r2(4)可见系统误差$s被修正,但随机误差$r l不能被

修正,且引入新的误差$

t 、$

r2

。

可见,保证误差修正有效性的条件是:

1.误差测量的精度要显著高于被修正量精度

2.被修正误差的系统部分要显著大于随机部分

例如直接用HP5528型双频激光干涉仪测角附件测量$C(x),因两直角锥棱镜的间距较小(30mm左右),测量精度不能满足补偿要求。改用两线法测量,将间距增大到1000mm,测量精度大幅度提高,取得了比较满意的补偿效果。

其它各项误差的测量也主要采用双频激光干涉仪,鉴定数据经IEE488接口送入计算机,整个鉴定过程在计算机控制下进行。X轴和Y轴的各项误差每隔2.5mm测一组数据,多次测量取平均后存入数据文件,形成一张表格。实际测量时,用查表法根据(1)式计算出X和Y向的测量系统误差,进而进行补偿。5　轮廓度加工误差分离及质量信息反馈

测量榫槽时,榫槽的左右部分分别由左右触头沿X方向触测,榫槽的根部沿Y方向触测。将触测后记录下的光栅数据和测头数据进行叠加就可计算出左右触头中心点在机器坐标系中的坐标。根据测头校验得到的左右触头中心相对位置不难将左触头测的坐标数据换算成假想用右触头测的坐标数据,并根据工件的设计基准建立工件坐标系。设理想轮廓曲线T

2

的方程为:

x

y

=

x=x(t)

y=y(t)

(5)

为了分离加工过程的轮廓度误差,首先对理想轮廓曲线T2进行移动M x、M y和转动H变换得曲线T3的方程:

x

y

=

cos(H)-sin(H)

sin(H)cos(H)

x(t)

y(t)

+

M

x

M y

(6)

然后计算工件轮廓上各点P(X

i,Y i)到曲线T3的法向距离D

i,为了去除测量随机误差和样板刀的形状误差,根据最小二乘原理,将目标函数定义为:

$(M x,M y,H)=∑

N

i=1

D2i(7)显然,对给定的测量工件和测头半径R,目标函数

是M

x

、M

y

、H的函数。通过求解目标函数的极小值就可

计算出M

x

、M

y

、H,即分离出加工过程左右样板刀之间在轴向和垂向的相对位置误差以及样板刀基准边和鼓筒轴线的垂直度误差。计算结果用图形方式显示在CRT上,操作者根据M x、M y、H调整刀具与工件的相对位置,不断减小加工误差。

6　轮廓度误差评定的多目标M inmax方法

在保证设计要求的前提下,为了使虚检率最低,计算轮廓度误差的目标函数定义为:

J(M x,M y,H)=max

1≤i≤n

{D i}(8)

D i为工件轮廓上各点P(X i,Y i)到曲线T4的法向

距离误差,曲线T

4

的方程为:

x

y

=

x(t)

y(t)

+

M x

M y

(9)

轮廓度误差E就是目标函数的极小值

E=M in{J(M x,M y,H)}=M in{max

1≤i≤n

{D i}}(10)其几何意义为交替平移和旋转包容被测实际轮廓

(下转第406页)

401

　第4期 高精度不可见内回转曲面在线自适应测量

线展开图。测量仪测得的环规内壁某一截面直径:100.1mm 。

在标准环规内表面贴一厚度为0.1mm 的铝铂,测得误差曲线如图11所示。图11中环规测量区域内可见一明显台阶,台阶高为0.1mm 。可见测量仪具有0.1mm 的分辨率。5.2　油泵管内表面测量

测量仪对一公称内径为5英寸油泵管的内表面进行测量。图12中OS 示出了测量曲线。将OS 曲线进行子波分析,各分辨率下的子波分析结果可由图12中曲线H 1—H 4及L 4表示(图12中子波分析曲线H 1至L 4依此为短波长至长波长曲线)。由L 4可得出缺陷的深度为0.1mm

。

图12　应用子波变换的管内表面测量曲线分析

6　结 论

研究了一种管内壁测量仪的测量原理,对测量仪进行模拟和优化以获得激光功率以及测量仪的测量分

辨率,子波变换被引入作为分析和评价被测管内壁表面特征的工具。实验验证了测量仪的有效性。

参考文献

1　Ro bert.M .M iner ,M ethods and appar atus fo r testing

r oundness and st raig htness o f pipes and tubes ,U nited Stat es P atent 4354379,Oct.1982.

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5　P.Beckmann and A.spizzichino,T he scatt ering of elec-tr omag netic w aves fro m ro ug h sur face,Per gamo n

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6　T .M iyo shi,H.A o ki,K.Saito ,Development of no nco n-tact pr ofile senso r for 3D free for m sur face (1st Repo r t),JSPE ,1992,11:98～104.

7　黄清渠.几何量测量.机械工业出版社,1981.

8　赵松年.子波变换与子波分析.电子工业出版社,1996.9　杨福生.信号的时间——频率分析:维格纳分布与小波变换.北京:清华大学电机系,1994.

10　Fer dina nd V an D er Heijden ,Image Based M easur e -ment Systems,Jo hn W iley &so ns L td.,1994.

(上接第401页)曲线的两条等距理论轮廓曲线,使两条等距理论轮廓曲线的距离为最小。目标函数的复杂性在于不能用初等函数来表达,也就不可能用求导的方法计算最小值。本文采用最优化的直接方法——步长加速法计算轮廓度误差。

7　结 论

(1)综合运用微型计算机、精密机械、高精度传感、自适应控制、误差理论等使本系统测量精度达到了±2

微米。

(2)在榫槽加工时使用两维在线测量系统进行加工误差信息反馈,有效地保证了榫槽的加工精度和效率。

(3)对轮廓度误差根据M inmax 原理采用优化方法进行最优计算,保证了最低虚检率。

参考文献

1　Y C.Shin.A statical ana ly sis of positional er ro rs of a

mult iax is m achine too l.PRECISIO N EN G IN EER IN G.1992,14(3):139.

406

仪　器　仪　表　学　报 第21卷　

第十章定积分的应用§4旋转曲面的面积_数学分析

§4 旋转曲面的面积 (一) 教学目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋转曲面的面积计算公式． (二) 教学内容：旋转曲面的面积计算公式． 基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式． (三) 教学建议： 要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积． ———————————————————— 一 微元法 用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量 是一个与某变量(设为x )的变化区间 有关的量，且关于区间 具有可加性. 我们就设想把 分成n 个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐 ， 然后就寻求相应于这个小区间的部分量 的近似值（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到 的形如 近似表达式（其中 为 上的一个连续函数在点x 处的值， 为小区间的长度),那么就把 称为量 的元素并记做 ，即 dx x f dU )(= 以量 的元素作为被积表达式在 上进行积分，就得到所求量 的积分表达式： ?b a dx x f )( 例如求由两条曲线)(,)(21x f y x f y == (其中],[,21b a C f f ∈)及直线 b x a x ==, 所为成图形的面积A.容易看出面积元素dx x f x f DA |)()(|21-=于是得平面图形 b x a x f y x f ≤≤≤≤,)()(21 的面积为 ?-=b a dx x f x f A |)()(|21

10.4旋转曲面的面积

§4 旋转曲面的面积 教学目标：掌握旋转曲面的面积计算公式． 教学内容：旋转曲面的面积计算公式． 基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式． 教学建议： 要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积． 教学过程： 一、微元法 对任意小区间],[],[b a x x x ??+，若能把函数Φ的微小增?Φ近似地表示为x ?的线性形式：x x f ?≈?Φ)(，其中f 为某一连续函数，且当0→?x 时，)()(x x x f ?=?-?Φ ，即dx x f d )(=Φ，则得 ) 0)(.()()(=Φ=Φ?a dx x f b b a 此法称为微元法。 注：采用微元法需注意： 1、所求量Φ关于分布区间是代数可加的； 2、关键是给出x x f ?≈?Φ)(，但一般要检验).()(x x x f ?=?-?Φ 二、旋转曲面的面积 设平面光滑曲线],[),(:b a x x f y C ∈=，不妨设0)(≥x f 。下面求这段曲线绕x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积。 在点x x x ?+,分别作垂直于x 轴的平面，它们在旋转曲面上截下一条狭带。当x ?很小时，此狭带的面积近似于一圆台的侧面积，即

22)]()([y x x x f x f S ?+??++π≈? ,)(1])(2[2x x y y x f ???+?+π= 其中).()(x f x x f y -?+=?由于 ,)('1)(1lim ,0lim 2200x f x y y x x +=??+=?→?→? 因此由)('x f 的连续性有 ).()('1)(2)(1])(2[22x x x f x f x x y y x f ?=?+π-???+?+π 所以得到 ,)('1)(22dx x f x f dS +π= .)('1)(22dx x f x f S b a ?+π= 若光滑曲线],[),(),(:βα∈==t t y y t x x C ，且0)(≥t y ，则曲线绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积为 . )(')(')(222dt t y t x t y S ?βα+π= 例1、计算圆222R y x =+在[],[],21R R x x -?上的弧段x 轴旋转所得球带的 面积。 解： 对曲线22x R y -=在区间],21x x 上应用公式得 dx x R x x R S x x 222221221 -+-π=? ).(22122 1x x R dx R x x -π=π=? 特别当R x R x =-=21,时，则得球的表面积.4R S π= 例2、计算由内摆线t a y t a x 33sin ,cos ==绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积。 解： 由曲线关于y 轴的对称性及公式得

例说计算旋转扫过的面积

A B C O D 计算旋转扫过的面积 河北 欧阳庆红 我们知道线旋转,面在平面上旋转都扫过一定面积,如何计算图形旋转扫过的面积呢,下面跟随我的脚步来领略几例计算旋转扫过的面积问题. 例1 (08内江市)如图1，Rt A BC ''△是由Rt ABC △绕B 点顺时针旋转而得，且点 A B C '，，在同一条直线上，在Rt ABC △中，若90C =∠， 2BC =，4AB =，则斜边AB 旋转到A B '所扫过的扇形面积 为 ． 解析: 欲求斜边AB 旋转到A B '所扫过的扇形面积，已知扇形半径AB=4,只要求出其圆心角∠A AB '度数, ∵Rt A BC ''△是由Rt ABC △绕B 点旋转得到的,∴△ACB ≌△ B C A '',∴,2,4=='=='BC C B AB B A ∴∠A '=030, ∴∠A AB '=∠C '+∠A '=0 1203090=+，∴.3 1636041202ππ=??=' A A B S 扇形 例 2 （08甘肃兰州）如图2，在Rt ABC △中， 903C AC ∠==，．将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以 BA BC ，为半径的圆形成一圆环．则该圆环的面积为 ． 解析：本题考察了圆的有关计算，勾股定理，旋转等方面的知识. 根据圆面积公式和勾股定理：圆环的面积为：πAB 2－πBC 2=π(AB 2－BC 2)= πAC 2 =π×32 =9π.所以本题填9π. 例3 (08宁波)如图3，菱形OABC 中，120A =∠，1OA =，将菱形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转90，则图中由BB '，B A ''，A C '，CB 围成的阴影部分的面积是 ． 解析:本题主要考查扇形面积的计算和菱形的性质,连接BO,O B ', 图2 A C B C B A 图1

旋转曲面的面积

§4 旋转曲面的面积 教学目的与要求： 1. 理解并掌握在直角坐标系、参数方程、极坐标中， 计算旋转曲面的面积的公式. 2. 理解并掌握微元法的思想及应用. 教学重点，难点： 1. 在直角坐标系、参数方程、极坐标中， 计算旋转曲面的面积的公式. 2. 微元法的思想及应用. 教学内容： 定积分的所有应用问题，一般总可按“分割，近似求和，取极限”三个步骤导出所求量的积分形式。但为简便实用起见，也常采用下面介绍的“微元法”。本节和下一节将采用此法来处理。 一 微元法 为了介绍微元法，我们首先回顾一下在讲定积分定义时引入的例子——求曲边梯形的面积问题。 设f 为闭区间[a ，b]上的连续函数，且f （x ）≥0。由曲线y=f (x)，直线x=a,x=b 以及x 轴所围成的平面图形（图9-1），称为曲边梯形，下面讨论曲边梯形的面积 作法：（ｉ）分割 在区间[ a ，b]内任取n-1个分点，它们依次为 a=x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n －１＜x n =b, 这些点把[a,b]分割成n 个小区间[x ｉ－１, x ｉ],I=1,2,…n.再用直线x= x ｉ, ｉ=1,2,…，n-1把曲边梯形分割成n 个小曲边梯形（图9-2）。 （ii ）近似求和 在每个小区间[x i-1,x i ]上任取一点i ξ，作以f (i ξ)为高，[x i-1,x i ]为底的小矩形.当分割[a,b]的点分点较多,又分割得较细密时,由于f 为连续函数,它在每个小区间上的值变化不大,从而可用这些小矩形的面积近似替代相应小曲边梯形的面积.于是, n 个小矩形面积之和就可作为该曲边梯形面积S 的近似值,即 1()n i i i S f x ξ=≈?∑ ).(1--=?i i i x x x （iii ）取极限 注意到(1)式右边的和式既依赖于对区间[a,b]的分割，又 与所有中间点i ξ（i=1,2,…，n ）的取法有关。可以想象，当分点无限增多， 且对[a,b]无限细分时，如果此和式与某一常数无限接近，而且与分点x i 和中间点i ξ的选取无关，则就把此常数定义作为曲边梯形的面积S.