五种插值法的对比研究---开题报告

五种插值法的对比研究

1. 选题依据

1.1 选题背景

插值法是一种古老的数学方法，插值法历史悠久。据考证，在公元六世纪时， 我国焯(zhuo) 已经把等距二次插值法应用于天文计算。十七世纪时，Newton 和 Gregory(格雷格里) 建立了等距节点上的一般插值公式，十八世纪时，Lagrange(拉格朗日) 给出了更一般的非等距节点插值公式。 而它的基本理论是在微积分产生以后逐渐完善的，它的实际应用也日益增多，特别是在计算机工程中。许多库函数的计算实际上归结于对逼近函数的计算。

1.2 研究的目的和意义

插值法是数值分析中最基本的方法之一。 在实际问题中碰到的函数是各种各样的，有的甚至给不出表达式，只提供了一些离散数据，例如，在查对数表时， 要查的数据在表中找不到，就先找出它相邻的数，再从旁边找出它的修正值， 按一定关系把相邻的数加以修正，从而找出要找的数，这种修正关系实际上就是一种插值。 在实际应用中选用不同类型的插值函数，逼近的效果也不同。在数值计算方法中，我们学习过五种基本的插值方法，即Lagrange 插值、Newton 插值、分段线性插值、分段三次Hermite 插值、样条插值函数。所以通过从这五种插值法的基本思想、特征、性质和具体实例入手，探讨五种插值法的优缺点和适用围，让学习者能够迅速而准确的解决实际问题，掌握插值法的应用。

2. 研究的方法

从具体实例入手并结合Matlab 在科学计算中的优势，通过实验对它们的精度和效率进行比较分析。

3. 论文结构

3.1 论文的总体结构

第一部分 导言

主要介绍选题的背景、目的及意义、研究现状、文献综述等。

第二部分 五种插值法的基本思想、性质及特点

在数值计算方法中，插值法是计算方法的基础，数值微分、数值积分和微分方程数值解都建立在此基础上。

插值问题的提法是：已知f(x)(可能未知或非常复杂函数)在彼此不同的n+1 个实点0x ,1x ,…n x 处的函数值是f(0x )，f(1x )，…,f(n x )，这时我们简单的说f(x)有n+1 个

离散数据对0n i i )}y ,{(x i .要估算f(x)在其它点x 处的函数值，最常见的一种办法就是插值，

即寻找一个相对简单的函数y(x)，使其满足下列插值条件：y(i x )=f(i x )，i=0,1,…,n.，并以y(x)作为f(x)的近似值.其中y(x)称为插值函数，f(x)称为被插函数。

多项式插值是最常见的一种函数插值.在一般插值问题中，由插值条件可以唯一确定一个次数不超过n 的插值多项式满足上述条件.从几何上看可以理解为：已知平面上n+1 个不同点，要寻找一条次数不超过n 的多项式曲线通过这些点.插值多项式一般有两种常见的表达形式，一个是拉格朗日（Lagrange ）插值多项式，另一个是牛顿（Newton ）插值多项式. 且Lagrange 插值公式恒等于Newton 插值公式.

分段线性插值与样条插值可以避免高次插值可能出现的大幅度波动现象，在实际应用常采用分段低次插值来提高近似程度，比如可用分段线性插值或分段三次埃尔米特插值来逼近已知函数，但它们的总体光滑性较差.为了克服这一缺点，一种全局化的分段插值方法———三次样条插值成为比较理想的工具.

（1）拉格朗日插值

Lagrange 插值是n 次多项式插值，其成功地利用构造插值基函数的方法解决了求n 次多项式插值函数问题。对Lagrange n 次插值多项式，首先构造n+1个插值点0x 1x ,....,n x 上的n 次插值基函数)(x l i ))...()()...(()

)...()()...(110110n i i i i i i n i i x x x x x x x x x x x x x x x x --------=+-+-（，)...,2,1,0(n i =

有了这n+1个n 次插值基函数，n 次Lagrange 插值多项式就容易写出来了，具体表达式为)

()()(0x l x f x Ln i n i i ∑==。

表1 插值数值表

Lagrange 插值的方法是：对给定的n 个插值节点,0x 1x ,....,n x 及对应的函数值n y y y y ,......,,,210，利用n 次Lagrange 插值多项式，则对插值区间任意的x 的函数值y 可以通过下式Ln （x ）来求解。

表（1）中的n 次Lagrange 插值多项式Ln （x ）的数学公式为：)

()()(0x l x f x Ln i n i i ∑==。

其中，)(x l i （i=0,1,2,3...,n ）是插值基函数，且∏=--=n j j i j i x x x x x l 0)(。

Lagrange 插值多项式的余项为R(x)=)()()!1(1)()()1(x f n x L x f n n ωξ++=

-,其中))()(()(10n x x x x x x x ---=ω。

（2）牛顿插值

Newton 插值也是n 次多项式插值，它提出另一种构造插值多项式的方法，与Lagrange 插值相比，具有承袭性和易于变动节点的特点。

Newton 插值的方法：由表（1）构造的牛顿插值多项式为

],...,,[))...((...],,[))((],[)()()(1010210101000n n x x x f x x x x x x x f x x x x x x f x x x f x N ---++--+-+=用它插值时，首先要计算各阶差商，而各阶差商的计算可归结为一阶差商的逐次计算，一般的

111022010)

,...,,(),,...,,(),...,,(-----=k k k k k n x x x x x f x x x x f x x x f

其余项为：)

,...,,()()()(10n x x x f x N x f x Rn =-=。 （3）分段线性插值

分段线性插值函数,记为y(x),y(x)具有下列性质:

①y(x) 可以分段表示,在每个小区间],[1i i x x -上,它是线性函数`)(x y i ;

②)(x y i i i f x f ==)(,(i=0,1,2,3...,n ）.

③ 在整个区间[a,b]上,y(x) 连续.

作分段线性插值的目的在于克服Lagrange 插值方法可能发生的不收敛性缺点.所谓分段线性插值就是利用每两个相邻插值基点作线性插值，即可得如下分段线性插值函数：1

1)()()(+++=i i i i f x l f x l x y ，],[1+∈i i x x x ，i=0,1,...n.其中11)(++--=i i i i x x x x x l ，i i i

i x x x x x l --=++11)(.

特点：插值函数序列具有一致收敛性，克服了高次Lagrange 插值方法的缺点，故可通过增加插值基点的方法提高其插值精度. 但存在基点处不光滑、插值精度低的缺点.从几何上看所谓分段线性插值就是通过插值基点用折线段连接起来逼近原曲线，这也是计算机绘制图形的基本原理.

（4）分段三次Hermite 插值

对于函数f(x),常常不仅知道它在一些点的函数值，而且还知道它在这些点的导数值。这时的插值函数P （x ），自然不仅要求在这些点等于f(x)的函数值，而且要求P （x ）的导数在这些点也等于f （x ）的导数值。这就是埃尔米特插值问题，也称带导数的插值问题。从几何上看，这种插值要寻找的多项式曲线不仅要通过平面上的一直点组，而且在这些点（或者其中一部分）与原曲线“密切”，即它们有相同的斜率。

设已知函数f(x)在插值区间[a,b]上n+1个互异的节点i x ),...,1,0(n i =处的函数值i i f x f =)(及一阶导数值),...,2,1,0()(n i f x f i i ='='，若存在函数H(x)满足条件： ①H(x)是一个次数不超过2n+1次的多项式；

②)()(i i x f x H =，)()(i i x f x H '='),...,1,0(n i =.

则称H(x)为f （x ）在n+1个节点

i x 上的埃尔米特插值多项式。

（5）样条插值函数 分段低次插值函数都有一致收敛性， 但光滑性较差； 对于像高速飞机的机翼形线， 船体放样等等型值线往往要求有二阶光滑度， 即有二阶连续导数， 早期工程师制图时， 把富有弹性的细长木条用压铁固定在样点上， 在其他地方让它自由弯曲， 然后画下长条的曲线， 称为样条曲线。 它实际上是由分段三次曲线并接而成， 在连接点即样点上要求二阶连续可导， 从数学上加以概括得到数学样条这一概念。

给定区间[a,b]上n+1个节点b x x x n =<<<=...a 10和这些点上的函数值n i y x f i i ,...,1,0,)(==，若函数s(x)满足：

①s(x)在每个子区间],[1i i x x -),...,2,1(i n =上是不高于三次的多项式；

②s(x),)(),(x s x s '''在[a,b]上连续；

满足插值条件),...,1,0()(n i y x s i i ==，则称s(x)为函数f(x)关于节点10,x x ,...,n x 的三次样条插值函数。

第三部分 五种插值法的对比研究

从具体例题出发，讨论五种插值法的优缺点及适用围。

拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑， 在理论分析中十分方便， 然而在计算中， 当插值点增加或减少一个时， 所对应的基本多项式就需要全部重新计算， 于是整个公式都会

变化，非常繁琐，而且当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差.

牛顿插值公式是 n 次插值多项式的又一种构造形式，但它克服了拉格朗日插值多项式的缺点，它的一个明显优点是，每增加一个插值节点，只要在原牛顿 12插值公式中增添一项便可形成高一次的插值公式。而且在实际应用中，经常会遇到插值节点是等距分布的情况，这时，牛顿插值公式可以进一步简化，得到等距节点的插值公式，从而能够大大的缩短实际运算的时间。但是这种代数插值，只要求插值多项式在插值节点处与被插值函数有相同的函数值，但是这种插值多项式往往还不能全面反映被插值函数的性态，许多实际问题不但要求插值函数与被插值函数在各节点的函数值相同，而且还要求插值多项式在某节点或全部节点上与被插值函数的导数值也相等，甚至要求高阶导数值也相等。而这时拉格朗日插值与牛顿插值就不满足这种要求了。

埃尔米特插值是我们知道了函数在某些点出的函数值，而且插值函数在这些点处的导数也和被插函数一致，所以在几何上，这种插值函数不仅和被插函数在插值节点处有相同的函数值“过点”，而且和被插函数在节点处有相同的切线“相切”。因此，插值函数和被插函数的贴合程度要比多项式的程度好。但是埃尔米特插值只有当被插值函数在插值节点处的函数值和导数值已知时才能使用，这在实际问题中是不现实的，因为在一般情况下不可能也没有必要知道函数在插值节点处的导数值。所以是否知道插值函数在节点处的导数值成为能否运用埃尔米特插值的一个重要因素。

分段线性插值：在计算上具有简洁方便的特点. 分段线性插值与 3 次多项式插值函数在每个小区间上相对于原函数都有很强的收敛性（舍入误差影响不 15大），数值稳定性好且容易在计算机上编程实现等优点。缺点: 分段线性插值在节点处具有不光滑性的缺点(不能保证节点处插值函数的导数连续) ，从而不能满足某些工程技术上的要求. 而 3 次样条插值却具有在节点处光滑的特点。

对三次样条插值函数来说，当插值节点逐渐加密时，不但样条插值函数收敛于函数本身，而且其微商也收敛于函数的微商，这种性质要比多项式插值优越得多。而且样条函数不一定必须是逐段三次多项式，也可以逐段是一个简单函数，且连续点保持足够光滑。

第四部分结语

3.2 主要解决的问题

1.介绍常用的几种插值法；

2.分析各种插值法的优缺点, 以认识它们的联系与区别；

3. 研究插值法在实际问题中的应用。

4. 工作进度计划及目前研究现状

4.1 工作进度计划

2016年11月--2017年1月：

查阅文献资料、收集课题所需的中外文素材；学习理解相关知识和文献；

2017年2月--2017年3月：

进一步收集素材、筛选信息，完成毕业论文写作的初步思想，完成开题报告。

2017年4月—2017年5月上旬：

完成毕业论文初稿，送指导教师审阅。

2017年5月中旬—2017年5月底：

修改、完善初稿。完成论文，准备毕业答辩。

4.2 目前研究现状

2016年12月到2017年3月，大量阅读了相关期刊、书籍、论文等等，获取了不少信息，也对我将要展开的研究课题有了更全面更深入的了解和认识，从中认真选取了我将要阐述的重点，同时也引导我提出自己想要通过这篇论文想大家表达的容。

2017年3月中旬到2017年4月初，完成了对素材的收集和筛选，将论文中论述的重点和自己想要表达的容，进行梳理、修正。

参考文献

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