(新课标人教版)山东省枣庄市薛城区2019届九年级下期中数学测试卷(附配套答案)

2018-2019学年山东省枣庄市薛城区九年级（下）期中

数学试卷

一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来填在相应的表格里，每小题3分，共36分

1．下列计算正确的是（ ）

A ．a 2+a 2=a 4

B ．2a 2×a 3=2

C ．（a 2）3=a 6

D ．3a ﹣2a=1

2．如图，a ∥b ，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4等于（ ）

A ．40°

B ．50°

C ．60°

D ．70°

3．一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.0000065米，0.0000065用科学记数法表示为（ ）

A ．6.5×10﹣5

B ．6.5×10﹣6

C ．6.5×10﹣7

D ．65×10﹣6

4．由六个正方体摆成如图所示的模型，从各个不同的方向观察，不可能看到的视图是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

5．不等式组

的解在数轴上表示为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

6．函数中自变量x 的取值范围是（ ）

A ．x ≤2

B ．x=1

C ．x ＜2且x ≠1

D ．x ≤2且x ≠1

7．如图，在等腰△ABC 中，直线l 垂直底边BC ，现将直线l 沿线段BC 从B 点匀速平移至C 点，直线l 与△ABC 的边相交于E 、F 两点．设线段EF 的长度为y ，平移时间为t ，则下图中能较好反映y 与t 的函数关系的图象是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 8．如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC ⊥AB ，垂足为点D ，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）

A．AD=BD B．OD=CD C．∠CAD=∠CBD D．∠OCA=∠OCB

9．若关于x的一元二次方程x2﹣（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，则ab=（）

A．3 B．4 C．5 D．6

10．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（）

A．R2﹣r2=a2B．a=2Rsin36°C．a=2rtan36°D．r=Rcos36°

11．有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使点D落在AB边上的D′处，折痕为AE，再将△AD′E以D′E为折痕向右折叠，使点A落在点A′处，设A′E与BC交于点F（如图），则A′F的长为

（）

A．B． C．D．

12．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：①abc＞0；②b2=4ac；

③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0，其中正确的结论有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

二、填空题：每小题4分，共24分

13．若单项式2x2y a+b与﹣x a﹣b y4是同类项，则a，b的值分别为，1．

14．从长度分别为1、3、5、7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为．15．因式分解：x2（x﹣2）﹣16（x﹣2）=．

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为．

17．若代数式和的值相等，则x=．

18．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是．

三、解答题：共7道大题，满分60分

19．先化简，再求值：（）÷，其中x=tan60°﹣2．

20．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；

（2）以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；

（3）若每一个方格的面积为1，则△A2B2C2的面积为．

21．为了培养学生的阅读习惯，某校开展了“读好书，助成长”系列活动，并准备购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，根据统计图所提供的信息，回答下列问题：

（1）本次调查共抽查了名学生，两幅统计图中的m=，n=．（2）已知该校共有960名学生，请估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？

（3）学校要举办读书知识竞赛，七年（1）班要在班级优胜者2男1女中随机选送2人参赛，求选送的两名参赛同学为1男1女的概率是多少？

22．如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向（北偏东45°），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离

台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的正东方向，距离60千米的地方有一城市A．（1）问：A市是否会受到此台风的影响，为什么？

（2）在点O的北偏东15°方向，距离80千米的地方还有一城市B，问：B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．

23．如图，一次函数y=﹣x+5的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B两点．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）在第一象限内，当一次函数y=﹣x+5的值大于反比例函数y=（k≠0）的值时，写出自变量x的取值

范围．

24．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．

（1）求证：直线DF与⊙O相切；

（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．

25．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4S BOC，求点P的坐标；

（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大

值．

2018-2019学年山东省枣庄市薛城区九年级（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来填在相应的表格里，每小题3分，共36分

1．下列计算正确的是（）

A．a2+a2=a4B．2a2×a3=2 C．（a2）3=a6 D．3a﹣2a=1

【考点】单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．

【分析】根据单项式乘单项式、幂的乘方与积的乘方、合并同类项的法则，分别进行各项的判断即可．【解答】解：A、a2+a2=2a2，故本选项错误；

B、2a2×a3=2a5，故本选项错误；

C、（a2）3=a6，故本选项正确；

D、3a﹣2a=a，故本选项错误；

故选C．

2．如图，a∥b，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4等于（）

A．40°B．50°C．60°D．70°

【考点】平行线的性质．

【分析】先根据平行线的性质求出∠1+∠2的度数，再由∠1=∠2得出∠2的度数，进而可得出结论．

【解答】解：∵a∥b，∠3=40°，

∴∠1+∠2=180°﹣40°=140°，∠2=∠4．

∵∠1=∠2，

∴∠2=×140°=70°，

∴∠4=∠2=70°．

故选D．

3．一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.0000065米，0.0000065用科学记数法表示为（）

A．6.5×10﹣5B．6.5×10﹣6C．6.5×10﹣7D．65×10﹣6

【考点】科学记数法—表示较小的数．

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：0.0000065=6.5×10﹣6；

故选：B．

4．由六个正方体摆成如图所示的模型，从各个不同的方向观察，不可能看到的视图是（）

A．B．C．D．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】分析实物的三视图，再做判断．

【解答】解：B是俯视图，C是左视图，D是正视图．

故选A．

5．不等式组的解在数轴上表示为（）

A．B．C．D．

【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．

【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，最后把不等式组的解集在数轴表示出来，即可选出答案．

【解答】解：，

∵解不等式①得：x＞1，

解不等式②得：x≥2，

∴不等式组的解集为x≥2，

在数轴上表示不等式组的解集为：，

故选C．

6．函数中自变量x的取值范围是（）

A．x≤2 B．x=1 C．x＜2且x≠1 D．x≤2且x≠1

【考点】函数自变量的取值范围．

【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．

【解答】解：根据题意得，2﹣x≥0且x﹣1≠0，

解得x≤2且x≠1．

故选D．

7．如图，在等腰△ABC中，直线l垂直底边BC，现将直线l沿线段BC从B点匀速平移至C点，直线l 与△ABC的边相交于E、F两点．设线段EF的长度为y，平移时间为t，则下图中能较好反映y与t的函数关系的图象是（）

A．B．C．D．

【考点】动点问题的函数图象．

【分析】作AD⊥BC于D，如图，设点F运动的速度为1，BD=m，根据等腰三角形的性质得∠B=∠C，BD=CD=m，当点F从点B运动到D时，如图1，利用正切定义即可得到y=tanB?t（0≤t≤m）；当点F从点D 运动到C时，如图2，利用正切定义可得y=tanC?CF=﹣tanB?t+2mtanB（m≤t≤2m），即y与t的函数关系为两个一次函数关系式，于是可对四个选项进行判断．

【解答】解：作AD⊥BC于D，如图，设点F运动的速度为1，BD=m，

∵△ABC为等腰三角形，

∴∠B=∠C，BD=CD，

当点F从点B运动到D时，如图1，

在Rt△BEF中，∵tanB=，

∴y=tanB?t（0≤t≤m）；

当点F从点D运动到C时，如图2，

在Rt△CEF中，∵tanC=，

∴y=tanC?CF

=tanC?（2m﹣t）

=﹣tanB?t+2mtanB（m≤t≤2m）．

故选B．

8．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）

A．AD=BD B．OD=CD C．∠CAD=∠CBD D．∠OCA=∠OCB

【考点】菱形的判定；垂径定理．

【分析】利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，进而求出即可．

【解答】解：∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，

∴AD=DB，

当DO=CD，

则AD=BD，DO=CD，AB⊥CO，

故四边形OACB为菱形．

故选：B．

9．若关于x的一元二次方程x2﹣（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，则ab=（）

A．3 B．4 C．5 D．6

【考点】根与系数的关系．

【分析】根据根与系数的关系得到，通过解该方程组可以求得a、b的值．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（a+5）x+8a=0的两个实数根分别是2、b，

∴由韦达定理，得，

解得，．

∴ab=1×4=4．

故选：B．

10．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（）

A．R2﹣r2=a2B．a=2Rsin36°C．a=2rtan36°D．r=Rcos36°

【考点】正多边形和圆；解直角三角形．

【分析】根据圆内接正五边形的性质求出∠BOC，再根据垂径定理求出∠1=36°，然后利用勾股定理和解直角三角形对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，

∴∠BOC=×360°=72°，

∴∠1=∠BOC=×72°=36°，

R2﹣r2=（a）2=a2，

a=Rsin36°，

a=2Rsin36°；

a=rtan36°，

a=2rtan36°，

cos36°=，

r=Rcos36°，

所以，关系式错误的是R2﹣r2=a2．

故选A．

11．有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使点D落在AB边上的D′处，折痕为AE，再将△AD′E以D′E为折痕向右折叠，使点A落在点A′处，设A′E与BC交于点F（如图），则A′F的长为

（）

A．B． C．D．

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【分析】利用折叠的性质，即可求得AD=AD′=A′D′=、BD′=AB﹣AD=﹣，A′E=AE=AD=2，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得EF：A′F=EC：A′B，从而求得A′F的长度．

【解答】解：根据折叠的性质知，AD=AD′=A′D′=、CE=CD﹣DE=﹣，．

∵CE∥A′B，

∴△ECF∽△A′BF，

∴CE：BA′=EF：A′F（相似三角形的对应边成比例）；

又∵CE=CD﹣DE=﹣，BA′=AD﹣CE=2﹣，

∴=；

而A′E=AE=AD=2，

∴A′F=4﹣．

故选D．

12．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：①abc＞0；②b2=4ac；

③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0，其中正确的结论有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与x轴交点个数，以及x=﹣1，x=2对应y值的正负判断即可．

【解答】解：由二次函数图象开口向上，得到a＞0；与y轴交于负半轴，得到c＜0，

∵对称轴在y轴右侧，且﹣=1，即2a+b=0，

∴a与b异号，即b＜0，

∴abc＞0，选项①正确；

∵二次函数图象与x轴有两个交点，

∴△=b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，选项②错误；

∵原点O与对称轴的对应点为（2，0），

∴x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，选项③错误；

∵x=﹣1时，y＞0，

∴a﹣b+c＞0，

把b=﹣2a代入得：3a+c＞0，选项④正确，

故选B

二、填空题：每小题4分，共24分

13．若单项式2x2y a+b与﹣x a﹣b y4是同类项，则a，b的值分别为，1．

【考点】单项式；同类项．

【分析】利用同类项的定义列出方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值．

【解答】解：∵单项式2x2y a+b与﹣x a﹣b y4是同类项，

∴，

解得：a=3，b=1．

故答案为：3，1．

14．从长度分别为1、3、5、7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为．

【考点】列表法与树状图法；三角形三边关系．

【分析】先画树状图展示所有24种等可能的结果数，再根据三角形三边的关系找出能构成三角形的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：画树状图为：

共有24种等可能的结果数，其中能构成三角形的结果数为6，

所以能构成三角形的概率==．

故答案为．

15．因式分解：x2（x﹣2）﹣16（x﹣2）=（x﹣2）（x+4）（x﹣4）．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．

【解答】解：原式=（x﹣2）（x2﹣16）

=（x﹣2）（x+4）（x﹣4）．

故答案为：（x﹣2）（x+4）（x﹣4）．

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时

针旋转60°得到△CBD，若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（﹣1，）．

【考点】坐标与图形变化-旋转．

【分析】在RT△AOB中，求出AO的长，根据旋转的性质可得AO=CD=4、OB=BD、△OBD是等边三角形，进而可得RT△COE中∠COE=60°、CO=2，由三角函数可得OE、CE．

【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，

∵OB=2，AB⊥x轴，点A在直线y=x上，

∴AB=2，OA==4，

∴RT△ABO中，tan∠AOB==，

∴∠AOB=60°，

又∵△CBD是由△ABO绕点B逆时针旋转60°得到，

∴∠D=∠AOB=∠OBD=60°，AO=CD=4，

∴△OBD是等边三角形，

∴DO=OB=2，∠DOB=∠COE=60°，

∴CO=CD﹣DO=2，

在RT△COE中，OE=CO?cos∠COE=2×=1，

CE=CO?sin∠COE=2×=，

∴点C的坐标为（﹣1，），

故答案为：（﹣1，）．

17．若代数式和的值相等，则x=7．

【考点】解分式方程．

【分析】根据题意列出分式方程，求出分式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：根据题意得：=，

去分母得：2x+1=3x﹣6，

解得：x=7，

经检验x=7是分式方程的解．

故答案为：x=7．

18．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿

EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是2﹣2．

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【分析】当∠BFE=∠B'EF，点B′在DE上时，此时B′D的值最小，根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B′E=BE=2，即可求出B′D．

【解答】解：如图所示：当∠BFE=∠B'EF，点B′在DE上时，此时B′D的值最小，

根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F，

∴EB′⊥B′F，

∴EB′=EB，

∵E是AB边的中点，AB=4，

∴AE=EB′=2，

∵AD=6，

∴DE==2，

∴B′D=2﹣2．

三、解答题：共7道大题，满分60分

19．先化简，再求值：（）÷，其中x=tan60°﹣2．

【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．

【解答】解：原式=?=﹣，

当x=tan60°﹣2=﹣2时，原式=﹣=﹣．

20．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；

（2）以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；

（3）若每一个方格的面积为1，则△A2B2C2的面积为14．

【考点】作图—相似变换；作图-轴对称变换．

【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；

（3）利用△A2B2C2所在矩形的面积减去周围三角形面积进而得出答案．

【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；

（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；

（3）△A2B2C2的面积为：4×8﹣×2×4﹣×2×6﹣×2×8=14．

故答案为：14．

21．为了培养学生的阅读习惯，某校开展了“读好书，助成长”系列活动，并准备购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，根据统计图所提供的信息，回答下列问题：

（1）本次调查共抽查了120名学生，两幅统计图中的m=48，n=15．

（2）已知该校共有960名学生，请估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？

（3）学校要举办读书知识竞赛，七年（1）班要在班级优胜者2男1女中随机选送2人参赛，求选送的两名参赛同学为1男1女的概率是多少？

【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．

【分析】（1）用A类的人数和所占的百分比求出总人数，用总数减去A，C，D类的人数，即可求出m的值，用C类的人数除以总人数，即可得出n的值；

（2）用该校喜欢阅读“A”类图书的学生人数=学校总人数×A类的百分比求解即可；

（3）列出图形，即可得出答案．

【解答】解：（1）这次调查的学生人数为42÷35%=120（人），

m=120﹣42﹣18﹣12=48，

18÷120=15%；所以n=15

故答案为：120，48，15．

（2）该校喜欢阅读“A”类图书的学生人数为：960×35%=336（人），

（3）抽出的所有情况如图：

两名参赛同学为1男1女的概率为：．

22．如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向（北偏东45°），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离

台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的正东方向，距离60千米的地方有一城市A．（1）问：A市是否会受到此台风的影响，为什么？

（2）在点O的北偏东15°方向，距离80千米的地方还有一城市B，问：B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．

【分析】（1）过点A作AD⊥OD于点D，可求得AD的长为60km，由60＞50可知，不会受到台风影响；（2）过点B作BG⊥OC于点G，可求得BG的长，由离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，即可知会受到影响，然后由勾股定理求得受影响的范围长，即可求得影响的时间．

【解答】解：（1）作AD⊥OC，易知台风中心O与A市的最近距离为AD的长度，

∵由题意得：∠DOA=45°，OA=60km，

∴AD=DO=60÷=60km，

∵60＞50，

∴A市不会受到此台风的影响；

（2）作BG⊥OC于G，

∵由题意得：∠BOC=30°，OB=80km，

∴BG=OB=40km，

∵40＜50，

∴会受到影响，

如图：BE=BF=50km，由题意知，台风从E点开始影响B城市到F点影响结束，

∴EG==30km，

∴EF=2EG=60km，

∵风速为40km/h，

∴60÷40=1.5小时，

∴影响时间约为1.5小时．

23．如图，一次函数y=﹣x+5的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B两点．（1）求反比例函数的解析式；

（2）在第一象限内，当一次函数y=﹣x+5的值大于反比例函数y=（k≠0）的值时，写出自变量x的取值范围．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）首先求出点A的坐标，进而即可求出反比例函数系数k的值；

（2）联立反比例函数和一次函数解析式，求出交点B的坐标，结合图形即可求出x的取值范围．

【解答】解：（1）∵一次函数y=﹣x+5的图象过点A（1，n），

∴n=﹣1+5，

∴n=4，

∴点A坐标为（1，4），

∵反比例函数y=（k≠0）过点A（1，4），

∴k=4，

∴反比例函数的解析式为y=；

（2）联立，

解得或，

即点B的坐标（4，1），

若一次函数y=﹣x+5的值大于反比例函数y=（k≠0）的值，

则1＜x＜4．

24．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．

（1）求证：直线DF与⊙O相切；

（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．

【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．

【分析】（1）连接OD，利用AB=AC，OD=OC，证得OD∥AD，易证DF⊥OD，故DF为⊙O的切线；（2）证得△BED∽△BCA，求得BE，利用AC=AB=AE+BE求得答案即可．

【解答】（1）证明：如图，

连接OD．

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵OD=OC，

∴∠ODC=∠C，

∴∠ODC=∠B，

∴OD∥AB，

∵DF⊥AB，

∴OD⊥DF，

∵点D在⊙O上，

∴直线DF与⊙O相切；

（2）解：∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，

∴∠AED+∠ACD=180°，

∵∠AED+∠BED=180°，

∴∠BED=∠ACD，

∵∠B=∠B，

∴△BED∽△BCA，

∴=，

∵OD∥AB，AO=CO，

∴BD=CD=BC=3，

又∵AE=7，

∴=，

∴BE=2，

∴AC=AB=AE+BE=7+2=9．

25．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4S BOC，求点P的坐标；

（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大

值．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值；（2）设P点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），根据S△AOP=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；

（3）先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3，再设Q点坐标为（x，x+3），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．

【解答】解：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得

，

解得．

故该抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3．

（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，则易得B（1，0）．

∵S△AOP=4S△BOC，

∴×3×|﹣x2﹣2x+3|=4××1×3．

整理，得（x+1）2=0或x2+2x﹣7=0，

解得x=﹣1或x=﹣1±2．

则符合条件的点P的坐标为：（﹣1，4）或（﹣1+2，﹣4）或（﹣1﹣2，﹣4）；

（3）设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，3）代入，

得，

解得．

即直线AC的解析式为y=x+3．

设Q点坐标为（x，x+3），（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），

QD=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，

∴当x=﹣时，QD有最大值．