浅析运筹学在物流管理中的应用与发展(正文)080220142杜娟

浅析运筹学在物流管理中的基本应用与发展

杜娟

(河南大学数学与信息科学学院开封475004)

摘要本文对运筹学在物流管理中的基本应用与发展进行了总结，分析了一些物流管理中常用的运筹学方法。目前物流产业作为社会的基础产业，已成为推动经济持续发展的重要力量。在物流系统中应用优化技术，合理配置物流资源、有效控制物流活动，以降低物流系统成本，显得尤为重要。

关键词运筹学；物流运输；线性规划；存储论；对策论

1 引言

近年来，随着我国经济水平的提高，连锁企业的迅速发展，连锁经营已成为我国商业企业发展的主要模式，伴随而来的物流管理方面的问题如采购量不当、库存过多、运输安排不合理等已成为制约企业发展壮大的瓶颈。运用运筹学的理论，可以为解决这些问题提供科学的方法。运筹学是采用系统化的方法，通过建立数学模型及其测试，协助达成最佳决策的一门科学。它在经济管理系统中应用广泛，能对企业的人、财、物等资源进行统筹安排，为决策提供科学的依据。本文探索运用运筹学的方法，解决企业物流管理中的采购、仓储和运输等方面的问题。

2 运筹学与现代物流

2.1运筹学

运筹学是上世纪四十年代开始形成的一门学科[1]。起源于二战期间英、美等国的军事运筹小组，主要用于研究军事活动。二战后，运筹学主要转向经济活动的研究，研究活动中能用数字量化的有关运用，筹划与管理等方面的问题。通过建立模型的方法或数学定量方法，使问题在化的基础上达到科学、合理的解决，并使活动系统中的人、才、财、物和信息得到最有效的利用，使系统的投入和产出实现最佳的配置。运筹学的研究内容非常广泛，根据其研究问题的特点，可分为两大类：确定型模型与概率型模型。其中确定型模型中主要包括：线性规划、非线性规划、整数规划、图与网络和动态规划等；概率型模型主要包括：对策论、

排队论、存储论和决策论等。

运筹学的特点是：1.运筹学已被广泛应用于工商企业、军事部门、民政事业等研究组织内的统筹协调问题，故其应用不受行业、部门之限制；2.运筹学既对各种经营进行创造性的科学研究，又涉及到组织的实际管理问题，它具有很强的实践性，最终应能向决策者提供建设性意见，并应收到实效；3.它以整体最优为目标，从系统的观点出发，力图以整个系统最佳的方式来解决该系统各部门之间的利害冲突。对所研究的问题求出最优解，寻求最佳的行动方案，所以它也可看成是一门优化技术，提供的是解决各类问题的优化方法。

2.2 物流学

物流作为一门科学也是始于二战期间。二战后，“物流”一词被美国人借用到企业管理中，被称作“企业物流（business logistics）”。企业物流是指对企业的供销、运输、存储等活动进行综合管理。美国根据当时军事的需要，对军火的运输、补给和储存等过程进行全面的管理，并首次使用了“物流管理”一词。其后对于物流的概念不断演变发展，内容也逐渐完善[3]。

2.3 现代物流

现代物流不仅单纯的考虑从生产者到消费者的货物配送问题，而且还考虑从供应商到生产者对原材料的采购，以及生产者本身在产品制造过程中的运输、保管和信息等各个方面，全面地、综合性地提高经济效益和效率的问题。因此，现代物流是以满足消费者的需求为目标，把制造、运输、销售等市场情况统一起来考虑的一种战略措施。这与传统物流把它仅看作是“后勤保障系统”和“销售活动中起桥梁作用”的概念相比，在深度和广度上又有了进一步的含义。在当今的电子商务时代，全球物流产业有了新的发展趋势。现代物流服务的核心目标是在物流全过程中以最小的综合成本来满足顾客的需求。

现代物流具有以下几个特点：电子商务与物流的紧密结合；现代物流是物流、信息流、资金流和人才流的统一；电子商务物流是信息化、自动化、网络化、智能化、柔性化的结合；物流设施、商品包装的标准化，物流的社会化、共同化也都是电子商务下物流模式的新特点[4]。

2.4物流学与运筹学的关系

物流学是研究物流过程规律性及物流管理方法的学科。它主要研究物流过程

中如何对有限的资源，如物质资源、人力资源、资金、时间等进行计划、组织、协调和控制。

运筹学是运用系统化的方法，通过建立数学模型，协助得出最优决策的一门学科。它主要研究经济活动和军事活动中能用数量来表达的有关运用、筹划与管理等方面的问题。根据问题的要求，建立数学模型，经过分析运算，做出合理安排，以达到更经济更有效地配置人力、物力、财力等资源。

运筹学与物流学作为一门正式的学科，都始于二战期间。从一开始，两者就密切地联系在一起，相互渗透和交叉发展。与物流学联系最为紧密的理论有：系统论、运筹学、经济管理学。运筹学作为物流学科体系的理论基础之一，其作用是提供实现物流系统优化的技术与工具，是系统理论在物流中应用的具体方法。二战后，各国都转向快速恢复工业和发展经济，而运筹学此时正转向经济活动的研究。因此，极大地引起了人们的注意，并由此进入了各行业和部门，获得了长足发展和广泛应用。形成了一套比较完整的理论，如规划论、存储论、决策论和排队论等。而战后的物流，并没像运筹学那样引起人们及时的关注。直到上世纪六十年代，随着科学技术的发展、管理科学的进步、生产方式和组织方式等的改变，物流才为管理界和企业界所重视。因此，相比运筹学，物流的发展滞后了一些。不过，运筹学在物流领域中的应用，却随着物流学科地不断成熟而日益广泛。

3 运筹学在物流管理中的应用价值及主要应用

运筹学是一门新兴的、发展极其迅速的应用学科，它的一个根本特点是: 以系统化、数量化以及最优化为核心，用数学方法、数学的思考模式去解决实际应用中的问题。它的产生是由于实际应用的迫切需要，它的进一步发展仍然是由于实际应用上的需要来推动的。而物流属多学科的交叉与综合分析，也具有强烈的系统性特征、数量化特征及最优性特征。在现代物流管理的过程中，运筹学占有重要的位置。从物流系统角度出发，应用运筹学各分支理论和方法去思考和解决实际物流管理中的问题，可以达到系统最优化的目的，为决策者提供最优或满意方案，以实现最有效的管理。因此，运筹学的各个分支在现代物流管理中起着日益重要的作用。以下总结一些当前运筹学在物流领域中运用较多的几个方面。3.1 数学规划论

规划论主要研究计划管理工作中有关安排和估计的问题。这类问题一般可以

归纳为在满足既定的要求下， 按某一衡量指标来寻求最优方案的问题。如果目标函数和约束条件的数学表达式都是线性的，则称为线性规划；否则称为非线性规划。如果所考虑的规划问题可按时间划为几个阶段求解，则称为动态规划。在物流管理中，常用规划论来解决资源利用问题、运输问题、人员指派问题、配载问题等[5]

。 3.1.1 线性规划

线性规划是目前应用最广泛的一种优化方法，它的理论已经十分成熟，可以应用与生产计划、物资调用、资源优化配置等问题。它研究的目的是以数学为工具，在一定人、财、物 、时空、信息等资源条件下，研究如何合理安排，用最少的资料消耗，取得最大的经济效果。主要解决生产组织与计划问题，下料问题，运输问题，人员分配问题和投资方案问题，现以案例为例说明。

案例[2]

1：一个制造厂要把若干单位的产品从1A ，2A 两个仓库发送到零售点4321B B B B ，，，。仓库i A 能供应产品的数量为i a ，i=1，2；零售点j B 所需产

品的数量为j b ，j=1，2，3，4。假设能供应的数量等于需要的总量，即∑=2

1

i i a =∑=4

1

j j b ，

且已知从从库i A 运一个单位的产品到j B 的价格为ij c 。问应如何组织运输才能使总的运输费用最小？

解：假定运费与运量成正比，一般的，采用不同的调动方案，总运费很有可能不一样。设ij x ，i=1，2；j=1，2，3，4，表示从仓库i A 运往零售点j B 的产品数量，从21A A ，两仓库运往四地的产品数量总和应该分别是1a 单位和2a 单位，所以ij x 应满足

2

24232221114131211a x x x x a x x x x =+++=+++

又运输到4321B B B B ，，，四地的产品数量应该分别满足他们的需求量，即ij x 还应满足以下条件：

4

2414323132221212111b x x b x x b x x b x x =+=+=+=+

最后ij x 表示运量，不能取负值，即0≥ij x （i=1，2；j=1，2，3，4），我们希望在满足供需要求的条件下，求ij x ，i=1，2；j=1，2，3，4，使总运量最省。总的运输费用为

24

242323222221211414131312121111min x c x c x c x c x c x c x c x c z +++++++=

s.t. 4

,3,2,1;2,1,04

2414323132

22121

2111224232221114131211==≥=+=+=+=+=+++=+++j i x b x x b x x b x x b x x a x x x x a x x x x ij

3.1.2 动态规划

动态规划是运筹学的一个分支，它是解决多阶段决断过程最优化的一种数学方法。动态规划的方法，在物流运输、工程技术、企业管理、工农业生产及军事等部门中都有广泛的应用，并且获得了显著的效果。

在物流运输方面，动态规划可用来解决最优路径问题、有限资源分配问题、生产调度问题、库存问题、装载问题、排序问题、设备更新问题等等，所以它是现代物流运输中的一种重要的决策方法。动态规划是求解这类了问题的一种方法，是考察问题的一种途径，而不是一种特殊算法如线性规划化是一种算法。因而，它不像线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规划，而必须对具体问题进行具体分析处理。因此，读者在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，应以丰富的想象力去建立模型，用创造性地技巧去求解。 3.2 图与网络分析

自从上世纪五十年代以后，图论广泛运用与解决工程系统和管理问题，将复杂的问题用图与网络进行描述简化后再求解。图与网络理论有很强的构模能力，描述题直观，模型易于计算实现，很方便的将一些复杂问题分解或转化为可能求解的子问题，图与网络在物流中的应用也很显著，其中最明显的应用是运输问题、物流网点间的物资调运和车辆调度时运输路线的选择、配送中心的送货、逆向物流中产品的回收等，运用了图论中的最小生成树、最短路、最大流、最小费用等知识，求得运输时间所需最少或线路最短或费用最省的路线。另外，工厂、仓库、配送中心等物流设施的选址问题，物流网点内部工种、任务、人员的指派问题，

设备更新问题，也可运用图论的知识辅助决策者进行最优的安排。 3.3 存储论

存储论是一种研究最优存储策略的理论和方法。在实际生产中，企业希望尽可能减少原材料和产成品的存储以减少流动资金和仓储费用，但是过少的原材料仓储可能导致企业原材料供应不上，从而导致生产不能正常进行；过少的产成品储存也可能导致客户不能得到足够的商品，从而导致客户忠诚度下降。存储策略就是研究在不同需求、供货及到达方式等情况下，确定什么时间点订货，一次订货批量是多少，使订购费用、存储费用和可能发生短缺产生费用的总和最少。运筹学中的存储论在进行物流系统存储管理方面同样发挥有效的作用。现以案例2加以说明。

案例[1]

2：某厂按合同每年需提供D 个产品，不许缺货。假设每一周期工厂需装配费C 3元，存储费每年每单位产品为C 1元，问全年应分几批供货才能使装配费，存储费两者之和最少。

解：设全年分n 批供货，每批生产量n

D Q =，周期为

n

1年（即每隔

n

1年供货

一次）。

每个周期内平均存储量为Q 21

每个周期内的平均存储费用为n

2Q C n 1

Q 21

C 11=（年） 全年所需存储费用

2Q C 2Q C 11=

n n

全年所需装配费用Q

D C C 3

3=n

全年总费用（以年为单位的平均费用）： Q

D C 2Q C Q C 3

1

+=）（

为求出C （Q ）的最小值，把Q 看作连续的变量。

Q

D C -2C dQ Q C 231==）（d

2

3

1Q

D C 2

C = 1

30C D C 2Q =

即）（）（0Q C Q C min = 0Q 为经济订购批量。 最佳批次3

10

0C 2D C Q D =

=

n （取近似的整数）

最佳周期D

C C 2130=

t

答：全年应分0n 次供货可使费用最少。 3.4 排队论

排队论主要研究具有随机性的拥挤现象。它起源于有关自动电话的研究， 由于叫号次数的多少和通话时间的长短都是不确定的，对于多条电话线路，叫通的机会和线路空闲的机会都是随机的， 因此服务质量和设备利用率之间存在矛盾。所有这类问题度可以形象地描述为顾客来到服务台前要求接待服务。如果服务台已被其它顾客占用，那么就要等待，就要排队。另一方面，服务台也时而空闲， 时而忙碌。排队论的主要内容之一，就是研究等待时间、排队长度等的概率分布。根据系统排队的服务设施数量、系统容量、顾客到达时间间隔的分布、服务时间的分布特征，可分为（M/M/1/∞），（M/M/1/k ），（M/M/1/m ），（M/M/s/∞），（M/M/s/k ），（M/M/s/m ）几种不同的情况，不同情形可以套用相应的模型求解，现用案例3加以说明。

案例3：在某工地卸货台装卸设备的设计方案中，有三个方案可供选择，分别记作甲、乙、丙，目的是选取总费用最小的方案。有关费用（损失）如下表所示：

方案 每天固定费用 每天可变操作费(c 元) 每小时平均装卸袋数

甲 60 100 1000 乙 130 150 2000 丙

250

200

6000

设货车按最简单流到达，平均每天（按10小时计算）到达15车，每天平均装500袋，卸货时间服从负指数分布，每辆车停留1小时的损失费为10元。

解：平均到达率λ=1.5车/小时，服务率μ依赖于方案.

小时

车车

袋小时袋小时车车袋小时袋小时车车袋小时袋丙乙甲/12/500/6000/4/500/2000/2/500/1000==

==

==

μμμ

由λ

μμ

λμμλμ

-=

+

-=

+

=1

1

)

(1

W W q ，一辆车在系统中平均停留时间为

车）

（小时车）

（小时车）（小时丙乙甲/095.05

.1-121W /4.05.141W /25.1-21W ==

=-=

==

每天货车在系统停留的平均损失率为W ×10×15，每天的实际可变费用（如燃料费等）为（可变操作费/天）×设备忙的概率=ρ?c （元/天），而甲ρ=0.75，

125.0375.0==丙乙，ρρ，所以每个方案的费用综合表如下：

方案 固定费用/天

可变费用/天

逗留费用/天

总费用 甲 60 75 300 435 乙 130 56.25 60 246.25 丙

250

25

14.25

289.25

从上表知方案乙的总费用最省。 3.5对策论

对策论是运用数学方法研究有利害冲突的双方在竞争性的活动中是否存在自己制胜对方的最优策略，以及如何找出这些策略等问题。在这些问题中，把双方的损耗用数量来描述，并找出双方最优策略。对策论的发展，考虑有多方参加的竞争活动，在这些活动中，竞争策略要通过参加者多次的决策才能确定。在市场经济条件下，物流业也充满了竞争。对策论是一种定量分析方法，可以帮助我们寻找最佳的竞争策略，以便战胜对手或者减少损失。例如在一个城市内有两个配送中心经营相同的业务，为了争夺市场份额，双方都有多个策略可供选择，可以运用对策论进行分析，寻找最佳策略。又如，某一地区，汽车运输公司要与铁路系统争夺客源，有多种策略可供选择，也可用对策论研究竞争方案。现用案例

4加以说明。

案例4：某连锁商店在秋季时要决定冬季家庭取暖用煤的采购量。预测该店正常气温条件下煤的销售量为15吨，在较暖和较冷气温条件下分别可销售10吨和20吨。假定冬季的煤价随着天气寒冷程度而变化：在较暖、正常、较冷气温条件下每吨煤的采购价分别为100元、150元和200元，又设秋季时每吨煤的采购价为100元。在没有当年冬季气温情况准确预报的条件下，秋季时应采购多少吨煤才能使总成本最少？

这是一个对策问题，把采购员看成一个局中人，他有三个策略：分别是在秋天时购买10吨、15吨、20吨煤，记为321ααα，，；另一局中人为大自然，它也有3个策略；分别是出现较暖、正常、较冷的冬季，记为321βββ，，。 把冬季销售煤的全部采购费用 （秋季购煤费用与冬季不够时再补购的费用之和）作为采购员的收益，得到收益矩阵如下：

2000

-2000

-2000

-2500-1500-1500-3000-1750-1000-A 3

21321

αααβββ=

由i

max j min ij a = j min i

max ij a = 33a = -2000，得该对策的解为（33βα，），即秋

季购20吨煤较好。

4 运筹学在物流领域中的进一步应用与发展

前面介绍了目前运筹学理论在物流领域中应用较多的几个方面，下面对其在

物流领域中的进一步运用和发展作了一些思考[7]

。 4.1 运筹学理论结合物流实践

虽然运筹学的理论知识很成熟，并在物流领域中的很多方面都有实用性，可现在许多物流企业，特别是中、小型物流企业，并没有重视运筹学理论的实际应用。理论归理论，遇到实际问题时许多还是凭几个管理者的主观臆断，并没有运用相关的数学，运筹学知识加以科学的计算、论证、辅助决策。因此，对于当前许多企业及部门应该加强对管理者、决策者的理论实践教育，使之意识到运筹学这门有用的决策工具。

4.2 扩大运筹学在物流领域中的应用范围

现行的运筹学知识在物流领域中的应用，主要集中在以上的几个方面。运筹学作为一门已经比较成熟的理论，应该让其在物流领域中发挥更大的作用，进一步探索，尽量把物流领域中数字模糊化、量化不清的方面数字化、科学化，运用运筹学的知识准确化、优化。

4.3 把运筹学知识融合在其他物流管理软件

把运筹学在物流领域中应用的知识程序化，编制成相应的软件包，使得更多不懂运筹学知识的人也能运用运筹学的软件辅助决策。目前运筹学的软件比较多，但是，具体到物流领域中应用的还寥寥无几。因此，针对物流领域中常用的运筹学软件应大力开发。另外，把运筹学的部分功能融合在其他物流管理软件中，也是一个很好的发展方向。能引起管理者和主管部门的重视，提高企业的管理水平，取得比较好的经济效益。

5 结束语

物流学主要研究物流过程中各种技术和经济管理的理论和方法，研究物流过程中有限资源，如物资、人力、时间、信息等的计划、组织、分配、协调和控制，以期达到最佳效率和效益。而现代物流管理所呈现的复杂性也不是简单算术能解决的，以计算机为手段的运筹学理论是支撑现代物流管理的有效工具，物流业的发展离不开运筹学的技术支持，运筹学的应用将会使物流管理更加高效。

参考文献：

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运筹学参考文献

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运筹学基础与应用课后习题答案(第一二章习题解答)

运筹学基础及应用 习题解答 习题一 P46 1.1 (a) 该问题有无穷多最优解，即满足210664221≤ ≤=+x x x 且的所有()21,x x ，此时目标函数值3=z 。 (b) 用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解。 1.3 (a) 4

(1) 图解法 最优解即为?? ?=+=+8259432121x x x x 的解??? ??=23,1x ，最大值235=z (2)单纯形法 首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式 ???=++=+++++=825943 ..00510 max 421321 4 321x x x x x x t s x x x x z 则43,P P 组成一个基。令021==x x 得基可行解()8,9,0,0=x ，由此列出初始单纯形表 21σσ>。5 839,58min = ??? ??=θ

02>σ，2328,1421min =??? ??=θ 新的单纯形表为 0,21<σσ，表明已找到问题最优解0 , 0 , 23 1,4321====x x x x 。最大值 2 35*=z (b) (1) 图解法

\\ 最优解即为???=+=+524262121x x x x 的解??? ?? =23,27x ，最大值217 =z (2) 单纯形法 首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式 12345 23124125max 2000515 .. 6224 5 z x x x x x x x s t x x x x x x =+++++=??++=??++=? 则3P ，4P ，5P 组成一个基。令021==x x 得基可行解()0,0,15,24,5x =，由此列出初始单纯形表 21=+x x 2621+x x

《管理运筹学》第四版第4章线性规划在工商管理中的应用课后习题解析

《管理运筹学》第四版课后习题解析 第4章线性规划在工商管理中的应用 1．解： 为了用最少的原材料得到10台锅炉，需要混合使用14种下料方案。 设14种方案下料时得到的原材料根数分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14，如表4-1所示。 表4-1 各种下料方式 1234567891011121314 s.t. 2x1＋x2＋x3＋x4≥80 x2＋3x5＋2x6＋2x7＋x8＋x9＋x10≥350 x3＋x6＋2x8＋x9＋3x11＋2x12＋x13≥420 x4＋x7＋x9＋2x10＋x12＋2x13＋3x14≥10 x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14≥0 通过管理运筹学软件，我们可以求得此问题的解为： x1=40，x2=0，x3=0，x4=0，x5=116.667，x6=0，x7=0，x8=0，x9=0，x10=0，x11=140，x12=0，x13=0，x14=3.333 最优值为300。 2．解： （1）将上午11时至下午10时分成11个班次，设x i表示第i班次新上岗的临时工人数，建立如下模型。 min f=16(x1＋x 2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11) s.t．x1＋1≥9 x1＋x2＋1≥9 x1＋x2＋x3＋2≥9 x1＋x2＋x3＋x4＋2≥3 x2＋x3＋x4＋x5＋1≥3 x3＋x4＋x5＋x6＋2≥3 x4＋x5＋x6＋x7＋1≥6 x5＋x6＋x7＋x8＋2≥12 x6＋x7＋x8＋x9＋2≥12 x7＋x8＋x9＋x10＋1≥7 x8＋x9＋x10＋x11＋1≥7 x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11≥0 通过管理运筹学软件，我们可以求得此问题的解如下：

补充：运筹学编程练习题

约束规划习题 1．某鸡场有1000只鸡，用动物饲料和谷物饲料混合喂养，每天每只鸡平均食混合饲料0.5kg，其中动物饲料所占比例不能少于20%。动物饲料每千克0.3元，谷物饲料每千克0.18元，饲料公司每周仅保证供应谷物饲料6000kg，问饲料怎样混合，才能使成本最低？ 2．某工厂用A1、A2两台机床加工B1、B2、B3三种不同零件。已知在一个生产周期内A1只能工作80机时；A2只能工作100机时。一个生产周期内计划加工B1为70件、B2为50件、B3为20件。两台机床加工每个零件的时间和加工每个零件的成本，分别如下列各表所示： 加工每个零件时间表（单位：机时/个） 加工每个零件成本表（单位：元/个） 问怎样安排两台机床一个周期的加工任务，才能使加工成本最低？

3．某工厂利用两种原料甲、乙生产A1、A2、A3三种产品。如果每月可供应的原料数量（单位：t）。每万件产品所需各种原料的数量及每万件产品的价格如下表所示： 试制定每月和最优生产计划，使得总收益最大。 4．某医院负责人每日至少需要下列数量的护士： 每班的护士在值班开始时向病房报到，连续工作8小时。医院领导为满足每班所需要的护士数，最少需要雇佣多少护士？ 5．某工厂生产A1、A2两种型号的产品都必须经过零件装配和检验两道工序，如果每天可用于零件装配的工时只有100h，

可用于检验的工时只有120h，各型号产品每件需占用各工序时数和可获得利润如下表所示： 请写出此问题的数学模型，并求出最优化生产方案。 6．某工厂制造三种产品，生产这三种产品需要三种资源：技术服务、劳动力和行政管理。下表列出了三种单位产品对每种资源的需要量： 现有100h的技术服务、600h的劳动力和300h的行政管理时间可使用，求最优产品生产规划。 假定该工厂至少生产10件产品Ⅲ，试确定最优产品生产规划。 7．某工厂计划生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，各产品需要在A、B、C设备上加工，有关数据如下：

上海应用技术大学825运筹学考研真题试题2020年

运筹学 第1页 （共3页） 绝密★启用前 上海应用技术大学 2020年硕士研究生招生考试初试试卷A 卷 考试科目名称：运筹学 （科目代码: 825） 注意事项： 1．答题前，在答题纸密封线内填写姓名、报考单位和考生编号。 2．答案必须填（书）写在答题纸上，写在其他地方无效。 3．填（书）写必须使用篮（黑）色字迹钢笔、圆珠笔或签字笔。 4. 考试结束后，将试卷装入试卷袋中。 一、填空题（10道小题，每道小题2分，共20分）： 1.规划问题的数学模型是由 、 、 三个要素构成。 2.对于由m 个生产厂家、n 个销售地组成的运输问题，在用图解法求解时，其基变量的个数为 。 3.生产过程中，某种资源的影子价格不为0时，表明该种资源已经 。 4.作业的 是指不影响它的各项紧后作业最早开工时间条件下，该项作业可以推迟的开工的最大时间限度。 5.假如服务设施对每个顾客的服务时间服从负指数分布()(0)t f t e t μμ-=≥ ，则对每个顾客的平均服务时间为 。 6.运输问题的非基变量检验数ij λ的经济含义是 。 7.无界性是指如果线性规划原问题（或对偶问题）具有无界解，则其对偶问题（或原问题）为 。 8.目标规划的约束条件包括两类：系统（刚性）约束和 。 9.任何具有n 个点、 条边的连通图是树图。 10. 以作业（11，13）为紧后作业的作业共有2个，它们的作业时间均为3天，它们的最早开始时间各为：ES 3,11＝5天；ES 5,11＝6天。则作业（11，13）的最早开始时间 ES 11，13为 天； 二、判断题（10道小题，每道小题2分，共20分。正确请打√，错误请打×） 1.线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点。 2.一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，则该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。 3.已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*0i y >，说明在最优生产计划中第i 种资源已完全耗尽。 4.如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别乘上一个常数k ，最优

浅谈运筹学中的运输问题.doc11

浅谈运筹学中的运输问题 摘 要：运筹学自二战以来开始打来那个应用在除战争以外的许多领域，尤其在企业管理中表现的尤为突出。运筹学的思想贯穿了企业管理的始终，在企业战略管理、生产计划、市场营销、运输问题、库存管理、人事管理、财务会计等各个方面都具有重要的作用，对企业管理的发展产生重要影响。这里我们主要对运输问题几种方法做一个简单的介绍。 关键词：最下元素法；沃格尔法（V ogel ） 首先我们先来介绍运输问题的数学模型：设有m 个产地（记作A 1，A 2，A 3,…,Am ），生产某种物资，其产量分别为a 1,a 2，…，am ；有n 个销地（记作B 1，B 2，…，Bn ），其需要量分别为b 1,b 2，…，bn ；且产销平衡，即 。从第i 个产地到j 个销地的单位运价为cij ，在满足各地需要的前提下，求总运输费用最小的调运方案。 设xij (i =1,2,…，m ；j =1,2,…,n )为第i 个产地到第j 个销地的运量，则数学模型为： n j m i x n j b x m i a x ij j m i ij n j i ij ,,1;,,1, 0,,1,,11 1 ==≥====∑∑== ∑∑ ===n j ij ij m i x c z 1 1 min （！）最小元素法：最小元素法的思想是就近优先运送，即最小运价Cij 对应的变量xij 优先赋值 {} j i ij b a x ,min = 然后再在剩下的运价中取最小运价对应的变量赋值并满足约束，依次下去，直到最后一个初始基可行解。 下面举一个例子：求表3－7给出的运输问题的初始基本可行解。

解： 在x 12、x 22、x 33、x 34中任选一个变量作为基变量，例如选x 12 初始基本可行解可用下列矩阵表示 ??????????634610 表3－8中，标有符号 的变量恰好是3+4－1=6个且不包含闭回路， {} 323123141312,,,,,x x x x x x 是一组基变量，其余标有符号×的变量是非基变量， （2）运费差额法（V ogel ）:最小元素法只考虑了局部运输费用最小，对整个产销系统的总运输费用来说可能离最优值较远。有时为了节省某一处的运费，而在其它处可能运费很大。运费差额法对最小元素法进行了改进，考虑到产地到销地的最小运价和次小运价之间的差额，如果差额很大，就选最小运价先调运，否则会增加总运费。例如下面两种运输方案， 20101258515 10??????=?C 2010125815510? ?????=?C 15 15 15 15 前一种按最小元素法求得，总运费是Z 1=10×8+5×2+15×1=105，后一种方案考虑到C 11与C 21之间的差额是8－2=6，如果不先调运x 21，到后来就有可能x 11≠0，这样会使总运费增加较大，从而先调运x 21，再是x 22，其次是x 12这时总运费Z 2=10×5+15×2+5×1=85

运筹学(胡运权版)第三章运输问题课后习题答案

P66： 8.某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生产的产品由4个销售点出售，各工厂A 1， A 2，A 3的生产量、各销售点B 1，B 2，B 3，B 4的销售量（假定单位为t ）以及各工厂到销售点的单位运价（元/t ）示于下表中，问如何调运才能使总运费最小？ 表 解：一、该运输问题的数学模型为： 可以证明：约束矩阵的秩为r (A) = 6. 从而基变量的个数为 6. 34 33323124232221 3141 141312116115893102114124min x x x x x x x x x x x x x c z i j ij ij +++++++++++== ∑∑ ==??? ??????????==≥=++=++=++=++=+++=+++=+++4,3,2,1;3,2,1,0141214822 1016342414332313322212312111343332312423222114131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ij 111213142122232431323334x x x x x x x x x x x x 712111111111111111111111111??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???

二、给出运输问题的初始可行解（初始调运方案） 1. 最小元素法 思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。

其余（非基）变量全等于零。此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6（等于m+n-1=3+4-1=6). 总运费为（目标函数值） ,1013=x ,821=x ,223=x ,1432=x ,834=x ,614=x ∑∑===314 1 i j ij ij x c Z

应用运筹学补充练习题参考答案

《应用运筹学》补充练习题参考答案 1、某商店要制定明年第一季度某种商品的进货和销售计划，已知该店的仓库容量最多可储存 该种商品500件，而今年年底有200件存货。该店在每月月初进货一次。已知各个月份进货和销售该种商品的单价如下表所示： 现在要确定每个月进货和销售多少件，才能使总利润最大，把这个问题表达成一个线性规划模型。 解：设X i是第i个月的进货件数，Y i是第i个月的销货件数（i=1, 2, 3），Z是总利润，于是这个问题可表达为： 目标函数： Max Z=9Y1+8Y2+10Y3－8X1－5X2－9X3 约束条件： 200+X1≤500 200+X1－Y1+X2≤500 月初库存约束 200+X1－Y1＋X2－Y2＋X3≤500 200+X1-Y1≥ 0 200+X1-Y1+X2-Y2≥ 0 月末库存约束 200+X1-Y1+X2-Y2+X3-Y3≥ 0 X1，X2，X3，Y1，Y2，Y3≥0 EXCEL求解最优解结果：X1*=300，X2*=500，X3*=0，Y1*=500,Y2*=0，Y3*=500, Z*=4100 2、一种产品包含三个部件，它们是由四个车间生产的，每个车间的生产小时总数是有限的， 下表中给出三个部件的生产率，目标是要确定每个车间应该把多少工时数分配到各个部件上，才能使完成的产品件数最多。把这个问题表示成一个线性规划问题 解：设X ij是车间i在制造部件j上所花的小时数，Y是完成产品的件数。 最终的目的是Y要满足条件： min{10X11+15X21+20X31+10X41，15X12+10X22+5X32+15X42，5X13+5X23+10X33+20X43} 可将以上非线性条件转化为以下线性规划模型： 目标函数： Max Z = Y 约束条件： Y≤10X11+15X21+20X31+10X41 Y≤15X12+10X22+5X32+15X42 Y≤5X13+5X23+10X33+20X43 X11+X12+X13≤100 X21+X22+X23≤150 X31+X32+X33≤80

运筹学期末复习及答案

运筹学概念部分 一、填空题 1．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题，经营活动。 2．运筹学的核心主要是运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。 3．模型是一件实际事物或现实情况的代表或抽象。 4通常对问题中变量值的限制称为约束条件，它可以表示成一个等式或不等式的集合。5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并强调系统整体优化功能。 6．运筹学用系统的观点研究功能之间的关系。 7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，具有典型综合应用特性。8．运筹学的发展趋势是进一步依赖于_计算机的应用和发展。 9．运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。 10．用运筹学分析与解决问题，是一个科学决策的过程。 11.运筹学的主要目的在于求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案。 12．运筹学中所使用的模型是数学模型。用运筹学解决问题的核心是建立数学模型，并对模型求解。 13用运筹学解决问题时，要分析，定义待决策的问题。 14．运筹学的系统特征之一是用系统的观点研究功能关系。 15.数学模型中，“s·t”表示约束（subjectto 的缩写）。 16．建立数学模型时，需要回答的问题有性能的客观量度，可控制因素，不可控因素。17．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及经营活动。 18. 1940年8月，英国管理部门成立了一个跨学科的11人的运筹学小组，该小组简称为OR。 二、单选题 19．建立数学模型时，考虑可以由决策者控制的因素是（ A ） A．销售数量B．销售价格C．顾客的需求 D．竞争价格 20．我们可以通过（ C）来验证模型最优解。 A．观察B．应用C．实验D．调查 21．建立运筹学模型的过程不包括（ A ）阶段。 A．观察环境B．数据分析C．模型设计D．模型实施 22.建立模型的一个基本理由是去揭晓那些重要的或有关的（B ） A数量B变量C约束条件 D 目标函数 23.模型中要求变量取值（ D ） A可正 B可负 C非正 D非负 24.运筹学研究和解决问题的效果具有（A ） A 连续性 B整体性C 阶段性D再生性

应用运筹学补充练习题教学提纲

应用运筹学补充练习 题

《应用运筹学》补充练习题 1、某商店要制定明年第一季度某种商品的进货和销售计划，已知该店的仓库容 量最多可储存该种商品500件，而今年年底有200件存货。该店在每月月初进货一次。已知各个月份进货和销售该种商品的单价如下表所示： 现在要确定每个月进货和销售多少件，才能使总利润最大，把这个问题表达成一个线性规划模型。 2、一种产品包含三个部件，它们是由四个车间生产的，每个车间的生产小时总 数是有限的，下表中给出三个部件的生产率，目标是要确定每个车间应该把多少工时数分配到各个部件上，才能使完成的产品件数最多。把这个问题表示成一个线性规划问题 3、一个投资者打算把它的元进行投资，有两种投资方案可供选择。第一种投资 保证每１元投资一年后可赚７角钱。第二种投资保证每１元投资两年后可赚２元。但对第二种投资，投资的时间必须是两年的倍数才行。假设每年年初

都可投资。为了使投资者在第三年年底赚到的钱最多，他应该怎样投资？把这个问题表示成一个线性规划问题。 4、有A，B两种产品，都需要经过前后两道化学反应过程。每一个单位的A产 品需要前道过程２小时和后道过程３小时。每一个单位的B产品需要前道过程３小时和后道过程４小时。可供利用的前道过程有16小时，后道过程时间有24小时。每生产一个单位B产品的同时，会产生两个单位的副产品C，且不需要外加任何费用。副产品C最多可售出５个单位，其余的只能加以销毁，每个单位的销毁费用是２元。出售A产品每单位可获利４元，B产品每单位可获利10元，而出售副产品C每单位可获利3元。试建立为了使获得的总利润达到最大的线性规划模型。 5、考虑下面的线性规划问题： 目标函数：Max Z=30X1+20X2 约束条件： 2X1+ X2≤40 X1+X2≤25 X1，X2≥0 用图解法找出最优解X1和X2。 6、某厂生产甲，乙两种产品，每种产品都要在A,B两道工序上加工。其中B 工序可由B1或B2设备完成，但乙产品不能用B1加工。生产这两种产品都需要C,D,E三种原材料，有关数据如下所示。又据市场预测，甲产品每天销售不超过30件。问应如何安排生产才能获利最大？试建立线性规划模型。

运筹学基础及应用

运筹学基础及应用 P43例13 、混合配料问题:某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种牌号糖果中A、B、C含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如表1-19所示。问该厂每月生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大。试建立这个问题的线性规划的数学模型。 表1-19 甲乙丙原料成本(元/kg) 每月限制用量(kg) A 2.00 2000 ?60% ?30% B 1.50 2500 C 1.00 1200 ?20% ?50% ?60% 0.50 0.40 0.30 加工费(元/kg) 3.40 2.85 2.25 售价(元/kg) P44例14、投资项目的组合问题:兴安公司有一笔30万元的资金，考虑今后三年内用于下列项目的投资: (1) 三年内的每年年初均可投资，每年获利为投资额的20%，其本利可一起用于下一年投资; (2) 只允许第一年初投入，于第二年末收回，本利合计为投资额的150%，但此类投资限额不超过15万元; (3) 允许于第二年初投入，于第三年末收回，本利合计为投资额的160%，但限额投资20万元; (4) 允许于第三年初投入，年末收回，可获利40%，但限额为10万元。 试为该公司确定一个使第三年末本利和为最大的投资组合方案。 P44例15、生产、库存与设备维修综合计划的安排:红光厂有2台车床，1台钻床，1台磨床，承担4中产品的生产任务(已知生产各种产品所需的设备台时及生

产单位产品的售价如表,,20所示(对各种产品今后三个月的市场最大需求(小于最大需求量时即可全部销出)及各产品在今后三个月的生产成本分别如表1,21和表1,22所示( 上述设备在1~3月内各需进行一次维修,具体安排为:2台车床于2月份、3月份各维修一台,钻床安排在2月份维修,磨床安排在3月份维修.各设备每月工作22天.每天2班,每班8h,每次维修占用半各月时间.又生产出来的产品当月销售不出去(超过最大需求量)时,可在以后各月销售,但需付每件每月储存费5元.但规定每月底各种产品储存量均不得超过100件.1月初各产品无库存,要求3月底各产品均库存50件.试安排该厂各月的生产计划,使总的利润为最大. 表,,20 a值单位:h ij i ? ? ? ? j 车床 ,., ,., ,., 钻床 ,., ,., ,., 磨床 ,., ,., ,., 售价(元,件) ,, ,, ,, ,, 表 1,21 最大需求量单位:件 K ? ? ? ? j 1月 200 300 200 200 2月 300 200 0 300 3月 300 100 400 0 表,,22 产品成本单位:元,件 K ? ? ? ? j ,月 ,, ,, ,, ,, ,月 ,, ,, ,, ,, ,月 ,, ,, ,, ,, P81例1、某食品公司经销的主要产品之一是糖果。它下面设有三个加工厂，每天的糖果生产量分别为:A1—7t,A2—4t,A3—9t.该公司把这些糖果分别运往四个地区的门市部销售，各地区每天的销售量为:B1—3t,B2—6t,B3—5t,B4—6t.已知

规划数学(运筹学)第三版课后习题答案 习 题 1(1)

习 题 1 1 用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷最优解、无界解还是无可行解。 ??? ??≥≥+≥++=0 x x 42x 4x 66x 4x 3x 2x minz )a (21 212121， ?? ? ??≥≥+≤++=0 x ,x 124x 3x 2 x 2x 2x 3x maxz )b (2121212 1 ?? ???≤≤≤≤≤++=8 x 310x 5120 10x 6x x x maxz )c (21 212 1 ?? ? ??≥≤+-≥-+=0 x ,x 23x 2x 2x 2x 6x 5x maxz )d (21212121 答案： (a)唯一解3*,)5.0,75.0(*==z X T ); (b)无可行解; (c)唯一解16*,) 6,10(*==z X T ); (d)无界解） 2 用单纯形法求解下列线性规划问题。 ?????≥ ≤+≤++=0 x ,x 82x 5x 94x 3x 5x 10x maxz )a (21 212121 ?????? ? ≥ ≤+≤+≤+=0 x , x 5x x 242x 6x 155x x 2x maxz )b (212 12122 1 答案： (a)唯一解5.17*,) 5.1,1(*==z X T )，对偶问题5.17*,)786.1,357.0(*==w Y T ; (b)唯一解5.8*,) 5.1,5.3(*==z X T ） ，5.8*,)5.0,25.0,0(*==w Y T 3 用大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属于哪一类解。 ???????≥≥-≥+-≥+++-=0 x x x 0x 2x 2x 2x 6 x x x 2x x 2x maxz )a (3 , 2, 13231321 321 ?????≥≥+≥++++=0 x , x , x 62x 3x 82x 4x x x 3x 2x minz )b (321 21 3 21 3 21 答案： (a)无界解；(b)唯一解8*,) 0,8.1,8.0(*==z X T )，对偶问题8*,)0,1(*==w Y T 4已知线性规划问题的初始单纯形表（如表1-54所示）和用单纯形法迭代后得到的表（如表1-55所示）如下，试求括弧中未知数a ～l 的值。

第五版运筹学基础与应用-大题模拟试题及答案

计算题一一 1. 下列线性规划问题化为标准型。 （10分） mi nZ x-|+5x 2-2x 3 min Z 4为 2x 2+3x 3 4x ,+5x 2 6X 3=7 8% 9x 2 10x 3 11 12% 13x 2 14 X 1 0,X 2 无约束，X 3 B1 B2 B3 B4 产量 A1 10 6 7 12 4 16 10 & 9 9 A3 5 4 10 10 4 销S 5 2 4 6 i （i 1,2,3）的投资额为x 时，其收益分别为 g 1（x 1） 4禺4区） g （x 3） 2x3 ，问应如何分配投资数额才能使总收益最大？ （15分） 5.求图中所示网络中的最短路。 （15分） 计算题二 X 1 X 2 X 3 6 2x 1 X 2 3x 3 5 X 1 X 2 10 X 1 0,X 2 0,X 3符号不 限 满足 〈 2. 写出下列问题的对偶问题 （10分） 9x 2,

5.某项工程有三个设计方案。 据现有条件，这些方案不能按期完成的概率分别为 0.5,0.7,0.9, 1某工厂拥有 A,B,C 三种类型的设备，生产甲、乙两种产品，每件产品在生产中需要使用 的机时数， （2）利用单纯形法求最优解；（15分） 2、用对偶理论判断下面缰性规划是否存在最优解：〔10分）屮 maxz = 2孔 +2x 3 * 满足： J 対+ 2皿叫 3. 判断下表中的启案能否作为恚上作业法求解运输间题的初始启宪，说朋理由.ho 分 n 4.如图所示的单行线交通网，每个弧旁边的数字表示这条单行线的长度。现在有一个人要 从V l 出发，经过这个交通网到达 V8，要寻求使总路程最短的线路。 （15分） ■.■'2 1

第五版运筹学基础与应用_大题模拟试题及答案

计算题一 1. 下列线性规划问题化为标准型。(10分) 123min +5-2Z x x x =- 1231231 21236 23510 0,0,x x x x x x x x x x x +-≤-+≥+=≥≤符号不限 2. 写出下列问题的对偶问题 (10分) 123min 42+3Z x x x =+ 123123121234+56=7 8910111213140,0 x x x x x x x x x x x --+≥+≤≤≥无约束， 3. 用最小元素法求下列运输问题的一个初始基本可行解(10分) 4．某公司有资金10万元，若投资用于项目 (1,2,3)i i i x =的投资额为时，其收益分别为11122()4,()9,g x x g x x == 33()2,g x x =问应如何分配投资数额才能使总收益最大？(15分) 5． 求图中所示网络中的最短路。（15分） 计算题二 满足 满足

1、某工厂拥有A,B,C 三种类型的设备，生产甲、乙两种产品，每件产品在生产中需要使用的机时数，每件产品可以获得的利润，以及三种设备可利用的机时数见下表： 求：（1）线性规划模型；（5分） （2）利用单纯形法求最优解；（15分） 4. 如图所示的单行线交通网，每个弧旁边的数字表示这条单行线的长度。现在有一个人要从 1 v 出发，经过这个交通网到达 8 v ，要寻求使总路程最短的线路。（15分） 5. 某项工程有三个设计方案。据现有条件，这些方案不能按期完成的概率分别为0.5,0.7,0.9,

即三个方案均完不成的概率为0.5×0.7×0.9=0.315。为使这三个方案中至少完成一个的概率尽可能大，决定追加2万元资金。当使用追加投资后，上述方案完不成的概率见下表，问应如何分配追加投资，才能使其中至少一个方案完成的概率为最大。(15分) 计算题三 1、某工厂要制作100套专用钢架，每套钢架需要用长为2.9m , 2.1m , 1.5m 的圆钢各一根。已知原料每根长7.4m ，现考虑应如何下料，可使所用的材料最省？ 求：（1 （2）将上述模型化为标准型（5分） 2、求解下列线性规划问题，并根据最优单纯形法表中的检验数，给出其对偶问题的最优解。（15分） 12 3a x 437m z x x x =++ 12322100x x x ++≤ 12333100 x x x ++≤ 123,,0x x x ≥ 3． 10分） 4. 用Dijkstra 算法计算下列有向图的最短路。（15分）

运筹学习题运筹学练习题

①某炼油厂根据计划,每季度供应合同单位汽油15万吨、煤油12万 吨、重油12万吨.该厂从A、B两处运回原油提炼 已知两处原油成分如表格所示.已知从A处采购原油每吨价格200元,从B处采购原油每吨价格310元 (1)请您为该炼油厂定制最优决策 (2)若从A处采购原油价格不变,从B处价格降为290元/吨,则最优 决策将如何变化? 表格 从A处购入x万吨从B处购入y万吨 则 0.15x+0.5y>15 0.2x +0.3y>12 0.5x+0.15y>12 设成本z=200x+310y (万元) ②某医院昼夜24小时各时段需要的护士数量如下 2:00---6:00 10人 6:00---10:00 15人 10:00---14:00 25人 14:00---18:00 20人 18:00---22:00 18人 22:00---2:00 12人 护士分别于2:00 , 6:00, 10:00, 14:00, 18:00, 22:00 分六批上班，并连续工作8小时。试确定：（1）该医院至少应设多少名护士，才能满足值班需要 （2）若医院可以聘任合同工护士，上班时间同正式护士。若正式

护士报酬为每小时10元，合同工护士为每小时15元，问医院是否应聘任合同工护士及聘多少名？ (1)设在从2:00开始个时段上班人数分别为x1,x2,x3,x4,x5,x6, 目标函数:minz=x1+x2+x3+x4+x5+x6 约束条件: x1+x2>=10; x2+x3>=15; x3+x4>=25; x4+x5>=20; x5+x6>=18; x1+x6>=12; x1,x2,x3,x4,x5,x6>=0 (2)设在从2:00开始个时段上班正式工人数分别为x1,x2,x3,x4,x5,x6, 合同工人数x1',x2',x3',x4',x5',x6', 目标函数: minz=(x1+x2+x3+x4+x5+x6)*8*10+(x1'+x2'+x3'+x4'+x5'+x6')*8*15 约束条件: x1+x2+x1'+x2'>=10; x2+x3+x2'+x3'>=15; x3+x4+x3'+x4'>=25; x4+x5 +x4'+ x5'>=20; x5+x6+x5'+x6'>=18; x1+x6 +x1'+x6'>=12; x1,x2,x3,x4,x5,x6,x1',x 2',x3,'x4',x5',x6'>=0 ③某人有一笔30万元的资金，在今后三年内有以下投资项目： (1)三年内的每年年初均可投资，每年获利为投资额的20%，其本利可一起用于下一年投资； (2)只允许第一年年初投入，第二年末可收回。本利合计为投资额的150%，但此类投资限额不超过15万元； (3)于三年内第二年初允许投资，可于第三年末收回。本利合计为投资

第七章 运筹学 运输问题案例

第七章运输问题 7.1 一个农民承包了6块耕地共300亩，准备播种小麦、玉米、水果和蔬菜四种农产品， 问如何安排种植计划，可得到最大的总收益。 解： 这是一个产销平衡的运输问题。可以建立下列的运输模型： 代入产销平衡的运输模板可得如下结果： 得种植计划方案如下表： 7.2 某客车制造厂根据合同要求从当年开始起连续四年年末交付40辆规格型号相同的大型客车。该厂在这四年内生产大型客车的能力及每辆客车的成本情况如下表： 根据该厂的情况，若制造出来的客车产品当年未能交货，每辆车每积压一年的存储和维

护费用为4万元。在签订合同时，该厂已储存了20辆客车，同时又要求四年期未完成合同后还需要储存25辆车备用。问该厂如何安排每年的客车生产量，使得在满足上述各项要求的情况下，总的生产费用加储存维护费用为最少？ 解：得运价表（产大于销的运输模型）如下： 第一季度正常上班生产20台，加班27台，拿出正常生产18台和加班2台，加上年前储存的20台，满足本季度的40台； 第二季度正常生产38台，不安排加班。加上第一季度储存的2台，满足本季度的40台； 第三季度正常生产15台，不安排加班。加上第一季度储存的25台，满足本季度的40台； 第四季度正常生产42台。加班生产23台。拿出正常生产的17台的加班生产的23台满足本季度的40台。剩余25台以后务用。 7.3 某企业生产有甲、乙、丙、丁四个分厂生产同一种产品，这四个分厂的产量分别为：200吨、300吨、400吨和100吨，这些产品供应给A、B、C、D、E、F六个地区，六个地区的需求量分别为：200吨、150吨、350吨、100吨、120吨、120吨。由于工艺、技术的差别，各分厂运往各销售地区的单位运价（万元/吨）、各厂单位产品成本（万元/吨）和各销地的销售价格（万元/吨）如下表：

应用运筹学补充练习题参考答案教学内容

应用运筹学补充练习题参考答案

《应用运筹学》补充练习题参考答案 1、某商店要制定明年第一季度某种商品的进货和销售计划，已知该店的仓库容 量最多可储存该种商品500件，而今年年底有200件存货。该店在每月月初进货一次。已知各个月份进货和销售该种商品的单价如下表所示： 现在要确定每个月进货和销售多少件，才能使总利润最大，把这个问题表达成一个线性规划模型。 解：设X i是第i个月的进货件数，Y i是第i个月的销货件数（i=1, 2, 3），Z 是总利润，于是这个问题可表达为： 目标函数： Max Z=9Y1+8Y2+10Y3－8X1－5X2－9X3 约束条件： 200+X1≤500 200+X1－Y1+X2≤500 月初库存约束 200+X1－Y1＋X2－Y2＋X3≤500 200+X1-Y1≥ 0 200+X1-Y1+X2-Y2≥0 月末库存约束 200+X1-Y1+X2-Y2+X3-Y3≥ 0 X1，X2，X3，Y1，Y2，Y3≥0 EXCEL求解最优解结果：X1*=300，X2*=500，X3*=0，Y1*=500,Y2*=0， Y3*=500, Z*=4100

2、一种产品包含三个部件，它们是由四个车间生产的，每个车间的生产小时总 数是有限的，下表中给出三个部件的生产率，目标是要确定每个车间应该把多少工时数分配到各个部件上，才能使完成的产品件数最多。把这个问题表示成一个线性规划问题 解：设X ij是车间i在制造部件j上所花的小时数，Y是完成产品的件数。 最终的目的是Y要满足条件： min{10X11+15X21+20X31+10X41，15X12+10X22+5X32+15X42， 5X13+5X23+10X33+20X43} 可将以上非线性条件转化为以下线性规划模型： 目标函数： Max Z = Y 约束条件： Y≤10X11+15X21+20X31+10X41 Y≤15X12+10X22+5X32+15X42 Y≤5X13+5X23+10X33+20X43 X11+X12+X13≤100 X21+X22+X23≤150 X31+X32+X33≤80 X41+X42+X43≤200 X ij≥0（i=1，2，3，4；j=1，2，3）, Y≥0

应用运筹学补充练习题

《应用运筹学》补充练习题 1、某商店要制定明年第一季度某种商品的进货和销售计划，已知该店的仓库容量最多可储 存该种商品500件，而今年年底有200件存货。该店在每月月初进货一次。已知各个月份进货和销售该种商品的单价如下表所示： 现在要确定每个月进货和销售多少件，才能使总利润最大，把这个问题表达成一个线性规划模型。 2、一种产品包含三个部件，它们是由四个车间生产的，每个车间的生产小时总数是有限的， 下表中给出三个部件的生产率，目标是要确定每个车间应该把多少工时数分配到各个部件上，才能使完成的产品件数最多。把这个问题表示成一个线性规划问题 3、一个投资者打算把它的100000元进行投资，有两种投资方案可供选择。第一种投资保 证每１元投资一年后可赚７角钱。第二种投资保证每１元投资两年后可赚２元。但对第二种投资，投资的时间必须是两年的倍数才行。假设每年年初都可投资。为了使投资者在第三年年底赚到的钱最多，他应该怎样投资？把这个问题表示成一个线性规划问题。 4、有A，B两种产品，都需要经过前后两道化学反应过程。每一个单位的A产品需要前道 过程２小时和后道过程３小时。每一个单位的B产品需要前道过程３小时和后道过程４小时。可供利用的前道过程有16小时，后道过程时间有24小时。每生产一个单位B产品的同时，会产生两个单位的副产品C，且不需要外加任何费用。副产品C最多可售出５个单位，其余的只能加以销毁，每个单位的销毁费用是２元。出售A产品每单位可获利４元，B产品每单位可获利10元，而出售副产品C每单位可获利3元。试建立为了使获得的总利润达到最大的线性规划模型。 5、考虑下面的线性规划问题： 目标函数：Max Z=30X1+20X2 约束条件：2X1+ X2≤40 X1+X2≤25 X1，X2≥0 用图解法找出最优解X1和X2。

运筹学 运输问题案例

第七章运输问题 一个农民承包了6块耕地共300亩，准备播种小麦、玉米、水果和蔬菜四种农产品， 问如何安排种植计划，可得到最大的总收益。 解： 这是一个产销平衡的运输问题。可以建立下列的运输模型： 代入产销平衡的运输模板可得如下结果： 得种植计划方案如下表： 某客车制造厂根据合同要求从当年开始起连续四年年末交付40辆规格型号相同的大型客车。该厂在这四年内生产大型客车的能力及每辆客车的成本情况如下表： 根据该厂的情况，若制造出来的客车产品当年未能交货，每辆车每积压一年的存储和维

护费用为4万元。在签订合同时，该厂已储存了20辆客车，同时又要求四年期未完成合同后还需要储存25辆车备用。问该厂如何安排每年的客车生产量，使得在满足上述各项要求的情况下，总的生产费用加储存维护费用为最少？ 解：得运价表（产大于销的运输模型）如下： 第一季度正常上班生产20台，加班27台，拿出正常生产18台和加班2台，加上年前储存的20台，满足本季度的40台； 第二季度正常生产38台，不安排加班。加上第一季度储存的2台，满足本季度的40台； 第三季度正常生产15台，不安排加班。加上第一季度储存的25台，满足本季度的40台； 第四季度正常生产42台。加班生产23台。拿出正常生产的17台的加班生产的23台满足本季度的40台。剩余25台以后务用。 某企业生产有甲、乙、丙、丁四个分厂生产同一种产品，这四个分厂的产量分别为：200吨、300吨、400吨和100吨，这些产品供应给A、B、C、D、E、F六个地区，六个地区的需求量分别为：200吨、150吨、350吨、100吨、120吨、120吨。由于工艺、技术的差别，各分厂运往各销售地区的单位运价（万元/吨）、各厂单位产品成本（万元/吨）和各销地的销售价格（万元/吨）如下表：

《运筹学》教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(动态规划应用举例)

第9章 动态规划应用举例 9.1 复习笔记 1．资源分配问题 所谓资源分配问题，就是将数量一定的一种或若干种资源（例如原材料、资金、机器设备、劳力、食品等），恰当地分配给若干个使用者，而使目标函数为最优。 （1）一维资源分配问题(离散） 设有某种原料，总数量为，用于生产种产品。若分配数量用于生产第种产品，其收益为,问应如何分配，才能使生产种产品的总收入最大？ 静态模型： 动态规划五要素： 阶段数：， ； 决策变量：表示分配给生产第种产品的原料数量，即； 设状态变量 ：表示分配给用于生产第种产品至第种产品的原料总数量； 状态转移方程： 决策集合： 最优值函数 ：表示以数量为 的原料分配给第种产品至第种产品所得到的 a n i x i ()i i g x n ()()() 112212..01,2,,n n n i Max Z g x g x g x x x x a s t x i n =++++++=?? ≥=?

最大总收益，动态规划的递推关系为： （2）资源连续分配问题 设有数量为的某种资源，可投入A和B两种生产。第一年若以数量投入生产A，剩下的量就投入生产B，则可得收入为，其中和为已知函数，且。这种资源在投入A、B生产后，年终还可回收再投入生产。设年回收率分别为和，则在第一年生产后，回收的资源量合计为。第二年再将资源数量中的和分别再投入A、B两种生产，则第二年又可得到收入为。如此继续进行年，试问：应当如何决定每年投入A生产的资源量，才能使总的收入最大？ 静态模型： 动态规划的逆推关系方程为： 最后求得的即为所求问题的最大收入。 2．生产与存贮问题