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2电磁场基本方程

第2章 电磁场基本方程

2.1 / 2.1-1设空气中有一半径为a 的电子云,其中均匀充满着密度为

ρv 的电荷。试求球内(ra )任意点处的电通密度D 和电场强度E 及D ??和E ??。

[解] 应用高斯定理,取半径为r 的同心球面为高斯面.

dv r r D s d D s

v

v ??=?=?ρπ2

4? 1) r

4r dv v v v πρρ?=

3?,3

?ερρr r

E r

r

D v v ==∴ 0,31022=??=????

?

????=

??E r r r r D v v ρερ 2) r>a: 33

4a dv v v v πρρ?=

2

03

2

3

3?,3?r a r

E r

a r

D v v ερρ==∴

0,03132=??=???

?

?????=??E a r r D v ρ 2.2 / 2.1-2设空气中内半径a 、外半径b 的球壳区域内均分布着体密

度为ρv 的电荷。试求以下三个区域的电场强度E E ??、及E ??:(a)rb.

[解] 应用高斯定理,取半径为r 的同心球面为高斯面.

dv r

r D s d D s

v

v ??=?=?ρπ2

4?

(a) r

0,0==∴E D 0,0=??=??E E

(b) a

4

a r dv v v v -=?πρρ

()

()3

32

033

2

3?,3?a r r

r

E a r

r r

D v v

-=-=∴ερρ ()

0,3103302=??=??

????-??=

??E a r r r E v v ερερ (c) r>b: ()333

4

a b dv v v v -=?πρρ

()

()332

033

2

3?,3?a b r

r

E a b

r r

D v

v

-=-=∴ερρ 0,0=??=??E E

2.3 / 2.1-3一半径等于3cm 的导体球,处于相对介电常数εr =2.5的电

介质中,已知离球心r=2m 处的电场强度E=1mv/m ,求导体球所带电量Q 。

[解] 由高斯定理知, Q r E =?24πε

C E r Q 123921011.1105.210361

444---?=????

?==∴π

2电磁场基本方程

πεπ 2.4 / 2.1-4 一硬同轴线内导体半径为a ,外导体内外半径分别为b 、c ,中间介质为空气(题图2-1)。当内外导体分别通过直流I 和-I 时,求:(a)内导体(ρ

22

20

2

2a

Il d d a I

H l d H l

==?=???

?πρ

?ρρππρ

题图2-1 同轴线横截面图

22?a I H πρ

?

=, 2

00

2?a Il H B πμ?μ== J a I

z a I z H ==???

? ????=??22

2

?21?ππρρρ

01=??=???

ρ?

B B

(b) :b r a << I H =?πρ2

πρ

?

2?I H =, πρ

μ?

2?0I

B =

021?=??

? ????=??πρρI z H 01=??=

???

ρ?

B B (c) :c r b <<

(

)

()

22222

2222b

c c I b b c I I H --=-?--=?ρρπππρ

222

22?b c c I H --=ρπρ?, 222202?b

c c I B --=ρπρμ? ()

J b

c I

z b c c I z H '-=--=???? ??--??=??222222?21?πρπρρ 01=??=

???

ρ?

2电磁场基本方程

B B 2.5 / 2.2-1 一矩形线圈与载有电流I 的直导线同平面,如题图

2-2所示。求下述情况下线圈的感应

电动势: a)线圈静止,I=I 0sin ωt ;

b)线圈以速度v 向右边滑动,I=I 0。 [解] (a) 应用安培环路定律,

I H I l d H l

==??πρ2,

πρ

μρ

πρ

ρ

2?,2?I

B I H ==∴a

b a I

c dl dz I dz B

d s d B C b a a s

c

b

a a

m +==

=?=????

?

++ln 2200

πμρπμρψ 题图2-2载流直导线与矩形线圈

(b ) ??

?

???+++-=-=vt a vt b a c I dt d dt d m ln 20πμψε ()()()

2

012vt a vt b a v vt a v vt

a vt

b a

c I +++-+?+++-

=πμ ()()vt a vt b a vb

c

I +++=

02π

μ 2.6 / 2.2-2一平行板电容器由两块导体圆片构成,圆片半径为a ,间

距为d ,d<

若εr =5.5,σ=10-3S/m ,f =3×106Hz ,此比值多大? [解] (a) t d

U z

E t d U d U E ωωsin ?,sin 00

===

t

U d

H t U d

t

D

H t D H s d t D J dl H t U d

t D l s ωωερ

?ωωερ

ρπρπρωωεcos 2?,cos 222cos 002011==

??=

∴??=????? ????+=?=????

(b) t U d

a t D a S J I d d ωωεππcos 02

2

=??== d

a d

A

C 2

επε=

=

d I t U d

a dt dU C I ===∴ωωπcos 02

. 得证.

(c) ,E J c σ= 振幅d

U

E J m cm

0σσ==

,cos 0t U d

t D J d ωωε

=??=

振幅0U d J dm ωε= 27.310854.85.510231012

63

=?????==∴--πωεσdm cm J J 2.7 / 2.3-1 麦克斯韦方程组为什么不是完全对称的?

[答] 自然界中存在电荷和电流,但并无单独存在的磁荷及磁流; 电场是有散场而磁场是无散场,因而不对称.

2.8 / 2.3-2 试由表2.3-1中麦克斯韦方程组(b )(c )导出电流连续性方程(e )。 [解] 由0,0)(=????

+??=???

? ??

??+

????D t J t D J b 得 将式(c)代入上式得, 0=??

+

??v t

J ρ 此即电流连续性方程(e) 2.9 / 2.3-3已知真空中无源区域有时变电场()kz t E x

E -=ωcos ?0。a)由表2.3-1的麦克斯韦

方程(a )求时变磁场H

;b)证明

Ω===377/,0000εμεμωH E k 。

[解] (a) ()()t B

kz t kE y kz t E x z z y y x x E ??-=-=-????

? ????+??+??=??ωωsin ?cos ????00 ()()C kz t E k

y dt kz t kE y

B +-=--=∴?ωω

ωcos ?sin ?00

变场中无

定成分,故C=0,得

()00

000

,cos ?E k

H kz t H y

B

H ωμωμ=-==

(b) 由Maxwell 方程(b),()kz t E x

t

E

t D H --=??=??=

??ωωεεsin ?000

,

()()kz t E k x kz t E k y z z y y x

x H --=-????? ????+??+??=??ωωμωωμsin ?cos ????00200 从而得000022,εμωεμω==k k

Ω==??====--37712010361

1049

7

00000ππ

πεμεμωωμωμk H E

2.10 / 2.3-4 设z y x E z E y E x

E ???++=,请导出矢量波动方程(2.3-2)的三个标量方程。

[解] ()E E E ????-???=?2

?

???

??????? ????-????-???? ????-????-???? ????+??+?????? ?

???+??+??=????

???????? ????-??+??? ????-??+???? ????-????-???? ????+??+???=x E z E z y E x E y x z E y E x E z z y y x x y E x E z x E z E y z E y E x z E y E x E z

x x y z y x x y z x y z z y x ???????

???

?

???????? ????-????-??? ????-????-???????????? ????-????-???? ????-????-z E y E y x E z E x z y E x E x z E y E z y y z z x x y y z ?? ,????_??222222222222222222222z y x z z z y y y z x x E z E y E x

z E y E x E z z E y E x E y z E y E x E x ?+?+?=???

?

????+??+??+???

? ?

???+??+??+????

?

???+??+??= 式中22

22222

z

y x ??+??+??=?

由有,02

22

=??-?t

E

E με????

?

???

???=??-?=??-?=??-?000222

2222

22t E E y E E t E E z z y y x

x μεμεμε 2.11 / 2.3-5 试证:在简单媒质中存在场源00≠≠v J ρ,时,电场强度E

和磁场强度H 分别满足非齐次矢量波动方程(2.3-4)

和(2.3-5)。

[证] 由Maxwell 方程组(a )、(b)及(c)得

()()()()H t

t B D E E E v ????

+?=???

?+???=

????-???=?μρεε

11

2 ????

????+??+?=221

t D t J V μρε v t J t

E E ρεμμε?+??=??-?∴1

222

由Maxwell 方程组(a )、(b)及(c)可得

()()()2

22

1

t H

J E t J t D j B H H ??+?-?=????-?-∞=???? ?

???+??-???=???=?μεεμ J t

H

H ?-?=??-?∴222

με

2.12 / 2.3-6 应用麦氏方程组导出RLC 并联电路的下述电流方程:

dt U L

dt dU C R U I ?++=

1 [解] 由Maxwell 方程组 (b '),s d t D J l d H l s ????

?

????+=???1

对a 端环线1l 所围截面S,有?=?s s d J 0 故03210=+++I I I I U 对R: R I l A I l J

l d J

U b

a a

b 11==

=

?=?σσ

σ

,1R

U I ab =∴ A l

R σ=

对L: dt

dI L dt d U m ab 2==ψ dt U L I ab ?=∴1

2

对C: dt

dU C

I ab

=3 令 ,,0I I U U ab -== 得

?++=

dt

dU C Udt L R U I 1

2.13 / 2.4-1 验证2.1-1题r=a 处的电场边界条件。 [证] a r =处有;021==t t E E n v n D a

D 213

==

ρ. 满足边界条件

2.14 / 2.4-2 验证2.1-2题r=a 和r=b 处电场边界条件 [证] a r =处有;021==t t E E 021==n n D D

b r =处有;032==t t E E ()n v

n D a b

b

D 333

2

23=-=

ρ. 满足边界条件

2.15 / 2.4-3 验证2.1-4题ρ=a 、ρ=b 、ρ=c 处H 和B 的边界条件。

[解] a =ρ处: s a J a I

z a Ia H n

==?=?ππ?ρ2?2???2

02???0=?=?a

I

B n

a πμ?ρ

b =ρ处: s

b J b

I z

b

I H n

'-=-=?-=?ππ?ρ2?2??? 02???0=?-=?b

I

B n

b πμ?ρ

c =ρ处: 00???=?-=??ρc H n

00???=?-=??ρc B n

2.16 / 2.5-1半径为a 的圆形平行板电容器间距为d<

导率为σ的介质,二极板间加直流电压U 0。(a)求介质中的电场强度和磁场强度;(b)求介质中的功率密度,并证明总损耗功率的公式与电路理论中相同。

[解] (a)

,?0d U z

E = d

U z E J 0

?σσ==

2电磁场基本方程

???????

?

???+=?11l s s d t J l d H ,22πρπρJ H = ρσρ

d

U J H 22

=

=

ρσ?

d

U H 2?0

= 题

2.5-1图

(b) ρσρρσ?2

02

002?2??U d

d U d U z

H E S -=?=?=

,

2

022

02R U d a d U dv E P V =??

?

??==?πσσσ

02

A d

a

d R σσπ==

上式即电路理论中的欧姆损耗,R 为欧姆电阻。

又,R

U

d a U d dz ad a U d s d S d

S 2

02

2

2

2

020

2

2220

==

?=?-??

?πσ

π

可见,输入电容器的功率等于有耗介质中的欧姆损耗功率。

2.17 / 2.5-2对例2.5-2的同轴线,若外导体圆筒的外半径为c ,即圆

筒壁厚为(c -b ),而且它是良导体,σ≠0,试求其内表面处的坡印廷矢量,并证明流入外导体的电磁功率等于其内部的热损耗功率。

[解] ()

2

20??b

c I

z A I z

J

E -===

σπσσ

b

I

H π?

2?=

()

b

b c I H E S 2222

2?--=?=σπρ

()

(

)

2

2222220b

c l

I bl b b c I s d S S -=?-=?-?σππσπ (

)

()

(

)

2222

22

222b c l I l b c b c I dv E P V -=-??

????-==?σππσπσσσ 与上式同,得证。

2.18 / 2.5-3若场源位于封闭面S 所包围的体积内部,令e J 代表外加

场源电流密度,即E J J e σ+=,则式(2.5-2)化为

dv E dv H E t ds H E dv J E v v s

e v

2222121)(????+??

? ??+??+

??=?-σμε (2.5-2a )

请导出此式,并说明其含义。

[解] 令E J J e σ+=,代入式(2.5-2)得 dv E dv J E dv H E t ds H E v v e v s

2222121)(????+?+??

? ??+??=

??-σμε 即

dv E dv H E t ds H E dv J E v v s

e v

2

222121)(????+??

? ??+??+

??=?-σμε (2.5-2a )

此式说明,外加场源在封闭面内输入的功率等于该面内流出的电磁功率和该面所包围体积内电磁场储能的变化及体积内的热损耗功率之和。